Numerische Methoden für partielle Differentialgleichungen

Posted on by

Numerische Methoden für partielle Differentialgleichungen ist der Zweig der numerischen Analyse, der die numerische Lösung partieller Differentialgleichungen (PDEs) untersucht.

Methoden[edit]

Finite-Differenzen-Methode[edit]

Bei dieser Methode werden Funktionen durch ihre Werte an bestimmten Gitterpunkten dargestellt, und Ableitungen werden durch Unterschiede in diesen Werten angenähert.

Methode der Linien[edit]

Das Methode der Linien (MOL, NMOL, NUMOL[1][2][3]) ist eine Technik zum Lösen partieller Differentialgleichungen (PDEs), bei der alle bis auf eine Dimension diskretisiert werden. Mit MOL können Standardmethoden und -software für allgemeine Zwecke verwendet werden, die für die numerische Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODEs) und Differentialalgebraischer Gleichungen (DAEs) entwickelt wurden. Im Laufe der Jahre wurde eine große Anzahl von Integrationsroutinen in vielen verschiedenen Programmiersprachen entwickelt, und einige wurden als Open-Source-Ressourcen veröffentlicht.[4]

Die Methode der Linien bezieht sich am häufigsten auf die Konstruktion oder Analyse numerischer Methoden für partielle Differentialgleichungen, bei denen zunächst nur die räumlichen Ableitungen diskretisiert werden und die Zeitvariable kontinuierlich bleibt. Dies führt zu einem System gewöhnlicher Differentialgleichungen, auf das ein numerisches Verfahren für gewöhnliche Anfangswertgleichungen angewendet werden kann. Die Linienmethode geht in diesem Zusammenhang mindestens bis in die frühen 1960er Jahre zurück.[5]

Finite-Elemente-Methode[edit]

Das Finite-Elemente-Methode (FEM) ist eine numerische Technik zum Finden von Näherungslösungen für Randwertprobleme für Differentialgleichungen. Es verwendet Variationsmethoden (die Variationsrechnung), um eine Fehlerfunktion zu minimieren und eine stabile Lösung zu erhalten. Analog zu der Idee, dass das Verbinden vieler winziger gerader Linien einen größeren Kreis approximieren kann, umfasst FEM alle Methoden zum Verbinden vieler einfacher Elementgleichungen über viele kleine Subdomänen, die als finite Elemente bezeichnet werden, um eine komplexere Gleichung über einen größeren Bereich zu approximieren.

Gradientendiskretisierungsmethode[edit]

Das Gradientendiskretisierungsmethode (GDM) ist eine numerische Technik, die einige Standardmethoden oder neuere Methoden umfasst. Es basiert auf der getrennten Approximation einer Funktion und ihres Gradienten. Kerneigenschaften ermöglichen die Konvergenz der Methode für eine Reihe linearer und nichtlinearer Probleme, und daher erben alle Methoden, die in das GDM-Framework eintreten (konforme und nichtkonforme finite Elemente, gemischte finite Elemente, mimetische finite Differenz …), diese Konvergenzeigenschaften.

Methode mit endlichem Volumen[edit]

Das Finite-Volumen-Methode ist eine Methode zur Darstellung und Auswertung partieller Differentialgleichungen in Form algebraischer Gleichungen [LeVeque, 2002; Toro, 1999]. Ähnlich wie bei der Finite-Differenzen-Methode oder der Finite-Elemente-Methode werden Werte an diskreten Stellen auf einer vermaschten Geometrie berechnet. “Endliches Volumen” bezieht sich auf das kleine Volumen, das jeden Knotenpunkt auf einem Netz umgibt. Bei der Methode des endlichen Volumens werden Volumenintegrale in einer partiellen Differentialgleichung, die einen Divergenzterm enthalten, unter Verwendung des Divergenzsatzes in Oberflächenintegrale umgewandelt. Diese Terme werden dann als Flüsse an den Oberflächen jedes endlichen Volumens bewertet. Da der Fluss, der in ein bestimmtes Volumen eintritt, mit dem Fluss identisch ist, der das benachbarte Volumen verlässt, sind diese Methoden konservativ. Ein weiterer Vorteil der Methode mit endlichem Volumen besteht darin, dass sie leicht formuliert werden kann, um unstrukturierte Netze zu ermöglichen. Die Methode wird in vielen Paketen zur rechnergestützten Fluiddynamik verwendet.

Spektralmethode[edit]

Spektrale Methoden sind Techniken, die in der angewandten Mathematik und im wissenschaftlichen Rechnen verwendet werden, um bestimmte Differentialgleichungen numerisch zu lösen, wobei häufig die schnelle Fourier-Transformation verwendet wird. Die Idee ist, die Lösung der Differentialgleichung als Summe bestimmter “Basisfunktionen” (zum Beispiel als Fourier-Reihe, die eine Summe von Sinuskurven ist) zu schreiben und dann die Koeffizienten in der Summe zu wählen, die das Differential am besten erfüllen Gleichung.

Spektralmethoden und Finite-Elemente-Methoden sind eng miteinander verbunden und bauen auf denselben Ideen auf. Der Hauptunterschied zwischen ihnen besteht darin, dass Spektralmethoden Basisfunktionen verwenden, die über die gesamte Domäne ungleich Null sind, während Finite-Elemente-Methoden Basisfunktionen verwenden, die nur in kleinen Subdomänen ungleich Null sind. Mit anderen Worten, spektrale Methoden übernehmen a globaler Ansatz während Finite-Elemente-Methoden a verwenden lokaler Ansatz. Teilweise aus diesem Grund weisen Spektralverfahren hervorragende Fehlereigenschaften auf, wobei die sogenannte “exponentielle Konvergenz” bei glatter Lösung am schnellsten möglich ist. Es sind jedoch keine dreidimensionalen Einzeldomänen-Spektralschock-Erfassungsergebnisse bekannt.[6] In der Finite-Elemente-Community eine Methode, bei der der Grad der Elemente sehr hoch ist oder als Gitterparameter zunimmt h Die Abnahme auf Null wird manchmal als Spektralelementmethode bezeichnet.

Netzfreie Methoden[edit]

Netzfreie Methoden Sie benötigen kein Netz, das die Datenpunkte der Simulationsdomäne verbindet. Meshfree-Methoden ermöglichen die Simulation einiger ansonsten schwieriger Arten von Problemen auf Kosten zusätzlicher Rechenzeit und Programmieraufwand.

Methoden zur Domänenzerlegung[edit]

Methoden zur Domänenzerlegung Lösen Sie ein Randwertproblem, indem Sie es in kleinere Randwertprobleme auf Subdomänen aufteilen und iterieren, um die Lösung zwischen benachbarten Subdomänen zu koordinieren. Ein grobes Problem mit einem oder wenigen Unbekannten pro Subdomain wird verwendet, um die Lösung zwischen den Subdomains global weiter zu koordinieren. Die Probleme in den Subdomänen sind unabhängig, wodurch Domänenzerlegungsmethoden für die parallele Berechnung geeignet sind. Domänenzerlegungsverfahren werden typischerweise als Vorkonditionierer für iterative Krylov-Raumverfahren verwendet, wie das konjugierte Gradientenverfahren oder GMRES.

Bei überlappenden Domänenzerlegungsmethoden überlappen sich die Unterdomänen um mehr als die Schnittstelle. Überlappende Domänenzerlegungsverfahren umfassen das Schwarz-Wechselverfahren und das additive Schwarz-Verfahren. Viele Domänenzerlegungsmethoden können als Sonderfall der abstrakten additiven Schwarz-Methode geschrieben und analysiert werden.

Bei nicht überlappenden Methoden überschneiden sich die Subdomänen nur auf ihrer Schnittstelle. Bei primären Methoden wie Balancing Domain Decomposition und BDDC wird die Kontinuität der Lösung über die Subdomain-Schnittstelle hinweg erzwungen, indem der Wert der Lösung auf allen benachbarten Subdomains durch dasselbe Unbekannte dargestellt wird. Bei dualen Methoden wie FETI wird die Kontinuität der Lösung über die Subdomain-Schnittstelle durch Lagrange-Multiplikatoren erzwungen. Die FETI-DP-Methode ist eine Hybridmethode zwischen einer dualen und einer primären Methode.

Nicht überlappende Domänenzerlegungsmethoden werden ebenfalls genannt iterative Substrukturierungsmethoden.

Mörtelmethoden sind Diskretisierungsmethoden für partielle Differentialgleichungen, die eine separate Diskretisierung für nicht überlappende Subdomänen verwenden. Die Netze in den Subdomänen stimmen auf der Schnittstelle nicht überein, und die Gleichheit der Lösung wird durch Lagrange-Multiplikatoren erzwungen, die mit Bedacht ausgewählt wurden, um die Genauigkeit der Lösung zu gewährleisten. In der Konstruktionspraxis der Finite-Elemente-Methode wird die Kontinuität von Lösungen zwischen nicht übereinstimmenden Subdomänen durch Mehrpunktbeschränkungen implementiert.

Finite-Elemente-Simulationen von Modellen mittlerer Größe erfordern das Lösen linearer Systeme mit Millionen von Unbekannten. Mehrere Stunden pro Zeitschritt sind eine durchschnittliche sequentielle Laufzeit, daher ist paralleles Rechnen eine Notwendigkeit. Domänenzerlegungsmethoden bieten ein großes Potenzial für eine Parallelisierung der Finite-Elemente-Methoden und dienen als Grundlage für verteilte parallele Berechnungen.

Multigrid-Methoden[edit]

Multigrid (MG) -Methoden In der numerischen Analyse gibt es eine Gruppe von Algorithmen zum Lösen von Differentialgleichungen unter Verwendung einer Hierarchie von Diskretisierungen. Sie sind ein Beispiel für eine Klasse von Techniken, die als Multiresolution-Methoden bezeichnet werden und bei Problemen mit mehreren Verhaltensskalen sehr nützlich sind (aber nicht darauf beschränkt sind). Beispielsweise weisen viele grundlegende Relaxationsmethoden unterschiedliche Konvergenzraten für kurz- und langwellige Komponenten auf, was darauf hindeutet, dass diese unterschiedlichen Skalen unterschiedlich behandelt werden, wie bei einem Fourier-Analyse-Ansatz für Multigrid.[7] MG-Methoden können sowohl als Löser als auch als Vorkonditionierer verwendet werden.

Die Hauptidee von Multigrid besteht darin, die Konvergenz einer grundlegenden iterativen Methode durch zu beschleunigen global Korrektur von Zeit zu Zeit durch Lösen eines groben Problems. Dieses Prinzip ähnelt der Interpolation zwischen gröberen und feineren Gittern. Die typische Anwendung für Multigrid ist die numerische Lösung von elliptischen partiellen Differentialgleichungen in zwei oder mehr Dimensionen.[8]

Multigrid-Methoden können in Kombination mit jeder der gängigen Diskretisierungstechniken angewendet werden. Beispielsweise kann die Finite-Elemente-Methode als Multigrid-Methode neu gefasst werden.[9] In diesen Fällen gehören Multigrid-Methoden zu den schnellsten heute bekannten Lösungstechniken. Im Gegensatz zu anderen Methoden sind Multigrid-Methoden insofern allgemein, als sie beliebige Regionen und Randbedingungen behandeln können. Sie hängen nicht von der Trennbarkeit der Gleichungen oder anderen besonderen Eigenschaften der Gleichung ab. Sie wurden auch häufig für kompliziertere nicht symmetrische und nichtlineare Gleichungssysteme wie das Lamé-Elastizitätssystem oder die Navier-Stokes-Gleichungen verwendet.[10]

Vergleich[edit]

Die Finite-Differenzen-Methode wird oft als die am einfachsten zu erlernende und anzuwendende Methode angesehen. Die Finite-Elemente- und Finite-Volumen-Methoden sind in der Technik und in der rechnergestützten Fluiddynamik weit verbreitet und eignen sich gut für Probleme in komplizierten Geometrien. Spektralmethoden sind im Allgemeinen die genauesten, vorausgesetzt, die Lösungen sind ausreichend glatt.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

  1. ^ Schiesser, WE (1991). Die numerische Methode der Linien. Akademische Presse. ISBN 0-12-624130-9.
  2. ^ Hamdi, S., WE Schiesser und GW Griffiths (2007), Methode der Linien, Scholarpedia2 (7): 2859.
  3. ^ Schiesser, WE; Griffiths, GW (2009). Ein Kompendium partieller Differentialgleichungsmodelle: Methode der Linienanalyse mit Matlab. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-51986-1.
  4. ^ Lee, HJ; Schiesser, WE (2004). Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungsroutinen in C, C ++, Fortran, Java, Maple und Matlab. CRC Drücken Sie. ISBN 1-58488-423-1.
  5. ^ EN Sarmin, LA Chudov (1963), Zur Stabilität der numerischen Integration von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen, die sich bei der Verwendung der Geradenmethode ergeben, UdSSR Computermathematik und Mathematische Physik, 3(6), (1537–1543).
  6. ^ S. 235, Spectral Methods: Evolution zu komplexen Geometrien und Anwendungen zur Fluiddynamik, Von Canuto, Hussaini, Quarteroni und Zang, Springer, 2007.
  7. ^ Roman Wienands; Wolfgang Joppich (2005). Praktische Fourier-Analyse für Multigrid-Methoden. CRC Drücken Sie. p. 17. ISBN 1-58488-492-4.
  8. ^ U. Trottenberg; CW Oosterlee; A. Schüller (2001). Multigrid. Akademische Presse. ISBN 0-12-701070-X.
  9. ^ Yu Zhu; Andreas C. Cangellaris (2006). Multigrid-Finite-Elemente-Methoden zur Modellierung elektromagnetischer Felder. Wiley. p. 132 ff. ISBN 0-471-74110-8.
  10. ^ Shah, Tasneem Mohammad (1989). Analyse der Multigrid-Methode (These). Universität Oxford. Bibcode:1989STIN … 9123418S.
  • LeVeque, Randall (1990), Numerische Methoden für Naturschutzgesetze, ETH-Vorlesungen in Mathematik, Birkhauser-Verlag.
  • John C. Tannehill et al. (1997), Computergestützte Strömungsmechanik und Wärmeübertragung, 2. Aufl., Taylor und Francis.

Externe Links[edit]