Surreale Zahl – Wikipedia

Eine vollständig geordnete richtige Klasse, die sowohl reelle Zahlen als auch hyperreale Zahlen wie Unendlichkeit und Infinitesimale enthält.

In der Mathematik ist die surreale Zahl System ist eine vollständig geordnete richtige Klasse, die die reellen Zahlen sowie unendliche und infinitesimale Zahlen enthält, deren absoluter Wert größer oder kleiner ist als jede positive reelle Zahl. Die Surrealen teilen viele Eigenschaften mit den Realen, einschließlich der üblichen arithmetischen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division); als solche bilden sie ein geordnetes Feld.^[a] Wenn in der von Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre formuliert, sind die surrealen Zahlen ein universell geordnetes Feld in dem Sinne, dass alle anderen geordneten Felder, wie die Rationalen, die Realen, die rationalen Funktionen, das Levi-Civita-Feld, die superrealen Zahlen und die hyperrealen Zahlen können als Teilfelder der surrealen Zahlen realisiert werden.^[1] Die Surreals enthalten auch alle transfiniten Ordnungszahlen; Die Arithmetik auf ihnen ist durch die natürlichen Operationen gegeben. Es wurde auch gezeigt (in der von Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre), dass das hyperreale Feld der maximalen Klasse isomorph zum surrealen Feld der maximalen Klasse ist; In Theorien ohne das Axiom der globalen Wahl muss dies nicht der Fall sein, und in solchen Theorien ist es nicht unbedingt wahr, dass die Surrealen ein universell geordnetes Feld sind.

Geschichte des Konzepts[edit]

Forschungen von John Horton Conway über das Go-Endspiel führten zur ursprünglichen Definition und Konstruktion der surrealen Zahlen.^[2] Conways Konstruktion wurde 1974 in Donald Knuths Buch vorgestellt Surreale Zahlen: Wie zwei Ex-Studenten sich der reinen Mathematik zuwandten und totales Glück fanden. In seinem Buch, das die Form eines Dialogs hat, hat Knuth den Begriff geprägt surreale Zahlen für das, was Conway einfach genannt hatte Zahlen.^[3] Conway übernahm später Knuths Begriff und verwendete in seinem 1976 erschienenen Buch Surreals zur Analyse von Spielen Über Zahlen und Spiele.

Ein separater Weg zur Definition der Surreals begann 1907, als Hans Hahn die Hahn-Reihe als Verallgemeinerung der formalen Potenzreihen einführte und Hausdorff bestimmte geordnete Mengen namens η einführte_α-Sätze für Ordnungszahlen α und gefragt, ob es möglich ist, eine kompatible geordnete Gruppen- oder Feldstruktur zu finden. 1962 verwendete Alling eine modifizierte Form der Hahn-Reihe, um solche geordneten Felder zu konstruieren, die bestimmten Ordnungszahlen α zugeordnet sind, und 1987 zeigte er, dass die Annahme von α als Klasse aller Ordnungszahlen in seiner Konstruktion eine Klasse ergibt, die ein geordnetes Feld ist, das isomorph zu dem ist surreale Zahlen.^[4]

Wenn die Surrealen als “nur” ein echtes geschlossenes Feld mit der richtigen Klassengröße betrachtet werden, behandelt Allings Papier von 1962 den Fall stark unzugänglicher Kardinäle, die natürlich als richtige Klassen betrachtet werden können, indem die kumulative Hierarchie des Universums eine Stufe über dem Kardinal abgeschnitten wird. und Alling verdient dementsprechend viel Anerkennung für die Entdeckung / Erfindung der Surrealen in diesem Sinne. Es gibt eine wichtige zusätzliche Feldstruktur auf den Surreals, die durch diese Linse jedoch nicht sichtbar ist, nämlich die Vorstellung eines “Geburtstages” und die entsprechende natürliche Beschreibung der Surreals als Ergebnis eines Schnittfüllprozesses entlang ihrer Geburtstage durch Conway. Diese zusätzliche Struktur ist für ein modernes Verständnis der surrealen Zahlen von grundlegender Bedeutung geworden, und Conway wird daher die Entdeckung der Surrealen, wie wir sie heute kennen, zugeschrieben. Alling selbst gibt Conway in einem 1985 erschienenen Artikel vor seinem Buch zu diesem Thema die volle Anerkennung.^[5]

Überblick[edit]

In der Conway-Konstruktion^[6] Die surrealen Zahlen werden in Stufen zusammen mit einer Reihenfolge ≤ so konstruiert, dass für zwei beliebige surreale Zahlen ein und b, ein ≤ b oder b ≤ ein. (In diesem Fall können beide gelten ein und b sind äquivalent und bezeichnen dieselbe Zahl.) Jede Zahl wird aus einem geordneten Paar von bereits konstruierten Teilmengen von Zahlen gebildet: gegebene Teilmengen L. und R. von Zahlen, so dass alle Mitglieder von L. sind streng weniger als alle Mitglieder von R.dann das Paar { L. | R. }} stellt eine Zahl dar, deren Wert zwischen allen Mitgliedern von liegt L. und alle Mitglieder von R..

Verschiedene Untergruppen definieren möglicherweise dieselbe Nummer: { L. | R. }} und { L ‘ | R ‘ }} kann die gleiche Nummer definieren, auch wenn L. ≠ L ‘ und R. ≠ R ‘. (Ein ähnliches Phänomen tritt auf, wenn rationale Zahlen als Quotienten von ganzen Zahlen definiert werden: 1/2 und 2/4 sind unterschiedliche Darstellungen derselben rationalen Zahl.) Streng genommen sind die surrealen Zahlen Äquivalenzklassen von Formdarstellungen { L. | R. }} die die gleiche Nummer bezeichnen.

In der ersten Bauphase gibt es keine zuvor vorhandenen Zahlen, daher muss die einzige Darstellung die leere Menge verwenden: {| }}. Diese Darstellung, wo L. und R. sind beide leer, heißt 0. Nachfolgende Stufen ergeben Formen wie

{0 | }} = 1

{1 | }} = 2

{2 | }} = 3

und

{| 0} = -1

{| −1} = –2

{| −2} = –3

Die ganzen Zahlen sind also in den surrealen Zahlen enthalten. (Die obigen Identitäten sind Definitionen in dem Sinne, dass die rechte Seite ein Name für die linke Seite ist. Dass die Namen tatsächlich angemessen sind, wird deutlich, wenn die arithmetischen Operationen für surreale Zahlen wie im folgenden Abschnitt definiert werden ). Ebenso Darstellungen wie

{0 | 1} = 1/2

{0 | 1/2} = 1/4

{1/2 | 1} = 3/4

entstehen, so dass die dyadischen Rationalitäten (rationale Zahlen, deren Nenner Potenzen von 2 sind) in den surrealen Zahlen enthalten sind.

Nach einer unendlichen Anzahl von Stufen werden unendlich viele Teilmengen verfügbar, so dass jede reelle Zahl ein kann dargestellt werden durch { L._ein | R._ein },
wo L._ein ist die Menge aller dyadischen Rationalen kleiner als ein und
R._ein ist die Menge aller dyadischen Rationalitäten größer als ein (erinnert an einen Dedekind-Schnitt). Somit sind die reellen Zahlen auch in die Surrealen eingebettet.

Es gibt auch Darstellungen wie

{0, 1, 2, 3,… | }} = ω

{0 | 1, 1/2, 1/4, 1/8,…} = ε

wobei ω eine transfinite Zahl ist, die größer als alle ganzen Zahlen ist, und ε eine infinitesimale Zahl ist, die größer als 0, aber kleiner als jede positive reelle Zahl ist. Darüber hinaus können die arithmetischen Standardoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) auf diese nicht reellen Zahlen so erweitert werden, dass die Sammlung surrealer Zahlen in ein geordnetes Feld umgewandelt wird, so dass über 2ω oder ω gesprochen werden kann. 1 und so weiter.

Konstruktion[edit]

Surreale Zahlen werden induktiv als Äquivalenzklassen von Paaren von Sätzen surrealer Zahlen konstruiert, die durch die Bedingung eingeschränkt sind, dass jedes Element der ersten Menge kleiner als jedes Element der zweiten Menge ist. Die Konstruktion besteht aus drei voneinander abhängigen Teilen: der Konstruktionsregel, der Vergleichsregel und der Äquivalenzregel.

Formen[edit]

EIN bilden ist ein Paar surrealer Zahlen, genannt its linker Satz und sein richtig eingestellt. Ein Formular mit linkem Satz L. und richtig eingestellt R. ist geschrieben { L. | R. }}. Wann L. und R. werden als Listen von Elementen angegeben, die Klammern um sie herum werden weggelassen.

Eine oder beide der linken und rechten Menge eines Formulars kann die leere Menge sein. Die Form {{} | {}} Wenn sowohl links als auch rechts leer gesetzt sind, wird ebenfalls geschrieben {| }}.

Numerische Formen[edit]

Konstruktionsregel

Eine Form { L. | R. } ist numerisch wenn der Schnittpunkt von L. und R. ist die leere Menge und jedes Element von R. ist größer als jedes Element von L.gemäß der Ordnungsrelation ≤, die durch die nachstehende Vergleichsregel gegeben ist.

Äquivalenzklassen numerischer Formen[edit]

Die numerischen Formen werden in Äquivalenzklassen eingeteilt. Jede solche Äquivalenzklasse ist a surreale Zahl. Die Elemente der linken und rechten Menge einer Form stammen aus dem Universum der surrealen Zahlen (nicht von Formen, aber von ihren Äquivalenzklassen).

Äquivalenzregel

Zwei numerische Formen x und y sind Formen derselben Zahl (liegen in derselben Äquivalenzklasse), wenn und nur wenn beide x ≤ y und y ≤ x.

Eine Ordnungsbeziehung muss antisymmetrisch sein, dh sie muss die Eigenschaft haben, dass x = y (dh x ≤ y und y ≤ x sind beide wahr) nur wenn x und y sind das gleiche Objekt. Dies ist bei surrealen Zahlen nicht der Fall Formen, ist aber konstruktionsbedingt surreal Zahlen (Äquivalenzklassen).

Die Äquivalenzklasse enthält {| }} ist mit 0 gekennzeichnet; mit anderen Worten, {| }} ist eine Form der surrealen Zahl 0.

Auftrag[edit]

Die rekursive Definition surrealer Zahlen wird durch die Definition des Vergleichs vervollständigt:

Gegebene numerische Formen x = { X._L. | X._R. } und y = { Y._L. | Y._R. }, x ≤ y dann und nur dann, wenn:

• es gibt kein x_L. ∈ X._L. so dass y ≤ x_L. (jedes Element im linken Teil von x ist kleiner als y), und
• es gibt kein y_R. ∈ Y._R. so dass y_R. ≤ x (jedes Element im rechten Teil von y ist größer als x).

Ein Vergleich y ≤ c zwischen einem Formular y und eine surreale Zahl c wird durch Auswahl eines Formulars durchgeführt z aus der Äquivalenzklasse c und bewerten y ≤ z;; und ebenso für c ≤ x und zum Vergleich b ≤ c zwischen zwei surrealen Zahlen.

Induktion[edit]

Diese Gruppe von Definitionen ist rekursiv und erfordert eine Form der mathematischen Induktion, um das Universum der in ihnen vorkommenden Objekte (Formen und Zahlen) zu definieren. Die einzigen surrealen Zahlen, die über erreichbar sind endliche Induktion sind die dyadischen Fraktionen; Ein breiteres Universum ist bei irgendeiner Form der transfiniten Induktion erreichbar.

Induktionsregel

• Es gibt eine Generation S.₀ = {0}, wobei 0 aus der Einzelform {| besteht }.
• Bei gegebener Ordnungszahl n, die Generation S._n ist die Menge aller surrealen Zahlen, die durch die Konstruktionsregel aus Teilmengen von erzeugt werden
  ∪ich<nS.ich{ displaystyle cup _ {i
  .

Der Basisfall ist eigentlich ein Sonderfall der Induktionsregel, wobei 0 als Bezeichnung für die verwendet wird “am wenigsten ordinal”. Da gibt es keine S._ich mit ich <0, der Ausdruck

∪ich<0S.ich{ displaystyle cup _ {i <0} S_ {i}}

ist die leere Menge; Die einzige Teilmenge der leeren Menge ist die leere Menge, und daher S.₀ besteht aus einer einzigen surrealen Form {| } in einer einzigen Äquivalenzklasse 0 liegen.

Für jede endliche Ordnungszahl n, S._n ist durch die durch die Vergleichsregel für die surrealen Zahlen induzierte Ordnung gut geordnet.

Die erste Iteration der Induktionsregel erzeugt die drei numerischen Formen {| 0}

Für jeden ich < n, da jede gültige Form in S._ich ist auch eine gültige Form in S._n, alle Zahlen in S._ich erscheinen auch in S._n (als Obermengen ihrer Darstellung in S._ich). (Der Ausdruck für die festgelegte Vereinigung erscheint in unserer Konstruktionsregel und nicht in der einfacheren Form S._n-1, so dass die Definition auch dann Sinn macht, wenn n ist eine Grenzwert-Ordnungszahl.) Zahlen in S._n das sind eine Obermenge von einigen in S._ich sollen gewesen sein vererbt von Generation zu Generation ich. Der kleinste Wert von α, für den eine gegebene surreale Zahl in erscheint S._α heißt seine Geburtstag. Zum Beispiel ist der Geburtstag von 0 0 und der Geburtstag von -1 ist 1.

Eine zweite Iteration der Konstruktionsregel ergibt die folgende Reihenfolge der Äquivalenzklassen:

{| −1} = {| −1, 0} = {| −1, 1} = {| −1, 0, 1}

Der Vergleich dieser Äquivalenzklassen ist unabhängig von der Wahl der Form konsistent. Es folgen drei Beobachtungen:

1. S.₂ enthält vier neue surreale Zahlen. Zwei enthalten extreme Formen: {| −1, 0, 1} enthält alle Zahlen früherer Generationen in der richtigen Menge und {−1, 0, 1 | } enthält alle Zahlen früherer Generationen in der linken Gruppe. Die anderen haben eine Form, die alle Zahlen früherer Generationen in zwei nicht leere Mengen unterteilt.
2. Jede surreale Zahl x das existierte in der vorherigen “Generation” existiert auch in dieser Generation und enthält mindestens eine neue Form: eine Partition aller Zahlen außer x von früheren Generationen in eine linke Menge (alle Zahlen kleiner als x) und eine richtige Menge (alle Zahlen größer als x).
3. Die Äquivalenzklasse einer Zahl hängt nur vom maximalen Element ihrer linken Menge und vom minimalen Element der rechten Menge ab.

Die informellen Interpretationen von {1 | } und {| −1} sind “die Zahl kurz nach 1” und “die Zahl kurz vor -1” beziehungsweise; ihre Äquivalenzklassen sind mit 2 und -2 bezeichnet. Die informellen Interpretationen von {0 | 1} und {−1 | 0} sind “die Zahl auf halbem Weg zwischen 0 und 1” und “die Zahl auf halbem Weg zwischen -1 und 0” beziehungsweise; ihre Äquivalenzklassen sind gekennzeichnet ¹/.₂ und –¹/.₂. Diese Bezeichnungen werden auch durch die folgenden Regeln für die surreale Addition und Multiplikation gerechtfertigt.

Die Äquivalenzklassen in jeder Phase n der Induktion kann durch ihre charakterisiert werden n– –Formulare ausfüllen (jedes enthält so viele Elemente wie möglich früherer Generationen in seiner linken und rechten Menge). Entweder enthält dieses vollständige Formular jeder Nummer aus früheren Generationen in der linken oder rechten Menge. In diesem Fall ist dies die erste Generation, in der diese Nummer vorkommt. oder es enthält alle Zahlen früherer Generationen bis auf eine. In diesem Fall handelt es sich um eine neue Form dieser einen Zahl. Für diese behalten wir die Etiketten der Vorgängergeneration bei “alt” Zahlen, und schreiben Sie die Reihenfolge oben mit den alten und neuen Etiketten:

−2 1/.₂ <0 ¹/.₂ <1 <2.

Die dritte Beobachtung erstreckt sich auf alle surrealen Zahlen mit endlichen linken und rechten Mengen. (Für unendliche linke oder rechte Mengen gilt dies in geänderter Form, da unendliche Mengen möglicherweise kein maximales oder minimales Element enthalten.) Die Zahl {1, 2 | 5, 8} entspricht daher {2 | 5}; man kann feststellen, dass dies Formen von 3 sind, indem man die Geburtstagseigentum, was eine Folge der obigen Regeln ist.

Geburtstagseigentum

Eine Form x = { L. | R. } in der Generation auftreten n stellt eine Zahl dar, die von einer früheren Generation geerbt wurde ich < n genau dann, wenn eine Nummer drin ist S._ich das ist größer als alle Elemente von L. und weniger als alle Elemente der R.. (Mit anderen Worten, wenn L. und R. sind dann schon durch eine früher erstellte Nummer getrennt x stellt keine neue, sondern eine bereits konstruierte Zahl dar.) Wenn x repräsentiert eine Zahl aus einer früheren Generation als ngibt es zumindest eine solche Generation ichund genau eine Zahl c mit diesem geringsten ich wie sein Geburtstag liegt dazwischen L. und R.. x ist eine Form davon cdh es liegt in der Äquivalenzklasse in S._n das ist eine Obermenge der Darstellung von c in der Generation ich.

Arithmetik[edit]

Die Addition, Negation (additive Inverse) und Multiplikation der surrealen Zahl Formen x = { X._L. | X._R. } und y = { Y._L. | Y._R. } werden durch drei rekursive Formeln definiert.

Negation[edit]

Negation einer bestimmten Zahl x = { X._L. | X._R. }} ist definiert durch

– –x=– –{X.L.|X.R.}}={– –X.R.|– –X.L.}}{ displaystyle -x = – {X_ {L} | X_ {R} } = {- X_ {R} | -X_ {L} }}

,

wo die Negation eines Satzes S. von Zahlen ist gegeben durch die Menge der negierten Elemente von S.::

– –S.={– –s::s∈S.}}{ displaystyle -S = {- s: s in S }}

.

Diese Formel beinhaltet die Negation des Surrealen Zahlen erscheint in den linken und rechten Sätzen von x, was als Ergebnis der Auswahl einer Form der Zahl, der Bewertung der Negation dieser Form und der Verwendung der Äquivalenzklasse der resultierenden Form zu verstehen ist. Dies ist nur dann sinnvoll, wenn das Ergebnis unabhängig von der Wahl der Form des Operanden gleich ist. Dies kann induktiv anhand der Tatsache bewiesen werden, dass die Zahlen in auftreten X._L. und X._R. stammen aus Generationen früher als die, in der die Form x tritt zuerst auf und beobachtet den Sonderfall:

– –0=– –{|}}={|}}=0{ displaystyle -0 = – {| } = {| } = 0}

.

Zusatz[edit]

Die Definition der Addition ist auch eine rekursive Formel:

x+y={X.L.|X.R.}}+{Y.L.|Y.R.}}={X.L.+y,x+Y.L.|X.R.+y,x+Y.R.}}{ displaystyle x + y = {X_ {L} | X_ {R} } + {Y_ {L} | Y_ {R} } = {X_ {L} + y, x + Y_ {L} | X_ {R} + y, x + Y_ {R} }}

,

wo

X.+y={x+y::x∈X.}},x+Y.={x+y::y∈Y.}}{ Anzeigestil X + y = {x + y: x in X }, x + Y = {x + y: y in Y }}

.

Diese Formel beinhaltet Summen eines der ursprünglichen Operanden und eines surrealen Nummer gezeichnet von der linken oder rechten Menge der anderen. Diese sind als Ergebnis der Auswahl einer Form des numerischen Operanden, der Ausführung der Summe der beiden Formen und der Verwendung der Äquivalenzklasse der resultierenden Form zu verstehen. Dies ist nur dann sinnvoll, wenn das Ergebnis unabhängig von der Wahl der Form des numerischen Operanden gleich ist. Dies kann auch in den Sonderfällen induktiv nachgewiesen werden:

0 + 0 = {| } + {| } = {| } = 0

x + 0 = x + {| } = { X._L. + 0 | X._R. + 0} = { X._L. | X._R. } = x

0 + y = {| } + y = {0 + Y._L. | 0 + Y._R. } = { Y._L. | Y._R. } = y

(Die beiden letztgenannten Fälle sind selbst induktiv bewiesen.)

Multiplikation[edit]

Die rekursive Multiplikationsformel enthält arithmetische Ausdrücke, an denen die Operanden und ihre linken und rechten Mengen beteiligt sind, z. B. den Ausdruck

X.R.y+xY.R.– –X.R.Y.R.{ displaystyle X_ {R} y + xY_ {R} -X_ {R} Y_ {R}}

das erscheint im linken Satz des Produkts von x und y. Dies ist als die Menge surrealer Zahlen zu verstehen, die sich aus der Auswahl einer Zahl aus jeder Menge ergibt, die im Ausdruck erscheint, und der Bewertung des Ausdrucks auf diesen Zahlen. (Bei jeder einzelnen Bewertung des Ausdrucks wird nur eine Zahl aus jedem Satz ausgewählt und an jeder Stelle ersetzt, an der dieser Satz im Ausdruck erscheint.)

Dies hängt wiederum von der Fähigkeit ab, (a) surreale Paare zu multiplizieren Zahlen gezeichnet von den linken und rechten Sätzen von x und y eine surreale Zahl zu erhalten und das Ergebnis zu negieren; (b) multipliziere die surreale Zahl bilden x oder y und ein surrealer Nummer aus der linken oder rechten Menge des anderen Operanden gezogen, um eine surreale Zahl zu erhalten; und (c) Addiere die resultierenden surrealen Zahlen. Dies betrifft wiederum Sonderfälle, die diesmal 0 = {| enthalten }, die multiplikative Identität 1 = {0 | } und sein Additiv invers -1 = {| 0}.

xy={X.L.|X.R.}}{Y.L.|Y.R.}}={X.L.y+xY.L.– –X.L.Y.L.,X.R.y+xY.R.– –X.R.Y.R.|X.L.y+xY.R.– –X.L.Y.R.,xY.L.+X.R.y– –X.R.Y.L.}}{ displaystyle { begin {align} xy & = {X_ {L} | X_ {R} } {Y_ {L} | Y_ {R} } \ & = left {X_ {L} y + xY_ {L} -X_ {L} Y_ {L}, X_ {R} y + xY_ {R} -X_ {R} Y_ {R} | X_ {L} y + xY_ {R} -X_ {L} Y_ {R}, xY_ {L} + X_ {R} y-X_ {R} Y_ {L} rechts } \ Ende {ausgerichtet}}}

Teilung[edit]

Die Definition der Division erfolgt in Bezug auf den Kehrwert und die Multiplikation:

xy=x((1y){ displaystyle { frac {x} {y}} = x left ({ frac {1} {y}} right)}

wo

1y={0,1+((yR.– –y)((1y)L.yR.,1+((yL.– –y)((1y)R.yL.|1+((yL.– –y)((1y)L.yL.,1+((yR.– –y)((1y)R.yR.}}{ displaystyle { frac {1} {y}} = { Bigg {} 0, { frac {1+ (y_ {R} -y) ({ frac {1} {y}}) _ { L}} {y_ {R}}}, { frac {1+ (y_ {L} -y) ({ frac {1} {y}}) _ {R}} {y_ {L}}} { Bigg |} { frac {1+ (y_ {L} -y) ({ frac {1} {y}}) _ {L}} {y_ {L}}}, { frac {1+ ( y_ {R} -y) ({ frac {1} {y}}) _ {R}} {y_ {R}}} { Bigg }}}

^[6]::21

für positiv

y{ textstyle y}

. Nur positiv

yL.{ textstyle y_ {L}}

sind in der Formel zulässig, wobei nicht positive Begriffe ignoriert werden (und

yR.{ textstyle y_ {R}}

sind immer positiv). Diese Formel beinhaltet nicht nur eine Rekursion, um durch Zahlen aus der linken und rechten Menge von dividieren zu können

y{ textstyle y}

, aber auch Rekursion, dass die Mitglieder der linken und rechten Menge von

1y{ textstyle { frac {1} {y}}}

selbst.

0{ textstyle 0}

ist immer ein Mitglied der linken Menge von

1y{ textstyle { frac {1} {y}}}

, und das kann verwendet werden, um rekursiv mehr Begriffe zu finden. Zum Beispiel, wenn

y=3={2|}}{ textstyle y = 3 = {2 | }}

, dann kennen wir einen linken Begriff von

13{ textstyle { frac {1} {3}}}

wird sein

0{ textstyle 0}

. Dies bedeutet wiederum

1+((2– –3)02=1/.2{ textstyle { frac {1+ (2-3) 0} {2}} = 1/2}

ist ein richtiger Begriff. Das heisst

1+((2– –3)((12)2=14{ textstyle { frac {1+ (2-3) left ({ frac {1} {2}} right)} {2}} = { frac {1} {4}}}

ist ein linker Begriff. Das heisst

1+((2– –3)((14)2=38{ textstyle { frac {1+ (2-3) left ({ frac {1} {4}} right)} {2}} = { frac {3} {8}}}

wird ein richtiger Begriff sein. Weiter gibt es

13={0,14,516,…|12,38,…}}{ textstyle { frac {1} {3}} = {0, { frac {1} {4}}, { frac {5} {16}}, ldots | { frac {1} { 2}}, { frac {3} {8}}, ldots }}

.

Für negativ

y{ textstyle y}

,

1y{ textstyle { frac {1} {y}}}

ist gegeben durch

1y=– –((1– –y){ textstyle { frac {1} {y}} = – left ({ frac {1} {- y}} right)}

. Wenn

y=0{ displaystyle y = 0}

, dann

1y{ displaystyle { frac {1} {y}}}

ist nicht definiert.

Konsistenz[edit]

Es kann gezeigt werden, dass die Definitionen von Negation, Addition und Multiplikation in dem Sinne konsistent sind, dass:

• Addition und Negation werden rekursiv definiert in Bezug auf “einfacher” Additions- und Negationsschritte, damit Operationen mit Zahlen mit Geburtstag n wird schließlich vollständig in Form von Operationen an Zahlen mit Geburtstagen unter ausgedrückt n;;
• Die Multiplikation wird rekursiv in Form von Additionen, Negationen und definiert “einfacher” Multiplikationsschritte, so dass das Produkt von Zahlen mit Geburtstag n wird schließlich vollständig in Summen und Unterschieden von Produkten von Zahlen mit Geburtstagen kleiner als ausgedrückt n;;
• Solange die Operanden gut definierte surreale Zahlenformen sind (jedes Element der linken Menge ist kleiner als jedes Element der rechten Menge), sind die Ergebnisse wiederum gut definierte surreale Zahlenformen.
• Die Operationen können erweitert werden auf Zahlen (Äquivalenzklassen von Formen): das Ergebnis des Negierens x oder addieren oder multiplizieren x und y wird die gleiche Zahl darstellen, unabhängig von der Wahl der Form von x und y;; und
• Diese Operationen gehorchen den Axiomen Assoziativität, Kommutativität, additive Inverse und Verteilungsfähigkeit bei der Definition eines Feldes mit additiver Identität 0 = {| } und multiplikative Identität 1 = {0 | }.

Mit diesen Regeln kann man nun überprüfen, ob die in den ersten Generationen gefundenen Nummern richtig beschriftet wurden. Die Konstruktionsregel wird wiederholt, um mehr Generationen von Surreals zu erhalten:

S.₀ = {0}

S.₁ = {−1 <0 <1}

S.₂ = {−2 1/.₂ <0 ¹/.₂ <1 <2}

S.₃ = {−3 3/.₂ 3/.₄ 1/.₂ 1/.₄ <0 ¹/.₄ < ¹/.₂ < ³/.₄ <1 ³/.₂ <2 <3}

S.₄ = {−4 1/.₈ <0 ¹/.₈ < ¹/.₄ < ³/.₈ < ¹/.₂ < ⁵/.₈ < ³/.₄ < ⁷/.₈ <1 ⁵/.₄ < ³/.₂ < ⁷/.₄ <2 ⁵/.₂ <3 <4}

Arithmetischer Abschluss[edit]

Für jede natürliche Zahl (endliche Ordnungszahl) n, alle Zahlen generiert in S._n sind dyadische Brüche, dh können als irreduzible Brüche geschrieben werden

ein2b{ displaystyle { frac {a} {2 ^ {b}}}}

wo ein und b sind ganze Zahlen und 0 ≤ b < n.

Die Menge aller surrealen Zahlen, die in einigen generiert werden S._n für endlich n kann bezeichnet werden als S._{* *} =

∪n∈N.S.n{ displaystyle cup _ {n in N} S_ {n}}

. Man kann die drei Klassen bilden S.₀ = {0}, S.₊ =

{x∈S.∗::x>0}}{ displaystyle {x in S _ {*}: x> 0 }}

{x∈S.∗::x<0}}{ displaystyle {x in S _ {*}: x <0 }}

, von welchem S._{* *} ist die Gewerkschaft. Keine Person S._n wird unter Addition und Multiplikation geschlossen (außer S.₀), aber S._{* *} ist; es ist der Teilring der Rationalen, der aus allen dyadischen Fraktionen besteht.

Es gibt unendliche Ordnungszahlen β, für die die Menge der surrealen Zahlen mit einem Geburtstag kleiner als β unter den verschiedenen arithmetischen Operationen geschlossen ist.^[7] Für jede Ordnungszahl α ist die Menge der surrealen Zahlen mit einem Geburtstag kleiner als β = ω^α (unter Verwendung von Potenzen von ω) wird unter Addition geschlossen und bildet eine Gruppe; zum Geburtstag weniger als ω^ωα es wird unter Multiplikation geschlossen und bildet einen Ring;^[b] und zum Geburtstag weniger als eine (ordinale) Epsilonzahl ε_α es wird unter multiplikativer Inverse geschlossen und bildet ein Feld. Die letzteren Mengen werden auch unter der von Kruskal und Gonshor definierten Exponentialfunktion geschlossen.^{[7][8]((CH. 10)[7]}

Es ist jedoch immer möglich, eine surreale Zahl zu konstruieren, die größer ist als jedes Mitglied einer Menge (indem die Menge auf der linken Seite des Konstruktors eingeschlossen wird), und daher ist die Sammlung surrealer Zahlen eine geeignete Klasse. Mit ihren Ordnungs- und algebraischen Operationen bilden sie ein geordnetes Feld, mit der Einschränkung, dass sie keine Menge bilden. Tatsächlich ist es ein ganz speziell geordnetes Feld: das größte. Jedes andere geordnete Feld kann in die Surreals eingebettet werden. Die Klasse aller surrealen Zahlen wird durch das Symbol gekennzeichnet

N.Ö{ displaystyle mathbf {No}}

.

Unendlichkeit[edit]

Definieren S._ω als die Menge aller surrealen Zahlen, die durch die Konstruktionsregel aus Teilmengen von erzeugt werden S._{* *}. (Dies ist der gleiche induktive Schritt wie zuvor, da die Ordnungszahl ω die kleinste Ordnungszahl ist, die größer als alle natürlichen Zahlen ist. Die im induktiven Schritt auftretende Mengenvereinigung ist jedoch jetzt eine unendliche Vereinigung endlicher Mengen, und so dieser Schritt kann nur in einer Mengenlehre durchgeführt werden, die eine solche Vereinigung erlaubt.) Eine eindeutige unendlich große positive Zahl tritt in auf S._ω::

ω={S.∗|}}={1,2,3,4,...|}}.{ displaystyle omega = {S _ {*} | } = {1,2,3,4, … | }.}

S._ω enthält auch Objekte, die als rationale Zahlen identifiziert werden können. Zum Beispiel die ω-vollständige Form der Fraktion ¹/.₃ ist gegeben durch:

13={y∈S.∗::3y<1|y∈S.∗::3y>1}}{ displaystyle { tfrac {1} {3}} = {y in S _ {*}: 3y<1|yin S_{*}:3y>1 }}

π={3,258,20164,...|4,72,134,5116,...}}{ displaystyle pi = {3, { frac {25} {8}}, { frac {201} {64}}, … | 4, { frac {7} {2}}, { frac {13} {4}}, { frac {51} {16}}, … }}

.

Die einzigen Unendlichkeiten in S._ω sind ω und −ω; aber es gibt andere nicht reelle Zahlen in S._ω unter den Reals. Betrachten Sie die kleinste positive Zahl in S._ω::

ε={S.– –∪S.0|S.+}}={0|1,12,14,18,...}}={0|y∈S.∗::y>0}}{ displaystyle varepsilon = {S _ {-} cup S_ {0} | S _ {+} } = {0 | 1, { tfrac {1} {2}}, { tfrac {1} { 4}}, { tfrac {1} {8}}, … } = {0 | y in S _ {*}: y> 0 }}

S.ω2{ displaystyle S _ { omega ^ {2}}}

. In einem solchen System kann man zeigen, dass alle Elemente der linken Menge von ω · ε positive Infinitesimale sind und alle Elemente der rechten Menge positive Infinites sind, und daher ist ω · ε die älteste positive endliche Zahl, dh 1 . Folglich,

¹/._ε = ω.

Einige Autoren verwenden systematisch ω⁻¹ anstelle des Symbols ε.

Inhalt von S._ω[edit]

Gegeben irgendwelche x = { L. | R. } im S._ω, genau eines der folgenden ist wahr:

• L. und R. sind in diesem Fall beide leer x = 0;
• R. ist leer und eine ganze Zahl n≥0 ist größer als jedes Element von L., in welchem ​​Fall x entspricht der kleinsten solchen ganzen Zahl n;;
• R. ist leer und keine ganze Zahl n ist größer als jedes Element von L., in welchem ​​Fall x gleich + ω;
• L. ist leer und eine ganze Zahl n≤0 ist kleiner als jedes Element von R., in welchem ​​Fall x entspricht der größten solchen ganzen Zahl n;;
• L. ist leer und keine ganze Zahl n ist weniger als jedes Element von R., in welchem ​​Fall x gleich -ω;
• L. und R. sind beide nicht leer und:
  • etwas dyadische Fraktion y ist “streng zwischen” L. und R. (größer als alle Elemente von L. und weniger als alle Elemente von R.), in welchem ​​Fall x entspricht der ältesten derartigen dyadischen Fraktion y;;
  • keine dyadische Fraktion y liegt streng dazwischen L. und R., aber eine dyadische Fraktion
    y∈L.{ displaystyle y in L}
    ist größer oder gleich allen Elementen von L. und weniger als alle Elemente von R., in welchem ​​Fall x gleich y+ ε;
  • keine dyadische Fraktion y liegt streng dazwischen L. und R., aber eine dyadische Fraktion
    y∈R.{ displaystyle y in R}
    ist größer als alle Elemente von L. und kleiner oder gleich allen Elementen von R., in welchem ​​Fall x gleich y-ε;
  • Jede dyadische Fraktion ist entweder größer als irgendein Element von R. oder weniger als irgendein Element von L., in welchem ​​Fall x ist eine reelle Zahl, die nicht als dyadische Fraktion dargestellt wird.

S._ω ist kein algebraisches Feld, weil es unter arithmetischen Operationen nicht geschlossen ist; Betrachten Sie ω + 1, dessen Form

{1,2,3,4,...|}}+{0|}}={1,2,3,4,...,ω|}}{ displaystyle {1,2,3,4, … | } + {0 | } = {1,2,3,4, …, omega | }}

liegt in keiner Zahl in S._ω. Die maximale Teilmenge von S._ω Das heißt, unter (endlichen Reihen von) arithmetischen Operationen ist das Feld der reellen Zahlen geschlossen, das durch Weglassen der Unendlichkeiten ± ω, der Infinitesimalen ± ε und der infinitesimalen Nachbarn erhalten wird y± ε jeder dyadischen Fraktion ungleich Null y.

Diese Konstruktion der reellen Zahlen unterscheidet sich von den Dedekind-Schnitten der Standardanalyse darin, dass sie eher von dyadischen Fraktionen als von allgemeinen Begründungen ausgeht und natürlich jede dyadische Fraktion in identifiziert S._ω mit seinen Formen in früheren Generationen. (Die ω-vollständigen Formen realer Elemente von S._ω stehen in Eins-zu-Eins-Entsprechung mit den durch Dedekind-Schnitte erhaltenen Realwerten, unter der Voraussetzung, dass Dedekind-Realwerte, die rationalen Zahlen entsprechen, durch die Form dargestellt werden, in der der Schnittpunkt sowohl in der linken als auch in der rechten Menge weggelassen wird.) Die Rationals sind es nicht eine identifizierbare Phase in der surrealen Konstruktion; Sie sind lediglich die Teilmenge Q. von S._ω enthält alle Elemente x so dass x b = ein für einige ein und etwas ungleich Null b, beide gezeichnet von S._{* *}. Indem wir das demonstrieren Q. Wird unter einzelnen Wiederholungen der surrealen arithmetischen Operationen geschlossen, kann man zeigen, dass es sich um ein Feld handelt; und indem wir zeigen, dass jedes Element von Q. ist erreichbar von S._{* *} durch eine endliche Reihe (eigentlich nicht länger als zwei) von arithmetischen Operationen einschließlich multiplikativer Inversionkann man das zeigen Q. ist streng kleiner als die Teilmenge von S._ω identifiziert mit den Reals.

Der Satz S._ω hat die gleiche Kardinalität wie die reellen Zahlen R.. Dies kann demonstriert werden, indem surjektive Abbildungen von gezeigt werden S._ω auf das geschlossene Einheitsintervall ich von R. und umgekehrt. Kartierung S._ω auf zu ich ist Routine; Kartennummern kleiner oder gleich ε (einschließlich -ω) auf 0, Zahlen größer oder gleich 1-ε (einschließlich ω) auf 1 und Zahlen zwischen ε und 1-ε auf ihr Äquivalent in ich (Abbildung der infinitesimalen Nachbarn y± ε jeder dyadischen Fraktion y, zusammen mit y selbst, zu y). Zuordnen ich auf zu S._ω, kartiere das (offene) zentrale Drittel (1/3, 2/3) von ich auf {| } = 0; das mittlere Drittel (7/9, 8/9) des oberen Drittels auf {0 | } = 1; und so weiter. Dies bildet ein nicht leeres offenes Intervall von ab ich auf jedes Element von S._{* *}monoton. Der Rückstand von ich besteht aus dem Cantor-Set 2^ω, wobei jeder Punkt durch eine Aufteilung der zentralen Drittelintervalle in linke und rechte Mengen eindeutig identifiziert wird, die genau einer Form entsprechen { L. | R. } im S._ω. Dies versetzt den Cantor-Satz in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit dem Satz surrealer Zahlen mit Geburtstag ω.

Transfinite Induktion[edit]

Fortsetzung der transfiniten Induktion darüber hinaus S._ω erzeugt mehr Ordnungszahlen α, wobei jede als die größte surreale Zahl mit Geburtstag α dargestellt wird. (Dies ist im Wesentlichen eine Definition der Ordnungszahlen, die sich aus der transfiniten Induktion ergeben.) Die erste solche Ordnungszahl ist ω + 1 = {ω | }. Es gibt eine weitere positive unendliche Zahl in der Generation ω + 1:

ω – 1 = {1, 2, 3, 4, … | ω}.

Die surreale Zahl ω – 1 ist keine Ordnungszahl; Die Ordnungszahl ω ist nicht der Nachfolger einer Ordnungszahl. Dies ist eine surreale Zahl mit Geburtstag ω + 1, die mit ω – 1 bezeichnet wird, weil sie mit der Summe von ω = {1, 2, 3, 4, … | übereinstimmt } und −1 = {| 0}. In ähnlicher Weise gibt es zwei neue Infinitesimalzahlen in der Generation ω + 1:

2ε = ε + ε = {ε | 1 + ε, ¹/.₂+ ε, ¹/.₄+ ε, ¹/.₈+ ε, …} und

ε / 2 = ε · ¹/.₂ = {0 | ε}.

In einem späteren Stadium der transfiniten Induktion gibt es eine Zahl größer als ω +k für alle natürlichen Zahlen k::

2ω = ω + ω = {ω + 1, ω + 2, ω + 3, ω + 4, … | }}

Diese Zahl kann sowohl mit ω + ω bezeichnet werden, weil ihr Geburtstag ω + ω ist (die erste Ordnungszahl, die durch die Nachfolgeoperation von ω nicht erreichbar ist) als auch weil sie mit der surrealen Summe von ω und ω zusammenfällt; es kann auch mit 2ω bezeichnet werden, da es mit dem Produkt von ω = {1, 2, 3, 4, … | übereinstimmt } und 2 = {1 | }. Es ist die zweite Ordnungsgrenze; Um es von ω über den Konstruktionsschritt zu erreichen, ist eine transfinite Induktion erforderlich

⋃k<ωS.ω+k{ displaystyle bigcup _ {k < omega} S _ { omega + k}}

. Dies beinhaltet eine unendliche Vereinigung von unendlichen Mengen, die a ist “stärker” Stellen Sie die theoretische Operation als die vorherige erforderliche transfinite Induktion ein.

Notiere dass der konventionell Das Hinzufügen und Multiplizieren von Ordnungszahlen fällt nicht immer mit diesen Operationen in ihren surrealen Darstellungen zusammen. Die Summe der Ordnungszahlen 1 + ω ist gleich ω, aber die surreale Summe ist kommutativ und ergibt 1 + ω = ω + 1> ω. Die Addition und Multiplikation der mit Ordnungszahlen verbundenen surrealen Zahlen fällt mit der natürlichen Summe und dem natürlichen Produkt von Ordnungszahlen zusammen.

Ebenso ist 2ω größer als ω + n für jede natürliche Zahl ngibt es eine surreale Zahl ω / 2, die unendlich, aber kleiner als ω – ist n für jede natürliche Zahl n. Das heißt, ω / 2 ist definiert durch

ω / 2 = { S._{* *} | ω – S._{* *} }}

wo auf der rechten Seite die Notation x – – Y. wird verwendet, um {zu bedeuten x – – y :: y im Y. }. Es kann als das Produkt von ω und der Form {0 | identifiziert werden 1} von ¹/.₂. Der Geburtstag von ^ω/.₂ ist die Ordnungsgrenze ω2.

Potenzen von ω[edit]

Um die zu klassifizieren “Aufträge” von unendlichen und infinitesimalen surrealen Zahlen, auch als archimedische Klassen bekannt, Conway, die jeder surrealen Zahl zugeordnet sind x die surreale Zahl

• ω^x = {0, r ω^x_L. | s ω^x_R. },

wo r und s Bereich über die positiven reellen Zahlen. Wenn x < y dann ω^y ist “unendlich größer” als ω^x, dass es größer ist als r ω^x für alle reellen Zahlen r. Potenzen von ω erfüllen auch die Bedingungen

• ω^x ω^y = ω^{x + y},
• ω^{– –x} = 1 / ω^x,

Sie verhalten sich also so, wie man es von Kräften erwarten würde.

Jede Potenz von ω hat auch die erlösende Eigenschaft, die zu sein am einfachsten surreale Zahl in seiner archimedischen Klasse; Umgekehrt enthält jede archimedische Klasse innerhalb der surrealen Zahlen ein einzigartiges einfachstes Mitglied. Also für jede positive surreale Zahl x es wird immer eine positive reelle Zahl geben r und eine surreale Zahl y damit x – – r ω^y ist “unendlich kleiner” als x. Der Exponent y ist der “Basis-ω-Logarithmus” von x, definiert auf den positiven Surreals; Es kann gezeigt werden, dass Protokoll_ω ordnet die positiven Surreals den Surreals und diesem Protokoll zu_ω((xy) = log_ω((x) + log_ω((y).

Dies wird durch transfinite Induktion erweitert, so dass jede surreale Zahl x hat ein “normale Form” analog zur Cantor-Normalform für Ordnungszahlen. Jede surreale Zahl kann eindeutig als geschrieben werden

• x = r₀ ω^y₀ + r₁ ω^y₁ + …,

wo jeder r_α ist eine reelle Zahl ungleich Null und die y_αs bilden eine streng abnehmende Folge surrealer Zahlen. Diese “Summe”kann jedoch unendlich viele Terme haben und hat im Allgemeinen die Länge einer beliebigen Ordnungszahl. (Null entspricht natürlich dem Fall einer leeren Sequenz und ist die einzige surreale Zahl ohne führenden Exponenten.)

Auf diese Weise betrachtet ähneln die surrealen Zahlen einem Potenzreihenfeld, außer dass die abnehmenden Folgen von Exponenten durch eine Ordnungszahl in der Länge begrenzt werden müssen und nicht so lang sein dürfen wie die Klasse der Ordnungszahlen. Dies ist die Grundlage für die Formulierung der surrealen Zahlen als Hahn-Reihe.

Lücken und Kontinuität[edit]

Im Gegensatz zu den reellen Zahlen hat eine (richtige) Teilmenge der surrealen Zahlen keine kleinste obere (oder untere) Grenze, es sei denn, sie hat ein maximales (minimales) Element. Conway definiert^[6] eine Lücke als {L. | R.}, L. < R., L. ∪ R. = 𝐍𝐨; Dies ist keine Zahl, da mindestens eine der Seiten eine richtige Klasse ist. Obwohl ähnlich, sind die Lücken nicht ganz die gleichen wie bei den Dedekind-Abschnitten.^[c] aber wir können immer noch über eine Fertigstellung sprechen 𝐍𝐨^𝕯 der surrealen Zahlen mit der natürlichen Ordnung, die ein (richtig klassengroßes) lineares Kontinuum ist.

Zum Beispiel gibt es nicht zuletzt positive unendliche surreale, aber die Lücke ∞ = {x: ∃ n ∈ ∈: x < n | x: ∀ n ∈ ∈: x > n} ist größer als alle reellen Zahlen und kleiner als alle positiven unendlichen Surreals und somit die kleinste Obergrenze der Realzahlen in 𝐍𝐨^𝕯. Ebenso ist die Lücke 𝐎𝐧 = {𝐍𝐨 | } ist größer als alle surrealen Zahlen. (Dies ist ein esoterisches Wortspiel: In der allgemeinen Konstruktion von Ordnungszahlen ist α “ist” die Menge der Ordnungszahlen kleiner als α und wir können diese Äquivalenz verwenden, um α = {α | zu schreiben } in den surrealen; 𝐎𝐧 bezeichnet die Klasse der Ordnungszahlen, und weil 𝐎𝐧 in 𝐍𝐨 cofinal ist, haben wir {𝐍𝐨 | } = {𝐎𝐧 | } = 𝐎𝐧 durch Erweiterung).

Mit ein wenig satztheoretischer Sorgfalt^[d] 𝐍𝐨 kann mit einer Topologie ausgestattet werden, bei der die offenen Mengen Vereinigungen offener Intervalle sind (durch geeignete Sätze indiziert) und kontinuierliche Funktionen definiert werden können. Ein Äquivalent von Cauchy-Sequenzen kann ebenfalls definiert werden, obwohl sie durch die Klasse der Ordnungszahlen indiziert werden müssen; Diese konvergieren immer, aber die Grenze kann entweder eine Zahl oder eine Lücke sein, die als ∑ ausgedrückt werden kann_{α∈𝐍𝐨}r_αω^ein_α mit
ein_α abnehmend und ohne Untergrenze in 𝐍𝐨. (Alle diese Lücken können als Cauchy-Sequenzen selbst verstanden werden, aber es gibt andere Arten von Lücken, die keine Grenzen haben, wie z. B. ∞ und 𝐎𝐧).

Exponentialfunktion[edit]

Basierend auf unveröffentlichten Arbeiten von Kruskal, einer Konstruktion (durch transfinite Induktion), die die reale Exponentialfunktion exp erweitert (x) (mit Basis e) zu den Surreals wurde von Gonshor durchgeführt.^{[8]((CH. 10)}

Andere Exponentiale[edit]

Die Potenzen der ω-Funktion sind ebenfalls eine Exponentialfunktion, haben jedoch nicht die gewünschten Eigenschaften für eine Erweiterung der Funktion auf den Realwerten. Es wird jedoch für die Entwicklung der Basis benötigt.e exponentiell, und es ist diese Funktion, die immer dann gemeint ist, wenn die Notation ω^x wird im Folgenden verwendet.

Wann y ist eine dyadische Fraktion, die Potenzfunktion x ∈ Nein, x ↦ x^y kann aus Multiplikation, multiplikativer Inverse und Quadratwurzel bestehen, die alle induktiv definiert werden können. Seine Werte werden vollständig durch die Grundbeziehung bestimmt x^{y + z} = x^y· X.^z, und wo definiert, stimmt es notwendigerweise mit jeder anderen möglichen Potenzierung überein.

Grundlegende Induktion[edit]

Die Induktionsschritte für das surreale Exponential basieren auf der Reihenexpansion für das reale Exponential. exp x = ∑_n≥0xⁿ/ n!, genauer gesagt jene Teilsummen, die von der Grundalgebra als positiv, aber weniger als alle späteren gezeigt werden können. Zum x positiv werden diese bezeichnet [x]_n und alle Teilsummen enthalten; zum x negativ aber endlich, [x]_2n+1 bezeichnet die ungeraden Schritte in der Reihe beginnend mit dem ersten mit einem positiven Realteil (der immer existiert). Zum x negativ unendlich die ungeradzahligen Teilsummen nehmen streng ab und die [x]_2n+1 Notation bezeichnet die leere Menge, aber es stellt sich heraus, dass die entsprechenden Elemente in der Induktion nicht benötigt werden.

Die Beziehungen, die für real gelten
x < y

sind dann
exp x · · [y–x]_n y

und
exp y · · [x–y]_2n+1 x,
und dies kann mit der Definition auf die Surrealen ausgedehnt werden
exp z = {0, exp z_L. · · [z–z_L]_n exp z_R. · · [z–z_R]_2n+1 | exp z_R. /. [z_R–z]_n exp z_L. /. [z_L–z]_2n+1 }. Dies ist für alle surrealen Argumente genau definiert (der Wert existiert und hängt nicht von der Wahl von ab z_L. und z_R.).

Ergebnisse[edit]

Unter Verwendung dieser Definition gilt Folgendes:^[e]

• exp ist eine streng zunehmende positive Funktion, x < y ⇒ 0 x y
• exp erfüllt exp (x+y) = exp x · Exp y
• exp ist eine Surjektion (auf Nein₊) und hat eine gut definierte Umkehrung, log = exp^–1
• exp stimmt mit der üblichen Exponentialfunktion auf den Reals überein (und damit exp 0 = 1, exp 1 = e)
• Zum x infinitesimal, der Wert der formalen Potenzreihe ∑_n≥0xⁿ/.n! ist gut definiert und stimmt mit der induktiven Definition überein
  • Wann x wird in Conway-Normalform angegeben, die Menge der Exponenten im Ergebnis ist gut geordnet und die Koeffizienten sind endliche Summen, die direkt die Normalform des Ergebnisses ergeben (die eine führende 1 hat).
  • Ebenso für x unendlich nahe an 1, log x ist gegeben durch Potenzreihenerweiterung von x–1
• Für positive unendliche xexp x ist auch unendlich
  • Wenn x hat die Form ω^α (α> 0), exp x hat die Form ω^ωβ wobei β eine streng zunehmende Funktion von α ist. Tatsächlich gibt es eine induktiv definierte Bijektion G:: Nein₊ → Nein: α ↦ β deren Inverse kann auch induktiv definiert werden
  • Wenn x ist “rein unendlich” mit normaler Form x = ∑_{α rαω^einα} wo alle ein_α > 0, dann exp x = ω^{∑_{α rαωG((einα)}}
  • Ebenso für x = ω^{∑_{α rαωbα}}ist die Umkehrung gegeben durch Log x = ∑_{α rαω^G–1(bα)}
• Jede surreale Zahl kann als die Summe eines reinen unendlichen, eines reellen und eines infinitesimalen Teils geschrieben werden, und das Exponential ist das Produkt der oben angegebenen Teilergebnisse
  • Die Normalform kann ausgeschrieben werden, indem der unendliche Teil (eine einzelne Potenz von ω) und das reale Exponential mit der aus dem Infinitesimal resultierenden Potenzreihe multipliziert werden
  • Umgekehrt bringt das Teilen des führenden Terms der Normalform jede surreale Zahl in die Form (ω^{∑_{γ tγωbγ}}) ·r· (1 + ∑_{α sαω^einα)}, zum ein_α <0wobei jeder Faktor eine Form hat, für die oben eine Methode zur Berechnung des Logarithmus angegeben wurde; Die Summe ist dann der allgemeine Logarithmus
    • Während es keine allgemeine induktive Definition von log gibt (im Gegensatz zu exp), werden die Teilergebnisse in Form solcher Definitionen angegeben. Auf diese Weise kann der Logarithmus explizit berechnet werden, ohne dass die Umkehrung des Exponentials berücksichtigt wird.
• Die Exponentialfunktion ist viel größer als jede endliche Potenz
  • Für jede positive Unendlichkeit x und jede endliche n, exp (x) /xⁿ ist unendlich
  • Für jede ganze Zahl n und surreal x > n², exp (x)> xⁿ. Diese stärkere Beschränkung ist eines der Ressayre-Axiome für das reale Exponentialfeld^[7]
• exp erfüllt alle Ressayre-Axiome für das reale Exponentialfeld^[7]
  • Die Surreals mit Exponential sind eine elementare Erweiterung des realen Exponentialfeldes
  • Für ε_β eine ordinale Epsilon-Zahl, die Menge surrealer Zahlen mit einem Geburtstag von weniger als ε_β bilden ein Feld, das unter Exponentialen geschlossen ist und ebenfalls eine elementare Erweiterung des realen Exponentialfeldes ist

Beispiele[edit]

Das surreale Exponential ist im wesentlichen durch sein Verhalten bei positiven Potenzen von ω, dh der Funktion, gegeben g (a), kombiniert mit bekanntem Verhalten bei endlichen Zahlen. Es werden nur Beispiele des ersteren gegeben. Und dazu, g (a) = ein gilt für einen großen Teil seines Bereichs, zum Beispiel für jede endliche Zahl mit positivem Realteil und jede unendliche Zahl, die kleiner als eine iterierte Potenz von ω ist (ω^{ω· ·· ·ω} für einige Ebenen).

• exp ω = ω^ω
• exp ω^{1 / ω} = ω und log ω = ω^{1 / ω}
• exp (ω · log ω) = exp (ω · ω^{1 / ω}) = ω^{ω(1 + 1 / ω)}
  • Dies zeigt, dass die “Potenz von ω” Funktion ist nicht kompatibel mit exp, da Kompatibilität einen Wert von ω erfordern würde^ω Hier
• exp ε₀ = ω^{ωε₀ + 1}
• log ε₀ = ε₀ / ω

Potenzierung[edit]

Eine allgemeine Potenzierung kann definiert werden als x^y = exp (y · Protokoll x)Ausdrücke wie interpretieren 2^ω = exp (ω · log 2) = ω^{log 2 · ω}. Auch hier ist es wichtig, diese Definition von der zu unterscheiden “Potenzen von ω” Funktion, insbesondere wenn ω als Basis auftreten kann.

Überkomplexe Zahlen[edit]

EIN überkomplexe Nummer ist eine Nummer der Form ein+bich, wo ein und b sind surreale Zahlen und ich ist die Quadratwurzel von −1.^[10][11] Die surkomplexen Zahlen bilden ein algebraisch geschlossenes Feld (außer dass es sich um eine richtige Klasse handelt), das isomorph zum algebraischen Schließen des Feldes ist, das durch Erweitern der rationalen Zahlen um eine geeignete Klasse von algebraisch unabhängigen transzendentalen Elementen erzeugt wird. Bis zum Feldisomorphismus charakterisiert diese Tatsache das Feld der surkomplexen Zahlen innerhalb jeder Theorie fester Mengen.^[6]::Th.27

Die Definition surrealer Zahlen enthielt eine Einschränkung: Jedes Element von L muss streng kleiner sein als jedes Element von R. Wenn diese Einschränkung aufgehoben wird, können wir eine allgemeinere Klasse erzeugen, die als bekannt ist Spiele. Alle Spiele sind nach dieser Regel aufgebaut:

Konstruktionsregel
Wenn L. und R. sind dann zwei Sätze von Spielen { L. | R. } ist ein Spiel.

Addition, Negation und Vergleich werden sowohl für surreale Zahlen als auch für Spiele auf dieselbe Weise definiert.

Jede surreale Zahl ist ein Spiel, aber nicht alle Spiele sind surreale Zahlen, z. 0 | 0 } ist keine surreale Zahl. Die Klasse der Spiele ist allgemeiner als die surrealen und hat eine einfachere Definition, aber es fehlen einige der schöneren Eigenschaften surrealer Zahlen. Die Klasse der surrealen Zahlen bildet ein Feld, die Klasse der Spiele jedoch nicht. Die Surreals haben eine Gesamtordnung: Bei zwei beliebigen Surreals sind sie entweder gleich oder einer ist größer als der andere. Die Spiele haben nur eine Teilreihenfolge: Es gibt Spielpaare, die weder gleich, größer noch kleiner als einander sind. Jede surreale Zahl ist entweder positiv, negativ oder null. Jedes Spiel ist entweder positiv, negativ, Null, oder verschwommen (unvergleichlich mit Null, wie z. B. {1 | −1}).

Ein Zug in einem Spiel beinhaltet den Spieler, dessen Zug ein Spiel aus den in L (für den linken Spieler) oder R (für den rechten Spieler) verfügbaren Spielen auswählt und dieses ausgewählte Spiel dann an den anderen Spieler weitergibt. Ein Spieler, der sich nicht bewegen kann, weil die Auswahl aus dem leeren Satz stammt, hat verloren. Ein positives Spiel bedeutet einen Gewinn für den linken Spieler, ein negatives Spiel für den rechten Spieler, ein Nullspiel für den zweiten Spieler und ein Fuzzy-Spiel für den ersten Spieler.

Wenn x, y, und z sind surreal und x=y, dann x z=y z. wie auch immer, falls x, y, und z sind Spiele und x=y, dann ist es nicht immer wahr, dass x z=y z. Beachten Sie, dass “=” hier bedeutet Gleichheit, nicht Identität.

Anwendung auf die kombinatorische Spieltheorie[edit]

Die surrealen Zahlen wurden ursprünglich durch Studien des Spiels Go motiviert,^[2] und es gibt zahlreiche Verbindungen zwischen populären Spielen und den Surrealen. In diesem Abschnitt verwenden wir eine Großschreibung Spiel für das mathematische Objekt {L | R} und den Kleinbuchstaben Spiel für Freizeitspiele wie Schach oder Go.

Wir betrachten Spiele mit folgenden Eigenschaften:

• Zwei Spieler (benannt Links und Recht)
• Deterministisch (das Spiel bei jedem Schritt hängt vollständig von den Entscheidungen der Spieler ab und nicht von einem zufälligen Faktor).
• Keine versteckten Informationen (wie Karten oder Plättchen, die ein Spieler versteckt)
• Die Spieler wechseln sich ab (das Spiel kann mehrere Züge in einer Runde zulassen oder nicht)
• Jedes Spiel muss mit einer endlichen Anzahl von Zügen enden
• Sobald für einen Spieler keine legalen Züge mehr vorhanden sind, endet das Spiel und dieser Spieler verliert

Bei den meisten Spielen bietet die anfängliche Brettposition keinem Spieler einen großen Vorteil. Wenn das Spiel fortschreitet und ein Spieler zu gewinnen beginnt, treten Brettpositionen auf, bei denen dieser Spieler einen klaren Vorteil hat. Für die Analyse von Spielen ist es hilfreich, jeder Brettposition ein Spiel zuzuordnen. Der Wert einer bestimmten Position ist das Spiel {L | R}, wobei L die Menge der Werte aller Positionen ist, die in einem einzigen Zug von links erreicht werden können. In ähnlicher Weise ist R die Wertemenge aller Positionen, die mit einem einzigen Zug von rechts erreicht werden können.

Das Nullspiel (0 genannt) ist das Spiel, bei dem L und R beide leer sind, sodass der Spieler, der sich als nächstes bewegt (L oder R), sofort verliert. Die Summe zweier Spiele G = {L1 | R1} und H = {L2 | R2} ist definiert als das Spiel G + H = {L1 + H, G + L2 | R1 + H, G + R2}, bei dem der zu bewegende Spieler auswählt, in welchem ​​der Spiele in jeder Phase gespielt werden soll, und der Verlierer ist immer noch der Spieler, der am Ende keinen legalen Zug hat. Man kann sich zwei Schachbretter zwischen zwei Spielern vorstellen, wobei die Spieler abwechselnd Züge machen, aber die völlige Freiheit haben, auf welchem ​​Brett sie spielen sollen. Wenn G das Spiel ist {L | R}, -G ist das Spiel {-R | -L}, dh mit vertauschter Rolle der beiden Spieler. Es ist einfach, G – G = 0 für alle Spiele G anzuzeigen (wobei G – H als G + (-H) definiert ist).

Diese einfache Möglichkeit, Spiele mit Spielen zu verknüpfen, führt zu einem sehr interessanten Ergebnis. Angenommen, zwei perfekte Spieler spielen ein Spiel, das mit einer bestimmten Position beginnt, deren zugehöriges Spiel ist x. Wir können alle Spiele wie folgt in vier Klassen einteilen:

• Wenn x> 0 ist, gewinnt Left, unabhängig davon, wer zuerst spielt.
• Wenn x <0 ist, gewinnt Right, unabhängig davon, wer zuerst spielt.
• Wenn x = 0 ist, gewinnt der Spieler, der Zweiter wird.
• Wenn x || 0 dann gewinnt der Spieler, der zuerst geht.

Allgemeiner können wir G> H als G – H> 0 definieren, und ähnlich für

Die Notation G || H bedeutet, dass G und H unvergleichlich sind. G || H ist äquivalent zu G – H || 0, dh dass G> H, G verwirrt miteinander, weil der eine oder andere von einem Spieler bevorzugt werden kann, je nachdem, was hinzugefügt wird. Ein mit Null verwechseltes Spiel wird als unscharf bezeichnet, im Gegensatz zu positiv, negativ oder null. Ein Beispiel für ein Fuzzy-Spiel ist Star

.

Manchmal, wenn sich ein Spiel dem Ende nähert, zerfällt es in mehrere kleinere Spiele, die nicht interagieren, außer dass jeder Spieler an der Reihe ist, nur eines davon zu spielen. In Go füllt sich das Brett beispielsweise langsam mit Stücken, bis nur noch wenige kleine Inseln mit leerem Raum vorhanden sind, auf denen sich ein Spieler bewegen kann. Jede Insel ist wie ein separates Go-Spiel, das auf einem sehr kleinen Brett gespielt wird. Es wäre nützlich, wenn jedes Teilspiel separat analysiert und dann die Ergebnisse kombiniert werden könnten, um eine Analyse des gesamten Spiels zu erhalten. Dies scheint nicht einfach zu sein. Zum Beispiel kann es zwei Teilspiele geben, bei denen jeder gewinnt, der sich zuerst bewegt, aber wenn sie zu einem großen Spiel zusammengefasst werden, gewinnt nicht mehr der erste Spieler. Glücklicherweise gibt es eine Möglichkeit, diese Analyse durchzuführen. Der folgende Satz kann angewendet werden: Wenn sich ein großes Spiel in zwei kleinere Spiele zerlegt und die kleinen Spiele Spiele von zugeordnet haben x undy , dann wird das große Spiel ein zugeordnetes Spiel von habenx+y

.

Ein Spiel, das aus kleineren Spielen besteht, wird als disjunktive Summe dieser kleineren Spiele bezeichnet, und der Satz besagt, dass die von uns definierte Additionsmethode der disjunktiven Summe der Addenden entspricht.

Historisch gesehen hat Conway die Theorie der surrealen Zahlen in umgekehrter Reihenfolge entwickelt, wie sie hier dargestellt wurde. Er analysierte Go-Endspiele und erkannte, dass es nützlich sein würde, die Analysen nicht interagierender Teilspiele zu einer Analyse ihrer disjunktiven Summe zu kombinieren. Daraus erfand er das Konzept eines Spiels und den Additionsoperator dafür. Von dort aus entwickelte er eine Definition von Negation und Vergleich. Dann bemerkte er, dass eine bestimmte Klasse von Spielen interessante Eigenschaften hatte; Diese Klasse wurde zu den surrealen Zahlen. Schließlich entwickelte er den Multiplikationsoperator und bewies, dass die Surrealen tatsächlich ein Feld sind und dass sie sowohl die Realen als auch die Ordnungszahlen enthalten.[edit]

Alternative Realisierungen

Alternative Ansätze zu den surrealen Zahlen ergänzen Conways Darstellung in Bezug auf Spiele.[edit]

Zeichenerweiterung[edit]

Definitionen In dem, was jetzt heißt Zeichenerweiterung oder Zeichenfolge^{[8]einer surrealen Zahl ist eine surreale Zahl eine Funktion, deren Domäne eine Ordnungszahl ist und deren Codomäne {−1, +1} ist.((CH. 2} )^[6]

Dies entspricht den LR-Sequenzen von Conway. “Definieren Sie das binäre Prädikat” einfacher als auf Zahlen von x ist einfacher als y wenn x ist eine richtige Teilmenge vony , dhwenn dom (x) y ) undx (α) =y(α) für alle α x

). “Für surreale Zahlen definieren Sie die binäre Beziehung sind größer als -1 und kleiner als 1). Damit x < y

• wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: x ist einfacher als y undy(dom (x
• )) = + 1; y ist einfacher als x undx(dom (y
• )) = -1; Es gibt eine Nummer z so dass z ist einfacher alsx , z ist einfacher alsy ,x(dom (z )) = – 1 undy(dom (z

)) = + 1.Entsprechend sei δ (x,y) = min ({dom (x), dom (y)} ∪ {α: α x) ∧ α y ) ∧x (α) ≠y (α)}), so dass x = ygenau dann, wenn δ (x,y) = dom (x) = dom (y ). Dann für Zahlen x undy , x < y

• genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:δ (x,y) = dom (x) ∧ δ (x,y) y ) ∧y(δ (x,y
• )) = + 1;δ (x,y) x) ∧ δ (x,y) = dom (y ) ∧x(δ (x,y
• )) = -1;δ (x,y) x) ∧ δ (x,y) y ) ∧x(δ (x,y )) = – 1 ∧y(δ (x,y

)) = + 1. Für Zahlen x undy , x ≤ y dann und nur dann, wenn x < y ∨ x =y , und x > y dann und nur dann, wenn y <x . Ebenfalls x ≥ y dann und nur dann, wenn y ≤x

. Die Beziehung x undy genau einer von x <y , x =y , x >y

gilt (Gesetz der Trichotomie). Dies bedeutet, dass Für Zahlenreihen L. und R.so dass ∀ x ∈ L.∀ y ∈ R.(( x <y ) existiert eine eindeutige Nummer z

• so dass∀ x ∈ L.(( x <z) ∧ ∀ y ∈ R.(( z <y
• ), Für jede Nummer wso dass ∀ x ∈ L.(( x <w) ∧ ∀ y ∈ R.(( w <y ), w = z oder z ist einfacher alsw

. Außerdem, z ist konstruierbar aus L. und R. durch transfinite Induktion. z ist die einfachste Zahl zwischen L. undR. . Lassen Sie die eindeutige Nummer zbezeichnet werden mit σ (L.,R.

). Für eine Nummerx , definieren Sie den linken SatzL.((x ) und richtig eingestelltR.((x

• ) durchL.((x ) = {x_| α: α x ) ∧x
• (α) = + 1};R.((x ) = {x_| α: α x ) ∧x

(α) = -1},dann σ (L.((x),R.((x )) =x

.

Ein Vorteil dieser alternativen Erkenntnis ist, dass Gleichheit Identität ist, keine induktiv definierte Beziehung. Im Gegensatz zu Conways Realisierung der surrealen Zahlen erfordert die Zeichenerweiterung jedoch eine vorherige Konstruktion der Ordnungszahlen, während bei Conways Realisierung die Ordnungszahlen als besondere Fälle von Surrealen konstruiert werden.Es können jedoch ähnliche Definitionen vorgenommen werden, die die Notwendigkeit einer vorherigen Konstruktion der Ordnungszahlen beseitigen. Zum Beispiel könnten wir die Surreals die (rekursiv definierte) Klasse von Funktionen sein lassen, deren Domäne eine Teilmenge der Surreals ist, die die Transitivitätsregel ∀ erfüllen G ∈ dom f(∀ h ∈ dom G(( h ∈ dom f “)) und dessen Bereich {-, +} ist.” Einfacher alsist jetzt sehr einfach definiert – x ist einfacher als y wenn x ∈ domy . Die Gesamtbestellung wird unter Berücksichtigung definiert x und y als Sätze geordneter Paare (da eine Funktion normalerweise definiert ist): Entweder x =y oder auch die surreale Zahl z = x ∩ y ist in der Domäne von x oder die Domain von y (oder beides, aber in diesem Fall müssen die Zeichen nicht übereinstimmen). Wir haben dann x < y wennx((z ) = – odery((z ) = + (oder beides). Das Konvertieren dieser Funktionen in Zeichenfolgen ist eine einfache Aufgabe. ordne die Elemente von dom f in der Reihenfolge der Einfachheit (dh Einbeziehung), und schreiben Sie dann die Zeichen auf, die f

weist jedem dieser Elemente der Reihe nach zu. Die Ordnungszahlen treten dann natürlich als jene surrealen Zahlen auf, deren Bereich {+} ist.[edit]

Addition und Multiplikation Die Summe x + y von zwei Zahlen, x undywird durch Induktion auf dom definiert (x) und dom (y ) durch x + y= σ (L.,R.

• ), wo L. = { u + y :: u ∈L.((x )} ∪ { x + v :: v ∈L.((y
• )}, R. = { u + y :: u ∈R.((x )} ∪ { x + v :: v ∈R.((y

)}. Die additive Identität ergibt sich aus der Zahl 0 = {}, dh Die Zahl 0 ist die eindeutige Funktion, deren Domäne die Ordnungszahl 0 und die additive Umkehrung der Zahl ist x ist die Nummer –x , gegeben durch dom (-x) = dom (x) und für α x ), (-x ) (α) = – 1 wennx (α) = + 1 und (-x ) (α) = + 1 wennx

(α) = -1. Daraus folgt eine Zahl xist genau dann positiv, wenn 0 x ) undx (0) = + 1 und xist genau dann negativ, wenn 0 x ) undx

(0) = -1. Das Produkt xy von zwei Zahlen, x undywird durch Induktion auf dom definiert (x) und dom (y ) durch xy= σ (L.,R.

• ), wo L. = { uy + xv – – uv :: u ∈L.((x ), v ∈L.((y )} ∪ { uy + xv – – uv :: u ∈R.((x ), v ∈R.((y
• )}, R. = { uy + xv – – uv :: u ∈L.((x ), v ∈R.((y )} ∪ { uy + xv – – uv :: u ∈R.((x ), v ∈L.((y

)}. Die multiplikative Identität ist gegeben durch die Zahl 1 = {(0, + 1)}, dh

Die Zahl 1 hat eine Domäne, die der Ordnungszahl 1 entspricht, und 1 (0) = + 1.[edit]

Korrespondenz mit Conways Realisierung Die Karte von Conways Realisierung bis zur Zeichenerweiterung ist gegeben durchf ({ L. | R.}) = σ (M.,S. ), wo M. = {f((x ): x ∈ L. } und S. = {f((x ): x ∈ R.

}. Die inverse Karte von der alternativen Realisierung zu Conways Realisierung ist gegeben durchG((x ) = { L. | R. }, wo L. = {G((y ): y ∈L.((x ) } und R. = {G((y ): y ∈R.((x

)}.[edit]

Axiomatischer Ansatz^[11] In einer anderen Herangehensweise an die Surrealen, die Alling gegeben hat,

Die explizite Konstruktion wird vollständig umgangen. Stattdessen wird eine Reihe von Axiomen angegeben, die jede bestimmte Herangehensweise an die Surrealen erfüllen muss. Ähnlich wie die axiomatische Annäherung an die Realitäten garantieren diese Axiome die Einzigartigkeit bis zum Isomorphismus. Ein Triple”

{ displaystyle langle mathbf {No}, mathrm {⟨N.Ö,<,b⟩

{ displaystyle langle mathbf {No}, mathrm { langle mathbf {No}, mathrm {

• ist genau dann ein surreales Zahlensystem, wenn Folgendes gilt:
• Nein b ist eine Funktion von Neinauf die Klasse aller Ordnungszahlen ( b “heißt das” Geburtstagsfeier aufNein
• ). Lassen EIN und B. Unterklassen von sein Nein so dass für alle x ∈ EIN und y ∈B. , x < y (unter Verwendung der Alling-Terminologie, 〈EIN, B. “> ist ein” Conway geschnitten vonNein ). Dann gibt es eine einzigartige z ∈ Nein so dass b (z) ist minimal und für alle x ∈ EIN und alles y ∈B. , x < z <y “. (Dieses Axiom wird oft als bezeichnet”Conways Einfachheitssatz
• .) Darüber hinaus, wenn eine Ordnungszahl α ist größer als b (x) für alle x ∈EIN ,B. , dann b (z) ≤α “. (Alling nennt ein System, das dieses Axiom erfüllt a”volles surreales Zahlensystem

.)

Sowohl Conways ursprüngliche Konstruktion als auch die Zeichenerweiterungskonstruktion von Surrealen erfüllen diese Axiome.^[11] Angesichts dieser Axiome, Alling

leitet Conways ursprüngliche Definition von ≤ ab und entwickelt surreale Arithmetik.[edit]

Einfachheitshierarchie^[12] Eine Konstruktion der surrealen Zahlen als maximaler binärer Pseudobaum mit Einfachheit (Vorfahr) und Ordnungsbeziehungen ist Philip Ehrlich zu verdanken,

Der Unterschied zur üblichen Definition eines Baums besteht darin, dass die Menge der Vorfahren eines Scheitelpunkts gut geordnet ist, aber möglicherweise kein maximales Element enthält (unmittelbarer Vorgänger). Mit anderen Worten, der Auftragstyp dieser Menge ist eine allgemeine Ordnungszahl, nicht nur eine natürliche Zahl. Diese Konstruktion erfüllt auch Allings Axiome und kann leicht auf die Vorzeichenfolge-Darstellung abgebildet werden.[edit]

Hahn-Serie^{[11]Alling((th. 6,55, p. 246} )

beweist auch, dass das Feld der surrealen Zahlen isomorph (als geordnetes Feld) zum Feld der Hahn-Reihe mit reellen Koeffizienten auf der Wertegruppe der surrealen Zahlen selbst ist (die Reihenrepräsentation entspricht der Normalform einer surrealen Zahl, wie oben definiert ). Dies stellt eine Verbindung zwischen surrealen Zahlen und konventionelleren mathematischen Ansätzen zur geordneten Feldtheorie her.

Dieser Isomorphismus macht die surrealen Zahlen zu einem Wertfeld, in dem die Bewertung die additive Umkehrung des Exponenten des führenden Terms in der Conway-Normalform ist, z. B. ν (ω) = -1. Der Bewertungsring besteht dann aus den endlichen surrealen Zahlen (Zahlen mit einem reellen und / oder einem infinitesimalen Teil). Der Grund für die Vorzeichenumkehrung ist, dass die Exponenten in der Conway-Normalform eine umgekehrte gut geordnete Menge darstellen, während Hahn-Reihen in Form von (nicht umgekehrten) gut geordneten Teilmengen der Wertgruppe formuliert sind.[edit]

Beziehung zu Hyperreals^[12]

Philip Ehrlich hat in der von Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre einen Isomorphismus zwischen Conways maximalem surrealen Zahlenfeld und den maximalen Hyperreals konstruiert.[edit]

1. Siehe auch ^
2. In der ursprünglichen Formulierung unter Verwendung der von Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre bilden die Surrealen eher eine richtige Klasse als eine Menge, so dass der Begriff Feld nicht genau korrekt ist. Wenn diese Unterscheidung wichtig ist, verwenden einige Autoren Field oder FIELD, um auf eine geeignete Klasse zu verweisen, die die arithmetischen Eigenschaften eines Feldes aufweist. Man kann ein wahres Feld erhalten, indem man die Konstruktion auf ein Grothendieck-Universum beschränkt, eine Menge mit der Kardinalität eines stark unzugänglichen Kardinals ergibt, oder indem man eine Form der Mengenlehre verwendet, bei der Konstruktionen durch transfinite Rekursion bei einer zählbaren Ordnungszahl wie Epsilon nichts aufhören . ^^{Die Menge der dyadischen Fraktionen bildet die einfachste nicht triviale Gruppe und den einfachsten Ring dieser Art; es besteht aus den surrealen Zahlen mit einem Geburtstag von weniger als ω = ω} 1^{= ωω}0
3. . ^ Die Definition einer Lücke lässt die Bedingungen eines Dedekind-Schnitts aus L. und R. nicht leer sein und das L. kein größtes Element haben, und auch die Identifizierung eines Schnitts mit dem kleinsten Element in R.
4. wenn einer existiert. ^
5. Es besteht kein Anspruch darauf, dass die Sammlung von Cauchy-Sequenzen eine Klasse in der NBG-Mengenlehre darstellt. ^

Selbst die trivialste dieser Gleichungen kann eine transfinite Induktion beinhalten und einen separaten Satz bilden.[edit]

1. Verweise ^ Bajnok, Béla (2013).Eine Einladung zur abstrakten Mathematik . ISBN9781461466369 .
2. Satz 24.29. Das surreale Zahlensystem ist das größte geordnete Feld ^{^ ein} b O’Connor, JJ; Robertson, EF,Conway Biografie abgerufen
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.[edit]

• Weiterführende Literatur Donald Knuths ursprüngliche Ausstellung:Surreale Zahlen: Wie zwei Ex-Studenten sich der reinen Mathematik zuwandten und totales Glück fanden 1974, ISBN 0-201-03812-9. Weitere Informationen finden Sie unterdie offizielle Homepage des Buches
• . Ein Update des klassischen Buches von 1976, das die surrealen Zahlen definiert und ihre Verbindungen zu Spielen untersucht: John Conway,Über Zahlen und Spiele , 2nd ed., 2001,
• ISBN 1-56881-127-6. Eine Aktualisierung des ersten Teils des Buches von 1981, in dem surreale Zahlen und die Analyse von Spielen einem breiteren Publikum vorgestellt wurden: Berlekamp, ​​Conway und Guy,Gewinnmöglichkeiten für Ihre mathematischen Spiele vol. 1, 2nd ed., 2001,
• ISBN 1-56881-130-6. Martin Gardner, Penrose Fliesen zu Falltür-Chiffren, WH Freeman & Co., 1989, ISBN 0-7167-1987-8, Kapitel 4. Eine nichttechnische Übersicht; Nachdruck des 1976 Wissenschaftlicher Amerikaner
• Artikel. “Polly Shulman,”Infinity Plus One und andere surreale Zahlen ,Entdecken
• Dezember 1995. Eine detaillierte Behandlung surrealer Zahlen: Norman L. Alling,Grundlagen der Analyse über surreale Zahlenfelder 1987
• ISBN 0-444-70226-1. Eine Behandlung von Surreals basierend auf der Zeichenerweiterungsrealisierung: Harry Gonshor,Eine Einführung in die Theorie der surrealen Zahlen 1986;
• ISBN 0-521-31205-1. Eine detaillierte philosophische Entwicklung des Konzepts der surrealen Zahlen als allgemeinstes Konzept der Zahl: Alain Badiou,Nummer und Nummern , New York: Polity Press, 2008, ISBN 0-7456-3879-1 (Taschenbuch),
• ISBN 0-7456-3878-3 (gebundene Ausgabe). Das Programm für gleichwertige Stiftungen (2013).Homotopietypentheorie: Einwertige Grundlagen der Mathematik . Princeton, NJ: Institut für fortgeschrittene Studien. HERR3204653 .

Die surrealen Zahlen werden im Kontext der Homotopietypentheorie in Abschnitt 11.6 untersucht.[edit]