Tetraederstumpf – Wikipedia

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Tetraederstumpf
Truncatedtetrahedron.jpg
(Klicken Sie hier für rotierendes Modell)
Art Archimedischer Feststoff
Einheitliches Polyeder
Elemente F. = 8, E. = 18, V. = 12 (χ = 2)
Gesichter von Seiten 4 {3} +4 {6}
Conway-Notation tT
Schläfli-Symbole t {3,3} = h2{4,3}
t0,1{3,3}
Wythoff-Symbol 2 3 | 3
Coxeter-Diagramm CDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel-Knoten 1.pngCDel 3.pngCDel node.png = CDel-Knoten h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel-Knoten 1.png
Symmetriegruppe T.d, EIN3, [3,3], (* 332), Bestellung 24
Rotationsgruppe T, [3,3]+, (332), Ordnung 12
Diederwinkel 3-6: 109 ° 28’16 ‘
6-6: 70 ° 31’44 ”
Verweise U.02, C.16, W.6
Eigenschaften Semiregular konvex
Polyeder abgeschnitten 4a max.png
Farbige Gesichter 		Tetraeder abgeschnitten vertfig.png
3.6.6
(Scheitelpunktfigur)
Polyeder abgeschnitten 4a dual max.png
Triakis-Tetraeder
(Doppelpolyeder) 		Polyeder abgeschnitten 4a net.svg
Netz

3D-Modell eines Tetraederstumpfes

In der Geometrie ist die Tetraederstumpf ist ein archimedischer Körper. Es hat 4 regelmäßige sechseckige Flächen, 4 gleichseitige Dreiecksflächen, 12 Eckpunkte und 18 Kanten (von zwei Arten). Es kann konstruiert werden, indem alle 4 Eckpunkte eines regulären Tetraeders auf ein Drittel der ursprünglichen Kantenlänge abgeschnitten werden.

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Eine tiefere Kürzung, bei der ein Tetraeder mit der Hälfte der ursprünglichen Kantenlänge von jedem Scheitelpunkt entfernt wird, wird als Gleichrichtung bezeichnet. Die Gleichrichtung eines Tetraeders erzeugt ein Oktaeder.[1]

EIN Tetraederstumpf ist das Goldberg-Polyeder G.III(1,1) mit dreieckigen und sechseckigen Flächen.

EIN Tetraederstumpf kann als a bezeichnet werden cantic cubemit Coxeter-Diagramm, CDel-Knoten h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel-Knoten 1.pngmit der Hälfte der Eckpunkte des kantellierten Würfels (Rhombicuboctahedron), CDel-Knoten 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel-Knoten 1.png. Es gibt zwei Doppelpositionen dieser Konstruktion, und wenn sie kombiniert werden, entsteht die einheitliche Verbindung zweier abgeschnittener Tetraeder.

Fläche und Volumen[edit]

Das Gebiet EIN und die Lautstärke V. eines abgeschnittenen Tetraeders mit Kantenlänge ein sind:

Dichteste Verpackung[edit]

Es wird angenommen, dass die dichteste Packung des archimedischen Tetraederstumpfes Φ = ist 207/.208, wie von zwei unabhängigen Gruppen unter Verwendung von Monte-Carlo-Methoden berichtet.[2][3] Obwohl es keinen mathematischen Beweis dafür gibt, dass dies die bestmögliche Packung für das abgeschnittene Tetraeder ist, ist es aufgrund der hohen Nähe zur Einheit und Unabhängigkeit der Ergebnisse unwahrscheinlich, dass eine noch dichtere Packung gefunden wird. Wenn die Kürzung der Ecken geringfügig kleiner ist als die eines archimedischen Tetraederstumpfes, kann diese neue Form verwendet werden, um den Raum vollständig auszufüllen.[2]

Kartesischen Koordinaten[edit]

Die kartesischen Koordinaten für die 12 Eckpunkte eines am Ursprung zentrierten Tetraederstumpfes mit der Kantenlänge √8 sind alle Permutationen von (± 1, ± 1, ± 3) mit einer geraden Anzahl von Minuszeichen:

  • (+ 3, + 1, + 1), (+ 1, + 3, + 1), (+ 1, + 1, + 3)
  • (−3, −1, + 1), (−1, −3, + 1), (−1, −1, + 3)
  • (–3, + 1, –1), (–1, + 3, –1), (–1, + 1, –3)
  • (+ 3, −1, −1), (+ 1, −3, −1), (+ 1, −1, −3)
Tetraederstumpf in Einheit cube.png Triangulierte Tetraederstumpf.png UC54-2 abgeschnitten tetrahedra.png
Orthogonale Projektion mit kartesischen Koordinaten innerhalb des Begrenzungsrahmens: (± 3, ± 3, ± 3). Die sechseckigen Flächen der abgeschnittenen Tetraeder können in 6 koplanare gleichseitige Dreiecke unterteilt werden. Die 4 neuen Eckpunkte haben kartesische Koordinaten:
(-1, -1, -1), (-1, + 1, + 1),
(+ 1, -1, + 1), (+ 1, + 1, -1). Als Feststoff kann dies eine 3D-Präparation darstellen, die 4 rote Oktaeder und 6 gelbe Tetraeder ergibt. 		Der Satz von Scheitelpunktpermutationen (± 1, ± 1, ± 3) mit einer ungeraden Anzahl von Minuszeichen bildet ein komplementäres abgeschnittenes Tetraeder, und zusammen bilden sie ein einheitliches zusammengesetztes Polyeder.

Eine andere einfache Konstruktion existiert im 4-Raum als Zellen der abgeschnittenen 16-Zelle mit Eckpunkten als Koordinatenpermutation von:

(0,0,1,2)

Orthogonale Projektion[edit]

Sphärische Fliesen[edit]

Das abgeschnittene Tetraeder kann auch als sphärische Kachelung dargestellt und über eine stereografische Projektion auf die Ebene projiziert werden. Diese Projektion ist konform und behält Winkel bei, jedoch keine Flächen oder Längen. Gerade Linien auf der Kugel werden als Kreisbögen auf die Ebene projiziert.

Friauf Polyeder[edit]

Eine Version des unteren Tetraeders mit niedrigerer Symmetrie (ein abgeschnittenes tetragonales Disphenoid mit der Ordnung 8 D.2d Symmetrie) wird in Kristallen wie komplexen Metalllegierungen als Friauf-Polyeder bezeichnet. Diese Form passt 5 Friauf-Polyeder um eine Achse und ergibt einen 72-Grad-Diederwinkel auf einer Teilmenge von 6-6 Kanten.[4] Es ist nach JB Friauf und seiner Arbeit von 1927 “Die Kristallstruktur der intermetallischen Verbindung MgCu” benannt2“.[5]

Riesige Tetraederstümpfe wurden für die Themenpavillons “Man the Explorer” und “Man the Producer” in Expo 67 verwendet. Sie bestanden aus massiven Stahlträgern, die in einem geometrischen Gitter miteinander verschraubt waren. Die abgeschnittenen Tetraeder waren mit Gitterstahlplattformen verbunden. Alle diese Gebäude wurden nach dem Ende der Expo 67 abgerissen, da sie nicht gebaut worden waren, um der Schwere des Wetters in Montreal im Laufe der Jahre standzuhalten. Ihre einzigen Überreste befinden sich in den Stadtarchiven von Montreal, im öffentlichen Archiv von Kanada und in den Fotosammlungen der damaligen Touristen.[6]

Das Tetraminx-Puzzle hat eine abgeschnittene tetraedrische Form. Dieses Puzzle zeigt eine Zerlegung eines abgeschnittenen Tetraeders in 4 Oktaeder und 6 Tetraeder. Es enthält 4 zentrale Rotationsebenen.

Tetraminx.jpg

Abgeschnittener tetraedrischer Graph[edit]

Im mathematischen Bereich der Graphentheorie a abgeschnittener tetraedrischer Graph ist ein archimedischer Graph, der Graph der Eckpunkte und Kanten des abgeschnittenen Tetraeders, eines der archimedischen Körper. Es hat 12 Eckpunkte und 18 Kanten.[8] Es ist ein zusammenhängender kubischer Graph,[9] und verbundener kubischer transitiver Graph.[10]

Kreisförmig Orthographische Projektionen
Abgeschnittene tetraedrische graph.circo.svg 3-simplex t01.svg
4-fache Symmetrie 		3-Simplex t01 A2.svg
3-fache Symmetrie

Verwandte Polyeder und Fliesen[edit]

Es ist auch Teil einer Folge von kantischen Polyedern und Kacheln mit Scheitelpunktkonfiguration 3.6.n.6. In dieser Wythoff-Konstruktion repräsentieren die Kanten zwischen den Sechsecken entartete Digons.

Symmetriemutationen[edit]

Dieses Polyeder ist topologisch verwandt als Teil einer Sequenz einheitlicher Polyederstümpfe mit Scheitelpunktkonfigurationen (3.2n.2n), und [n,3] Coxeter-Gruppensymmetrie.

Beispiele[edit]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

  1. ^ Chisholm, Matt; Avnet, Jeremy (1997). “Trunkated Trickery: Truncatering”. Theory.org. Abgerufen 2013-09-02.
  2. ^ ein b Damasceno, Pablo F.; Engel, Michael; Glotzer, Sharon C. (Dezember 2011). “Kristalline Baugruppen und dichteste Packungen einer Familie abgeschnittener Tetraeder und die Rolle gerichteter entropischer Kräfte”. ACS Nano. 6 (2012): 609–614. arXiv:1109.1323. doi:10.1021 / nn204012y. PMID 22098586.
  3. ^ Jiao, Yang; Torquato, Sal (September 2011). “Eine Packung abgeschnittener Tetraeder, die fast den gesamten Raum ausfüllt”. arXiv:1107.2300 [cond-mat.soft].
  4. ^ http://met.iisc.ernet.in/~lord/webfiles/clusters/polyclusters.pdf
  5. ^ Friauf, JB (1927). Die Kristallstruktur der intermetallischen Verbindung MgCu2“. Marmelade. Chem. Soc. 49: 3107–3114. doi:10.1021 / ja01411a017.
  6. ^ http://expo67.ncf.ca/man_the_producer_p1.html
  7. ^ ein b c d e f Ein Atlas der Graphen, Seite = 172, C105
  8. ^ Ein Atlas der Graphen, Seite 267, abgeschnittener tetraedrischer Graph
  9. ^ Ein Atlas der Graphen, Seite 130, verbundene kubische Graphen, 12 Eckpunkte, C105
  10. ^ Ein Atlas der Graphen, Seite 161, verbundene kubische transitive Graphen, 12 Eckpunkte, Ct11
  • Williams, Robert (1979). Die geometrische Grundlage der natürlichen Struktur: Ein Quellbuch des Designs. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Abschnitt 3-9)
  • Lesen Sie, RC; Wilson, RJ (1998), Ein Atlas der Graphen, Oxford University Press

Externe Links[edit]


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