Kepler-Vermutung – Wikipedia

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Mathematischer Satz über Kugelpackung

Das Kepler-Vermutung, benannt nach dem Mathematiker und Astronomen Johannes Kepler aus dem 17. Jahrhundert, ist ein mathematischer Satz über die Kugelpackung im dreidimensionalen euklidischen Raum. Es heißt, dass keine Anordnung gleich großer Kugeln, die den Raum füllen, eine größere durchschnittliche Dichte aufweist als die Anordnung der kubisch engen Packung (flächenzentriert kubisch) und der hexagonalen engen Packung. Die Dichte dieser Anordnungen liegt bei 74,05%.

1998 gab Thomas Hales nach einem von Fejes Tóth (1953) vorgeschlagenen Ansatz bekannt, dass er einen Beweis für die Kepler-Vermutung habe. Hales ‘Beweis ist ein Beweis durch Erschöpfung, bei dem viele Einzelfälle mit komplexen Computerberechnungen überprüft werden. Die Schiedsrichter sagten, sie seien “zu 99% sicher”, dass Hales ‘Beweis korrekt sei, und die Kepler-Vermutung wurde als Theorem akzeptiert. Im Jahr 2014 gab das Flyspeck-Projektteam unter der Leitung von Hales die Fertigstellung eines formellen Beweises der Kepler-Vermutung unter Verwendung einer Kombination der Assistenten Isabelle und HOL Light Proof bekannt. Im Jahr 2017 wurde der formelle Nachweis von der Zeitschrift akzeptiert Forum für Mathematik, Pi.[1]

Hintergrund[edit]

Diagramme der kubischen Packung (links) und der sechseckigen Packung (rechts).

Stellen Sie sich vor, Sie füllen einen großen Behälter mit kleinen gleich großen Kugeln. Die Dichte der Anordnung ist gleich dem Gesamtvolumen der Kugeln geteilt durch das Volumen des Behälters. Um die Anzahl der Kugeln im Behälter zu maximieren, muss eine Anordnung mit der höchstmöglichen Dichte erstellt werden, damit die Kugeln so eng wie möglich zusammengepackt werden.

Das Experiment zeigt, dass durch zufälliges Einfallen der Kugeln eine Dichte von etwa 65% erreicht wird.[2] Eine höhere Dichte kann jedoch erreicht werden, indem die Kugeln wie folgt sorgfältig angeordnet werden. Beginnen Sie mit einer Kugelschicht in einem sechseckigen Gitter und legen Sie dann die nächste Kugelschicht an die tiefsten Stellen, die Sie über der ersten Schicht finden, und so weiter. Bei jedem Schritt gibt es zwei Möglichkeiten, wo die nächste Schicht platziert werden soll. Diese natürliche Methode zum Stapeln der Kugeln erzeugt eine unendliche Anzahl gleich dichter Packungen, von denen die bekanntesten als kubische Packung und hexagonale Packung bezeichnet werden. Jede dieser Anordnungen hat eine durchschnittliche Dichte von

Die Kepler-Vermutung besagt, dass dies das Beste ist, was getan werden kann – keine andere Anordnung von Kugeln hat eine höhere durchschnittliche Dichte.

Ursprünge[edit]

Eines der Diagramme aus Strena Seu de Nive Sexangula, zur Veranschaulichung der Kepler-Vermutung

Die Vermutung wurde erstmals von Johannes Kepler (1611) in seiner Arbeit “Auf der sechseckigen Schneeflocke” aufgestellt. Als Ergebnis seiner Korrespondenz mit dem englischen Mathematiker und Astronomen Thomas Harriot im Jahr 1606 hatte er begonnen, Arrangements von Sphären zu studieren. Harriot war ein Freund und Assistent von Sir Walter Raleigh, der Harriot das Problem gestellt hatte, herauszufinden, wie man Kanonenkugeln am besten stapelt die Decks seiner Schiffe. Harriot veröffentlichte 1591 eine Studie über verschiedene Stapelmuster und entwickelte eine frühe Version der Atomtheorie.

19. Jahrhundert[edit]

Kepler hatte keinen Beweis für die Vermutung, und der nächste Schritt wurde von Carl Friedrich Gauss (1831) unternommen, der bewies, dass die Kepler-Vermutung wahr ist, wenn die Kugeln in einem regelmäßigen Gitter angeordnet werden müssen.

Dies bedeutete, dass jede Packungsanordnung, die die Kepler-Vermutung widerlegte, unregelmäßig sein musste. Es ist jedoch sehr schwierig, alle möglichen unregelmäßigen Anordnungen zu beseitigen, und dies machte es schwierig, die Kepler-Vermutung zu beweisen. Tatsächlich gibt es unregelmäßige Anordnungen, die über ein ausreichend kleines Volumen dichter sind als die kubisch dicht gepackte Anordnung, aber es ist jetzt bekannt, dass jeder Versuch, diese Anordnungen zu erweitern, um ein größeres Volumen zu füllen, immer ihre Dichte verringert.

Nach Gauß wurden im 19. Jahrhundert keine weiteren Fortschritte beim Nachweis der Kepler-Vermutung erzielt. 1900 nahm David Hilbert es in seine Liste von 23 ungelösten Problemen der Mathematik auf – es ist Teil von Hilberts achtzehntem Problem.

20. Jahrhundert[edit]

Der nächste Schritt in Richtung einer Lösung wurde von László Fejes Tóth unternommen. Fejes Tóth (1953) zeigte, dass das Problem der Bestimmung der maximalen Dichte aller Anordnungen (regelmäßig und unregelmäßig) auf eine endliche (aber sehr große) Anzahl von Berechnungen reduziert werden konnte. Dies bedeutete, dass ein Beweis durch Erschöpfung grundsätzlich möglich war. Wie Fejes Tóth erkannte, könnte ein ausreichend schneller Computer dieses theoretische Ergebnis in eine praktische Herangehensweise an das Problem verwandeln.

In der Zwischenzeit wurde versucht, eine Obergrenze für die maximale Dichte einer möglichen Anordnung von Kugeln zu finden. Der englische Mathematiker Claude Ambrose Rogers (siehe Rogers (1958)) stellte einen oberen Grenzwert von etwa 78% fest, und spätere Bemühungen anderer Mathematiker reduzierten diesen Wert geringfügig, aber dieser war immer noch viel größer als die kubische Packungsdichte von etwa 74%.

Im Jahr 1990 behauptete Wu-Yi Hsiang, die Kepler-Vermutung bewiesen zu haben. Der Beweis wurde von gelobt Encyclopædia Britannica und Wissenschaft und Hsiang wurde auch bei gemeinsamen Treffen von AMS-MAA geehrt.[3] Wu-Yi Hsiang (1993, 2001) behauptete, die Kepler-Vermutung mit geometrischen Methoden zu beweisen. Gábor Fejes Tóth (der Sohn von László Fejes Tóth) erklärte jedoch in seiner Rezension des Papiers: “Was Details betrifft, bin ich der Meinung, dass viele der wichtigsten Aussagen keine akzeptablen Beweise haben.” Hales (1994) gab eine detaillierte Kritik an Hsiang’s Arbeit, auf die Hsiang (1995) antwortete. Der gegenwärtige Konsens ist, dass Hsiang’s Beweis unvollständig ist.[4]

Hales ‘Beweis[edit]

Nach dem von Fejes Tóth (1953) vorgeschlagenen Ansatz stellte Thomas Hales von der University of Michigan fest, dass die maximale Dichte aller Anordnungen durch Minimierung einer Funktion mit 150 Variablen ermittelt werden kann. 1992 startete er mit Unterstützung seines Doktoranden Samuel Ferguson ein Forschungsprogramm zur systematischen Anwendung linearer Programmiermethoden, um eine Untergrenze für den Wert dieser Funktion für jede von über 5.000 verschiedenen Kugelkonfigurationen zu finden. Wenn für jede dieser Konfigurationen eine Untergrenze (für den Funktionswert) gefunden werden könnte, die größer ist als der Wert der Funktion für die kubisch dicht gepackte Anordnung, dann wäre die Kepler-Vermutung bewiesen. Um Untergrenzen für alle Fälle zu finden, müssen etwa 100.000 lineare Programmierprobleme gelöst werden.

Als Hales 1996 den Fortschritt seines Projekts vorstellte, sagte er, dass das Ende in Sicht sei, aber es könnte “ein oder zwei Jahre” dauern, bis es fertig ist. Im August 1998 gab Hales bekannt, dass der Beweis vollständig sei. Zu diesem Zeitpunkt bestand es aus 250 Seiten Notizen und 3 Gigabyte Computerprogrammen, Daten und Ergebnissen.

Trotz der ungewöhnlichen Art des Beweises haben die Herausgeber der Annalen der Mathematik stimmte der Veröffentlichung zu, sofern sie von einer Gruppe von zwölf Schiedsrichtern akzeptiert wurde. Nach vierjähriger Arbeit berichtete der Leiter des Schiedsrichtergremiums, Gábor Fejes Tóth, im Jahr 2003, dass das Gremium “99% sicher” sei, ob der Beweis korrekt sei, aber nicht die Richtigkeit aller Computerberechnungen bestätigen könne .

Hales (2005) veröffentlichte ein 100-seitiges Papier, in dem der Nicht-Computer-Teil seines Beweises ausführlich beschrieben wird. Hales & Ferguson (2006) und mehrere nachfolgende Arbeiten beschrieben die rechnerischen Teile. Hales und Ferguson erhielten 2009 den Fulkerson-Preis für herausragende Arbeiten auf dem Gebiet der diskreten Mathematik.

Ein formeller Beweis[edit]

Im Januar 2003 kündigte Hales den Start eines Verbundprojekts an, um einen vollständigen formalen Beweis für die Kepler-Vermutung zu erbringen. Ziel war es, die verbleibende Unsicherheit über die Gültigkeit des Beweises zu beseitigen, indem ein formaler Beweis erstellt wurde, der mit einer automatisierten Beweisprüfungssoftware wie HOL Light und Isabelle überprüft werden kann. Dieses Projekt heißt Flyspeck – das F, P und K steht für Formaler Beweis von Kepler. Hales schätzte, dass die Erstellung eines vollständigen formalen Beweises etwa 20 Jahre Arbeit erfordern würde. Hales veröffentlichte 2012 erstmals eine “Blaupause” für den formalen Beweis;[5] Das Projekt wurde am 10. August 2014 als abgeschlossen angekündigt.[6] Im Januar 2015 reichten Hales und 21 Mitarbeiter arXiv ein Papier mit dem Titel “Ein formaler Beweis für die Kepler-Vermutung” ein, in dem sie behaupteten, die Vermutung bewiesen zu haben.[7] Im Jahr 2017 wurde der formelle Nachweis in die Zeitschrift Forum of Mathematics aufgenommen.[1]

Verwandte Probleme[edit]

Thues Theorem
Die reguläre hexagonale Packung ist die dichteste Kreispackung in der Ebene (1890). Die Dichte istπ⁄√12.
Das zweidimensionale Analogon der Kepler-Vermutung; Der Beweis ist elementar. Henk und Ziegler führen dieses Ergebnis 1773 auf Lagrange zurück (siehe Referenzen, S. 770).
Ein einfacher Beweis von Chau und Chung aus dem Jahr 2010 verwendet die Delaunay-Triangulation für die Menge der Punkte, die Kreismittelpunkte in einer gesättigten Kreispackung sind.[8]
Die sechseckige Wabenvermutung
Die effizienteste Aufteilung der Ebene in gleiche Bereiche ist die regelmäßige sechseckige Kachelung. Hales ‘Beweis (1999).
Bezogen auf Thues Theorem.
Dodekaedrische Vermutung
Das Volumen des Voronoi-Polyeders einer Kugel in einer Packung gleicher Kugeln entspricht mindestens dem Volumen eines regulären Dodekaeders mit Inradius 1. McLaughlins Beweis, für die er 1999 den Morgan-Preis erhielt.
Ein verwandtes Problem, dessen Beweis ähnliche Techniken verwendet wie Hales ‘Beweis der Kepler-Vermutung. Vermutung von L. Fejes Tóth in den 1950er Jahren.
Das Kelvin-Problem
Was ist der effizienteste Schaum in 3 Dimensionen? Es wurde vermutet, dass dies durch die Kelvin-Struktur gelöst werden konnte, und dies wurde über 100 Jahre lang allgemein angenommen, bis es 1993 durch die Entdeckung der Weaire-Phelan-Struktur widerlegt wurde. Die überraschende Entdeckung der Weaire-Phelan-Struktur und die Ablehnung der Kelvin-Vermutung ist ein Grund für die Vorsicht, Hales ‘Beweis der Kepler-Vermutung zu akzeptieren.
Kugelpackung in höheren Dimensionen
Im Jahr 2016 kündigte Maryna Viazovska Beweise für die optimalen Kugelpackungen in den Dimensionen 8 und 24 an.[9] Die Frage der optimalen Kugelpackung in anderen Dimensionen als 1, 2, 3, 8 und 24 ist jedoch noch offen.
Ulams Packungsvermutung
Es ist nicht bekannt, ob es einen konvexen Feststoff gibt, dessen optimale Packungsdichte niedriger ist als die der Kugel.

Verweise[edit]

  1. ^ ein b Hales, Thomas; Adams, Mark; Bauer, Gertrud; Dang, Tat Dat; Harrison, John; Hoang, Le Truong; Kaliszyk, Cezary; Magron, Victor; McLaughlin, Sean; Nguyen, Tat Thang; Nguyen, Quang Truong; Nipkow, Tobias; Obua, Steven; Pleso, Joseph; Rute, Jason; Solovyev, Alexey; Ta, Thi Hoai An; Tran, Nam Trung; Trieu, Thi Diep; Urban, Josef; Vu, Ky; Zumkeller, Roland (29. Mai 2017). “Ein formaler Beweis der Kepler-Vermutung”. Forum für Mathematik, Pi. 5: e2. doi:10.1017 / fmp.2017.1.
  2. ^ Li, Shuixiang; Zhao, Liang; Liu, Yuewu (April 2008). “Computersimulation der zufälligen Kugelpackung in einem beliebig geformten Behälter”. Computer, Materialien und Continua. 7: 109–118.
  3. ^ Hales, Thomas C. (Juni 1994). “Der Status der Kepler-Vermutung”. Der mathematische Intelligencer. 16 (3): 47–58. doi:10.1007 / BF03024356. S2CID 123375854.
  4. ^ Singh, Simon (1997). Fermats letzter Satz. New York: Walker. ISBN 978-0-80271-331-5.
  5. ^ Hales, Thomas C. (2012). Dichte Kugelpackungen: Eine Blaupause für formale Beweise. Vorlesungsreihe der London Mathematical Society. 400. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-61770-3.
  6. ^ “Projekt Flyspeck”. Google Code.
  7. ^ Hales, Thomas; et al. (9. Januar 2015). “Ein formaler Beweis der Kepler-Vermutung”. arXiv:1501.02155 [math.MG].
  8. ^ Chang, Hai-Chau; Wang, Lih-Chung (22. September 2010). “Ein einfacher Beweis von Thues Theorem über das Packen von Kreisen”. arXiv:1009,4322 [math.MG].
  9. ^ Klarreich, Erica (30. März 2016), “Kugelpackung in höheren Dimensionen gelöst”, Quanta Magazine

Veröffentlichungen[edit]

Externe Links[edit]


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