Viereck – Wikipedia

Polygon mit vier Seiten und vier Ecken

EIN Viereck ist ein Polygon in euklidischer Ebenengeometrie mit vier Kanten (Seiten) und vier Eckpunkten (Ecken). Andere Namen für Viereck sind Viereck (in Analogie zum Dreieck), Tetragon (in Analogie zu Fünfeck, 5-seitigem Polygon und Sechseck, 6-seitigem Polygon) und 4 g (in Analogie zu k-gons für beliebige Werte von k). Ein Viereck mit Eckpunkten

${ displaystyle A}$

,

${ displaystyle B}$

,

${ displaystyle C}$

und

${ displaystyle D}$

wird manchmal als bezeichnet

${ displaystyle square ABCD}$

.^[1][2]

Das Wort “Viereck” wird von den lateinischen Wörtern abgeleitet Quadri, eine Variante von vier, und latusBedeutung “Seite”.

Vierecke sind entweder einfach (nicht selbstüberschneidend) oder komplex (selbstüberschneidend oder gekreuzt). Einfache Vierecke sind entweder konvex oder konkav.

Die Innenwinkel eines einfachen (und planaren) Vierecks A B C D Addieren Sie also bis zu 360 Bogengrade^[2]

${ Anzeigestil Winkel A + Winkel B + Winkel C + Winkel D = 360 ^ { circ}.}$

Dies ist ein Sonderfall der n-gon Innenwinkelsummenformel: (n – 2) × 180 °.

Alle nicht selbstkreuzenden Vierecke kacheln die Ebene durch wiederholte Drehung um die Mittelpunkte ihrer Kanten.

Einfache Vierecke[edit]

Jedes Viereck, das sich nicht selbst schneidet, ist ein einfaches Viereck.

Konvexe Vierecke[edit]

In einem konvexen Viereck sind alle Innenwinkel kleiner als 180 °, und die beiden Diagonalen liegen beide innerhalb des Vierecks.

• Unregelmäßiges Viereck (britisches Englisch) oder Trapez (nordamerikanisches Englisch): Keine Seiten sind parallel. (Im britischen Englisch wurde dies einmal a genannt Trapez. Weitere Informationen finden Sie unter Trapez (Trapez vs Trapez).
• Trapez (UK) oder Trapez (US): Mindestens ein Paar gegenüberliegender Seiten ist parallel. Trapezia (UK) und Trapezoide (US) enthalten Parallelogramme.
• Gleichschenkliges Trapez (UK) oder gleichschenkliges Trapez (USA): Ein Paar gegenüberliegender Seiten ist parallel und die Basiswinkel sind gleich groß. Alternative Definitionen sind ein Viereck mit einer Symmetrieachse, die ein Paar gegenüberliegender Seiten halbiert, oder ein Trapez mit Diagonalen gleicher Länge.
• Parallelogramm: ein Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten. Äquivalente Bedingungen sind, dass gegenüberliegende Seiten gleich lang sind; dass entgegengesetzte Winkel gleich sind; oder dass sich die Diagonalen gegenseitig halbieren. Parallelogramme umfassen Rauten (einschließlich der als Quadrate bezeichneten Rechtecke) und Rhomboide (einschließlich der als Rechtecke bezeichneten Rechtecke). Mit anderen Worten, Parallelogramme umfassen alle Rauten und alle Rhomboide und somit auch alle Rechtecke.
• Raute, Raute^[2]: Alle vier Seiten sind gleich lang. Eine äquivalente Bedingung ist, dass sich die Diagonalen senkrecht halbieren. Informell: “ein umgeschobenes Quadrat” (aber auch ein Quadrat).
• Rhomboid: Ein Parallelogramm, bei dem benachbarte Seiten ungleich lang sind und einige Winkel schräg sind (äquiv., Ohne rechte Winkel). Informell: “ein umgestoßener länglicher”. Nicht alle Referenzen stimmen überein, einige definieren ein Rhomboid als Parallelogramm, das keine Raute ist.^[3]
• Rechteck: Alle vier Winkel sind rechte Winkel. Eine äquivalente Bedingung ist, dass sich die Diagonalen gegenseitig halbieren und gleich lang sind. Rechtecke umfassen Quadrate und Rechtecke. Informell: “eine Box oder länglich” (einschließlich eines Quadrats).
• Quadrat (reguläres Viereck): Alle vier Seiten sind gleich lang (gleichseitig) und alle vier Winkel sind rechte Winkel. Eine äquivalente Bedingung ist, dass gegenüberliegende Seiten parallel sind (ein Quadrat ist ein Parallelogramm) und dass sich die Diagonalen senkrecht halbieren und gleich lang sind. Ein Viereck ist genau dann ein Quadrat, wenn es sowohl eine Raute als auch ein Rechteck ist (dh vier gleiche Seiten und vier gleiche Winkel).
• Länglich: länger als breit oder breiter als lang (dh ein Rechteck, das kein Quadrat ist).^[4]
• Drachen: Zwei Paare benachbarter Seiten sind gleich lang. Dies impliziert, dass eine Diagonale den Drachen in kongruente Dreiecke unterteilt und die Winkel zwischen den beiden Paaren gleicher Seiten gleich groß sind. Dies impliziert auch, dass die Diagonalen senkrecht sind. Drachen enthalten Rauten.

• Tangentiales Viereck: Die vier Seiten sind Tangenten an einen beschrifteten Kreis. Ein konvexes Viereck ist genau dann tangential, wenn gegenüberliegende Seiten gleiche Summen haben.
• Tangentiales Trapez: Ein Trapez, bei dem die vier Seiten Tangenten an einen beschrifteten Kreis sind.
• Zyklisches Viereck: Die vier Eckpunkte liegen auf einem umschriebenen Kreis. Ein konvexes Viereck ist genau dann zyklisch, wenn sich entgegengesetzte Winkel zu 180 ° summieren.
• Rechter Drachen: Ein Drachen mit zwei entgegengesetzten rechten Winkeln. Es ist eine Art zyklisches Viereck.
• Harmonisches Viereck: Die Produkte der Längen der gegenüberliegenden Seiten sind gleich. Es ist eine Art zyklisches Viereck.
• Bizentrisches Viereck: Es ist sowohl tangential als auch zyklisch.
• Orthodiagonales Viereck: Die Diagonalen kreuzen sich rechtwinklig.
• Äquidiagonales Viereck: Die Diagonalen sind gleich lang.
• Ex-tangentiales Viereck: Die vier Verlängerungen der Seiten berühren einen Kreis.
• Ein gleichseitiges Viereck hat zwei gegenüberliegende gleiche Seiten, die sich im ausgefahrenen Zustand bei 60 ° treffen.
• EIN Watt Viereck ist ein Viereck mit einem Paar gegenüberliegender Seiten gleicher Länge.^[5]
• EIN viereckiges Viereck ist ein konvexes Viereck, dessen vier Eckpunkte alle am Umfang eines Quadrats liegen.^[6]
• EIN diametrales Viereck ist ein zyklisches Viereck mit einer seiner Seiten als Durchmesser des Kreises.^[7]
• EIN Hjelmslev Viereck ist ein Viereck mit zwei rechten Winkeln an gegenüberliegenden Eckpunkten.^[8]

Konkave Vierecke[edit]

In einem konkaven Viereck ist ein Innenwinkel größer als 180 ° und eine der beiden Diagonalen liegt außerhalb des Vierecks.

• EIN Pfeil (oder Pfeilspitze) ist ein konkaves Viereck mit bilateraler Symmetrie wie ein Drachen, bei dem jedoch ein Innenwinkel der Reflex ist. Siehe Drachen.

Komplexe Vierecke[edit]

Ein sich selbst schneidendes Viereck wird verschiedentlich als a bezeichnet viereckig, Viereck gekreuzt, Schmetterling viereckig oder Fliege viereckig. In einem gekreuzten Viereck die vier “Innere” Die Winkel auf beiden Seiten der Kreuzung (zwei spitze und zwei Reflexe, alle links oder alle rechts, wenn die Figur nachgezeichnet wird) summieren sich auf 720 °.^[9]

• Gekreuztes Trapez (USA) oder Trapez (Commonwealth):^[10] ein gekreuztes Viereck, in dem ein Paar nicht benachbarter Seiten parallel ist (wie ein Trapez)
• Antiparallelogramm: Ein gekreuztes Viereck, bei dem jedes Paar nicht benachbarter Seiten gleich lang ist (wie ein Parallelogramm).
• Gekreuztes Rechteck: Ein Antiparallelogramm, dessen Seiten zwei gegenüberliegende Seiten und die beiden Diagonalen eines Rechtecks ​​sind und daher ein Paar parallel gegenüberliegender Seiten aufweisen
• Gekreuztes Quadrat: Ein Sonderfall eines gekreuzten Rechtecks, bei dem sich zwei Seiten im rechten Winkel schneiden

Spezielle Liniensegmente[edit]

Die beiden Diagonalen eines konvexen Vierecks sind die Liniensegmente, die gegenüberliegende Eckpunkte verbinden.

Die Zwei Bimedianer eines konvexen Vierecks sind die Liniensegmente, die die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten verbinden.^[11] Sie kreuzen sich an der “Scheitelpunktschwerpunkt” des Vierecks (siehe § Bemerkenswerte Punkte und Linien in einem konvexen Viereck unten).

Die Vier Malzen eines konvexen Vierecks sind die Senkrechten zu einer Seite – durch den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.^[12]

Fläche eines konvexen Vierecks[edit]

Es gibt verschiedene allgemeine Formeln für das Gebiet K. eines konvexen Vierecks A B C D mit Seiten ein = AB, b = BC, c = CD und d = DA.

Trigonometrische Formeln[edit]

Die Fläche kann trigonometrisch ausgedrückt werden als^[13]

${ displaystyle K = { tfrac {1} {2}} pq cdot sin theta,}$

wo die Längen der Diagonalen sind p und q und der Winkel zwischen ihnen ist θ.^[14] Im Fall eines orthodiagonalen Vierecks (z. B. Raute, Quadrat und Drachen) reduziert sich diese Formel auf

${ displaystyle K = { tfrac {1} {2}} pq}$

schon seit θ beträgt 90 °.

Das Gebiet kann auch in Form von Bimedianern ausgedrückt werden als^[15]

${ displaystyle K = mn cdot sin varphi,}$

wo die Längen der Bimedianer sind m und n und der Winkel zwischen ihnen ist φ.

Bretschneiders Formel^[16][13] drückt die Fläche in Seiten und zwei entgegengesetzten Winkeln aus:

${ displaystyle { begin {align} K & = { sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) – { tfrac {1} {2}} abcd ;[1+cos(A+C)]}} \ & = { sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd left[cos ^{2}left({tfrac {A+C}{2}}right)right]}} end {align}}}$

wo die Seiten in der Reihenfolge sind ein, b, c, d, wo s ist das Semiperimeter und EIN und C. sind zwei (tatsächlich zwei beliebige) entgegengesetzte Winkel. Dies reduziert sich auf die Brahmagupta-Formel für die Fläche eines zyklischen Vierecks – wenn EIN + C. = 180 °.

Eine andere Flächenformel in Bezug auf die Seiten und Winkel mit Winkel C. zwischen den Seiten sein b und c, und EIN zwischen den Seiten sein ein und dist

${ displaystyle K = { tfrac {1} {2}} ad cdot sin {A} + { tfrac {1} {2}} bc cdot sin {C}.}$

Im Falle eines zyklischen Vierecks wird die letztere Formel

${ displaystyle K = { tfrac {1} {2}} (ad + bc) sin {A}.}$

In einem Parallelogramm, in dem beide Paare gegenüberliegender Seiten und Winkel gleich sind, reduziert sich diese Formel auf

${ displaystyle K = ab cdot sin {A}.}$

Alternativ können wir die Fläche in Bezug auf die Seiten und den Schnittwinkel schreiben θ der Diagonalen, so lange θ ist nicht 90 °:^[17]

${ displaystyle K = { frac {| tan theta |} {4}} cdot left | a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2} -d ^ {2} right |.}$

Im Fall eines Parallelogramms wird die letztere Formel

${ displaystyle K = { tfrac {1} {2}} | tan theta | cdot left | a ^ {2} -b ^ {2} right |.}$

Eine weitere Flächenformel einschließlich der Seiten ein, b, c, d ist^[15]

${ displaystyle K = { tfrac {1} {4}} { sqrt {(2 (a ^ {2} + c ^ {2}) – 4x ^ {2}) (2 (b ^ {2} +) d ^ {2}) – 4x ^ {2})}} sin { varphi}}$

wo x ist der Abstand zwischen den Mittelpunkten der Diagonalen und φ ist der Winkel zwischen den Bimedianern.

Die letzte trigonometrische Flächenformel einschließlich der Seiten ein, b, c, d und der Winkel α (zwischen ein und b) ist:^{[citation needed]}

${ displaystyle K = { tfrac {1} {2}} ab cdot sin { alpha} + { tfrac {1} {4}} { sqrt {4c ^ {2} d ^ {2} – (c ^ {2} + d ^ {2} -a ^ {2} -b ^ {2} + 2ab cdot cos { alpha}) ^ {2}}},}$

Dies kann auch für den Bereich eines konkaven Vierecks verwendet werden (wobei der konkave Teil dem Winkel entgegengesetzt ist α), indem Sie einfach das erste Vorzeichen + auf – ändern.

Nicht trigonometrische Formeln[edit]

Die folgenden zwei Formeln drücken die Fläche in Bezug auf die Seiten aus ein, b, c, d, das Semiperimeter sund die Diagonalen p, q::

${ displaystyle K = { sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) – { tfrac {1} {4}} (ac + bd + pq) (ac + bd-pq)}},}$

^[18]

${ displaystyle K = { tfrac {1} {4}} { sqrt {4p ^ {2} q ^ {2} – left (a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2} -d ^ {2} right) ^ {2}}}.}$

^[19]

Die erste reduziert sich seitdem auf die Brahmagupta-Formel im zyklischen Viereck pq = ac + bd.

Das Gebiet kann auch in Form von Bimedianern ausgedrückt werden m, n und die Diagonalen p, q::

${ displaystyle K = { tfrac {1} {2}} { sqrt {(m + n + p) (m + np) (m + n + q) (m + nq)}},}$

^[20]

${ displaystyle K = { tfrac {1} {2}} { sqrt {p ^ {2} q ^ {2} – (m ^ {2} -n ^ {2}) ^ {2}}}. }}$

^{[21]::Thm. 7}

In der Tat drei der vier Werte m, n, p, und q zur Bestimmung der Fläche ausreichen, da in jedem Viereck die vier Werte durch in Beziehung stehen

${ displaystyle p ^ {2} + q ^ {2} = 2 (m ^ {2} + n ^ {2}).}$

^{[22]::p. 126} Die entsprechenden Ausdrücke sind:^[23]

${ displaystyle K = { tfrac {1} {2}} { sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}] cdot [p^{2}-(m-n)^{2}]}},}$

wenn die Längen von zwei Bimedianern und einer Diagonale angegeben sind, und^[23]

${ displaystyle K = { tfrac {1} {4}} { sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}] cdot [4m^{2}-(p-q)^{2}]}},}$

wenn die Längen von zwei Diagonalen und einem Bimedian angegeben sind.

Vektorformeln[edit]

Die Fläche eines Vierecks A B C D kann mit Vektoren berechnet werden. Lassen Sie Vektoren AC und BD bilden die Diagonalen aus EIN zu C. und von B. zu D.. Die Fläche des Vierecks ist dann

${ displaystyle K = { tfrac {1} {2}} | mathbf {AC} times mathbf {BD} |,}$

Das ist die halbe Größe des Kreuzprodukts von Vektoren AC und BD. Im zweidimensionalen euklidischen Raum Vektor ausdrücken AC als freier Vektor im kartesischen Raum gleich (x₁,y₁) und BD wie (x₂,y₂) kann dies wie folgt umgeschrieben werden:

${ displaystyle K = { tfrac {1} {2}} | x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1} |.}$

Diagonalen[edit]

Eigenschaften der Diagonalen in einigen Vierecken[edit]

In der folgenden Tabelle ist aufgeführt, ob sich die Diagonalen in einigen der grundlegendsten Vierecke gegenseitig halbieren, ob ihre Diagonalen senkrecht sind und ob ihre Diagonalen gleich lang sind.^[24] Die Liste gilt für die allgemeinsten Fälle und schließt benannte Teilmengen aus.

Anmerkung 1: Die allgemeinsten Trapezoide und gleichschenkligen Trapezoide haben keine senkrechten Diagonalen, aber es gibt unendlich viele (nicht ähnliche) Trapezoide und gleichschenklige Trapezoide, die senkrechte Diagonalen haben und keine anderen benannten Vierecke sind.

Anmerkung 2: Bei einem Drachen halbiert eine Diagonale die andere. Der allgemeinste Drachen hat ungleiche Diagonalen, aber es gibt unendlich viele (nicht ähnliche) Drachen, bei denen die Diagonalen gleich lang sind (und die Drachen keine anderen genannten Vierecke sind).

Längen der Diagonalen[edit]

Die Längen der Diagonalen in einem konvexen Viereck A B C D kann unter Verwendung des Kosinusgesetzes für jedes Dreieck berechnet werden, das durch eine Diagonale und zwei Seiten des Vierecks gebildet wird. So

${ displaystyle p = { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {B}}} = { sqrt {c ^ {2} + d ^ {2} -2cd cos { D}}}}$

und

${ displaystyle q = { sqrt {a ^ {2} + d ^ {2} -2ad cos {A}}} = { sqrt {b ^ {2} + c ^ {2} -2bc cos { C}}}.}$

Andere, symmetrischere Formeln für die Länge der Diagonalen sind^[25]

${ displaystyle p = { sqrt { frac {(ac + bd) (ad + bc) -2abcd ( cos {B} + cos {D})} {ab + cd}}}$

und

${ displaystyle q = { sqrt { frac {(ab + cd) (ac + bd) -2abcd ( cos {A} + cos {C})} {ad + bc}}.}$

Verallgemeinerungen des Parallelogrammgesetzes und des Satzes von Ptolemäus[edit]

In jedem konvexen Viereck A B C Dist die Summe der Quadrate der vier Seiten gleich der Summe der Quadrate der beiden Diagonalen plus dem Vierfachen des Quadrats des Liniensegments, das die Mittelpunkte der Diagonalen verbindet. So

${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = p ^ {2} + q ^ {2} + 4x ^ {2}}$

wo x ist der Abstand zwischen den Mittelpunkten der Diagonalen.^[22]::S.126 Dies wird manchmal als Eulers viereckiger Satz bezeichnet und ist eine Verallgemeinerung des Parallelogrammgesetzes.

Der deutsche Mathematiker Carl Anton Bretschneider leitete 1842 die folgende Verallgemeinerung des Ptolemäus-Theorems bezüglich des Produkts der Diagonalen in einem konvexen Viereck ab^[26]

${ displaystyle p ^ {2} q ^ {2} = a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} d ^ {2} -2abcd cos {(A + C)}.}$

Diese Beziehung kann als Kosinusgesetz für ein Viereck betrachtet werden. In einem zyklischen Viereck, wo EIN + C. = 180 ° reduziert es sich auf pq = ac + bd. Da cos (EIN + C.) ≥ −1, es gibt auch einen Beweis für die Ungleichung von Ptolemäus.

Andere metrische Beziehungen[edit]

Wenn X. und Y. sind die Füße der Normalen aus B. und D. zur Diagonale AC = p in einem konvexen Viereck A B C D mit Seiten ein = AB, b = BC, c = CD, d = DA, dann^[27]::S.14

${ displaystyle XY = { frac {| a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2} -d ^ {2} |} {2p}}.}$

In einem konvexen Viereck A B C D mit Seiten ein = AB, b = BC, c = CD, d = DAund wo sich die Diagonalen schneiden E.,

${ displaystyle efgh (a + c + b + d) (a + cbd) = (agh + cef + beh + dfg) (agh + cef-beh-dfg)}$

wo e = AE, f = SEIN, G = CE, und h = DE.^[28]

Die Form und Größe eines konvexen Vierecks wird vollständig durch die Länge seiner Seiten nacheinander und einer Diagonale zwischen zwei angegebenen Eckpunkten bestimmt. Die zwei Diagonalen p, q und die vier Seitenlängen A B C D eines Vierecks sind verwandt^[13] durch die Cayley-Menger-Determinante wie folgt:

${ displaystyle det { begin {bmatrix} 0 & a ^ {2} & p ^ {2} & d ^ {2} & 1 \ a ^ {2} & 0 & b ^ {2} & q ^ {2} & 1 \ p ^ { 2} & b ^ {2} & 0 & c ^ {2} & 1 \ d ^ {2} & q ^ {2} & c ^ {2} & 0 & 1 \ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 end {bmatrix}} = 0.}$

Winkelhalbierende[edit]

Die Innenwinkelhalbierenden eines konvexen Vierecks bilden entweder ein zyklisches Viereck^[22]::S.127 (das heißt, die vier Schnittpunkte benachbarter Winkelhalbierenden sind konzyklisch) oder sie sind gleichzeitig. Im letzteren Fall ist das Viereck ein tangentiales Viereck.

Im Viereck A B C D, wenn die Winkelhalbierenden von EIN und C. Treffen auf Diagonale BD, dann die Winkelhalbierenden von B. und D. Treffen auf Diagonale AC.^[29]

Bimedianer[edit]

Die Bimedianer eines Vierecks sind die Liniensegmente, die die Mittelpunkte der gegenüberliegenden Seiten verbinden. Der Schnittpunkt der Bimedianer ist der Schwerpunkt der Eckpunkte des Vierecks.^[13]

Die Mittelpunkte der Seiten eines Vierecks (konvex, konkav oder gekreuzt) sind die Eckpunkte eines Parallelogramms, das als Varignon-Parallelogramm bezeichnet wird. Es hat die folgenden Eigenschaften:

• Jedes Paar gegenüberliegender Seiten des Varignon-Parallelogramms verläuft parallel zu einer Diagonale im ursprünglichen Viereck.
• Eine Seite des Varignon-Parallelogramms ist halb so lang wie die Diagonale im ursprünglichen Viereck, zu der sie parallel ist.
• Die Fläche des Varignon-Parallelogramms entspricht der Hälfte der Fläche des ursprünglichen Vierecks. Dies gilt für konvexe, konkave und gekreuzte Vierecke, vorausgesetzt, die Fläche des letzteren ist definiert als die Differenz der Flächen der beiden Dreiecke, aus denen es besteht.^[30]
• Der Umfang des Varignon-Parallelogramms entspricht der Summe der Diagonalen des ursprünglichen Vierecks.
• Die Diagonalen des Varignon-Parallelogramms sind die Bimedianer des ursprünglichen Vierecks.

Die beiden Bimedianer in einem Viereck und das Liniensegment, das die Mittelpunkte der Diagonalen in diesem Viereck verbindet, sind gleichzeitig und werden alle durch ihren Schnittpunkt halbiert.^[22]::S.125

In einem konvexen Viereck mit Seiten ein, b, c und d, die Länge des Bimedians, der die Mittelpunkte der Seiten verbindet ein und c ist

${ displaystyle m = { tfrac {1} {2}} { sqrt {-a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} + d ^ {2} + p ^ {2} + q ^ {2}}}}$

wo p und q sind die Länge der Diagonalen.^[31] Die Länge des Bimedians, der die Mittelpunkte der Seiten verbindet b und d ist

${ displaystyle n = { tfrac {1} {2}} { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2} -d ^ {2} + p ^ {2} + q ^ {2}}}.}$

Daher^[22]::S.126

${ displaystyle displaystyle p ^ {2} + q ^ {2} = 2 (m ^ {2} + n ^ {2}).}$

Dies ist auch eine Folge des Parallelogrammgesetzes, das im Varignon-Parallelogramm angewendet wird.

Die Länge der Bimedianer kann auch als zwei gegenüberliegende Seiten und der Abstand ausgedrückt werden x zwischen den Mittelpunkten der Diagonalen. Dies ist möglich, wenn der viereckige Satz von Euler in den obigen Formeln verwendet wird. Woher^[21]

${ displaystyle m = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2 (b ^ {2} + d ^ {2}) – 4x ^ {2}}}}$

und

${ displaystyle n = { tfrac {1} {2}} { sqrt {2 (a ^ {2} + c ^ {2}) – 4x ^ {2}}}.}$

Beachten Sie, dass die beiden gegenüberliegenden Seiten in diesen Formeln nicht die beiden sind, die der Bimedian verbindet.

In einem konvexen Viereck besteht die folgende doppelte Verbindung zwischen den Bimedianern und den Diagonalen:^[27]

• Die beiden Bimedianer sind genau dann gleich lang, wenn die beiden Diagonalen senkrecht stehen.
• Die beiden Bimedianer sind genau dann senkrecht, wenn die beiden Diagonalen gleich lang sind.

Trigonometrische Identitäten[edit]

Die vier Winkel eines einfachen Vierecks A B C D die folgenden Identitäten erfüllen:^[32]

${ displaystyle sin {A} + sin {B} + sin {C} + sin {D} = 4 sin { frac {A + B} {2}} sin { frac {A + C} {2}} sin { frac {A + D} {2}}}$

und

${ displaystyle { frac { tan {A} tan {B} – tan {C} tan {D}} { tan {A} tan {C} – tan {B} tan {D. }}} = { frac { tan {(A + C)}} { tan {(A + B)}}}.}$

Ebenfalls,^[33]

${ displaystyle { frac { tan {A} + tan {B} + tan {C} + tan {D}} { cot {A} + cot {B} + cot {C} + cot {D}}} = tan {A} tan {B} tan {C} tan {D}.}$

In den letzten beiden Formeln darf kein Winkel ein rechter Winkel sein, da tan 90 ° nicht definiert ist.

Ungleichungen[edit]

Bereich[edit]

Wenn ein konvexes Viereck die aufeinanderfolgenden Seiten hat ein, b, c, d und die Diagonalen p, q, dann seine Fläche K. befriedigt^[34]

${ displaystyle K leq { tfrac {1} {4}} (a + c) (b + d)}$

mit Gleichheit nur für ein Rechteck.

${ displaystyle K leq { tfrac {1} {4}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2})}$

mit Gleichheit nur für ein Quadrat.

${ displaystyle K leq { tfrac {1} {4}} (p ^ {2} + q ^ {2})}$

mit Gleichheit nur, wenn die Diagonalen senkrecht und gleich sind.

${ displaystyle K leq { tfrac {1} {2}} { sqrt {(a ^ {2} + c ^ {2}) (b ^ {2} + d ^ {2})}}}$

mit Gleichheit nur für ein Rechteck.^[15]

Aus Bretschneiders Formel folgt direkt, dass die Fläche eines Vierecks erfüllt

${ displaystyle K leq { sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd)}}}$

mit Gleichheit genau dann, wenn das Viereck zyklisch oder entartet ist, so dass eine Seite gleich der Summe der anderen drei ist (es ist zu einem Liniensegment zusammengebrochen, also ist die Fläche Null).

Die Fläche eines Vierecks erfüllt auch die Ungleichung^[35]

${ displaystyle displaystyle K leq { tfrac {1} {2}} { sqrt[{3}]{(ab + cd) (ac + bd) (ad + bc)}}.}$

Bezeichnet den Umfang als L., wir haben^[35]::S.114

${ displaystyle K leq { tfrac {1} {16}} L ^ {2},}$

mit Gleichheit nur im Fall eines Quadrats.

Die Fläche eines konvexen Vierecks erfüllt ebenfalls

${ displaystyle K leq { tfrac {1} {2}} pq}$

für diagonale Längen p und qmit Gleichheit genau dann, wenn die Diagonalen senkrecht sind.

Lassen ein, b, c, d seien die Längen der Seiten eines konvexen Vierecks A B C D mit der Gegend K. und Diagonalen AC = p, BD = q. Dann^[36]

${ displaystyle K leq { frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} + p ^ {2} + q ^ {2} + pq-ac- bd} {8}}}$

mit Gleichheit nur für ein Quadrat.

Lassen ein, b, c, d seien die Längen der Seiten eines konvexen Vierecks A B C D mit der Gegend K., dann gilt folgende Ungleichung:^[37]

${ displaystyle K leq { frac {1} {3 + { sqrt {3}}} (ab + ac + ad + bc + bd + cd) – { frac {1} {2 (1+ { sqrt {3}}) ^ {2}}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2})}$

mit Gleichheit nur für ein Quadrat.

Diagonalen und Bimedianer[edit]

Eine Folge von Eulers viereckigem Theorem ist die Ungleichung

${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} geq p ^ {2} + q ^ {2}}$

wo Gleichheit genau dann gilt, wenn das Viereck ein Parallelogramm ist.

Euler verallgemeinerte auch den Satz von Ptolemäus, der eine Gleichheit in einem zyklischen Viereck ist, in eine Ungleichung für ein konvexes Viereck. Es sagt, dass

${ displaystyle pq leq ac + bd}$

wo es Gleichheit gibt, wenn und nur wenn das Viereck zyklisch ist.^{[22]::S.128–129} Dies wird oft als Ptolemäus-Ungleichung bezeichnet.

In jedem konvexen Viereck die Bimedianer m, n und die Diagonalen p, q sind durch die Ungleichung verbunden

${ displaystyle pq leq m ^ {2} + n ^ {2},}$

mit Gleichheit genau dann, wenn die Diagonalen gleich sind.^[38]::Prop.1 Dies folgt direkt aus der viereckigen Identität

${ displaystyle m ^ {2} + n ^ {2} = { tfrac {1} {2}} (p ^ {2} + q ^ {2}).}$

Seiten[edit]

Die Seiten ein, b, c, und d von jedem Viereck befriedigen^{[39]::S.228, Nr. 275}

${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}> { frac {d ^ {2}} {3}}}$

[39]^{::S.234, # 466}

${ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} geq { frac {d ^ {4}} {27}}.}$

Maximale und minimale Eigenschaften[edit]

Unter allen Vierecken mit einem bestimmten Umfang ist das Quadrat das mit der größten Fläche. Dies nennt man das isoperimetrischer Satz für Vierecke. Dies ist eine direkte Folge der Flächenungleichheit^[35]::S.114

${ displaystyle K leq { tfrac {1} {16}} L ^ {2}}$

wo K. ist die Fläche eines konvexen Vierecks mit Umfang L.. Gleichheit gilt genau dann, wenn das Viereck ein Quadrat ist. Der Doppelsatz besagt, dass das Quadrat von allen Vierecken mit einer bestimmten Fläche den kürzesten Umfang hat.

Das Viereck mit gegebenen Seitenlängen, das die maximale Fläche hat, ist das zyklische Viereck.^[40]

Von allen konvexen Vierecken mit gegebenen Diagonalen hat das orthodiagonale Viereck die größte Fläche.^[35]::S.119 Dies ist eine direkte Folge der Tatsache, dass die Fläche eines konvexen Vierecks erfüllt

${ displaystyle K = { tfrac {1} {2}} pq sin { theta} leq { tfrac {1} {2}} pq,}$

wo θ ist der Winkel zwischen den Diagonalen p und q. Gleichheit gilt genau dann, wenn θ = 90 °.

Wenn P. ist ein innerer Punkt in einem konvexen Viereck A B C D, dann

${ displaystyle AP + BP + CP + DP geq AC + BD.}$

Aus dieser Ungleichung folgt, dass der Punkt innerhalb eines Vierecks, der die Summe der Abstände zu den Eckpunkten minimiert, der Schnittpunkt der Diagonalen ist. Daher ist dieser Punkt der Fermat-Punkt eines konvexen Vierecks.^[41]::S.120

Bemerkenswerte Punkte und Linien in einem konvexen Viereck[edit]

Das Zentrum eines Vierecks kann auf verschiedene Arten definiert werden. Das “Scheitelpunktschwerpunkt” kommt von der Betrachtung des Vierecks als leer, aber mit gleichen Massen an seinen Eckpunkten. Das “Seitenschwerpunkt” kommt von der Betrachtung, dass die Seiten eine konstante Masse pro Längeneinheit haben. Das übliche Zentrum, nur Schwerpunkt (Flächenmittelpunkt) genannt, ergibt sich aus der Betrachtung der Oberfläche des Vierecks mit konstanter Dichte. Diese drei Punkte sind im Allgemeinen nicht alle gleich.^[42]

Das “Scheitelpunktschwerpunkt” ist der Schnittpunkt der beiden Bimedianer.^[43] Wie bei jedem Polygon ist die x und y Koordinaten des Scheitelpunktschwerpunkts sind das arithmetische Mittel der x und y Koordinaten der Eckpunkte.

Das “Bereich Schwerpunkt” von Viereck A B C D kann wie folgt aufgebaut werden. Lassen G_ein, G_b, G_c, G_d seien die Schwerpunkte der Dreiecke BCD, ACD, ABD, ABC beziehungsweise. Dann ist die “Bereich Schwerpunkt” ist der Schnittpunkt der Linien G_einG_c und G_bG_d.^[44]

Im Allgemeinen konvex viereckig A B C DEs gibt keine natürlichen Analogien zum Zirkumzentrum und Orthozentrum eines Dreiecks. Zwei solche Punkte können jedoch folgendermaßen konstruiert werden. Lassen Ö_ein, Ö_b, Ö_c, Ö_d seien Sie die Umkreise von Dreiecken BCD, ACD, ABD, ABC beziehungsweise; und bezeichnen mit H._ein, H._b, H._c, H._d die Orthozentren in den gleichen Dreiecken. Dann der Schnittpunkt der Linien Ö_einÖ_c und Ö_bÖ_d wird das Quasicircumcenter und der Schnittpunkt der Linien genannt H._einH._c und H._bH._d heißt das quasiorthozentrum des konvexen Vierecks.^[44] Diese Punkte können verwendet werden, um eine Euler-Linie eines Vierecks zu definieren. In einem konvexen Viereck das Quasiorthozentrum H., das “Bereich Schwerpunkt” Gund das Quasicircumcenter Ö sind in dieser Reihenfolge kollinear und HG = 2GEHEN.^[44]

Es kann auch a definiert werden Quasinin-Punkt-Zentrum E. als Schnittpunkt der Linien E._einE._c und E._bE._d, wo E._ein, E._b, E._c, E._d sind die Neun-Punkte-Zentren von Dreiecken BCD, ACD, ABD, ABC beziehungsweise. Dann E. ist der Mittelpunkt von OH.^[44]

Eine weitere bemerkenswerte Linie in einem konvexen Viereck ohne Parallelogramm ist die Newton-Linie, die die Mittelpunkte der Diagonalen verbindet, wobei das Segment, das diese Punkte verbindet, durch den Scheitelpunktschwerpunkt halbiert wird. Eine weitere interessante Linie (in gewisser Weise doppelt so hoch wie die von Newton) ist die Linie, die den Schnittpunkt der Diagonalen mit dem Scheitelpunktschwerpunkt verbindet. Die Linie ist bemerkenswert durch die Tatsache, dass sie den (Flächen-) Schwerpunkt enthält. Der Scheitelpunktschwerpunkt teilt das Segment, das den Schnittpunkt von Diagonalen und dem (Flächen-) Schwerpunkt verbindet, im Verhältnis 3: 1.^[45]

Für jedes Viereck A B C D mit Punkten P. und Q. die Schnittpunkte von ANZEIGE und BC und AB und CDjeweils die Kreise (PAB), (PCD), (QAD), und (QBC) durch einen gemeinsamen Punkt gehen M., genannt Miquel-Punkt.^[46]

Für ein konvexes Viereck A B C D in welchem E. ist der Schnittpunkt der Diagonalen und F. ist der Schnittpunkt der Seitenverlängerungen BC und ANZEIGEsei ω ein Kreis durch E. und F. was trifft CB intern bei M. und DA intern bei N.. Lassen CA. treffe ω wieder bei L. und lass DB treffe ω wieder bei K.. Dann gilt: die geraden Linien NK und ML am Punkt schneiden P. das befindet sich auf der Seite AB;; die geraden Linien NL und KM am Punkt schneiden Q. das befindet sich auf der Seite CD. Punkte P. und Q. werden “Pascal-Punkte” genannt, die durch den Kreis ω an den Seiten gebildet werden AB und CD.
^[47][48][49]

Andere Eigenschaften von konvexen Vierecken[edit]

• Lassen Sie äußere Quadrate auf allen Seiten eines Vierecks gezeichnet werden. Die Segmente, die die Zentren gegenüberliegender Quadrate verbinden, sind (a) gleich lang und (b) senkrecht. Somit sind diese Zentren die Eckpunkte eines orthodiagonalen Vierecks. Dies nennt man den Satz von Van Aubel.
• Für jedes einfache Viereck mit gegebenen Kantenlängen gibt es ein zyklisches Viereck mit den gleichen Kantenlängen.^[40]
• Die vier kleineren Dreiecke, die durch die Diagonalen und Seiten eines konvexen Vierecks gebildet werden, haben die Eigenschaft, dass das Produkt der Flächen zweier gegenüberliegender Dreiecke gleich dem Produkt der Flächen der beiden anderen Dreiecke ist.^[50]

Taxonomie[edit]

Eine hierarchische Taxonomie von Vierecken ist in der Abbildung rechts dargestellt. Niedrigere Klassen sind Sonderfälle höherer Klassen, mit denen sie verbunden sind. Beachten Sie, dass “Trapez” hier bezieht sich auf die nordamerikanische Definition (das britische Äquivalent ist ein Trapez). Inklusive Definitionen werden durchgehend verwendet.

Schrägvierecke[edit]

Ein nicht planares Viereck heißt a Viereck schief. Formeln zur Berechnung der Diederwinkel aus den Kantenlängen und dem Winkel zwischen zwei benachbarten Kanten wurden abgeleitet, um die Eigenschaften von Molekülen wie Cyclobutan zu untersuchen, die a enthalten “verzog sich” Ring aus vier Atomen.^[51] Historisch gesehen der Begriff gauche viereckig wurde auch verwendet, um ein schiefes Viereck zu bedeuten.^[52] Ein Schrägviereck bildet zusammen mit seinen Diagonalen ein (möglicherweise nicht reguläres) Tetraeder, und umgekehrt stammt jedes Schrägviereck von einem Tetraeder, bei dem ein Paar gegenüberliegender Kanten entfernt wird.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

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Externe Links[edit]

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