Hahn-Banach-Theorem – Wikipedia

Satz zur Erweiterung begrenzter linearer Funktionale

Das Hahn-Banach-Theorem ist ein zentrales Werkzeug in der Funktionsanalyse (ein Bereich der Mathematik). Es ermöglicht die Erweiterung von begrenzten linearen Funktionalen, die in einem Unterraum eines Vektorraums definiert sind, auf den gesamten Raum und zeigt auch, dass in jedem normierten Vektorraum “genügend” kontinuierliche lineare Funktionale definiert sind, um das Studium des dualen Raums interessant zu machen “. Eine andere Version des Hahn-Banach-Theorems ist als bekannt Hahn-Banach-Trennungssatz oder der Hyperebenentrennungssatz und hat zahlreiche Verwendungen in der konvexen Geometrie.

Geschichte[edit]

Der Satz ist nach den Mathematikern Hans Hahn und Stefan Banach benannt, die ihn Ende der 1920er Jahre unabhängig voneinander bewiesen haben. Der Sonderfall des Satzes für den Raum

${ displaystyle {C} { left[a,bright]}}$

von kontinuierlichen Funktionen in einem Intervall wurde früher (1912) von Eduard Helly bewiesen,^[1] und ein allgemeinerer Erweiterungssatz, der M. Riesz-Erweiterungssatz, aus dem der Hahn-Banach-Satz abgeleitet werden kann, wurde 1923 von Marcel Riesz bewiesen.^[2]

Das erste Hahn-Banach-Theorem wurde 1921 von Eduard Helly bewiesen, der zeigte, dass bestimmte lineare Funktionale in einem Unterraum eines bestimmten Typs eines normierten Raums definiert sind (

${ displaystyle mathbb {C} ^ { mathbb {N}}}$

) hatte eine Erweiterung der gleichen Norm. Helly tat dies durch die Technik, zuerst zu beweisen, dass eine eindimensionale Erweiterung existiert (wobei die Domäne der linearen Funktion um eine Dimension erweitert ist) und dann Induktion zu verwenden. 1927 definierte Hahn allgemeine Banach-Räume und verwendete Hellys Technik, um eine normbewahrende Version des Hahn-Banach-Theorems für Banach-Räume zu beweisen (wobei eine begrenzte lineare Funktion in einem Unterraum eine begrenzte lineare Ausdehnung derselben Norm auf den gesamten Raum hat). 1929 verallgemeinerte Banach, der Hahns Ergebnis nicht kannte, es, indem er die normbewahrende Version durch die dominierte Erweiterungsversion ersetzte, die sublineare Funktionen verwendet. Während Hellys Beweis die mathematische Induktion verwendete, verwendeten Hahn und Banach beide die transfinite Induktion.

Das Hahn-Banach-Theorem entstand aus Versuchen, unendliche lineare Gleichungssysteme zu lösen. Dies ist erforderlich, um Probleme wie das Momentproblem zu lösen, wobei bei allen möglichen Momenten einer Funktion festgestellt werden muss, ob eine Funktion mit diesen Momenten existiert, und wenn ja, anhand dieser Momente gefunden werden muss. Ein weiteres solches Problem ist das Fourier-Cosinus-Reihenproblem, bei dem man bei allen möglichen Fourier-Cosinus-Koeffizienten bestimmen muss, ob eine Funktion mit diesen Koeffizienten existiert, und sie erneut finden muss, wenn dies der Fall ist.

Riesz und Helly lösten das Problem für bestimmte Raumklassen (wie z. B. L.^p(([0, 1]) und C([a, b])) wo sie entdeckten, dass die Existenz einer Lösung der Existenz und Kontinuität bestimmter linearer Funktionale entspricht. Tatsächlich mussten sie das folgende Problem lösen:

((Das Vektorproblem) Eine Sammlung gegeben

${ displaystyle left (f_ {i} right) _ {i in I}}$

von begrenzten linearen Funktionalen auf einem normierten Raum X. und eine Sammlung von Skalaren

${ displaystyle left (c_ {i} right) _ {i in I}}$

, stellen Sie fest, ob es eine gibt x ∈ X. so dass f_ich((x) = c_ich für alle ich ∈ ich.

Um dies zu lösen, wenn X. ist reflexiv, dann reicht es aus, das folgende doppelte Problem zu lösen:

((Das Funktionsproblem) Eine Sammlung gegeben

${ displaystyle left (x_ {i} right) _ {i in I}}$

von Vektoren in einem normierten Raum X. und eine Sammlung von Skalaren

${ displaystyle left (c_ {i} right) _ {i in I}}$

, bestimmen, ob es eine begrenzte lineare Funktion gibt f auf X. so dass f((x_ich) = c_ich für alle ich ∈ ich.

Riesz fuhr fort zu definieren L.^p(([0, 1]) ((1 p <∞) im Jahr 1910 und die l^p Räume im Jahr 1913. Bei der Untersuchung dieser Räume erwies er sich als Sonderfall des Hahn-Banach-Theorems. Helly erwies sich 1912 auch als Sonderfall des Hahn-Banach-Theorems. 1910 löste Riesz das Funktionsproblem für bestimmte Räume und 1912 löste Helly es für eine allgemeinere Klasse von Räumen. Erst 1932 löste Banach in einer der ersten wichtigen Anwendungen des Hahn-Banach-Theorems das allgemeine Funktionsproblem. Der folgende Satz gibt das allgemeine Funktionsproblem an und charakterisiert seine Lösung.

Man kann den obigen Satz verwenden, um den Hahn-Banach-Satz abzuleiten. Wenn X. ist reflexiv, dann löst dieser Satz das Vektorproblem.

Hahn-Banach-Theorem[edit]

Die Erweiterung F. wird im Allgemeinen nicht eindeutig durch angegeben f und der Beweis gibt keine explizite Methode, wie man findet F..

Es ist möglich, die Subadditivitätsbedingung ein wenig zu lockern pund erfordert nur das für alle x, y ∈ X. und alle Skalare ein und b befriedigend |ein| + |b| ≤ 1,

p((Axt + durch) ≤ |ein| p((x) + |b| p((y) .

Es ist weiterhin möglich, die positive Homogenität und die Subadditivitätsbedingungen weiter zu lockern p, nur das erforderlich p ist konvex.

Das Mizar-Projekt hat den Beweis des Hahn-Banach-Theorems in der HAHNBAN-Datei vollständig formalisiert und automatisch überprüft.^[7]

Beweis[edit]

In dem komplexen Fall ist die ℂ-linearitätsannahmen verlangen das M.=N.+Ni für einen realen Vektorraum N.. Darüber hinaus für jeden Vektor x ∈ N., f((ix) = wenn((x). Somit bestimmt der Realteil einer linearen Funktion bereits das Verhalten der linearen Funktion als Ganzes, und es wird ausreichen, den Realfall zu beweisen.

Zuerst notieren wir Hellys erstes Ergebnis: wenn M. hat Codimension 1, dann ist Hahn-Banach einfach.

Wenden Sie nun Zorns Lemma an: die möglichen Erweiterungen von f sind teilweise durch Erweiterung voneinander geordnet, so dass es eine maximale Erweiterung gibt F.. Durch das Codimension-1-Ergebnis, wenn F. ist nicht für alle definiert X., dann kann es weiter ausgebaut werden. So F. muss überall definiert werden, wie behauptet.

In lokal konvexen Räumen[edit]

In der obigen Form muss die zu erweiternde Funktion bereits durch eine sublineare Funktion begrenzt sein. In einigen Anwendungen könnte dies nahe daran sein, die Frage zu stellen. In lokal konvexen Räumen ist jedoch jede kontinuierliche Funktion bereits durch die Norm begrenzt, die sublinear ist. Man hat also

In kategorietheoretischen Begriffen das Feld 𝕂 ist ein injektives Objekt in der Kategorie lokal konvexer Vektorräume.

Beziehung zum Axiom der Wahl[edit]

Der obige Beweis verwendet Zorns Lemma, das dem Axiom der Wahl entspricht. Es ist jetzt bekannt (siehe unten), dass das Ultrafilter-Lemma (oder gleichwertig das Boolesche Primideal-Theorem), das etwas schwächer als das Axiom der Wahl ist, tatsächlich stark genug ist.

Das Hahn-Banach-Theorem entspricht dem Folgenden:^[8]

(∗): Auf jeder Booleschen Algebra B. es existiert eine “Wahrscheinlichkeitsladung”, dh: eine nicht konstante endlich additive Karte aus B. in [0, 1].

(Der Idealsatz der Booleschen Primzahl entspricht der Aussage, dass es immer nicht konstante Wahrscheinlichkeitsladungen gibt, die nur die Werte 0 und 1 annehmen.)

In der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre kann man zeigen, dass das Hahn-Banach-Theorem ausreicht, um die Existenz einer nicht-Lebesgue-messbaren Menge abzuleiten.^[9] Darüber hinaus impliziert der Hahn-Banach-Satz das Banach-Tarski-Paradoxon.^[10]

Für trennbare Banach-Räume haben DK Brown und SG Simpson bewiesen, dass der Hahn-Banach-Satz aus WKL folgt₀, ein schwaches Subsystem der Arithmetik zweiter Ordnung, das eine Form von Kőnigs Lemma annimmt, das als Axiom auf binäre Bäume beschränkt ist. Tatsächlich beweisen sie, dass unter schwachen Annahmen beide äquivalent sind, ein Beispiel für umgekehrte Mathematik.^[11][12]

“Geometrischer Hahn-Banach” (die Hahn-Banach-Trennungssätze)[edit]

Das Schlüsselelement des Hahn-Banach-Theorems ist im Wesentlichen ein Ergebnis der Trennung zweier konvexer Mengen: {-p(-x – – n) – f((n): n∈M. }, und {p((m + x) – f((m): m∈M. }. Diese Art von Argumenten ist in der konvexen Geometrie weit verbreitet.^[13]Optimierungstheorie und Wirtschaft. Zu diesem Zweck abgeleitete Lemmas, die aus dem ursprünglichen Hahn-Banach-Theorem abgeleitet wurden, sind als die bekannt Hahn-Banach-Trennungssätze.^[14][15]

Oft nimmt man an, dass die konvexen Mengen eine zusätzliche Struktur haben; dh dass sie offen oder kompakt sind. In diesem Fall kann die Schlussfolgerung erheblich gestärkt werden:

Wenn X. ist komplex, dann gelten die gleichen Ansprüche, aber für den Realteil von f.

Eine wichtige Folge ist die Geometrischer Hahn-Banach-Satz oder Satz von Mazur.

Um zu sehen, dass Mazurs Theorem aus den Hahn-Banach-Trennungssätzen folgt, beachten Sie Folgendes M. ist konvex und wende die erste Kugel an. Der Satz von Mazur verdeutlicht, dass Vektorunterräume (auch solche, die nicht geschlossen sind) durch lineare Funktionale charakterisiert werden können.

Unterstützende Hyperebenen[edit]

Da Punkte trivial konvex sind, impliziert das geometrische Hahn-Banach, dass Funktionale die Grenze einer Menge erkennen können. Insbesondere lassen X. ein realer topologischer Vektorraum sein und EIN ⊆ X. konvex sein mit Int EIN ≠ ≠. Wenn

${ displaystyle a_ {0} in A setminus operatorname {Int} A}$

dann gibt es eine Funktion, die bei verschwindet ein₀, aber auf der Innenseite von unterstützt EIN.^[14]

Nennen Sie einen normierten Raum X. glatt wenn an jedem Punkt x In seiner Einheitskugel existiert eine einzigartige geschlossene Hyperebene zur Einheitskugel bei x. Köthe zeigte 1983, dass ein normierter Raum an einem Punkt glatt ist x genau dann, wenn die Norm Gateaux zu diesem Zeitpunkt differenzierbar ist.

Ausgewogene oder disked Nachbarschaften[edit]

Lassen U. eine konvex ausgeglichene Nachbarschaft von 0 in einem lokal konvexen topologischen Vektorraum sein X. und nehmen an x ∈ X. ist kein Element von U.. Dann gibt es eine kontinuierliche lineare Funktion f auf X. so dass

sup |f((U.)| ≤ |f((x)|.

Anwendungen[edit]

Das Hahn-Banach-Theorem ist das erste Zeichen einer wichtigen Philosophie in der Funktionsanalyse: Um einen Raum zu verstehen, sollte man seine stetigen Funktionen verstehen.

Beispielsweise sind lineare Teilräume durch Funktionale gekennzeichnet: if X. ist ein normierter Vektorraum mit linearem Unterraum M. (nicht unbedingt geschlossen) und wenn z ist ein Element von X. nicht in der Schließung von M.dann existiert eine kontinuierliche lineare Karte f :: X. → 𝕂 mit f((x) = 0 für alle x im M., f((z) = 1, und ||f|| = dist (z, M.)⁻¹. (Um dies zu sehen, beachten Sie das dist (·, M) ist eine sublineare Funktion.) Darüber hinaus, wenn z ist ein Element von X.dann existiert eine kontinuierliche lineare Karte f :: X. → 𝕂 so dass f((z) = ||z|| und ||f|| ≤ 1. Dies impliziert, dass die natürliche Injektion J. aus einem normierten Raum X. in sein doppeltes dual V ” ist isometrisch.

Dieses letzte Ergebnis legt auch nahe, dass das Hahn-Banach-Theorem häufig verwendet werden kann, um eine “schönere” Topologie zu finden, in der gearbeitet werden kann. Beispielsweise gehen viele Ergebnisse in der Funktionsanalyse davon aus, dass ein Raum Hausdorff oder lokal konvex ist. Nehmen wir jedoch an X. ist ein topologischer Vektorraum, nicht unbedingt Hausdorff oder lokal konvex, sondern mit einer nicht leeren, richtigen, konvexen, offenen Menge M.. Dann impliziert das geometrische Hahn-Banach, dass sich eine Hyperebene trennt M. von jedem anderen Punkt. Insbesondere muss eine Funktion ungleich Null vorhanden sein X. – das heißt, der kontinuierliche duale Raum X.* * ist nicht trivial. In Anbetracht X. mit der schwachen Topologie induziert durch X.* *, dann X. wird lokal konvex; Durch die zweite Kugel des geometrischen Hahn-Banach trennt die schwache Topologie dieses neuen Raums Punkte. So X. mit dieser schwachen Topologie wird Hausdorff. Dies ermöglicht manchmal, dass einige Ergebnisse von lokal konvexen topologischen Vektorräumen auf nicht-Hausdorff- und nicht-lokal konvexe Räume angewendet werden.

Partielle Differentialgleichungen[edit]

Das Hahn-Banach-Theorem ist oft nützlich, wenn man die Methode der a priori-Schätzungen anwenden möchte. Angenommen, wir möchten die lineare Differentialgleichung lösen Pu = f zum umit f in einigen Banach Raum gegeben X.. Wenn wir die Größe kontrollieren können u bezüglich

${ displaystyle | F | _ {X}}$

und wir können daran denken u als begrenzte lineare Funktion auf einem geeigneten Raum von Testfunktionen G, dann können wir sehen f als lineare Funktion durch Adjunktion:

${ displaystyle (f, g) = (u, P ^ {*} g)}$

. Diese Funktion wird zunächst nur auf dem Bild von definiert P.Mit dem Hahn-Banach-Theorem können wir jedoch versuchen, es auf die gesamte Codomäne auszudehnen X.. Die resultierende Funktion wird oft als schwache Lösung der Gleichung definiert.

Charakterisierung reflexiver Banachräume[edit]

Beispiel aus der Fredholm-Theorie[edit]

Um eine tatsächliche Anwendung des Hahn-Banach-Theorems zu veranschaulichen, werden wir nun ein Ergebnis beweisen, das fast vollständig aus dem Hahn-Banach-Theorem folgt.

Man kann das obige Ergebnis verwenden, um zu zeigen, dass jeder geschlossene Vektor-Unterraum von ℝ^ℕ ist ergänzt und entweder endlichdimensional oder TVS-isomorph zu ℝ^ℕ.

Verallgemeinerungen[edit]

Allgemeine Vorlage

Es gibt jetzt viele andere Versionen des Hahn-Banach-Theorems. Die allgemeine Vorlage für die verschiedenen Versionen des in diesem Artikel vorgestellten Hahn-Banach-Theorems lautet wie folgt:

X. ist ein Vektorraum, p ist eine sublineare Funktion auf X. (möglicherweise ein Seminar), M. ist ein Vektorunterraum von X. (möglicherweise geschlossen) und f ist eine lineare Funktion auf M. befriedigend |f| ≤ p auf M. (und möglicherweise einige andere Bedingungen). Man kommt dann zu dem Schluss, dass es eine lineare Erweiterung gibt F. von f zu X. so dass |F.| ≤ p auf X. (möglicherweise mit zusätzlichen Eigenschaften).

Für Seminorms[edit]

Ein Beweis läuft wie folgt ab:

Lassen S. sei die konvexe Hülle von { m ∈ M. :: p((x) ≤ 1} ∪ { x ∈ X. :: q((x) ≤ 1}. Beachten Sie, dass S. ist eine absorbierende Scheibe in X.und nennen seine Minkowski-Funktion q. Dann p = P. auf M. und P. ≤ q auf X..

Geometrische Trennung[edit]

Maximale lineare Ausdehnung[edit]

Vektor bewertet Hahn-Banach[edit]

Für nichtlineare Funktionen[edit]

Der folgende Satz von Mazur-Orlicz (1953) entspricht dem Satz von Hahn-Banach.

Der folgende Satz charakterisiert wann irgendein Skalarfunktion ein X. (nicht unbedingt linear) hat eine kontinuierliche lineare Ausdehnung auf alle X..

Umgekehrt[edit]

Lassen X. sei ein topologischer Vektorraum. Ein Vektorunterraum M. von X. hat die Erweiterungseigenschaft wenn eine kontinuierliche lineare Funktion eingeschaltet ist M. kann auf eine kontinuierliche lineare Funktion erweitert werden X.und das sagen wir X. hat die Hahn-Banach-Erweiterungsgrundstück ((HBEP) wenn jeder Vektorunterraum von X. hat die Erweiterungseigenschaft.

Das Hahn-Banach-Theorem garantiert, dass jeder lokal konvexe Hausdorff-Raum das HBEP hat. Für vollständig messbare topologische Vektorräume gibt es aufgrund von Kalton eine Umkehrung: Jedes vollständige messbare Fernsehgerät mit der Hahn-Banach-Erweiterungseigenschaft ist lokal konvex. Auf der anderen Seite ein Vektorraum X. von unzähliger Dimension, ausgestattet mit der feinsten Vektortopologie, dann ist dies ein topologischer Vektorraum mit der Hahn-Banach-Erweiterungseigenschaft, der weder lokal konvex noch messbar ist.

Ein Vektorunterraum M. eines Fernsehgeräts X. hat die Trennungseigenschaft wenn für jedes Element von X. so dass x ∉ M.gibt es eine kontinuierliche lineare Funktion f auf X. so dass f((x) ≠ 0 und f((m) = 0 für alle m ∈ M.. Klar, der durchgehende Doppelraum eines TVS X. trennt Punkte auf X. dann und nur dann, wenn {0 } hat die Separationseigenschaft. Im Jahr 1992 bewies Kakol, dass jeder unendlich dimensionale Vektorraum X.gibt es TVS-Topologien auf X. die nicht über den HBEP verfügen, obwohl genügend kontinuierliche lineare Funktionen vorhanden sind, damit der kontinuierliche duale Raum Punkte trennen kann X.. wie auch immer, falls X. ist dann ein TVS jeder Vektor-Unterraum von X. hat die Erweiterungseigenschaft genau dann, wenn jeder Vektor-Unterraum von X. hat die Trennungseigenschaft.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Literaturverzeichnis[edit]

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