Pearsons Chi-Quadrat-Test – Wikipedia

Posted on December 27, 2020 by lordneo

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bewertet, wie wahrscheinlich es ist, dass ein Unterschied zwischen Datensätzen zufällig entstanden ist

Pearsons Chi-Quadrat-Test ((

{ displaystyle chi ^ {2}}

$chi ^ {2}$ ) ist ein statistischer Test, der auf Sätze kategorialer Daten angewendet wird, um zu bewerten, wie wahrscheinlich es ist, dass ein beobachteter Unterschied zwischen den Sätzen zufällig aufgetreten ist. Es ist das am weitesten verbreitete von vielen Chi-Quadrat-Tests (z. B. Yates, Wahrscheinlichkeitsverhältnis, Portmanteau-Test in Zeitreihen usw.) – statistische Verfahren, deren Ergebnisse anhand der Chi-Quadrat-Verteilung bewertet werden. Seine Eigenschaften wurden erstmals 1900 von Karl Pearson untersucht.^[1] In Kontexten, in denen es wichtig ist, die Unterscheidung zwischen der Teststatistik und ihrer Verteilung zu verbessern, werden ähnliche Namen verwendet Pearson χ-Quadrat Test oder Statistik werden verwendet.

Es wird eine Nullhypothese getestet, die besagt, dass die Häufigkeitsverteilung bestimmter in einer Stichprobe beobachteter Ereignisse mit einer bestimmten theoretischen Verteilung übereinstimmt. Die berücksichtigten Ereignisse müssen sich gegenseitig ausschließen und die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 haben. Ein häufiger Fall hierfür ist, dass die Ereignisse jeweils ein Ergebnis einer kategorialen Variablen abdecken. Ein einfaches Beispiel ist die Hypothese, dass ein gewöhnlicher sechsseitiger Würfel ist “Messe” (d.h. alle sechs Ergebnisse treten gleich wahrscheinlich auf.)

Table of Contents

Definition[edit]

Der Pearson-Chi-Quadrat-Test wird verwendet, um drei Arten von Vergleichen zu bewerten: Anpassungsgüte, Homogenität und Unabhängigkeit.

Ein Test der Anpassungsgüte stellt fest, ob sich eine beobachtete Häufigkeitsverteilung von einer theoretischen Verteilung unterscheidet.
Ein Homogenitätstest vergleicht die Verteilung der Zählungen für zwei oder mehr Gruppen unter Verwendung derselben kategorialen Variablen (z. B. Wahl der Aktivität – Hochschule, Militär, Beschäftigung, Reisen) von Absolventen einer High School, die ein Jahr nach dem Abschluss gemeldet wurden, sortiert nach Abschlussjahr. um festzustellen, ob sich die Anzahl der Absolventen, die eine bestimmte Aktivität auswählen, von Klasse zu Klasse oder von Jahrzehnt zu Jahrzehnt geändert hat).^[2]
Bei einem Unabhängigkeitstest wird bewertet, ob Beobachtungen, die aus Maßnahmen zu zwei Variablen bestehen, die in einer Kontingenztabelle ausgedrückt werden, unabhängig voneinander sind (z. B. Umfrageantworten von Personen unterschiedlicher Nationalität, um festzustellen, ob die Nationalität mit der Antwort zusammenhängt).

Für alle drei Tests umfasst das Berechnungsverfahren die folgenden Schritte:

Berechnen Sie die Chi-Quadrat-Teststatistik. χ², was einer normalisierten Summe quadratischer Abweichungen zwischen beobachteten und theoretischen Frequenzen ähnelt (siehe unten).
Bestimmen Sie die Freiheitsgrade, dfdieser Statistik.
1. Für einen Test der Passgenauigkeit df = Katzen – Parms, wo Katzen ist die Anzahl der vom Modell erkannten Beobachtungskategorien und Parms ist die Anzahl der Parameter im Modell, die angepasst wurden, damit das Modell am besten zu den Beobachtungen passt: Die Anzahl der Kategorien, die um die Anzahl der angepassten Parameter in der Verteilung reduziert wurden.
2. Zum Testen der Homogenität df = (Zeilen – 1) × (Spalten – 1), wo Reihen entspricht der Anzahl der Kategorien (dh Zeilen in der zugehörigen Kontingenztabelle) und Cols entspricht der Anzahl unabhängiger Gruppen (dh Spalten in der zugehörigen Kontingenztabelle).^[2]
3. Zum Test der Unabhängigkeit df = (Zeilen – 1) × (Spalten – 1), wo in diesem Fall Reihen entspricht der Anzahl der Kategorien in einer Variablen und Cols entspricht der Anzahl der Kategorien in der zweiten Variablen.^[2]
Wählen Sie ein gewünschtes Vertrauensniveau (Signifikanzniveau, p-Wert oder das entsprechende Alpha-Niveau) für das Testergebnis.
Vergleichen Sie ${ displaystyle chi ^ {2}}$
Halten Sie die Nullhypothese aufrecht oder lehnen Sie sie ab, dass die beobachtete Häufigkeitsverteilung mit der theoretischen Verteilung übereinstimmt, basierend darauf, ob die Teststatistik den kritischen Wert von überschreitet ${ displaystyle chi ^ {2}}$

Test auf Passform einer Verteilung[edit]

Diskrete Gleichverteilung[edit]

In diesem Fall

{ displaystyle N}

$N.$ Beobachtungen werden unter aufgeteilt

{ displaystyle n}

$n$ Zellen. Eine einfache Anwendung besteht darin, die Hypothese zu testen, dass in der Allgemeinbevölkerung Werte in jeder Zelle mit gleicher Häufigkeit auftreten würden. Das “theoretische Frequenz” für jede Zelle (unter der Nullhypothese einer diskreten Gleichverteilung) wird somit berechnet als

{ displaystyle E_ {i} = { frac {N} {n}} ,,}

und die Verringerung der Freiheitsgrade ist

{ displaystyle p = 1}

$p = 1$ , fiktiv weil die beobachteten Frequenzen

{ displaystyle O_ {i}}

$O_ {i}$ sind gezwungen zu summieren

{ displaystyle N}

$N.$ .

Ein spezifisches Beispiel für seine Anwendung wäre die Anwendung für den Log-Rank-Test.

Andere Distributionen[edit]

Beim Testen, ob Beobachtungen Zufallsvariablen sind, deren Verteilung zu einer bestimmten Verteilungsfamilie gehört, wird die “theoretische Frequenzen” werden unter Verwendung einer Verteilung aus dieser Familie berechnet, die auf eine Standardweise angepasst ist. Die Verringerung der Freiheitsgrade wird berechnet als

{ displaystyle p = s + 1}

$p = s + 1$ , wo

{ displaystyle s}

$s$ ist die Anzahl der Co-Variablen, die zur Anpassung der Verteilung verwendet werden. Wenn Sie beispielsweise eine Weibull-Verteilung mit drei Variationen überprüfen,

{ displaystyle p = 4}

$p = 4$ und bei der Überprüfung einer Normalverteilung (wobei die Parameter Mittelwert und Standardabweichung sind),

{ displaystyle p = 3}

$p = 3$ und beim Überprüfen einer Poisson-Verteilung (wobei der Parameter der erwartete Wert ist),

{ displaystyle p = 2}

$p = 2$ . So wird es sein

{ displaystyle np}

$np$ Freiheitsgrade, wo

{ displaystyle n}

$n$ ist die Anzahl der Kategorien.

Die Freiheitsgrade basieren nicht auf der Anzahl der Beobachtungen wie bei der t- oder F-Verteilung eines Schülers. Wenn Sie beispielsweise auf einen fairen, sechsseitigen Würfel testen, gibt es fünf Freiheitsgrade, da es sechs Kategorien / Parameter (jede Zahl) gibt. Die Häufigkeit, mit der die Würfel gewürfelt werden, hat keinen Einfluss auf die Anzahl der Freiheitsgrade.

Berechnung der Teststatistik[edit]

Kritische Werte der Chi-Quadrat-Verteilung im oberen Schwanz^[3]
Grad von Freiheit	Wahrscheinlichkeit kleiner als der kritische Wert
Grad von Freiheit	0,90	0,95	0,975	0,99	0,999
1	2,706	3.841	5.024	6.635	10.828
2	4.605	5.991	7.378	9.210	13.816
3	6.251	7.815	9.348	11.345	16.266
4	7.779	9.488	11.143	13.277	18.467
5	9.236	11.070	12.833	15.086	20.515
6	10.645	12.592	14.449	16.812	22.458
7	12.017	14.067	16.013	18.475	24.322
8	13.362	15.507	17.535	20.090	26.125
9	14.684	16.919	19.023	21.666	27.877
10	15.987	18.307	20.483	23.209	29.588
11	17.275	19.675	21.920	24.725	31.264
12	18.549	21.026	23.337	26.217	32.910
13	19.812	22.362	24.736	27.688	34.528
14	21.064	23.685	26.119	29.141	36.123
15	22.307	24.996	27.488	30.578	37,697
16	23.542	26.296	28.845	32.000	39,252
17	24.769	27.587	30.191	33.409	40,790
18	25.989	28.869	31.526	34.805	42.312
19	27.204	30.144	32,852	36.191	43.820
20	28.412	31.410	34.170	37,566	45.315
21	29.615	32.671	35,479	38.932	46,797
22	30.813	33.924	36.781	40,289	48,268
23	32.007	35,172	38.076	41.638	49,728
24	33.196	36.415	39.364	42,980	51.179
25	34.382	37,652	40,646	44.314	52.620
26	35,563	38,885	41.923	45.642	54.052
27	36.741	40.113	43.195	46.963	55,476
28	37.916	41.337	44.461	48,278	56,892
29	39.087	42,557	45.722	49,588	58.301
30	40,256	43.773	46.979	50,892	59.703
31	41.422	44.985	48,232	52.191	61.098
32	42,585	46.194	49,480	53.486	62,487
33	43.745	47.400	50,725	54.776	63.870
34	44.903	48.602	51.966	56.061	65,247
35	46.059	49.802	53.203	57.342	66.619
36	47.212	50,998	54.437	58.619	67,985
37	48.363	52.192	55,668	59.893	69,347
38	49,513	53,384	56,896	61,162	70.703
39	50,660	54.572	58.120	62.428	72.055
40	51.805	55,758	59,342	63.691	73.402
41	52.949	56,942	60,561	64.950	74.745
42	54.090	58.124	61.777	66.206	76,084
43	55.230	59.304	62,990	67,459	77,419
44	56,369	60,481	64.201	68.710	78.750
45	57.505	61,656	65.410	69,957	80.077
46	58.641	62.830	66.617	71.201	81.400
47	59.774	64.001	67,821	72,443	82.720
48	60,907	65,171	69.023	73.683	84.037
49	62.038	66,339	70,222	74.919	85,351
50	63.167	67,505	71.420	76,154	86,661
51	64,295	68.669	72,616	77,386	87,968
52	65.422	69.832	73.810	78.616	89,272
53	66,548	70,993	75.002	79,843	90,573
54	67,673	72,153	76,192	81.069	91,872
55	68.796	73.311	77,380	82,292	93,168
56	69.919	74,468	78,567	83.513	94,461
57	71.040	75.624	79,752	84.733	95,751
58	72,160	76,778	80,936	85,950	97.039
59	73,279	77.931	82.117	87,166	98.324
60	74,397	79.082	83,298	88,379	99,607
61	75,514	80,232	84.476	89,591	100,888
62	76,630	81,381	85,654	90.802	102.166
63	77,745	82.529	86.830	92.010	103.442
64	78,860	83,675	88.004	93.217	104.716
65	79.973	84.821	89,177	94.422	105.988
66	81.085	85,965	90,349	95,626	107,258
67	82.197	87.108	91,519	96,828	108,526
68	83.308	88,250	92,689	98.028	109.791
69	84.418	89.391	93,856	99,228	111.055
70	85,527	90.531	95.023	100,425	112.317
71	86,635	91.670	96,189	101.621	113,577
72	87,743	92.808	97,353	102.816	114,835
73	88,850	93.945	98.516	104.010	116.092
74	89,956	95.081	99,678	105.202	117,346
75	91.061	96,217	100,839	106.393	118,599
76	92,166	97,351	101.999	107,583	119,850
77	93,270	98.484	103.158	108.771	121.100
78	94.374	99,617	104.316	109,958	122.348
79	95,476	100,749	105,473	111,144	123,594
80	96,578	101,879	106.629	112.329	124,839
81	97.680	103.010	107,783	113.512	126.083
82	98.780	104,139	108,937	114.695	127,324
83	99,880	105,267	110.090	115,876	128,565
84	100,980	106,395	111,242	117.057	129.804
85	102.079	107,522	112.393	118,236	131.041
86	103.177	108.648	113.544	119.414	132,277
87	104,275	109,773	114.693	120,591	133,512
88	105.372	110,898	115.841	121.767	134,746
89	106,469	112.022	116.989	122.942	135,978
90	107,565	113.145	118,136	124.116	137,208
91	108.661	114,268	119,282	125,289	138,438
92	109,756	115,390	120,427	126,462	139,666
93	110,850	116.511	121,571	127,633	140.893
94	111.944	117,632	122.715	128.803	142,119
95	113.038	118,752	123,858	129.973	143,344
96	114.131	119,871	125.000	131,141	144,567
97	115,223	120,990	126.141	132.309	145,789
98	116.315	122.108	127,282	133,476	147.010
99	117.407	123,225	128,422	134,642	148,230
100	118,498	124.342	129,561	135,807	149,449

Der Wert der Teststatistik ist

{ displaystyle chi ^ {2} = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {(O_ {i} -E_ {i}) ^ {2}} {E_ {i}}} = N sum _ {i = 1} ^ {n} { frac { left (O_ {i} / N-p_ {i} right) ^ {2}} {p_ {i}}}}

{ displaystyle chi ^ {2}}

{ displaystyle O_ {i}}

{ displaystyle N}

{ displaystyle E_ {i} = Np_ {i}}

{ displaystyle n}

Die Chi-Quadrat-Statistik kann dann verwendet werden, um einen p-Wert zu berechnen, indem der Wert der Statistik mit einer Chi-Quadrat-Verteilung verglichen wird. Die Anzahl der Freiheitsgrade entspricht der Anzahl der Zellen

{ displaystyle n}

$n$ abzüglich der Verringerung der Freiheitsgrade,

{ displaystyle p}

$p$ .

Das Ergebnis über die Anzahl der Freiheitsgrade ist gültig, wenn die Originaldaten multinomial sind und daher die geschätzten Parameter zur Minimierung der Chi-Quadrat-Statistik effizient sind. Allgemeiner jedoch liegt die Verteilung irgendwo zwischen einer Chi-Quadrat-Verteilung mit, wenn die Schätzung der maximalen Wahrscheinlichkeit nicht mit der Schätzung des minimalen Chi-Quadrats übereinstimmt

{ displaystyle n-1-p}

$n-1-p$ und

{ displaystyle n-1}

$n-1$ Freiheitsgrade (siehe zum Beispiel Chernoff und Lehmann, 1954).

Bayesianische Methode[edit]

In der Bayes’schen Statistik würde man stattdessen eine Dirichlet-Verteilung als konjugiertes Prior verwenden. Wenn man zuvor eine einheitliche Schätzung vorgenommen hat, ist die maximale Wahrscheinlichkeitsschätzung für die Bevölkerungswahrscheinlichkeit die beobachtete Wahrscheinlichkeit, und man kann eine glaubwürdige Region um diese oder eine andere Schätzung berechnen.

Prüfung auf statistische Unabhängigkeit[edit]

In diesem Fall ein “Überwachung” besteht aus den Werten zweier Ergebnisse und die Nullhypothese lautet, dass das Auftreten dieser Ergebnisse statistisch unabhängig ist. Jede Beobachtung wird einer Zelle eines zweidimensionalen Arrays von Zellen (als Kontingenztabelle bezeichnet) gemäß den Werten der beiden Ergebnisse zugeordnet. Wenn es gibt r Zeilen und c Spalten in der Tabelle, die “theoretische Frequenz” für eine Zelle ist angesichts der Hypothese der Unabhängigkeit

{ displaystyle E_ {i, j} = Np_ {i cdot} p _ { cdot j},}

{ displaystyle N}

$N.$ ist die Gesamtstichprobengröße (die Summe aller Zellen in der Tabelle) und

{ displaystyle p_ {i cdot} = { frac {O_ {i cdot}} {N}} = sum _ {j = 1} ^ {c} { frac {O_ {i, j}} { N}},}

ist der Bruchteil der Beobachtungen vom Typ ich Ignorieren des Spaltenattributs (Bruchteil der Zeilensummen) und

{ displaystyle p _ { cdot j} = { frac {O _ { cdot j}} {N}} = sum _ {i = 1} ^ {r} { frac {O_ {i, j}} { N}}}

ist der Bruchteil der Beobachtungen vom Typ j Ignorieren des Zeilenattributs (Bruchteil der Spaltensummen). Der Begriff “Frequenzen” bezieht sich eher auf absolute Zahlen als auf bereits normalisierte Werte.

Der Wert der Teststatistik ist

{ displaystyle chi ^ {2} = sum _ {i = 1} ^ {r} sum _ {j = 1} ^ {c} {(O_ {i, j} -E_ {i, j}) ^ {2} über E_ {i, j}}}

{ displaystyle = N sum _ {i, j} p_ {i cdot} p _ { cdot j} left ({ frac {(O_ {i, j} / N) -p_ {i cdot} p _ { cdot j}} {p_ {i cdot} p _ { cdot j}}} right) ^ {2}}

Beachten Sie, dass

{ displaystyle chi ^ {2}}

$chi ^ {2}$ ist genau dann 0, wenn

{ displaystyle O_ {i, j} = E_ {i, j} forall i, j}

$O_ {i, j} = E_ {i, j} für alle i, j$ dh nur, wenn die erwartete und die wahre Anzahl von Beobachtungen in allen Zellen gleich sind.

Passend zum Modell von “Unabhängigkeit” reduziert die Anzahl der Freiheitsgrade um p = r + c – 1. Die Anzahl der Freiheitsgrade entspricht der Anzahl der Zellen rcabzüglich der Verringerung der Freiheitsgrade, p, was sich auf (r – 1) (c – 1).

Für den Test der Unabhängigkeit, auch als Homogenitätstest bekannt, wird eine Chi-Quadrat-Wahrscheinlichkeit von weniger als oder gleich 0,05 (oder die Chi-Quadrat-Statistik liegt bei oder größer als der kritische Punkt von 0,05) von angewandten Arbeitern üblicherweise als interpretiert Begründung für die Ablehnung der Nullhypothese, dass die Zeilenvariable unabhängig von der Spaltenvariablen ist.^[4]

Die alternative Hypothese entspricht den Variablen mit einer Assoziation oder Beziehung, bei denen die Struktur dieser Beziehung nicht angegeben ist.

Annahmen[edit]

Der Chi-Quadrat-Test hat, wenn er mit der Standardnäherung verwendet wird, dass eine Chi-Quadrat-Verteilung anwendbar ist, die folgenden Annahmen:^{[citation needed]}

Einfache Zufallsstichprobe: Die Stichprobendaten sind eine Zufallsstichprobe aus einer festen Verteilung oder Population, bei der jede Sammlung von Mitgliedern der Population der angegebenen Stichprobengröße die gleiche Auswahlwahrscheinlichkeit aufweist. Testvarianten wurden für komplexe Proben entwickelt, z. B. wo die Daten gewichtet werden. Andere Formen können verwendet werden, beispielsweise eine gezielte Probenahme.^[5]
Stichprobengröße (ganze Tabelle): Eine Stichprobe mit einer ausreichend großen Größe wird angenommen. Wenn ein Chi-Quadrat-Test an einer Probe mit einer kleineren Größe durchgeführt wird, ergibt der Chi-Quadrat-Test eine ungenaue Schlussfolgerung. Durch die Verwendung des Chi-Quadrat-Tests an kleinen Proben kann der Forscher einen Fehler vom Typ II begehen.
Erwartete Zellzahl: Angemessene erwartete Zellzahlen. Einige erfordern 5 oder mehr, andere 10 oder mehr. Eine übliche Regel ist 5 oder mehr in allen Zellen einer 2-mal-2-Tabelle und 5 oder mehr in 80% der Zellen in größeren Tabellen, aber keine Zellen mit einer erwarteten Anzahl von Null. Wenn diese Annahme nicht erfüllt ist, wird die Yates-Korrektur angewendet.
Unabhängigkeit: Die Beobachtungen werden immer als unabhängig voneinander angenommen. Dies bedeutet, dass Chi-Quadrat nicht zum Testen korrelierter Daten (wie übereinstimmender Paare oder Paneldaten) verwendet werden kann. In diesen Fällen ist der McNemar-Test möglicherweise besser geeignet.

Ein Test, der auf unterschiedlichen Annahmen beruht, ist der genaue Test von Fisher. Wenn die Annahme fester Randverteilungen erfüllt ist, ist es wesentlich genauer, ein Signifikanzniveau zu erhalten, insbesondere mit wenigen Beobachtungen. In der überwiegenden Mehrheit der Anwendungen wird diese Annahme nicht erfüllt, und der genaue Test von Fisher ist zu konservativ und weist keine korrekte Abdeckung auf.^[6]

Ableitung[edit]

Ableitung unter Verwendung des zentralen Grenzwertsatzes

Die Nullverteilung der Pearson-Statistik mit j Zeilen und k Spalten wird durch die Chi-Quadrat-Verteilung mit (angenähert) angenähert.k – 1) (j – 1) Freiheitsgrade.^[7]

Diese Annäherung ergibt sich als wahre Verteilung unter der Nullhypothese, wenn der erwartete Wert durch eine Multinomialverteilung gegeben ist. Für große Stichprobengrößen tendiert der zentrale Grenzwertsatz dazu, dass diese Verteilung zu einer bestimmten multivariaten Normalverteilung tendiert.

Zwei Zellen[edit]

In dem speziellen Fall, in dem die Tabelle nur zwei Zellen enthält, folgen die erwarteten Werte einer Binomialverteilung.

{ displaystyle E sim { mbox {Bin}} (n, p), ,}

p = Wahrscheinlichkeit unter der Nullhypothese,

n = Anzahl der Beobachtungen in der Stichprobe.

Im obigen Beispiel beträgt die hypothetische Wahrscheinlichkeit einer männlichen Beobachtung 0,5 mit 100 Proben. Wir erwarten daher 50 Männer zu beobachten.

Wenn n ausreichend groß ist, kann die obige Binomialverteilung durch eine Gaußsche (Normal-) Verteilung angenähert werden, und somit nähert sich die Pearson-Teststatistik einer Chi-Quadrat-Verteilung an.

{ displaystyle { text {Bin}} (n, p) ungefähr { text {N}} (np, np (1-p)). ,}

Lassen Ö₁ ist die Anzahl der Beobachtungen aus der Probe, die sich in der ersten Zelle befinden. Die Pearson-Teststatistik kann ausgedrückt werden als

{ displaystyle { frac {(O_ {1} -np) ^ {2}} {np}} + { frac {(n-O_ {1} -n (1-p)) ^ {2}} { n (1-p)}},}

was wiederum ausgedrückt werden kann als

{ displaystyle left ({ frac {O_ {1} -np} { sqrt {np (1-p)}}} right) ^ {2}.}

Durch die normale Annäherung an ein Binomial ist dies das Quadrat einer Standardnormalvariablen und wird daher als Chi-Quadrat mit 1 Freiheitsgrad verteilt. Beachten Sie, dass der Nenner eine Standardabweichung der Gaußschen Näherung ist und somit geschrieben werden kann

{ displaystyle { frac {(O_ {1} – mu) ^ {2}} { sigma ^ {2}}}.}

In Übereinstimmung mit der Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung messen wir, wie wahrscheinlich die beobachtete Anzahl von Standardabweichungen vom Mittelwert unter der Gaußschen Näherung ist (was eine gute Näherung für große ist n).

Die Chi-Quadrat-Verteilung wird dann rechts vom Statistikwert integriert, um den P-Wert zu erhalten, der der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass eine Statistik gleich oder größer als die beobachtete wird, wobei die Nullhypothese angenommen wird.

Zwei-mal-zwei-Kontingenztabellen[edit]

Wenn der Test auf eine Kontingenztabelle angewendet wird, die zwei Zeilen und zwei Spalten enthält, entspricht der Test einem Z-Test mit Proportionen.^{[citation needed]}

Viele Zellen[edit]

Ähnliche Argumente wie oben führen zum gewünschten Ergebnis.^{[citation needed]} Jede Zelle (mit Ausnahme der letzten, deren Wert vollständig von den anderen bestimmt wird) wird als unabhängige Binomialvariable behandelt, und ihre Beiträge werden summiert und jede trägt zu einem Freiheitsgrad bei.

Lassen Sie uns nun beweisen, dass sich die Verteilung tatsächlich asymptotisch der nähert

{ displaystyle chi ^ {2}}

$chi ^ {2}$ Verteilung, wenn sich die Anzahl der Beobachtungen der Unendlichkeit nähert.

Lassen

{ displaystyle n}

$n$ sei die Anzahl der Beobachtungen,

{ displaystyle m}

$m$ die Anzahl der Zellen und

{ displaystyle p_ {i}}

$Pi}$ die Wahrscheinlichkeit, dass eine Beobachtung in die i-te Zelle fällt, z

{ displaystyle 1 leq i leq m}

$1 leq i leq m$ . Wir bezeichnen mit

{ displaystyle {k_ {i} }}

${ displaystyle {k_ {i} }}$ die Konfiguration wo für jedes i gibt es

{ displaystyle k_ {i}}

$k_ {i}$ Beobachtungen in der i-ten Zelle. Beachten Sie, dass

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {m} k_ {i} = n qquad { text {und}} qquad sum _ {i = 1} ^ {m} p_ {i} = 1 .}

Lassen

{ displaystyle chi _ {P} ^ {2} ( {k_ {i} }, {p_ {i} })}

${ displaystyle chi _ {P} ^ {2} ( {k_ {i} }, {p_ {i} })}$ Pearsons kumulative Teststatistik für eine solche Konfiguration sein und lassen

{ displaystyle chi _ {P} ^ {2} ( {p_ {i} })}

${ displaystyle chi _ {P} ^ {2} ( {p_ {i} })}$ die Verteilung dieser Statistik sein. Wir werden zeigen, dass sich die letztere Wahrscheinlichkeit dem nähert

{ displaystyle chi ^ {2}}

$chi ^ {2}$ Verteilung mit

{ displaystyle m-1}

$m-1$ Freiheitsgrade, as

{ displaystyle n to infty.}

$n to infty.$

Für jeden beliebigen Wert T:

{ displaystyle P ( chi _ {P} ^ {2} ( {p_ {i} })> T) = sum _ { {k_ {i} } | chi _ {P} ^ { 2} ( {k_ {i} }, {p_ {i} })> T} { frac {n!} {K_ {1}! Cdots k_ {m}!}} Prod _ { i = 1} ^ {m} {p_ {i}} ^ {k_ {i}}}

Beispiele[edit]

Fairness der Würfel[edit]

Ein 6-seitiger Würfel wird 60 Mal geworfen. Die Häufigkeit, mit der es mit 1, 2, 3, 4, 5 und 6 nach oben landet, beträgt 5, 8, 9, 8, 10 bzw. 20. Ist der Würfel gemäß dem Pearson-Chi-Quadrat-Test bei einem Signifikanzniveau von 95% und / oder 99% vorgespannt?

n = 6, da es 6 mögliche Ergebnisse gibt, 1 bis 6. Die Nullhypothese lautet, dass der Würfel unverzerrt ist, daher wird erwartet, dass jede Zahl in diesem Fall gleich oft auftritt. 60/.n = 10. Die Ergebnisse können wie folgt tabelliert werden:

Die Anzahl der Freiheitsgrade ist n – 1 = 5. Die Kritische Werte der Chi-Quadrat-Verteilung im oberen Schwanz Die Tabelle gibt einen kritischen Wert von 11.070 bei einem Signifikanzniveau von 95% an:

Grad von Freiheit	Wahrscheinlichkeit kleiner als der kritische Wert
Grad von Freiheit	0,90	0,95	0,975	0,99	0,999
5	9.236	11.070	12.833	15.086	20.515

Da die Chi-Quadrat-Statistik von 13,4 diesen kritischen Wert überschreitet, lehnen wir die Nullhypothese ab und schließen daraus, dass der Würfel auf ein Signifikanzniveau von 95% vorgespannt ist.

Bei einem Signifikanzniveau von 99% beträgt der kritische Wert 15,086. Da die Chi-Quadrat-Statistik diese nicht überschreitet, lehnen wir die Nullhypothese nicht ab und schließen daraus, dass es nicht genügend Beweise gibt, um zu zeigen, dass der Würfel auf ein Signifikanzniveau von 99% verzerrt ist.

Güte der Anpassung[edit]

In diesem Zusammenhang sind die Häufigkeiten sowohl der theoretischen als auch der empirischen Verteilung nicht normalisierte Zählungen und für einen Chi-Quadrat-Test die Gesamtprobengrößen

{ displaystyle N}

$N.$ dieser beiden Verteilungen (Summen aller Zellen der entsprechenden Kontingenztabellen) müssen gleich sein.

Um beispielsweise die Hypothese zu testen, dass eine Zufallsstichprobe von 100 Personen aus einer Population gezogen wurde, in der Männer und Frauen gleich häufig sind, würde die beobachtete Anzahl von Männern und Frauen mit den theoretischen Häufigkeiten von 50 Männern und 50 Frauen verglichen . Wenn 44 Männer in der Stichprobe und 56 Frauen waren, dann

{ displaystyle chi ^ {2} = {(44-50) ^ {2} über 50} + {(56-50) ^ {2} über 50} = 1,44.}

Wenn die Nullhypothese wahr ist (dh Männer und Frauen werden mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt), wird die Teststatistik aus einer Chi-Quadrat-Verteilung mit einem Freiheitsgrad gezogen (denn wenn die männliche Frequenz bekannt ist, ist die weibliche Frequenz entschlossen).

Die Konsultation der Chi-Quadrat-Verteilung für 1 Freiheitsgrad zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, diesen Unterschied (oder einen extremeren Unterschied als diesen) zu beobachten, wenn Männer und Frauen in der Bevölkerung gleich zahlreich sind, ungefähr 0,23 beträgt. Diese Wahrscheinlichkeit ist höher als herkömmliche Kriterien für die statistische Signifikanz (0,01 oder 0,05), daher würden wir normalerweise die Nullhypothese nicht ablehnen, dass die Anzahl der Männer in der Bevölkerung der Anzahl der Frauen entspricht (dh wir würden unsere Stichprobe innerhalb betrachten die Bandbreite dessen, was wir für ein Verhältnis von Männern zu Frauen von 50/50 erwarten würden.)

Probleme[edit]

Die Annäherung an die Chi-Quadrat-Verteilung bricht zusammen, wenn die erwarteten Frequenzen zu niedrig sind. Es ist normalerweise akzeptabel, solange nicht mehr als 20% der Ereignisse erwartete Frequenzen unter 5 haben. Wenn nur 1 Freiheitsgrad vorhanden ist, ist die Approximation nicht zuverlässig, wenn die erwarteten Frequenzen unter 10 liegen. In diesem Fall eine bessere Approximation kann erhalten werden, indem der Absolutwert jeder Differenz zwischen beobachteten und erwarteten Frequenzen vor dem Quadrieren um 0,5 verringert wird; Dies wird als Yates-Korrektur für die Kontinuität bezeichnet.

In Fällen, in denen der erwartete Wert E als klein befunden wird (was auf eine geringe zugrunde liegende Populationswahrscheinlichkeit und / oder eine geringe Anzahl von Beobachtungen hinweist), kann die normale Annäherung der Multinomialverteilung fehlschlagen, und in solchen Fällen wird dies festgestellt besser geeignet sein, den G-Test zu verwenden, eine auf dem Wahrscheinlichkeitsverhältnis basierende Teststatistik. Wenn die Gesamtstichprobengröße klein ist, muss ein geeigneter exakter Test verwendet werden, typischerweise entweder der Binomialtest oder (für Kontingenztabellen) der exakte Fisher-Test. Dieser Test verwendet die bedingte Verteilung der Teststatistik unter Berücksichtigung der Grenzsummen. Es wird jedoch nicht davon ausgegangen, dass die Daten aus einem Experiment generiert wurden, bei dem die Grenzsummen festgelegt sind^{[dubious – discuss]} und ist gültig, ob dies der Fall ist oder nicht.^{[dubious – discuss]}^{[citation needed]}

Es kann gezeigt werden, dass die

{ displaystyle chi ^ {2}}

$chi ^ {2}$ Test ist eine Annäherung niedriger Ordnung an die

{ displaystyle Psi}

$Psi$ Prüfung.^[8] Die obigen Gründe für die obigen Probleme werden offensichtlich, wenn die Terme höherer Ordnung untersucht werden.

Siehe auch[edit]

^ Pearson, Karl (1900). “Nach dem Kriterium, dass ein gegebenes System von Abweichungen vom Wahrscheinlichen im Fall eines korrelierten Variablensystems so ist, dass vernünftigerweise angenommen werden kann, dass es aus einer Zufallsstichprobe entstanden ist” (PDF). Philosophisches Magazin. Serie 5. 50 (302): 157–175. doi:10.1080 / 14786440009463897.
^ ^ein ^b ^c David E. Bock, Paul F. Velleman und Richard D. De Veaux (2007). “Statistik, Modellierung der Welt,” S. 606-627, Pearson Addison Wesley, Boston, ISBN 0-13-187621-X
^ “1.3.6.7.4. Kritische Werte der Chi-Quadrat-Verteilung”. Abgerufen 14. Oktober 2014.
^ “Kritische Werte der Chi-Quadrat-Verteilung”. NIST / SEMATECH e-Handbuch für statistische Methoden. Nationales Institut für Standards und Technologie.
^ Sehen Field, Andy. Ermitteln von Statistiken mit SPSS. für Annahmen auf dem Chi-Platz.
^ “Eine Bayes’sche Formulierung für explorative Datenanalyse und Anpassungstests” (PDF). Internationale statistische Überprüfung. p. 375.
^ Statistiken für Anwendungen. MIT OpenCourseWare. Vorlesung 23. Pearson’s Theorem. Abgerufen am 21. März 2007.
^ Jaynes, ET (2003). Wahrscheinlichkeitstheorie: Die Logik der Wissenschaft. C. Universitätspresse. p. 298. ISBN 978-0-521-59271-0. ((Link ist zu einer fragmentarischen Ausgabe vom März 1996.)

Verweise[edit]

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