Cramérs Vermutung – Wikipedia

In der Zahlentheorie Cramérs Vermutung, 1936 vom schwedischen Mathematiker Harald Cramér formuliert,^[1] ist eine Schätzung für die Größe von Lücken zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen: Intuitiv sind Lücken zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen immer klein, und die Vermutung quantifiziert asymptotisch, wie klein sie sein müssen. Es sagt, dass

${ displaystyle p_ {n + 1} -p_ {n} = O (( log p_ {n}) ^ {2}), }$

after-content-x4

wo p_n bezeichnet die nth Primzahl, Ö ist große O-Notation, und “Log” ist der natürliche Logarithmus. Während dies die Aussage ist, die Cramér ausdrücklich vermutet, unterstützt seine Heuristik tatsächlich die stärkere Aussage

${ displaystyle limsup _ {n rightarrow infty} { frac {p_ {n + 1} -p_ {n}} {( log p_ {n}) ^ {2}}} = 1,}$

und manchmal wird diese Formulierung Cramérs Vermutung genannt. Diese stärkere Version wird jedoch nicht von genaueren heuristischen Modellen unterstützt, die dennoch die erste Version von Cramérs Vermutung unterstützen. Keine der Formen wurde bisher bewiesen oder widerlegt.

Bedingt nachgewiesene Ergebnisse bei Hauptlücken[edit]

Cramér gab einen bedingten Beweis für die viel schwächere Aussage, dass

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${ displaystyle p_ {n + 1} -p_ {n} = O ({ sqrt {p_ {n}}} , log p_ {n})}$

unter der Annahme der Riemannschen Hypothese.^[1] Die bekannteste bedingungslose Bindung ist

${ displaystyle p_ {n + 1} -p_ {n} = O (p_ {n} ^ {0.525})}$

wegen Baker, Harman und Pintz.^[2]

In der anderen Richtung bewies E. Westzynthius 1931, dass Primlücken mehr als logarithmisch wachsen. Das ist,^[3]

${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac {p_ {n + 1} -p_ {n}} { log p_ {n}}} = infty.}$

Sein Ergebnis wurde von RA Rankin verbessert,^[4] wer hat das bewiesen

${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac {p_ {n + 1} -p_ {n}} { log p_ {n}}} cdot { frac { left ( log log log p_ {n} rechts) ^ {2}} { log log p_ {n} log log log log p_ {n}}}> 0.}$

[5]

Heuristische Begründung[edit]

Cramérs Vermutung basiert auf einem Wahrscheinlichkeitsmodell – im Wesentlichen einer Heuristik -, bei dem die Wahrscheinlichkeit einer Anzahl von Größen x ist prime ist 1 / log x. Dies ist als die bekannt Cramér Zufallsmodell oder Cramér-Modell der Primzahlen.^[6]

Im Cramér-Zufallsmodell

${ displaystyle limsup _ {n rightarrow infty} { frac {p_ {n + 1} -p_ {n}} { log ^ {2} p_ {n}}} = 1}$

mit der Wahrscheinlichkeit eins.^[1] Wie jedoch von Andrew Granville hervorgehoben,^[7]Der Satz von Maier zeigt, dass das Cramér-Zufallsmodell die Verteilung von Primzahlen in kurzen Intervallen nicht angemessen beschreibt, und eine Verfeinerung des Cramér-Modells unter Berücksichtigung der Teilbarkeit durch kleine Primzahlen legt dies nahe

${ displaystyle c geq 2e ^ {- gamma} ca. 1.1229 ldots}$

((OEIS: A125313), wo

${ displaystyle gamma}$

ist die Euler-Mascheroni-Konstante. János Pintz hat vorgeschlagen, dass das Limit sup unendlich sein könnte,^[8] und ähnlich schreiben Leonard Adleman und Kevin McCurley

Aufgrund der Arbeit von H. Maier an Lücken zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen wurde die genaue Formulierung von Cramérs Vermutung in Frage gestellt […] Es ist wahrscheinlich immer noch wahr, dass für jede Konstante

${ displaystyle c> 2}$

${ displaystyle d> 0}$

${ displaystyle x}$

und

${ displaystyle x + d ( log x) ^ {c}}$

. ^[9]

Verwandte Vermutungen und Heuristiken[edit]

Daniel Shanks vermutete die folgende asymptotische Gleichheit, stärker als Cramérs Vermutung:^[10] für Rekordlücken:

${ displaystyle G (x) sim log ^ {2} x.}$

JH Cadwell^[11] hat die Formel für die maximalen Lücken vorgeschlagen:

${ displaystyle G (x) sim log x ( log x- log log x),}$

Dies ist formal identisch mit der Shanks-Vermutung, deutet jedoch auf einen Begriff niedrigerer Ordnung hin.

Marek Wolf^[12] hat die Formel für die maximalen Lücken vorgeschlagen

${ displaystyle G (x)}$

ausgedrückt als Primzahlfunktion

${ displaystyle pi (x)}$

::

${ displaystyle G (x) sim { frac {x} { pi (x)}} (2 log pi (x) – log x + c_ {0}),}$

wo

${ displaystyle c_ {0} = log (C_ {2}) = 0.2778769 …}$

und

${ displaystyle C_ {2} = 1.3203236 …}$

ist doppelt so konstant wie die Doppelprimzahlen; sehen OEIS: A005597, OEIS: A114907. Verwendung der Gaußschen Näherung

${ displaystyle pi (x) sim x / log (x)}$

das gibt

${ displaystyle G (x) sim log (x) ( log x-2 log log x),}$

was für große

${ displaystyle x}$

ist auch asymptotisch äquivalent zu den Vermutungen von Cramér und Shanks:

${ displaystyle G (x) sim log ^ {2} (x)}$

.

Thomas Nicely hat viele große Lücken berechnet.^[13] Er misst die Qualität der Anpassung an Cramérs Vermutung, indem er das Verhältnis misst

${ displaystyle R = { frac { log p_ {n}} { sqrt {p_ {n + 1} -p_ {n}}}.}$

Er schreibt: „Für die größten bekannten maximalen Lücken,

${ displaystyle R}$

ist in der Nähe von 1,13 geblieben. “ Jedoch,

${ displaystyle 1 / R ^ {2}}$

ist immer noch kleiner als 1.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

1. ^ ^{ein b c} Cramér, Harald (1936), “In der Größenordnung der Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen” (PDF), Acta Arithmetica, 2: 23–46, archiviert von das Original (PDF) am 23.07.2018abgerufen 2012-03-12
2. ^ RC Baker, G. Harman und J. Pintz, Der Unterschied zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen. II. Proc. London Math. Soc. (3), 83 (2001), Nr. 3, 532 & ndash; 562
3. ^ Westzynthius, E. (1931), “Über die Verteilung der Zahlen die zu den ersten Primzahlen teilerfremd sind”, Kommentare Physico-Mathematicae Helsingsfors (auf Deutsch), 5: 1–37, JFM 57.0186.02, Zbl 0003.24601.
4. ^ RA Rankin, Der Unterschied zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen, J. London Math. Soc. 13 (1938), 242 & ndash; 247
5. ^ K. Ford, B. Green, S. Konyagin und T. Tao, Große Lücken zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen. Ann. von Math. (2) 183 (2016), Nr. 3, 935–974
6. ^ Terry Tao, 254A, Beilage 4: Probabilistische Modelle und Heuristiken für die Primzahlen (optional), Abschnitt über das Cramér-Zufallsmodell, Januar 2015.
7. ^ Granville, A. (1995), “Harald Cramér und die Verteilung von Primzahlen” (PDF), Scandinavian Actuarial Journal, 1: 12–28, doi:10.1080 / 03461238.1995.10413946.
8. ^ János Pintz, Sehr große Lücken zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen, Zeitschrift für Zahlentheorie 63: 2 (April 1997), S. 286–301.
9. ^ Leonard Adleman und Kevin McCurley, Offene Probleme in der zahlentheoretischen Komplexität, II. Algorithmische Zahlentheorie (Ithaca, NY, 1994), 291–322, Lecture Notes in Comput. Sci., 877, Springer, Berlin, 1994.
10. ^ Shanks, Daniel (1964), “Über maximale Lücken zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen”, Mathematik der Berechnung, Amerikanische Mathematische Gesellschaft, 18 (88): 646–651, doi:10.2307 / 2002951, JSTOR 2002951, Zbl 0128.04203.
11. ^ Cadwell, JH (1971), “Große Intervalle zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen”, Mathematik der Berechnung, 25 (116): 909–913, doi:10.2307 / 2004355, JSTOR 2004355
12. ^ Wolf, Marek (2014), “Verteilung der Primzahlen und des Quantenchaos im Abstand zum nächsten Nachbarn”, Phys. Rev. E., 89: 022922, arXiv:1212.3841, Bibcode:2014PhRvE..89b2922W, doi:10.1103 / physreve.89.022922
13. ^ Schön, Thomas R. (1999), “Neue maximale Primlücken und erste Vorkommen”, Mathematik der Berechnung, 68 (227): 1311–1315, Bibcode:1999MaCom..68.1311N, doi:10.1090 / S0025-5718-99-01065-0, HERR 1627813, archiviert von das Original am 30.12.2014abgerufen 2009-03-21.

• Guy, Richard K. (2004). Ungelöste Probleme in der Zahlentheorie (3. Aufl.). Springer-Verlag. A8. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
• Pintz, János (2007). “Cramér gegen Cramér. Nach Cramérs Wahrscheinlichkeitsmodell für Primzahlen”. Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici. 37: 361–376. doi:10.7169 / facm / 1229619660. ISSN 0208-6573. HERR 2363833. Zbl 1226.11096.
• Soundararajan, K. (2007). “Die Verteilung von Primzahlen”. In Granville Andrew; Rudnick, Zeév (Hrsg.). Gleichverteilung in der Zahlentheorie, eine Einführung. Verfahren des NATO Advanced Study Institute zur Gleichverteilung in der Zahlentheorie, Montréal, Kanada, 11.-22. Juli 2005. NATO Science Series II: Mathematik, Physik und Chemie. 237. Dordrecht: Springer-Verlag. S. 59–83. ISBN 978-1-4020-5403-7. Zbl 1141.11043.

Externe Links[edit]