Begrenzte Menge (topologischer Vektorraum)

In der Funktionsanalyse und verwandten Bereichen der Mathematik wird eine Menge in einem topologischen Vektorraum genannt begrenzt oder von Neumann sprang, wenn jede Nachbarschaft des Nullvektors sein kann aufgeblasen das Set einschließen. Eine Menge, die nicht begrenzt ist, wird aufgerufen unbegrenzt.

Begrenzte Mengen sind eine natürliche Methode, um lokal konvexe polare Topologien auf den Vektorräumen in einem Doppelpaar zu definieren, da die Polarität einer begrenzten Menge eine absolut konvexe und absorbierende Menge ist. Das Konzept wurde erstmals 1935 von John von Neumann und Andrey Kolmogorov eingeführt.

Definition[edit]

Notation: Für jeden Satz EIN und skalar s, Lassen sA : = { sa :: ein ∈ EIN}.

Definition: Gegeben ein topologischer Vektorraum (TVS) ((X., τ) über ein Feld 𝕂, Eine Teilmenge B. von X. wird genannt von Neumann sprang oder nur begrenzt im X. wenn eine der folgenden gleichwertigen Bedingungen erfüllt ist:

1. für jede Nachbarschaft V. vom Ursprung gibt es eine reale r > 0 so dass B. ⊆ sV für alle Skalare s befriedigend |s| ≥ r;;
2. B. wird von jeder Nachbarschaft des Ursprungs absorbiert;
3. für jede Nachbarschaft V. vom Ursprung existiert ein Skalar s so dass B. ⊆ sV;;
4. für jede Nachbarschaft V. vom Ursprung gibt es eine reale r > 0 so dass sB ⊆ V. für alle Skalare s befriedigend |s| ≤ r;;
5. Jede der oben genannten 4 Bedingungen, jedoch mit dem Wort “Nachbarschaft”, ersetzt durch eine der folgenden: “ausgeglichene Nachbarschaft”, “offene ausgeglichene Nachbarschaft”, “geschlossene ausgeglichene Nachbarschaft”, “offene Nachbarschaft”, “geschlossene Nachbarschaft”;
   • zB Bedingung 2 kann werden: B. ist genau dann begrenzt, wenn B. wird von jeder ausgeglichenen Nachbarschaft des Ursprungs absorbiert.
6. für jede Folge von Skalaren ((s_ich)^∞
   _{ich= 1}> das konvergiert gegen 0 und jede Sequenz ((b_ich)^∞
   _{ich= 1} im B., die Sequenz ((s_ichb_ich)^∞
   _{ich= 1} konvergiert gegen 0 in X.;;
   • Dies war die Definition von “begrenzt”, die Andrey Kolmogorov 1934 verwendete. Dies entspricht der Definition, die Stanisław Mazur und Władysław Orlicz 1933 für messbare Fernsehgeräte eingeführt hatten. Kolmogorov verwendete diese Definition, um zu beweisen, dass ein TVS genau dann seminormierbar ist, wenn es eine begrenzte konvexe Nachbarschaft von 0 hat.
7. für jede Sequenz ((b_n)^∞
   _{n= 1} im B., die Sequenz ((1/.n b_n)^∞
   _{n= 1} → 0 im X.;;
8. jede zählbare Teilmenge von B. ist begrenzt (gemäß einer anderen definierenden Bedingung als dieser).

während wenn X. ist ein lokal konvexer Raum, dessen Topologie von einer Familie definiert wird 𝒫 von fortlaufenden Seminorms, dann können wir zu dieser Liste hinzufügen:

9. p((B.) ist für alle begrenzt p ∈ ∈.
10. Es gibt eine Folge von Nicht-0-Skalaren ((s_ich)^∞
    _{ich= 1} so dass für jede Sequenz ((b_ich)^∞
    _{ich= 1} im B., die Sequenz ((s_ichb_ich)^∞
    _{ich= 1} ist begrenzt in X. (gemäß einer anderen definierenden Bedingung als dieser).
11. für alle p ∈ ∈, B. ist (gemäß einer anderen definierenden Bedingung als dieser) im halbnormierten Raum begrenzt ((X., p).

während wenn X. ist ein seminormierter Raum mit Seminorm p (Beachten Sie, dass jeder normierte Raum ein seminormierter Raum und jede Norm ein Seminorm ist.) Dann können wir dieser Liste Folgendes hinzufügen:

12. Es gibt eine echte r > 0 so dass p((b) ≤ r für alle b ∈ B..

während wenn B. ist ein Vektorunterraum des TVS X. dann können wir zu dieser Liste hinzufügen:

13. B. ist in der Schließung von enthalten {0 }.

Definition: Eine nicht begrenzte Teilmenge wird aufgerufen unbegrenzt.

Bornologie und grundlegende Systeme begrenzter Mengen[edit]

Die Sammlung aller begrenzten Mengen in einem topologischen Vektorraum X. heißt das von Neumann Bornologie oder der (kanonische) Bornologie von X..

EIN Base oder Grundsystem begrenzter Mengen von X. Ist ein Satz ℬ von begrenzten Teilmengen von X. so dass jede begrenzte Teilmenge von X. ist eine Teilmenge von einigen B. ∈ ∈. Die Menge aller begrenzten Teilmengen von X. bildet trivial ein grundlegendes System von begrenzten Mengen von X..

Beispiele[edit]

In jedem lokal konvexen TVS ist der Satz geschlossener und begrenzter Festplatten eine Basis eines begrenzten Satzes.

Stabilitätseigenschaften[edit]

Lassen X. sei ein beliebiger topologischer Vektorraum (TVS) (nicht unbedingt Hausdorff oder lokal konvex).

• In jedem TVS sind endliche Gewerkschaften, endliche Summen, skalare Vielfache, Teilmengen, Verschlüsse, Innenräume und ausgeglichene Hüllen begrenzter Mengen wieder begrenzt.
• In jedem lokal konvexen TVS ist die konvexe Hülle eines begrenzten Satzes erneut begrenzt. Dies kann nicht zutreffen, wenn der Raum nicht lokal konvex ist.
• Das Bild einer begrenzten Menge unter einer kontinuierlichen linearen Karte ist eine begrenzte Teilmenge der Codomäne.
• Eine Teilmenge eines beliebigen Produkts von TVS ist genau dann begrenzt, wenn alle ihre Projektionen begrenzt sind.
• Wenn M. ist ein Vektorunterraum eines TVS X. und wenn S. ⊆ M., dann S. ist begrenzt in M. genau dann, wenn es begrenzt ist X..

Beispiele und ausreichende Bedingungen[edit]

Nichtbeispiele[edit]

• In jedem TVS jeder Vektor-Unterraum, der nicht in der Schließung von enthalten ist {0 } ist unbegrenzt (dh nicht begrenzt).
• Es gibt einen Fréchet-Raum X. mit einer begrenzten Teilmenge B. und auch ein dichter Vektorunterraum M. so dass B. ist nicht im Verschluss enthalten (in X.) einer begrenzten Teilmenge von M..

Eigenschaften[edit]

• Endliche Gewerkschaften, endliche Summen, Schließungen, Innenräume und ausgeglichene Rümpfe begrenzter Mengen sind begrenzt.
• Das Bild einer begrenzten Menge unter einer kontinuierlichen linearen Karte ist begrenzt.
• In einem lokal konvexen Raum ist die konvexe Hüllkurve einer begrenzten Menge begrenzt.
  • Ohne lokale Konvexität ist dies falsch, wie die L.^p Räume für 0 p <1 haben keine nichttrivialen offenen konvexen Teilmengen.
• Ein lokal konvexer Raum hat genau dann eine begrenzte Nachbarschaft von Null, wenn seine Topologie durch a definiert werden kann Single Seminorm.
• Die Polarität einer begrenzten Menge ist eine absolut konvexe und absorbierende Menge.

Verallgemeinerung[edit]

Die Definition von begrenzten Mengen kann auf topologische Module verallgemeinert werden. Eine Teilmenge EIN eines topologischen Moduls M. über einen topologischen Ring R. ist begrenzt, wenn für irgendeine Nachbarschaft N. von 0_M. Es gibt eine Nachbarschaft w von 0_R. so dass w A ⊂ N..

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Literaturverzeichnis[edit]

• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topologische Vektorräume: Die Theorie ohne Konvexitätsbedingungen. Vorlesungsunterlagen in Mathematik. 639. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003.
• Berberian, Sterling K. (1974). Vorlesungen in Funktionsanalyse und Operatortheorie. Diplomtexte in Mathematik. 15. New York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401.
• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur bestimmte espaces vectoriels topologiques [Topological Vector Spaces: Chapters 1–5]. Annales de l’Institut Fourier. Éléments de mathématique. 2. Übersetzt von Eggleston, HG; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.
• Conway, John (1990). Ein Kurs in Funktionsanalyse. Diplomtexte in Mathematik. 96 (2. Aufl.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
• Edwards, Robert E. (1995). Funktionsanalyse: Theorie und Anwendungen. New York: Dover-Veröffentlichungen. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138.
• Grothendieck, Alexander (1973). Topologische Vektorräume. Übersetzt von Chaljub, Orlando. New York: Gordon und Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
• Jarchow, Hans (1981). Lokal konvexe Räume. Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Köthe, Gottfried (1969). Topologische Vektorräume I.. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159. Übersetzt von Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. HERR 0248498. OCLC 840293704.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologische Vektorräume. Reine und angewandte Mathematik (2. Aufl.). Boca Raton, FL: CRC-Presse. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Robertson, AP; WJ Robertson (1964). Topologische Vektorräume. Cambridge Tracts in Mathematik. 53. Cambridge University Press. S. 44–46.
• Schaefer, HH (1970). Topologische Vektorräume. GTM. 3. Springer-Verlag. S. 25–26. ISBN 0-387-05380-8.
• Wilansky, Albert (2013). Moderne Methoden in topologischen Vektorräumen. Mineola, New York: ISBN von Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.