Differintegral – Wikipedia

In der Bruchrechnung, einem Bereich der mathematischen Analyse, ist die differintegral ist ein kombinierter Differenzierungs- / Integrationsoperator. Auf eine Funktion angewendet ƒ, die q-differintegral von f, hier bezeichnet mit

${ displaystyle mathbb {D} ^ {q} f}$

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ist die gebrochene Ableitung (wenn q > 0) oder gebrochenes Integral (wenn q <0). Wenn q = 0, dann die q-th Unterschied der Integration einer Funktion ist die Funktion selbst. Im Zusammenhang mit der fraktionierten Integration und Differenzierung gibt es mehrere legitime Definitionen des Differintegrals.

Standarddefinitionen[edit]

Die vier häufigsten Formen sind:

Dies ist am einfachsten und am einfachsten zu verwenden, und folglich wird es am häufigsten verwendet. Es ist eine Verallgemeinerung der Cauchy-Formel für die wiederholte Integration in eine beliebige Reihenfolge. Hier,

${ displaystyle n = lceil q rceil}$

.

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${ displaystyle { mathcal {F}}}$

::

${ displaystyle mathbb {D} ^ {q} (f + g) = mathbb {D} ^ {q} (f) + mathbb {D} ^ {q} (g)}$

${ displaystyle mathbb {D} ^ {q} (af) = a mathbb {D} ^ {q} (f)}$

Nullregel

${ displaystyle mathbb {D} ^ {0} f = f ,}$

Produktregel

${ displaystyle mathbb {D} _ {t} ^ {q} (fg) = sum _ {j = 0} ^ { infty} {q wähle j} mathbb {D} _ {t} ^ { j} (f) mathbb {D} _ {t} ^ {qj} (g)}$

Im Allgemeinen, Kompositionsregel (oder Halbgruppenregel) ist nicht zufrieden::^[1]

${ displaystyle mathbb {D} ^ {a} mathbb {D} ^ {b} f neq mathbb {D} ^ {a + b} f}$

Eine Auswahl von Grundformeln[edit]

${ displaystyle mathbb {D} ^ {q} (t ^ {n}) = { frac { Gamma (n + 1)} { Gamma (n + 1-q)}} t ^ {nq}}$

${ displaystyle mathbb {D} ^ {q} (e ^ {at}) = a ^ {q} e ^ {at}}$

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

• Miller, Kenneth S. (1993). Ross, Bertram (Hrsg.). Eine Einführung in die Bruchrechnung und die Bruchdifferentialgleichungen. Wiley. ISBN 0-471-58884-9.
• Oldham, Keith B.; Spanier Jerome (1974). Die Bruchrechnung; Theorie und Anwendungen der Differenzierung und Integration in die willkürliche Ordnung. Mathematik in Naturwissenschaften und Technik. V.. Akademische Presse. ISBN 0-12-525550-0.
• Podlubny, Igor (1998). Bruchdifferentialgleichungen. Eine Einführung in fraktionierte Derivate, gebrochene Differentialgleichungen, einige Methoden ihrer Lösung und einige ihrer Anwendungen. Mathematik in Naturwissenschaften und Technik. 198. Akademische Presse. ISBN 0-12-558840-2.
• Carpinteri, A.; Mainardi, F., Hrsg. (1998). Fraktale und Bruchrechnung in der Kontinuumsmechanik. Springer-Verlag. ISBN 3-211-82913-X.
• Mainardi, F. (2010). Bruchrechnung und Wellen in der linearen Viskoelastizität: Eine Einführung in mathematische Modelle. Imperial College Press. ISBN 978-1-84816-329-4. Archiviert von das Original am 19.05.2012.
• Tarasov, VE (2010). Bruchdynamik: Anwendungen der Bruchrechnung auf die Dynamik von Teilchen, Feldern und Medien. Nichtlineare Physik. Springer. ISBN 978-3-642-14003-7.
• Uchaikin, VV (2012). Bruchderivate für Physiker und Ingenieure. Nichtlineare Physik. Springer. Bibcode:2013fdpe.book ….. U.. ISBN 978-3-642-33910-3.
• West, Bruce J.; Bologna, Mauro; Grigolini, Paolo (2003). Physik fraktaler Operatoren. Springer Verlag. ISBN 0-387-95554-2.

Externe Links[edit]