The Sand Reckoner – Wikipedia

Posted on by
before-content-x4

Arbeit von Archimedes

“Psammites” leitet hier weiter. Für andere Verwendungen siehe Psammite.
 after-content-x4

Der Sand Reckoner (Griechisch: Ψαμμίτης, Psammites) ist ein Werk von Archimedes, einem antiken griechischen Mathematiker des 3. Jahrhunderts v. Chr., in dem er eine Obergrenze für die Anzahl der Sandkörner festlegte, die in das Universum passen. Dazu musste er die Größe des Universums nach dem zeitgenössischen Modell abschätzen und einen Weg finden, über extrem große Zahlen zu sprechen. Das Werk, auch in lateinischer Sprache bekannt als Archimedis Syracusani Arenarius & Dimensio CirculiDie etwa acht Seiten lange Übersetzung ist an den syrakusanischen König Gelo II (Sohn von Hiero II) gerichtet und wahrscheinlich das zugänglichste Werk von Archimedes. In gewissem Sinne ist es das erste Research-Expository-Papier.[1]

Große Zahlen benennen[edit]

Zunächst musste Archimedes ein System zur Benennung großer Zahlen erfinden. Das zu diesem Zeitpunkt verwendete Zahlensystem könnte Zahlen bis zu einer Vielzahl (μυριάς – 10.000) und unter Verwendung des Wortes ausdrücken unzählige selbst kann man dies sofort erweitern, um alle Zahlen bis zu unzähligen Myriaden zu benennen (108). Archimedes nannte die Zahlen bis zu 108 “erste Bestellung” und rief 108 selbst die “Einheit zweiter Ordnung”. Vielfache dieser Einheit wurden dann zur zweiten Ordnung, bis zu dieser Einheit, die unzählige Male genommen wurde, 108· 108= 1016. Dies wurde die “Einheit der dritten Ordnung”, deren Vielfache die dritte Ordnung waren, und so weiter. Archimedes benannte weiterhin Zahlen auf diese Weise bis zu einer Vielzahl der Einheiten der 108-te Ordnung, dh

((108)((108)=108⋅108{ displaystyle (10 ^ {8}) ^ {(10 ^ {8})} = 10 ^ {8 cdot 10 ^ {8}}}

.[2]

Nachdem Archimedes dies getan hatte, nannte er die Befehle, die er als “Befehle der ersten Periode” definiert hatte, und nannte den letzten,

((108)((108){ displaystyle (10 ^ {8}) ^ {(10 ^ {8})}}

, die “Einheit der zweiten Periode”. Dann konstruierte er die Ordnungen der zweiten Periode, indem er ein Vielfaches dieser Einheit analog zu der Art und Weise nahm, wie die Ordnungen der ersten Periode konstruiert wurden. Auf diese Weise fortzufahren, gelangte er schließlich zu den Befehlen der unzähligen Zeit. Die größte von Archimedes genannte Zahl war die letzte in dieser Zeit

Eine andere Art, diese Zahl zu beschreiben, ist eine Eins, gefolgt von (kurzer Skala) achtzig Billiarden (80 · 10)15) Nullen.

Das System von Archimedes erinnert an ein Positionszahlensystem mit Basis 108Das ist bemerkenswert, weil die alten Griechen ein sehr einfaches System zum Schreiben von Zahlen verwendeten, das 27 verschiedene Buchstaben des Alphabets für die Einheiten 1 bis 9, die Zehner 10 bis 90 und die Hunderte 100 bis 900 verwendet.

Archimedes entdeckte und bewies auch das Gesetz der Exponenten,

10ein10b=10ein+b{ displaystyle 10 ^ {a} 10 ^ {b} = 10 ^ {a + b}}

, notwendig, um Potenzen von 10 zu manipulieren.

Abschätzung der Größe des Universums[edit]

Archimedes schätzte dann eine Obergrenze für die Anzahl der Sandkörner, die erforderlich sind, um das Universum zu füllen. Dazu verwendete er das heliozentrische Modell des Aristarchos von Samos. Das Originalwerk von Aristarchus ist verloren gegangen. Diese Arbeit von Archimedes ist jedoch einer der wenigen erhaltenen Hinweise auf seine Theorie,[3] wobei die Sonne unbewegt bleibt, während die Erde die Sonne umkreist. In Archimedes ‘eigenen Worten:

Seine [Aristarchus’] Hypothesen sind, dass die Fixsterne und die Sonne unbewegt bleiben, dass sich die Erde um die Sonne am Umfang eines Kreises dreht, die Sonne in der Mitte der Umlaufbahn liegt und dass sich die Kugel der Fixsterne ungefähr im selben Zentrum befindet wie Die Sonne ist so groß, dass der Kreis, in dem er annimmt, dass sich die Erde dreht, einen solchen Anteil an der Entfernung der Fixsterne hat, wie der Mittelpunkt der Kugel an ihrer Oberfläche.[4]

Der Grund für die Größe dieses Modells ist, dass die Griechen mit den verfügbaren Techniken keine Sternparallaxe beobachten konnten, was impliziert, dass jede Parallaxe äußerst subtil ist und die Sterne daher in großen Entfernungen von der Erde platziert werden müssen (vorausgesetzt, Heliozentrismus ist wahr) ).

Nach Archimedes gab Aristarchus nicht an, wie weit die Sterne von der Erde entfernt waren. Archimedes musste daher folgende Annahmen treffen:

  • Das Universum war kugelförmig
  • Das Verhältnis des Durchmessers des Universums zum Durchmesser der Erdumlaufbahn um die Sonne entsprach dem Verhältnis des Durchmessers der Erdumlaufbahn um die Sonne zum Durchmesser der Erde.

Diese Annahme kann auch ausgedrückt werden, indem gesagt wird, dass die Sternparallaxe, die durch die Bewegung der Erde um ihre Umlaufbahn verursacht wird, der Sonnenparallaxe entspricht, die durch die Bewegung um die Erde verursacht wird. Geben Sie ein Verhältnis ein:

Durchmesser des UniversumsDurchmesser der Erde um die Sonne=Durchmesser der Erde um die Sonne Durchmesser der Erde{ displaystyle { frac { text {Durchmesser des Universums}} { text {Durchmesser der Erde um die Sonne}}} = { frac { text {Durchmesser der Erde um die Sonne}} { text {Durchmesser von Erde}}}}

Um eine Obergrenze zu erhalten, hat Archimedes die folgenden Annahmen zu ihren Dimensionen getroffen:

  • dass der Umfang der Erde nicht größer als 300 unzählige Stadien war (5,55 · 105 km).
  • dass der Mond nicht größer als die Erde war und dass die Sonne nicht mehr als dreißigmal größer als der Mond war.
  • dass der Winkeldurchmesser der Sonne von der Erde aus gesehen größer als 1/200 eines rechten Winkels war (π / 400 Radiant = 0,45 ° Grad).

Archimedes kam dann zu dem Schluss, dass der Durchmesser des Universums nicht mehr als 10 betrug14 Stadien (in modernen Einheiten, ca. 2 Lichtjahre), und dass es nicht mehr als 10 benötigen würde63 Sandkörner, um es zu füllen. Mit diesen Messungen hätte jedes Sandkorn in Archimedes ‘Gedankenexperiment einen Durchmesser von ungefähr 19 μm (0,019 mm) gehabt.

Berechnung der Anzahl der Sandkörner im aristarchischen Universum[edit]

Archimedes behauptet, dass vierzig nebeneinander gelegte Mohnsamen einer griechischen Dactylle (Fingerbreite) entsprechen würden, die ungefähr 19 mm lang war. Da das Volumen als Würfel einer linearen Dimension fortschreitet (“Es wurde nachgewiesen, dass Kugeln das dreifache Verhältnis ihrer Durchmesser zueinander haben”), würde eine Kugel mit einem Daktylendurchmesser (unter Verwendung unseres aktuellen Zahlensystems) 40 enthalten3oder 64.000 Mohn.

Dann behauptete er (ohne Beweise), dass jeder Mohn unzählige (10.000) Sandkörner enthalten könne. Durch Multiplikation der beiden Zahlen schlug er 640.000.000 als Anzahl der hypothetischen Sandkörner in einer Kugel mit einem Dactyl-Durchmesser vor.

Um weitere Berechnungen zu vereinfachen, rundete er 640 Millionen auf eine Milliarde auf und stellte lediglich fest, dass die erste Zahl kleiner als die zweite ist und daher die Anzahl der anschließend berechneten Sandkörner die tatsächliche Anzahl der Körner übersteigt. Erinnern Sie sich daran, dass Archimedes ‘Meta-Ziel mit diesem Aufsatz darin bestand, zu zeigen, wie man mit zuvor als unglaublich groß geltenden Zahlen berechnet und nicht nur die Anzahl der Sandkörner im Universum genau berechnet.

Ein griechisches Stadion hatte eine Länge von 600 griechischen Fuß, und jeder Fuß war 16 Dactyls lang, also gab es 9.600 Dactyls in einem Stadion. Archimedes rundete diese Zahl auf 10.000 (eine Vielzahl), um die Berechnungen zu vereinfachen, und stellte erneut fest, dass die resultierende Zahl die tatsächliche Anzahl der Sandkörner überschreitet.

Der Würfel von 10.000 ist eine Billion (1012); und Multiplizieren einer Milliarde (Anzahl der Sandkörner in einer Dactylkugel) mit einer Billion (Anzahl der Dactylkugeln in einer Stadionkugel) ergibt 1021, die Anzahl der Sandkörner in einer Stadionkugel.

Archimedes hatte geschätzt, dass das aristarchische Universum 10 war14 Stadien im Durchmesser, so würde es dementsprechend sein (1014)3 Stadionkugeln im Universum oder 1042. Multiplizieren 1021 um 1042 ergibt 1063, die Anzahl der Sandkörner im aristarchischen Universum.[5]

Nach Archimedes ‘Schätzung von unzähligen (10.000) Sandkörnern in einem Mohn; 64.000 Mohn in einer Dactylkugel; die Länge eines Stadions als 10.000 Dactyls; Unter der Annahme von 19 mm als Breite eines Dactyls würde der Durchmesser von Archimedes ‘typischem Sandkorn 18,3 μm betragen, was wir heute als Schlickkorn bezeichnen würden. Derzeit würde das kleinste Sandkorn einen Durchmesser von 50 μm haben.

Zusätzliche Berechnungen[edit]

Archimedes machte einige interessante Experimente und Berechnungen auf dem Weg. Ein Experiment bestand darin, die Winkelgröße der Sonne von der Erde aus gesehen abzuschätzen. Die Methode von Archimedes ist besonders interessant, da sie die endliche Größe der Pupille des Auges berücksichtigt.[6] und ist daher möglicherweise das erste bekannte Beispiel für Experimente in der Psychophysik, dem Zweig der Psychologie, der sich mit der Mechanik der menschlichen Wahrnehmung befasst und dessen Entwicklung im Allgemeinen Hermann von Helmholtz zugeschrieben wird. Eine weitere interessante Berechnung berücksichtigt die Sonnenparallaxe und die unterschiedlichen Abstände zwischen dem Betrachter und der Sonne, unabhängig davon, ob sie vom Erdmittelpunkt oder von der Erdoberfläche bei Sonnenaufgang aus betrachtet werden. Dies ist möglicherweise die erste bekannte Berechnung, die sich mit Sonnenparallaxe befasst.[1]

Es gibt einige, König Gelon, die denken, dass die Anzahl des Sandes in einer Vielzahl unendlich ist; und ich meine mit dem Sand nicht nur das, was über Syrakus und den Rest Siziliens existiert, sondern auch das, was in jeder Region zu finden ist, ob bewohnt oder unbewohnt. Wieder gibt es einige, die, ohne es als unendlich zu betrachten, dennoch der Meinung sind, dass keine Zahl benannt wurde, die groß genug ist, um ihre Größe zu überschreiten. Und es ist klar, dass diejenigen, die diese Ansicht vertreten, sich eine Masse aus Sand vorstellen, die in anderer Hinsicht so groß ist wie die Masse der Erde, einschließlich aller Meere und Höhlen der Erde, die bis zu einer Höhe gefüllt sind zu dem des höchsten der Berge wäre noch ein Vielfaches weiter von der Erkenntnis entfernt, dass jede Zahl ausgedrückt werden könnte, die die Menge des so entnommenen Sandes übersteigt.

Aber ich werde versuchen, Ihnen anhand geometrischer Beweise zu zeigen, denen Sie folgen können, dass von den von mir genannten und in dem Werk, das ich an Zeuxippus sandte, angegebenen Zahlen nicht nur die Zahl der Masse von überschreiten Sand, dessen Größe der Erde entspricht, füllte sich auf die beschriebene Weise, aber auch der Masse, deren Größe dem Universum entspricht.[7]

– –Archimedis Syracusani Arenarius & Dimensio Circuli

Verweise[edit]

  1. ^ ein b Archimedes, The Sand Reckoner 511 RU, von Ilan Vardi, abgerufen am 28-II-2007.
  2. ^ ein b Alan Hirshfeld. “Eureka Man: Das Leben und Vermächtnis von Archimedes”. Abgerufen 17. Februar 2016.
  3. ^ Aristarchus-Biografie bei MacTutor, abgerufen am 26-II-2007.
  4. ^ Arenarius, I., 4–7
  5. ^ Kommentierte Übersetzung von The Sand Reckoner [1] Cal State University, Los Angeles
  6. ^ Smith, William – Ein Wörterbuch der griechischen und römischen Biographie und Mythologie (1880), p. 272
  7. ^ Newman, James R. – Die Welt der Mathematik (2000), p. 420

Weiterführende Literatur[edit]

Externe Links[edit]


after-content-x4