Viergeschwindigkeit – Wikipedia

In der Physik, insbesondere in der speziellen Relativitätstheorie und der allgemeinen Relativitätstheorie, a Viergeschwindigkeit ist ein Vier-Vektor in vierdimensionaler Raumzeit^{[nb 1]} das ist das relativistische Gegenstück zur Geschwindigkeit, das ein dreidimensionaler Vektor im Raum ist.

Physikalische Ereignisse entsprechen mathematischen Punkten in Zeit und Raum, wobei die Menge aller zusammen ein mathematisches Modell der physikalischen vierdimensionalen Raumzeit bildet. Die Geschichte eines Objekts zeichnet eine Kurve in der Raumzeit nach, die als Weltlinie bezeichnet wird. Wenn das Objekt Masse hat, so dass seine Geschwindigkeit notwendigerweise geringer als die Lichtgeschwindigkeit ist, kann die Weltlinie durch die richtige Zeit des Objekts parametrisiert werden. Die Viergeschwindigkeit ist die Änderungsrate der Vierposition in Bezug auf die richtige Zeit entlang der Kurve. Die Geschwindigkeit ist im Gegensatz dazu die Änderungsrate der Position im (dreidimensionalen) Raum des Objekts, gesehen von einem Beobachter, in Bezug auf die Zeit des Beobachters.

Der Wert der Größe der Viergeschwindigkeit eines Objekts, dh die Größe, die durch Anwenden des metrischen Tensors erhalten wird G auf die Viergeschwindigkeit U., das ist ||U.||² = U. ⋅ U. = G_μνU.^νU.^μist immer gleich ±c², wo c ist die Lichtgeschwindigkeit. Ob das Plus- oder Minuszeichen gilt, hängt von der Wahl der metrischen Signatur ab. Für ein ruhendes Objekt ist seine Viergeschwindigkeit parallel zur Richtung der Zeitkoordinate mit U.⁰ = c. Eine Viergeschwindigkeit ist somit der normalisierte zukunftsgerichtete zeitliche Tangentenvektor zu einer Weltlinie und ein kontravarianter Vektor. Obwohl es sich um einen Vektor handelt, ergibt die Addition von zwei Vier-Geschwindigkeiten keine Vier-Geschwindigkeit: Der Raum der Vier-Geschwindigkeiten ist selbst kein Vektorraum.^{[nb 2]}

Geschwindigkeit[edit]

Der Weg eines Objekts im dreidimensionalen Raum (in einem Trägheitsrahmen) kann durch drei räumliche Koordinatenfunktionen ausgedrückt werden x^ich((t) von Zeit t, wo ich ist ein Index, der die Werte 1, 2, 3 annimmt.

Die drei Koordinaten bilden den 3D-Positionsvektor, der als Spaltenvektor geschrieben ist

${ displaystyle { vec {u}} = { begin {bmatrix} u ^ {1} \ u ^ {2} \ u ^ {3} end {bmatrix}} = {d { vec {x }} over dt} = { begin {bmatrix} { tfrac {dx ^ {1}} {dt}} \ { tfrac {dx ^ {2}} {dt}} \ { tfrac {dx ^ {3}} {dt}} end {bmatrix}}.}$

Jede Komponente wird einfach geschrieben

${ displaystyle u ^ {i} = {dx ^ {i} over dt}}$

Relativitätstheorie[edit]

In Einsteins Relativitätstheorie wird der Pfad eines Objekts, das sich relativ zu einem bestimmten Referenzrahmen bewegt, durch vier Koordinatenfunktionen definiert x^μ((τ), wobei μ ein Raumzeitindex ist, der den Wert 0 für die zeitliche Komponente und 1, 2, 3 für die raumartigen Koordinaten annimmt. Die nullte Komponente ist definiert als die Zeitkoordinate multipliziert mit c,

${ displaystyle x ^ {0} = ct ,,}$

Jede Funktion hängt von einem Parameter ab τ nannte seine richtige Zeit. Als Spaltenvektor

${ displaystyle mathbf {x} = { begin {bmatrix} x ^ {0} ( tau) \ x ^ {1} ( tau) \ x ^ {2} ( tau) \ x ^ {3} ( tau) \ end {bmatrix}} ,.}$

Zeitdilatation[edit]

Aus der Zeitdilatation ergeben sich die Differentiale in der Koordinatenzeit t und richtige Zeit τ sind verwandt mit

${ displaystyle dt = gamma (u) d tau}$

wo der Lorentz-Faktor,

${ displaystyle gamma (u) = { frac {1} { sqrt {1 – { frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}} ,,}$

ist eine Funktion der euklidischen Norm u des 3d Geschwindigkeitsvektors

${ displaystyle { vec {u}}}$

::

${ displaystyle u = || { vec {u}} || = { sqrt {(u ^ {1}) ^ {2} + (u ^ {2}) ^ {2} + (u ^ {3}) ^ {2}}} ,.}$

Definition der Viergeschwindigkeit[edit]

Die Viergeschwindigkeit ist der tangentiale Viervektor einer zeitlichen Weltlinie. Die Viergeschwindigkeit

${ displaystyle mathbf {U}}$

an jedem Punkt der Weltlinie

${ displaystyle mathbf {X} ( tau)}$

ist definiert als:

${ displaystyle mathbf {U} = { frac {d mathbf {X}} {d tau}}}$

wo

${ displaystyle mathbf {X}}$

ist die vier Positionen und

${ displaystyle tau}$

ist die richtige Zeit.^[1]

Die hier mit der richtigen Zeit eines Objekts definierte Viergeschwindigkeit existiert nicht für Weltlinien für masselose Objekte wie Photonen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegen. Es ist auch nicht für tachyonische Weltlinien definiert, bei denen der Tangentenvektor raumartig ist.

Komponenten der Viergeschwindigkeit[edit]

Die Beziehung zwischen der Zeit t und die Koordinatenzeit x⁰ ist definiert durch

${ displaystyle x ^ {0} = ct.}$

Nehmen Sie die Ableitung davon in Bezug auf die richtige Zeit τfinden wir die U.^μ Geschwindigkeitskomponente für μ = 0:

${ displaystyle U ^ {0} = { frac {dx ^ {0}} {d tau}} = { frac {d (ct)} {d tau}} = c { frac {dt} { d tau}} = c gamma (u)}$

und für die anderen 3 Komponenten zur richtigen Zeit bekommen wir die U.^μ Geschwindigkeitskomponente für μ = 1, 2, 3:

${ displaystyle U ^ {i} = { frac {dx ^ {i}} {d tau}} = { frac {dx ^ {i}} {dt}} { frac {dt} {d tau }} = { frac {dx ^ {i}} {dt}} gamma (u) = gamma (u) u ^ {i}}$

wo wir die Kettenregel und die Beziehungen verwendet haben

${ displaystyle u ^ {i} = {dx ^ {i} over dt} ,, quad { frac {dt} {d tau}} = gamma (u)}$

Wir finden also für die Viergeschwindigkeit

${ displaystyle mathbf {U}}$

::

${ displaystyle mathbf {U} = gamma { begin {bmatrix} c \ { vec {u}} \ end {bmatrix}}.}$

In Standard-Vier-Vektor-Notation geschrieben ist dies:

${ displaystyle mathbf {U} = gamma (c, { vec {u}}) = ( gamma c, gamma { vec {u}})}$

wo

${ displaystyle gamma c}$

ist die zeitliche Komponente und

${ displaystyle gamma { vec {u}}}$

ist die räumliche Komponente.

In Bezug auf die synchronisierten Uhren und Lineale, die einer bestimmten Schicht flacher Raumzeit zugeordnet sind, definieren die drei raumartigen Komponenten der Viergeschwindigkeit die richtige Geschwindigkeit eines sich bewegenden Objekts

${ displaystyle gamma { vec {u}} = d { vec {x}} / d tau}$

dh die Rate, mit der die Entfernung im Referenzkartenrahmen pro Einheit der richtigen Zeit zurückgelegt wird, die auf Uhren verstrichen ist, die mit dem Objekt fahren.

Im Gegensatz zu den meisten anderen Viervektoren hat die Viergeschwindigkeit nur drei unabhängige Komponenten

${ displaystyle u_ {x}, u_ {y}, u_ {z}}$

statt 4. Die

${ displaystyle gamma}$

Faktor ist eine Funktion der dreidimensionalen Geschwindigkeit

${ displaystyle { vec {u}}}$

.

Wenn bestimmte Lorentz-Skalare mit der Viergeschwindigkeit multipliziert werden, erhält man neue physikalische Viervektoren mit 4 unabhängigen Komponenten. Zum Beispiel:

Vier-Momentum:

${ displaystyle mathbf {P} = m_ {o} mathbf {U} = gamma m_ {o} (c, { vec {u}}) = m (c, { vec {u}}) = (mc, m { vec {u}}) = (mc, { vec {p}}) = left ({ frac {E} {c}}, { vec {p}} right)}$

, wo

${ displaystyle m_ {o}}$

ist die Masse

Vierstromdichte:

${ displaystyle mathbf {J} = rho _ {o} mathbf {U} = gamma rho _ {o} (c, { vec {u}}) = rho (c, { vec { u}}) = ( rho c, rho { vec {u}}) = ( rho c, { vec {j}})}$

, wo

${ displaystyle rho _ {o}}$

ist die Ladungsdichte

Tatsächlich ist die

${ displaystyle gamma}$

Faktor kombiniert mit dem Lorentz-Skalar-Term, um die 4. unabhängige Komponente zu bilden

${ displaystyle m = gamma m_ {o}}$

und

${ displaystyle rho = gamma rho _ {o}}$

Größe[edit]

Unter Verwendung des Differentials der Vierposition kann die Größe der Viergeschwindigkeit erhalten werden:

${ displaystyle | mathbf {U} | ^ {2} = g _ { mu nu} U ^ { mu} U ^ { nu} = g _ { mu nu} { frac {dX ^ { mu}} {d tau}} { frac {dX ^ { nu}} {d tau}} = { frac {g _ { mu nu} dX ^ { mu} dX ^ { nu}} {d tau ^ {2}}} = c ^ {2} ,,}$

Kurz gesagt, die Größe der Viergeschwindigkeit für jedes Objekt ist immer eine feste Konstante:

${ displaystyle | mathbf {U} | ^ {2} = c ^ {2} ,}$

Die Norm ist auch:

${ displaystyle | mathbf {U} | ^ {2} = { gamma (u)} ^ {2} left (c ^ {2} – { vec {u}} cdot { vec { Du hast Recht),,}$

damit:

${ displaystyle c ^ {2} = { gamma (u)} ^ {2} left (c ^ {2} – { vec {u}} cdot { vec {u}} right) , ,}$

was sich auf die Definition des Lorentz-Faktors reduziert.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

• Einstein, Albert (1920). Relativitätstheorie: Die spezielle und allgemeine Theorie. Übersetzt von Robert W. Lawson. New York: Original: Henry Holt, 1920; Nachdruck: Prometheus Books, 1995.
• Rindler, Wolfgang (1991). Einführung in die Spezielle Relativitätstheorie (2.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5.