Tessellation – Wikipedia

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Kacheln einer Ebene mit einer oder mehreren geometrischen Formen, Kacheln genannt, ohne Überlappungen und ohne Lücken

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Eine Fliese oder Tessellation einer ebenen Fläche ist die Abdeckung einer Ebene unter Verwendung einer oder mehrerer geometrischer Formen, die als Kacheln bezeichnet werden, ohne Überlappungen und ohne Lücken. In der Mathematik können Tessellationen auf höhere Dimensionen und eine Vielzahl von Geometrien verallgemeinert werden.

Eine periodische Kachelung weist ein sich wiederholendes Muster auf. Einige spezielle Arten umfassen regelmäßige Fliesen mit regelmäßigen polygonalen Fliesen, die alle dieselbe Form haben, und halbreguläre Fliesen mit regelmäßigen Fliesen mit mehr als einer Form und mit jeder Ecke, die identisch angeordnet ist. Die durch periodische Kacheln gebildeten Muster können in 17 Tapetengruppen eingeteilt werden. Eine Kachelung ohne sich wiederholendes Muster wird als “nicht periodisch” bezeichnet. Bei einer aperiodischen Kachelung wird ein kleiner Satz von Kachelformen verwendet, die kein sich wiederholendes Muster bilden können. In der Geometrie höherer Dimensionen wird eine raumfüllende oder Wabe auch als a bezeichnet Tessellation des Raumes.

Eine echte physikalische Tessellation ist eine Fliese aus Materialien wie zementierten Keramikquadraten oder Sechsecken. Solche Fliesen können dekorative Muster sein oder Funktionen wie das Bereitstellen von dauerhaften und wasserfesten Pflaster-, Boden- oder Wandbelägen haben. Historisch gesehen wurden Tessellationen im antiken Rom und in der islamischen Kunst verwendet, beispielsweise in den dekorativen geometrischen Kacheln des Alhambra-Palastes. Im 20. Jahrhundert verwendete die Arbeit von MC Escher häufig Tessellationen, sowohl in der gewöhnlichen euklidischen Geometrie als auch in der hyperbolischen Geometrie, für künstlerische Wirkung. Tessellationen werden manchmal für dekorative Effekte beim Quilten verwendet. Tessellationen bilden eine Klasse von Mustern in der Natur, beispielsweise in den Anordnungen hexagonaler Zellen, die in Waben gefunden werden.

Geschichte[edit]

Ein Tempelmosaik aus der alten sumerischen Stadt Uruk IV (3400–3100 v. Chr.), Das ein Tessellationsmuster in farbigen Kacheln zeigt

Tessellationen wurden von den Sumerern (um 4000 v. Chr.) Für den Bau von Wanddekorationen verwendet, die aus Mustern von Tonfliesen gebildet wurden.[1]

Dekorative Mosaikfliesen aus kleinen quadratischen Blöcken, die als Tesserae bezeichnet werden, wurden in der Antike häufig verwendet.[2] manchmal geometrische Muster anzeigen.[3][4]

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1619 machte Johannes Kepler eine früh dokumentierte Studie über Tessellationen. Er schrieb über regelmäßige und semireguläre Tessellationen in seinem Harmonices Mundi;; Er war möglicherweise der erste, der die sechseckigen Strukturen von Waben und Schneeflocken erforschte und erklärte.[5]

Etwa zweihundert Jahre später, 1891, bewies der russische Kristallograph Jewgraf Fjodorow, dass jede periodische Kachelung des Flugzeugs eine von siebzehn verschiedenen Gruppen von Isometrien aufweist.[8][9] Fjodorows Arbeit markierte den inoffiziellen Beginn der mathematischen Untersuchung von Tessellationen. Andere prominente Mitwirkende sind Aleksei Shubnikov und Nikolai Belov (1964),[10] und Heinrich Heesch und Otto Kienzle (1963).[11]

Etymologie[edit]

In Latein, Tessella ist ein kleines kubisches Stück Ton, Stein oder Glas, aus dem Mosaike hergestellt werden.[12] Das Wort “Tessella” bedeutet “kleines Quadrat” (von Tessera, Quadrat, das wiederum vom griechischen Wort τέσσερα für ist vier). Es entspricht dem Alltagsbegriff Fliesen, was sich auf Anwendungen von Tessellationen bezieht, die oft aus glasiertem Ton bestehen.

Überblick[edit]

Tessellation in zwei Dimensionen, auch planare Kacheln genannt, ist ein Thema in der Geometrie, das untersucht, wie Formen, bekannt als Fliesenkann so angeordnet werden, dass eine Ebene ohne Lücken gemäß einem vorgegebenen Regelsatz gefüllt wird. Diese Regeln können variiert werden. Häufig ist, dass zwischen den Kacheln keine Lücken bestehen dürfen und dass keine Ecke einer Kachel am Rand einer anderen liegen darf.[13] Die durch Verbundmauerwerk erzeugten Tessellationen halten sich nicht an diese Regel. Unter denen, die dies tun, hat eine regelmäßige Tessellation beide identisch[a]regelmäßige Kacheln und identische reguläre Ecken oder Eckpunkte mit dem gleichen Winkel zwischen benachbarten Kanten für jede Kachel. Es gibt nur drei Formen, die solche regelmäßigen Tessellationen bilden können: das gleichseitige Dreieck, das Quadrat und das regelmäßige Sechseck. Jede dieser drei Formen kann unendlich dupliziert werden, um eine Ebene ohne Lücken zu füllen.

Viele andere Arten der Tessellation sind unter verschiedenen Bedingungen möglich. Zum Beispiel gibt es acht Arten von semi-regulären Tessellationen, die mit mehr als einer Art von regulären Polygonen erstellt wurden, aber an jeder Ecke immer noch die gleiche Anordnung von Polygonen aufweisen.[15] Unregelmäßige Tessellationen können auch aus anderen Formen wie Pentagonen, Polyominoen und in der Tat fast jeder Art von geometrischer Form hergestellt werden. Der Künstler MC Escher ist berühmt dafür, Tessellationen mit unregelmäßigen ineinandergreifenden Fliesen herzustellen, die wie Tiere und andere natürliche Objekte geformt sind. Wenn für die Fliesen unterschiedlicher Form geeignete Kontrastfarben gewählt werden, entstehen auffällige Muster, mit denen physische Oberflächen wie Kirchenböden dekoriert werden können.[17]

Die kunstvollen und farbenfrohen zelligen Tessellationen glasierter Fliesen in der Alhambra in Spanien, die die Aufmerksamkeit von MC Escher auf sich zogen

Formal ist eine Tessellation oder Kachelung eine Abdeckung der euklidischen Ebene durch eine zählbare Anzahl geschlossener Mengen, die als bezeichnet wird Fliesen, so dass sich die Kacheln nur an ihren Grenzen schneiden. Diese Kacheln können Polygone oder andere Formen sein.[b] Viele Tessellationen werden aus einer endlichen Anzahl von Prototilen gebildet, bei denen alle Kacheln in der Tessellation zu den gegebenen Prototilen kongruent sind. Wenn eine geometrische Form als Prototil verwendet werden kann, um eine Tessellation zu erzeugen, wird die Form als bezeichnet tessellieren oder zu Fliese das Flugzeug. Das Conway-Kriterium ist ein ausreichendes, aber nicht notwendiges Regelwerk, um zu entscheiden, ob eine bestimmte Form die Ebene regelmäßig ohne Reflexionen kachelt: Einige Kacheln verfehlen das Kriterium, kacheln aber dennoch die Ebene.[19] Es wurde keine allgemeine Regel gefunden, um zu bestimmen, ob eine bestimmte Form die Ebene kacheln kann oder nicht, was bedeutet, dass es viele ungelöste Probleme bezüglich Tessellationen gibt.

Mathematisch können Tessellationen auf andere Räume als die euklidische Ebene ausgedehnt werden. Das Schweizer Geometer Ludwig Schläfli hat dies durch Definition vorangetrieben Polyschemata, die Mathematiker heutzutage Polytope nennen. Dies sind die Analoga zu Polygonen und Polyedern in Räumen mit mehr Dimensionen. Er definierte die Schläfli-Symbolnotation weiter, um die Beschreibung von Polytopen zu vereinfachen. Beispielsweise ist das Schläfli-Symbol für ein gleichseitiges Dreieck {3}, während das für ein Quadrat {4} ist.[20] Die Schläfli-Notation ermöglicht eine kompakte Beschreibung von Fliesen. Beispielsweise weist eine Kachelung regulärer Sechsecke an jedem Scheitelpunkt drei sechsseitige Polygone auf, sodass das Schläfli-Symbol {6,3} lautet.[21]

Es gibt auch andere Methoden zur Beschreibung polygonaler Fliesen. Wenn die Tessellation aus regulären Polygonen besteht, ist die häufigste Notation die Scheitelpunktkonfiguration, bei der es sich lediglich um eine Liste der Anzahl der Seiten der Polygone um einen Scheitelpunkt handelt. Die quadratische Kachelung hat eine Scheitelpunktkonfiguration von 4.4.4.4 oder 44. Das Kacheln von regulären Sechsecken ist in 6.6.6 oder 6 angegeben3.

In Mathematik[edit]

Einführung in Tessellationen[edit]

Mathematiker verwenden einige Fachbegriffe, wenn sie Fliesen diskutieren. Ein Kante ist der Schnittpunkt zwischen zwei angrenzenden Kacheln; es ist oft eine gerade Linie. EIN Scheitel ist der Schnittpunkt von drei oder mehr angrenzenden Kacheln. Unter Verwendung dieser Begriffe kann ein isogonal oder vertextransitive Kacheln sind Kacheln, bei denen jeder Scheitelpunktpunkt identisch ist. Das heißt, die Anordnung der Polygone um jeden Scheitelpunkt ist dieselbe. Der Grundbereich ist eine Form wie ein Rechteck, das wiederholt wird, um die Tessellation zu bilden.[22] Zum Beispiel hat eine regelmäßige Tessellation der Ebene mit Quadraten eine Begegnung von vier Quadraten an jedem Scheitelpunkt.

Die Seiten der Polygone sind nicht unbedingt mit den Kanten der Kacheln identisch. Ein Fliesen von Kante zu Kante ist eine polygonale Tessellation, bei der benachbarte Kacheln nur eine volle Seite teilen, dh keine Kachel teilt eine Teilseite oder mehr als eine Seite mit einer anderen Kachel. Bei einer Kachelung von Kante zu Kante sind die Seiten der Polygone und die Kanten der Kacheln gleich. Die bekannten “Ziegelmauer” -Kacheln sind nicht von Kante zu Kante, da die lange Seite jedes rechteckigen Ziegels mit zwei angrenzenden Ziegeln geteilt wird.

EIN normale Fliesen ist eine Tessellation, bei der jede Kachel topologisch einer Scheibe entspricht, der Schnittpunkt zweier Kacheln eine einzelne verbundene Menge oder die leere Menge ist und alle Kacheln einheitlich begrenzt sind. Dies bedeutet, dass ein einziger Umschreibungsradius und ein einziger Beschriftungsradius für alle Kacheln in der gesamten Kachel verwendet werden können. Der Zustand verbietet Fliesen, die pathologisch lang oder dünn sind.[23]

EIN monoedrische Fliesen ist eine Tessellation, in der alle Kacheln kongruent sind; es hat nur ein Prototil. Eine besonders interessante Art der monoedrischen Tessellation ist die spiralförmige monohedrale Kachelung. Die erste monohedrale Spiralfliese wurde 1936 von Heinz Voderberg entdeckt; Die Voderberg-Kachel hat eine Einheitskachel, die ein nicht konvexes Enneagon ist.[1] Das Hirschhorn Fliesen, veröffentlicht von Michael D. Hirschhorn und DC Hunt im Jahr 1985, ist eine Fünfeckkachelung mit unregelmäßigen Fünfecken: Normale Fünfecke können die euklidische Ebene nicht als Innenwinkel eines regulären Fünfecks kacheln. 3π/.5ist kein Teiler von 2π.[24][25][26]

Eine isoedrische Kachelung ist eine spezielle Variante einer monoedrischen Kachelung, bei der alle Kacheln derselben Transitivitätsklasse angehören, dh alle Kacheln sind Transformationen desselben Prototils unter der Symmetriegruppe der Kachelung.[23] Wenn ein Prototil eine Kachelung zulässt, aber keine solche Kachelung isohedrisch ist, wird das Prototil als anisoedrisch bezeichnet und bildet anisohedrische Kacheln.

Eine regelmäßige Tessellation ist eine hochsymmetrische Kachel von Kante zu Kante, die aus regulären Polygonen besteht, die alle dieselbe Form haben. Es gibt nur drei reguläre Tessellationen: solche, die aus gleichseitigen Dreiecken, Quadraten oder regulären Sechsecken bestehen. Alle drei Fliesen sind isogonal und monohedrisch.[27]

Eine semi-reguläre (oder archimedische) Tessellation verwendet mehr als einen Typ eines regulären Polygons in einer isogonalen Anordnung. Es gibt acht halbregelmäßige Kacheln (oder neun, wenn das spiegelbildliche Kachelpaar zwei zählt). Diese können durch ihre Scheitelpunktkonfiguration beschrieben werden; Beispielsweise hat eine halbregelmäßige Kachelung mit Quadraten und regelmäßigen Achtecken die Scheitelpunktkonfiguration 4.82 (Jeder Scheitelpunkt hat ein Quadrat und zwei Achtecke).[29] Viele nicht kantenförmige Kacheln der euklidischen Ebene sind möglich, einschließlich der Familie der pythagoreischen Kacheln, Tessellationen, die zwei (parametrisierte) Quadratgrößen verwenden, wobei jedes Quadrat vier Quadrate der anderen Größe berührt.[30] Eine Kanten-Tessellation ist eine, bei der jede Kachel über eine Kante reflektiert werden kann, um die Position einer benachbarten Kachel einzunehmen, beispielsweise in einer Anordnung von gleichseitigen oder gleichschenkligen Dreiecken.[31]

Hintergrundgruppen[edit]

Dieser tessellierte, monohedrale Straßenbelag verwendet geschwungene Formen anstelle von Polygonen. Es gehört zur Tapetengruppe p3.

Tilings mit Translationssymmetrie in zwei unabhängigen Richtungen können nach Tapetengruppen kategorisiert werden, von denen 17 existieren.[32] Es wurde behauptet, dass alle siebzehn dieser Gruppen im Alhambra-Palast in Granada, Spanien, vertreten sind. Obwohl dies umstritten ist,[33] Die Vielfalt und Raffinesse der Alhambra-Fliesen hat moderne Forscher überrascht.[34] Von den drei regulären Fliesen befinden sich zwei in der p6m Tapetengruppe und einer ist in p4m. Tilings in 2D mit Translationssymmetrie in nur einer Richtung können durch die sieben Friesgruppen kategorisiert werden, die die möglichen Friesmuster beschreiben.[35]Die Orbifold-Notation kann verwendet werden, um Tapetengruppen der euklidischen Ebene zu beschreiben.[36]

Aperiodische Fliesen[edit]

Penrose-Fliesen, bei denen zwei verschiedene viereckige Prototile verwendet werden, sind das bekannteste Beispiel für Fliesen, die zwangsweise nichtperiodische Muster erzeugen. Sie gehören zu einer allgemeinen Klasse von aperiodischen Fliesen, bei denen Fliesen verwendet werden, die nicht regelmäßig tessellieren können. Der rekursive Prozess der Substitutionskachelung ist eine Methode zur Erzeugung aperiodischer Kacheln. Eine Klasse, die auf diese Weise generiert werden kann, sind die Wiederholungskacheln. Diese Fliesen haben überraschende selbstreplizierende Eigenschaften. Die Radradfliesen sind nicht periodisch und verwenden eine Rep-Fliesen-Konstruktion. Die Kacheln erscheinen in unendlich vielen Ausrichtungen.[38] Es könnte angenommen werden, dass ein nichtperiodisches Muster völlig ohne Symmetrie wäre, aber dies ist nicht so. Aperiodische Kacheln weisen zwar keine Translationssymmetrie auf, weisen jedoch Symmetrien anderer Typen auf, indem sich ein begrenzter Fleck der Kachelung und bestimmte endliche Gruppen von Rotationen oder Reflexionen dieser Flecken unendlich wiederholen.[39] Eine Substitutionsregel, wie sie verwendet werden kann, um einige Penrose-Muster unter Verwendung von Kacheln zu erzeugen, die als Rauten bezeichnet werden, veranschaulicht die Skalierungssymmetrie.[40] Ein Fibonacci-Wort kann verwendet werden, um eine aperiodische Kachelung zu erstellen und Quasikristalle zu untersuchen, bei denen es sich um Strukturen mit aperiodischer Ordnung handelt.[41]

Wang-Kacheln sind Quadrate, die an jeder Kante gefärbt und so platziert sind, dass die angrenzenden Kanten benachbarter Kacheln dieselbe Farbe haben. Daher werden sie manchmal Wang-Dominosteine ​​genannt. Ein geeigneter Satz von Wang-Dominosteinen kann das Flugzeug kacheln, jedoch nur aperiodisch. Dies ist bekannt, weil jede Turing-Maschine als eine Reihe von Wang-Dominosteinen dargestellt werden kann, die das Flugzeug genau dann kacheln, wenn die Turing-Maschine nicht anhält. Da das Problem des Anhaltens unentscheidbar ist, ist auch das Problem der Entscheidung, ob ein Wang-Domino-Set das Flugzeug kacheln kann, unentscheidbar.[42][43][44][45][46]

Truchet-Fliesen sind quadratische Fliesen, die mit Mustern verziert sind, sodass sie keine Rotationssymmetrie aufweisen. 1704 verwendete Sébastien Truchet eine quadratische Fliese, die in zwei Dreiecke mit kontrastierenden Farben aufgeteilt war. Diese können die Ebene entweder periodisch oder zufällig kacheln.[47][48]

Tessellationen und Farbe[edit]

Wenn die Farben dieser Kacheln ein Muster bilden sollen, indem dieses Rechteck als Grunddomäne wiederholt wird, sind mindestens sieben Farben erforderlich. Im Allgemeinen werden mindestens vier Farben benötigt.

Manchmal wird die Farbe einer Fliese als Teil der Fliese verstanden; zu anderen Zeiten können später beliebige Farben angewendet werden. Wenn Sie eine Kachel diskutieren, die in Farben angezeigt wird, müssen Sie zur Vermeidung von Mehrdeutigkeiten angeben, ob die Farben Teil der Kachel oder nur Teil der Abbildung sind. Dies wirkt sich darauf aus, ob Fliesen mit derselben Form, aber unterschiedlichen Farben als identisch angesehen werden, was sich wiederum auf Symmetriefragen auswirkt. Der Vierfarbensatz besagt, dass für jede Tessellation einer normalen euklidischen Ebene mit einem Satz von vier verfügbaren Farben jede Kachel in einer Farbe gefärbt werden kann, so dass sich keine Kacheln gleicher Farbe bei einer Kurve positiver Länge treffen. Die durch den Vierfarbensatz garantierte Färbung berücksichtigt im Allgemeinen nicht die Symmetrien der Tessellation. Um eine Färbung zu erzeugen, die dies tut, müssen die Farben als Teil der Tessellation behandelt werden. Hier werden möglicherweise bis zu sieben Farben benötigt, wie auf dem Bild rechts.[49]

Tessellationen mit Polygonen[edit]

Neben den verschiedenen Fliesen durch reguläre Polygone wurden auch Fliesen durch andere Polygone untersucht.

Jedes Dreieck oder Viereck (auch nicht konvex) kann als Prototil verwendet werden, um eine monoedrische Tessellation zu bilden, oft auf mehr als eine Weise. Kopien eines beliebigen Vierecks können eine Tessellation mit Translationssymmetrie und zweifacher Rotationssymmetrie mit Zentren an den Mittelpunkten aller Seiten bilden. Für ein asymmetrisches Viereck gehört diese Kachelung zur Tapetengruppe p2. Als fundamentale Domäne haben wir das Viereck. Entsprechend können wir ein Parallelogramm erstellen, das von einem minimalen Satz von Translationsvektoren ausgehend von einem Rotationszentrum begrenzt wird. Wir können dies durch eine Diagonale teilen und eine Hälfte (ein Dreieck) als fundamentale Domäne nehmen. Ein solches Dreieck hat die gleiche Fläche wie das Viereck und kann durch Ausschneiden und Einfügen daraus konstruiert werden.[50]

Wenn nur eine Fliesenform zulässig ist, sind die Fliesen konvex N.-gons für N. gleich 3, 4, 5 und 6. Für N. = 5siehe fünfeckige Kacheln, z N. = 6, siehe Sechseckige Kacheln, z N. = 7, siehe Siebeneckige Fliesen und für N. = 8siehe achteckige Kacheln.

Ergebnisse zum Kacheln der Ebene mit Polyominoes finden Sie unter Polyomino § Verwendung von Polyominoes.

Voronoi Fliesen[edit]

Voronoi oder Dirichlet-Kacheln sind Tessellationen, bei denen jede Kachel als die Menge von Punkten definiert ist, die einem der Punkte in einer diskreten Menge von Definitionspunkten am nächsten liegt. (Stellen Sie sich geografische Regionen vor, in denen jede Region als alle Punkte definiert ist, die einer bestimmten Stadt oder einem Postamt am nächsten liegen.)[51][52] Das Voronoi-Zelle Für jeden Definitionspunkt gibt es ein konvexes Polygon. Die Delaunay-Triangulation ist eine Tessellation, die der doppelte Graph einer Voronoi-Tessellation ist. Delaunay-Triangulationen sind in der numerischen Simulation nützlich, teilweise weil Delaunay-Triangulationen unter allen möglichen Triangulationen der definierenden Punkte das Minimum der von den Kanten gebildeten Winkel maximieren.[53] Voronoi-Kacheln mit zufällig platzierten Punkten können verwendet werden, um zufällige Kacheln der Ebene zu konstruieren.[54]

Tessellationen in höheren Dimensionen[edit]

Die Tessellation kann auf drei Dimensionen erweitert werden. Bestimmte Polyeder können in einem regelmäßigen Kristallmuster gestapelt werden, um den dreidimensionalen Raum zu füllen (oder zu kacheln), einschließlich des Würfels (das einzige platonische Polyeder, das dies tut), des rhombischen Dodekaeders, des abgeschnittenen Oktaeders sowie dreieckiger, viereckiger und hexagonaler Prismen , unter anderen.[55] Jedes Polyeder, das diesem Kriterium entspricht, wird als Plesioeder bezeichnet und kann zwischen 4 und 38 Flächen besitzen.[56] Natürlich vorkommende rhombische Dodekaeder werden als Kristalle von Andradit (eine Art Granat) und Fluorit gefunden.[57][58]

Abbildung eines Schmitt-Conway-Biprismas, auch Schmitt-Conway-Danzer-Kachel genannt

Tessellationen in drei oder mehr Dimensionen werden Waben genannt. In drei Dimensionen gibt es nur eine reguläre Wabe mit acht Würfeln an jedem Polyederscheitelpunkt. Ebenso gibt es in drei Dimensionen nur ein Quasiregular[c] Wabe mit acht Tetraedern und sechs Oktaedern an jedem Polyederscheitelpunkt. Es gibt jedoch viele mögliche semireguläre Waben in drei Dimensionen.[59] Mit der Wythoff-Konstruktion können einheitliche Polyeder konstruiert werden.[60]

Das Schmitt-Conway-Biprisma ist ein konvexes Polyeder mit der Eigenschaft, den Raum nur aperiodisch zu kacheln.[61]

Ein Schwarz-Dreieck ist ein sphärisches Dreieck, mit dem eine Kugel gekachelt werden kann.[62]

Tessellationen in nichteuklidischen Geometrien[edit]

Es ist möglich, in nichteuklidischen Geometrien wie der hyperbolischen Geometrie zu tessellieren. Eine gleichmäßige Kachelung in der hyperbolischen Ebene (die regelmäßig, quasiregulär oder semiregular sein kann) ist eine Rand-zu-Rand-Füllung der hyperbolischen Ebene mit regelmäßigen Polygonen als Flächen. Diese sind scheitelpunkttransitiv (transitiv auf ihren Scheitelpunkten) und isogonal (es gibt eine Isometrie, die jeden Scheitelpunkt auf einen anderen abbildet).[63][64]

Eine einheitliche Wabe im hyperbolischen Raum ist eine einheitliche Tessellation einheitlicher polyedrischer Zellen. Im dreidimensionalen hyperbolischen Raum gibt es neun Coxeter-Gruppenfamilien kompakter konvexer einheitlicher Waben, die als Wythoff-Konstruktionen erzeugt und durch Permutationen von Ringen der Coxeter-Diagramme für jede Familie dargestellt werden.[65]

Römische Mosaikbodenplatte aus Stein, Fliesen und Glas aus einer Villa in der Nähe von Antiochia im römischen Syrien. 2. Jahrhundert n. Chr

In der Architektur werden seit der Antike Tessellationen verwendet, um dekorative Motive zu schaffen. Mosaikfliesen hatten oft geometrische Muster.[4] Spätere Zivilisationen verwendeten auch größere Fliesen, entweder schlicht oder individuell dekoriert. Zu den dekorativsten gehörten die maurischen Wandfliesen der islamischen Architektur, bei denen Girih- und Zellige-Fliesen in Gebäuden wie der Alhambra verwendet wurden[66] und La Mezquita.[67]

Tessellationen tauchten häufig in der Grafik von MC Escher auf; Er war inspiriert von der maurischen Verwendung von Symmetrie an Orten wie der Alhambra, als er 1936 Spanien besuchte. Escher fertigte vier “Circle Limit” -Zeichnungen von Fliesen an, die hyperbolische Geometrie verwenden.[69][70] Für seinen Holzschnitt “Circle Limit IV” (1960) erstellte Escher eine Bleistift- und Tintenstudie mit der erforderlichen Geometrie. Escher erklärte: “Keine einzelne Komponente aller Serien, die sich aus unendlich großer Entfernung wie Raketen senkrecht von der Grenze erheben und schließlich darin verloren gehen, erreicht jemals die Grenzlinie.”

Ein Quilt mit einem regelmäßigen Tessellationsmuster

Tessellierte Designs erscheinen häufig auf Textilien, egal ob gewebt, eingenäht oder bedruckt. Tessellationsmuster wurden verwendet, um ineinandergreifende Motive von Patchformen in Quilts zu entwerfen.[73][74]

Tessellationen sind auch ein Hauptgenre im Origami (Papierfalten), bei dem Falten verwendet werden, um Moleküle wie Drehfalten wiederholt miteinander zu verbinden.[75]

In der Fertigung[edit]

Tessellation wird in der Fertigungsindustrie verwendet, um die Verschwendung von Material (Ertragsverluste) wie Blech beim Ausschneiden von Formen für Objekte wie Autotüren oder Getränkedosen zu reduzieren.[76]

Eine Tessellation zeigt sich im schlammrissartigen Reißen dünner Filme[77][78] – wobei ein gewisses Maß an Selbstorganisation mithilfe von Mikro- und Nanotechnologien beobachtet wird.[79]

In der Natur[edit]

Eine Wabe ist eine natürliche tessellierte Struktur.

Die Wabe ist mit ihren sechseckigen Zellen ein bekanntes Beispiel für Tessellation in der Natur.[80]

In der Botanik beschreibt der Begriff “Tessellat” ein Schachbrettmuster, beispielsweise auf einem Blütenblatt, einer Baumrinde oder einer Frucht. Blüten einschließlich der Perlmutterfalter[81] und einige Arten von Colchicum sind charakteristisch tesselliert.[82]

Viele Muster in der Natur werden durch Risse in Materialbahnen gebildet. Diese Muster können durch Gilbert-Tessellationen beschrieben werden.[83] auch als zufällige Crack-Netzwerke bekannt.[84] Die Gilbert-Tessellation ist ein mathematisches Modell für die Bildung von Schlammrissen, nadelartigen Kristallen und ähnlichen Strukturen. Das nach Edgar Gilbert benannte Modell ermöglicht die Bildung von Rissen, die zufällig über das Flugzeug verteilt sind. Jeder Riss breitet sich in zwei entgegengesetzten Richtungen entlang einer Linie durch den Startpunkt aus, wobei seine Steigung zufällig gewählt wird, wodurch eine Tessellation unregelmäßiger konvexer Polygone erzeugt wird.[85]Basaltische Lavaströme weisen aufgrund von Kontraktionskräften, die beim Abkühlen der Lava Risse verursachen, häufig eine säulenförmige Verbindung auf. Die ausgedehnten Rissnetzwerke, die sich entwickeln, produzieren oft sechseckige Lavasäulen. Ein Beispiel für eine solche Anordnung von Säulen ist der Giant’s Causeway in Nordirland.[86]Tessellated Pflaster, ein charakteristisches Beispiel dafür befindet sich am Eaglehawk Neck auf der Tasmanischen Halbinsel von Tasmanien, ist eine seltene Sedimentgesteinsformation, bei der das Gestein in rechteckige Blöcke gebrochen ist.[87]

Andere natürliche Muster treten in Schäumen auf; Diese werden gemäß den Plateau-Gesetzen verpackt, die nur minimale Oberflächen erfordern. Solche Schäume stellen ein Problem dar, wenn es darum geht, Zellen so dicht wie möglich zu verpacken: 1887 schlug Lord Kelvin eine Packung mit nur einem Feststoff vor, der bitrunkierten kubischen Wabe mit sehr leicht gekrümmten Flächen. 1993 schlugen Denis Weaire und Robert Phelan die Weaire-Phelan-Struktur vor, die weniger Oberfläche benötigt, um Zellen mit gleichem Volumen als Kelvins Schaum zu trennen.[88]

In Rätseln und Freizeitmathematik[edit]

Tessellationen haben zu vielen Arten von Kachelpuzzles geführt, von traditionellen Puzzles (mit unregelmäßigen Holz- oder Pappstücken).[89] und das Tangram[90] zu moderneren Rätseln, die oft eine mathematische Grundlage haben. Zum Beispiel sind Polyiamanten und Polyominoes Figuren aus regelmäßigen Dreiecken und Quadraten, die häufig zum Kacheln von Rätseln verwendet werden.[91][92] Autoren wie Henry Dudeney und Martin Gardner haben die Tessellation in der Freizeitmathematik vielfach genutzt. Zum Beispiel erfand Dudeney die klappbare Dissektion.[93] während Gardner über die Rep-Kachel schrieb, eine Form, die in kleinere Kopien derselben Form zerlegt werden kann.[94][95] Inspiriert von Gardners Artikeln in Scientific American fand die Amateur-Mathematikerin Marjorie Rice vier neue Tessellationen mit Pentagonen.[96][97]Das Quadrieren des Quadrats ist das Problem des Kachelns eines integralen Quadrats (eines, dessen Seiten eine ganzzahlige Länge haben) unter Verwendung nur anderer integraler Quadrate.[98][99] Eine Erweiterung quadriert die Ebene und kachelt sie durch Quadrate, deren Größe alle natürliche Zahlen ohne Wiederholungen sind. James und Frederick Henle haben bewiesen, dass dies möglich ist.[100]

Beispiele[edit]

Siehe auch[edit]

  1. ^ Der mathematische Begriff für identische Formen ist “kongruent” – in der Mathematik bedeutet “identisch”, dass sie dieselbe Kachel sind.
  2. ^ Die Kacheln müssen normalerweise homöomorph (topologisch äquivalent) zu einer geschlossenen Scheibe sein, was bedeutet, dass bizarre Formen mit Löchern, baumelnden Liniensegmenten oder unendlichen Bereichen ausgeschlossen sind.
  3. ^ Quasiregulär bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Zellen regelmäßig sind (Festkörper) und die Scheitelpunktzahlen semiregulär sind.

Verweise[edit]

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Quellen[edit]

Externe Links[edit]

  • Tegula (Open-Source-Software zur Untersuchung zweidimensionaler Kacheln der Ebene, Kugel und hyperbolischen Ebene; enthält Datenbanken mit Millionen von Kacheln)
  • Wolfram MathWorld: Tessellation (gute Bibliographie, Zeichnungen von regelmäßigen, semiregulären und demiregulären Tessellationen)
  • Tilings Enzyklopädie (Ausführliche Informationen zu Substitutionskacheln, einschließlich Zeichnungen, Personen und Referenzen)
  • Tessellations.org (Anleitungen, Escher-Tessellationsgalerie, Galerien mit Tessellationen anderer Künstler, Unterrichtspläne, Geschichte)
  • Eppstein, David. “The Geometry Junkyard: Hyperbolic Tiling”. (Liste der Webressourcen einschließlich Artikel und Galerien)


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