Variable (Mathematik) – Wikipedia

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Symbol, das einen unbestimmten Wert darstellt

In der Mathematik a Variable ist ein Symbol, das als Platzhalter für unterschiedliche Ausdrücke oder Mengen fungiert und häufig zur Darstellung eines beliebigen Elements einer Menge verwendet wird. Zusätzlich zu Zahlen werden üblicherweise Variablen verwendet, um Vektoren, Matrizen und Funktionen darzustellen.[1][2]

Wenn Sie algebraische Berechnungen mit Variablen durchführen, als wären sie explizite Zahlen, können Sie eine Reihe von Problemen in einer einzigen Berechnung lösen. Ein typisches Beispiel ist die quadratische Formel, mit der jede quadratische Gleichung gelöst werden kann, indem einfach die numerischen Werte der Koeffizienten der angegebenen Gleichung durch die Variablen ersetzt werden, die sie darstellen.

In der mathematischen Logik a Variable ist entweder ein Symbol, das einen nicht spezifizierten Begriff der Theorie darstellt (dh eine Metavariable), oder ein grundlegendes Objekt der Theorie, das manipuliert wird, ohne auf seine mögliche intuitive Interpretation Bezug zu nehmen.

Etymologie[edit]

“Variable” kommt von einem lateinischen Wort, variābilismit “vari (us)“‘Bedeutung “verschiedene” und “-ābilis“‘Bedeutung “-imstande”Bedeutung “fähig zu ändern”.[3]

Entstehung und Entwicklung des Konzepts[edit]

Im 7. Jahrhundert verwendete Brahmagupta verschiedene Farben, um die Unbekannten in algebraischen Gleichungen in den USA darzustellen Brāhmasphuṭasiddhānta. Ein Abschnitt dieses Buches heißt “Gleichungen mehrerer Farben”.[4]

Ende des 16. Jahrhunderts führte François Viète die Idee ein, bekannte und unbekannte Zahlen durch Buchstaben darzustellen, die heutzutage als Variablen bezeichnet werden, und mit ihnen zu rechnen, als wären sie Zahlen, um das Ergebnis durch einen einfachen Ersatz zu erhalten. Viètes Konvention bestand darin, Konsonanten für bekannte Werte und Vokale für Unbekannte zu verwenden.[5]

Im Jahr 1637 René Descartes “erfand die Konvention der Darstellung von Unbekannten in Gleichungen durch x, y, und zund bekannt durch ein, b, und c“.[6] Im Gegensatz zu Viètes Konvention wird Descartes immer noch häufig verwendet.

Ab den 1660er Jahren entwickelten Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz unabhängig voneinander die Infinitesimalrechnung, die im Wesentlichen darin besteht, zu untersuchen, wie eine infinitesimale Variation von a variable Menge induziert eine entsprechende Variation einer anderen Größe, die a ist Funktion der ersten Variablen. Fast ein Jahrhundert später legte Leonhard Euler die Terminologie der Infinitesimalrechnung fest und führte die Notation ein y = f((x) für eine Funktion f, es ist Variable x und sein Wert y. Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts das Wort Variable bezog sich fast ausschließlich auf die Argumente und die Werte von Funktionen.

In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts schien die Grundlage der Infinitesimalrechnung nicht formalisiert genug zu sein, um offensichtliche Paradoxien wie eine nirgends differenzierbare kontinuierliche Funktion zu behandeln. Um dieses Problem zu lösen, führte Karl Weierstrass einen neuen Formalismus ein, der darin besteht, den intuitiven Begriff der Grenze durch eine formale Definition zu ersetzen. Der ältere Begriff der Grenze war “wenn der Variable x variiert und tendiert zu ein, dann f((x) neigt dazu L.“, ohne genaue Definition von “neigt dazu”. Weierstrass ersetzte diesen Satz durch die Formel

wobei keine der fünf Variablen als variierend angesehen wird.

Diese statische Formulierung führte zu dem modernen Begriff der Variablen, der einfach ein Symbol ist, das ein mathematisches Objekt darstellt, das entweder unbekannt ist oder durch ein beliebiges Element einer gegebenen Menge (z. B. die Menge reeller Zahlen) ersetzt werden kann.

Bestimmte Arten von Variablen[edit]

Es ist üblich, dass Variablen in derselben mathematischen Formel unterschiedliche Rollen spielen, und Namen oder Qualifizierer wurden eingeführt, um sie zu unterscheiden. Zum Beispiel die allgemeine kubische Gleichung

wird mit fünf Variablen interpretiert: vier, ein, b, c, d, denen Zahlen und die fünfte Variable gegeben werden, x, wird als ein verstanden Unbekannt Nummer. Um sie zu unterscheiden, die Variable x wird genannt ein Unbekannterund die anderen Variablen werden aufgerufen Parameter oder Koeffizienten, oder manchmal Konstanten, obwohl diese letzte Terminologie für eine Gleichung falsch ist und für die auf der linken Seite dieser Gleichung definierte Funktion reserviert werden sollte.

Im Kontext von Funktionen der Begriff Variable bezieht sich allgemein auf die Argumente der Funktionen. Dies ist typischerweise in Sätzen wie der Fall “Funktion einer reellen Variablen”, “x ist die Variable der Funktion f:: x ↦ f((x)“, “f ist eine Funktion der Variablen x” (Dies bedeutet, dass das Argument der Funktion von der Variablen referenziert wird x).

Im gleichen Kontext Variablen, die unabhängig von x definieren konstante Funktionen und werden daher aufgerufen Konstante. Zum Beispiel a Konstante der Integration ist eine beliebige konstante Funktion, die einem bestimmten Antiderivativ hinzugefügt wird, um die anderen Antiderivative zu erhalten. Weil die starke Beziehung zwischen Polynomen und Polynomfunktion der Begriff ist “Konstante” wird oft verwendet, um die Koeffizienten eines Polynoms zu bezeichnen, die konstante Funktionen der Unbestimmten sind.

Diese Verwendung von “Konstante” als Abkürzung für “konstante Funktion” muss von der normalen Bedeutung des Wortes in der Mathematik unterschieden werden. EIN Konstante, oder mathematische Konstante ist eine gut und eindeutig definierte Zahl oder ein anderes mathematisches Objekt, wie zum Beispiel die Zahlen 0, 1, π und das Identitätselement einer Gruppe.

Andere spezifische Namen für Variablen sind:

Alle diese Bezeichnungen von Variablen sind semantischer Natur, und die Art und Weise, wie mit ihnen gerechnet wird (Syntax), ist für alle gleich.

Abhängige und unabhängige Variablen[edit]

In der Analysis und ihrer Anwendung auf die Physik und andere Wissenschaften ist es eher üblich, beispielsweise eine Variable zu betrachten y, deren mögliche Werte beispielsweise vom Wert einer anderen Variablen abhängen x. In mathematischen Begriffen ist die abhängig Variable y repräsentiert den Wert einer Funktion von x. Um die Formeln zu vereinfachen, ist es häufig nützlich, dasselbe Symbol für die abhängige Variable zu verwenden y und die Funktionszuordnung x auf zu y. Zum Beispiel hängt der Zustand eines physikalischen Systems von messbaren Größen wie dem Druck, der Temperatur, der räumlichen Position usw. ab, und alle diese Größen variieren, wenn sich das System entwickelt, dh sie sind Funktion der Zeit. In den das System beschreibenden Formeln werden diese Größen durch zeitabhängige Variablen dargestellt und somit implizit als Funktionen der Zeit betrachtet.

Daher ist in einer Formel a abhängige Variable ist eine Variable, die implizit eine Funktion einer anderen (oder mehrerer anderer) Variablen ist. Ein unabhängige Variable ist eine Variable, die nicht abhängig ist.[7]

Die Eigenschaft einer Variablen, abhängig oder unabhängig zu sein, hängt häufig vom Standpunkt ab und ist nicht intrinsisch. Zum Beispiel in der Notation f((x, y, z)können die drei Variablen alle unabhängig sein und die Notation repräsentiert eine Funktion von drei Variablen. Auf der anderen Seite, wenn y und z darauf ankommen x (sind abhängigen Variablen) dann repräsentiert die Notation eine Funktion der Single unabhängige Variable x.[8]

Beispiele[edit]

Wenn man eine Funktion definiert f von den reellen Zahlen zu den reellen Zahlen von

dann x ist eine Variable, die für das Argument der zu definierenden Funktion steht und eine beliebige reelle Zahl sein kann. In der Identität

Die Variable ich ist eine Summationsvariable, die wiederum jede der ganzen Zahlen 1, 2, … bezeichnet. n (es wird auch genannt Index weil seine Variation über einen diskreten Satz von Werten liegt) während n ist ein Parameter (er variiert nicht innerhalb der Formel).

In der Theorie der Polynome wird ein Polynom vom Grad 2 allgemein als bezeichnet Axt2 + bx + c, wo ein, b und c werden Koeffizienten genannt (es wird angenommen, dass sie fest sind, dh Parameter des betrachteten Problems), während x wird eine Variable genannt. Wenn man dieses Polynom auf seine Polynomfunktion untersucht, ist dies x steht für das Funktionsargument. Wenn Sie das Polynom als Objekt an sich studieren, x wird als unbestimmt angesehen und oft mit einem Großbuchstaben geschrieben, um diesen Status anzuzeigen.

Notation[edit]

In der Mathematik werden die Variablen im Allgemeinen durch einen einzelnen Buchstaben bezeichnet. Auf diesen Buchstaben folgt jedoch häufig ein Index wie in x2und dieser Index kann eine Zahl sein, eine andere Variable (xich), ein Wort oder die Abkürzung eines Wortes (xim und xaus) und sogar einen mathematischen Ausdruck. Unter dem Einfluss der Informatik kann man in der reinen Mathematik auf einige Variablennamen stoßen, die aus mehreren Buchstaben und Ziffern bestehen.

Nach dem französischen Philosophen und Mathematiker René Descartes aus dem 17. Jahrhundert wurden Buchstaben am Anfang des Alphabets, z ein, b, c werden üblicherweise für bekannte Werte und Parameter sowie Buchstaben am Ende des Alphabets verwendet, z x, y, z, und t werden häufig für Unbekannte und Variablen von Funktionen verwendet.[9] In der gedruckten Mathematik besteht die Norm darin, Variablen und Konstanten in einer kursiven Schrift festzulegen.[10]

Zum Beispiel wird eine allgemeine quadratische Funktion herkömmlicherweise wie folgt geschrieben:

wo ein, b und c sind Parameter (auch Konstanten genannt, weil sie konstante Funktionen sind), während x ist die Variable der Funktion. Eine explizitere Möglichkeit, diese Funktion zu bezeichnen, ist

das macht den Funktionsargumentstatus von x klar, und damit implizit den konstanten Status von ein, b und c. Schon seit c tritt in einem Term auf, der eine konstante Funktion von ist xwird es der konstante Term genannt.[11]::18

Bestimmte Zweige und Anwendungen der Mathematik haben normalerweise bestimmte Namenskonventionen für Variablen. Variablen mit ähnlichen Rollen oder Bedeutungen werden häufig aufeinanderfolgende Buchstaben zugewiesen. Beispielsweise werden die drei Achsen im 3D-Koordinatenraum herkömmlicherweise genannt x, y, und z. In der Physik werden die Namen von Variablen weitgehend durch die physikalische Größe bestimmt, die sie beschreiben, es gibt jedoch verschiedene Namenskonventionen. Eine Konvention, die häufig in Bezug auf Wahrscheinlichkeit und Statistik befolgt wird, ist zu verwenden X., Y., Z. für die Namen von Zufallsvariablen behalten x, y, z für Variablen, die entsprechende Istwerte darstellen.

Es gibt viele andere Notationsverwendungen. Normalerweise werden Variablen, die eine ähnliche Rolle spielen, durch aufeinanderfolgende Buchstaben oder durch denselben Buchstaben mit unterschiedlichem Index dargestellt. Im Folgenden sind einige der häufigsten Verwendungen aufgeführt.

  • ein, b, c, und d (manchmal erweitert auf e und f) repräsentieren oft Parameter oder Koeffizienten.
  • ein0, ein1, ein2, … spielen eine ähnliche Rolle, wenn sonst zu viele verschiedene Buchstaben benötigt würden.
  • einich oder uich wird oft verwendet, um die zu bezeichnen ich-ter Term einer Sequenz oder der ich-ter Koeffizient einer Reihe.
  • f und G (manchmal h) bezeichnen üblicherweise Funktionen.
  • ich, j, und k (manchmal l oder h) werden häufig verwendet, um unterschiedliche Ganzzahlen oder Indizes in einer indizierten Familie zu bezeichnen. Sie können auch verwendet werden, um Einheitsvektoren zu bezeichnen.
  • l und w werden oft verwendet, um die Länge und Breite einer Figur darzustellen.
  • l wird auch verwendet, um eine Linie zu bezeichnen. In der Zahlentheorie l bezeichnet oft eine Primzahl ungleich p.
  • n bezeichnet normalerweise eine feste ganze Zahl, wie z. B. die Anzahl der Objekte oder den Grad einer Gleichung.
    • Wenn zwei Ganzzahlen benötigt werden, beispielsweise für die Dimensionen einer Matrix, wird häufig eine verwendet m und n.
  • p bezeichnet oft eine Primzahl oder eine Wahrscheinlichkeit.
  • q bezeichnet oft eine Primzahl oder einen Quotienten
  • r bezeichnet oft einen Radius, einen Rest oder einen Korrelationskoeffizienten.
  • t bezeichnet oft Zeit.
  • x, y und z bezeichnen normalerweise die drei kartesischen Koordinaten eines Punktes in der euklidischen Geometrie. In der Erweiterung werden sie verwendet, um die entsprechenden Achsen zu benennen.
  • z bezeichnet typischerweise eine komplexe Zahl oder in der Statistik eine normale Zufallsvariable.
  • α, β, γ, θ und φ bezeichnen üblicherweise Winkelmaße.
  • ε repräsentiert normalerweise eine beliebig kleine positive Zahl.
    • ε und δ bezeichnen üblicherweise zwei kleine Positive.
  • λ wird für Eigenwerte verwendet.
  • σ bezeichnet häufig eine Summe oder in der Statistik die Standardabweichung.

Siehe auch[edit]

Literaturverzeichnis[edit]

  • J. Edwards (1892). Differentialrechnung. London: MacMillan and Co. pp. 1 ff.
  • Karl Menger, “Über Variablen in Mathematik und Naturwissenschaften”, Das britische Journal für Wissenschaftstheorie 5: 18: 134–142 (August 1954) JSTOR 685170
  • Jaroslav Peregrin, “Variablen in natürlicher Sprache: Woher kommen sie?“in M. Boettner, W. Thümmel, Hrsg., Variablenfreie Semantik2000, S. 46–65.
  • WV Quine, “Variablen erklärt weg“, Verfahren der American Philosophical Society 104: 343–347 (1960).

Verweise[edit]

  1. ^ “Kompendium der mathematischen Symbole: Variablen”. Math Vault. 2020-03-01. Abgerufen 2020-08-09.
  2. ^ Weisstein, Eric W. “Variable”. mathworld.wolfram.com. Abgerufen 2020-08-09.
  3. ^ ““Variable” Ursprung”. dictionary.com. Archiviert vom Original am 20. Mai 2015. Abgerufen 18. Mai 2015.
  4. ^ Tabak, John (2014). Algebra: Mengen, Symbole und die Sprache des Denkens. Infobase Publishing. p. 40. ISBN 978-0-8160-6875-3.
  5. ^ Fraleigh, John B. (1989). Ein erster Kurs in abstrakter Algebra (4 ed.). Vereinigte Staaten: Addison-Wesley. p. 276. ISBN 0-201-52821-5.
  6. ^ Tom Sorell, Descartes: Eine sehr kurze Einführung(2000). New York: Oxford University Press. p. 19.
  7. ^ Edwards Art. 5
  8. ^ Edwards Art. 6
  9. ^ Edwards Art. 4
  10. ^ William L. Hosch (Herausgeber), Der Britannica-Leitfaden zu Algebra und Trigonometrie, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1-61530-219-0, 978-1-61530-219-2, p. 71
  11. ^ Foerster, Paul A. (2006). Algebra und Trigonometrie: Funktionen und Anwendungen, Teacher’s Edition (Classics ed.). Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-165711-9.


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