Möglicher Fluss – Wikipedia

In der Fluiddynamik potentieller Fluss beschreibt das Geschwindigkeitsfeld als den Gradienten einer Skalarfunktion: das Geschwindigkeitspotential. Infolgedessen ist ein Potentialfluss durch ein irrotationales Geschwindigkeitsfeld gekennzeichnet, was eine gültige Näherung für mehrere Anwendungen darstellt. Die Irrotationalität eines Potentialflusses beruht darauf, dass die Krümmung des Gradienten eines Skalars immer gleich Null ist.

Im Falle einer inkompressiblen Strömung erfüllt das Geschwindigkeitspotential die Laplace-Gleichung, und die Potentialtheorie ist anwendbar. Potentielle Strömungen wurden jedoch auch verwendet, um komprimierbare Strömungen zu beschreiben. Der Potentialflussansatz tritt bei der Modellierung sowohl stationärer als auch instationärer Flüsse auf. Anwendungen der potentiellen Strömung sind zum Beispiel: das äußere Strömungsfeld für Tragflächen, Wasserwellen, elektroosmotische Strömung und Grundwasserströmung. Für Strömungen (oder Teile davon) mit starken Vorticity-Effekten ist die mögliche Strömungsnäherung nicht anwendbar.

Eigenschaften und Anwendungen[edit]

Beschreibung und Eigenschaften[edit]

In der Fluiddynamik wird ein Potentialfluss mittels eines Geschwindigkeitspotentials beschrieben φals Funktion von Raum und Zeit. Die Strömungsgeschwindigkeit v ist ein Vektorfeld gleich dem Gradienten, ∇des Geschwindigkeitspotentials φ::^[1]

${ displaystyle mathbf {v} = nabla varphi.}$

Manchmal auch die Definition v = −∇φwird mit einem Minuszeichen verwendet. Aber hier werden wir die obige Definition ohne das Minuszeichen verwenden. Aus der Vektorrechnung ist bekannt, dass die Krümmung eines Gradienten gleich Null ist:^[1]

after-content-x4

${ displaystyle nabla times nabla varphi = mathbf {0} ,,}$

und folglich die Vorticity, die Kräuselung des Geschwindigkeitsfeldes vist Null:^[1]

${ displaystyle nabla times mathbf {v} = mathbf {0} ,.}$

Dies impliziert, dass ein potentieller Fluss ein irrotationaler Fluss ist. Dies hat direkte Konsequenzen für die Anwendbarkeit des potenziellen Flusses. In Strömungsregionen, in denen Wirbel bekanntermaßen wichtig sind, wie z. B. Nachläufe und Grenzschichten, kann die Potentialströmungstheorie keine vernünftigen Vorhersagen über die Strömung liefern.^[2] Glücklicherweise gibt es oft große Bereiche eines Flusses, in denen die Annahme der Irrotationalität gültig ist, weshalb der potenzielle Fluss für verschiedene Anwendungen verwendet wird. Zum Beispiel in: Strömung um Flugzeuge, Grundwasserströmung, Akustik, Wasserwellen und elektroosmotische Strömung.^[3]

Inkompressibler Durchfluss[edit]

Im Falle eines inkompressiblen Flusses – zum Beispiel einer Flüssigkeit oder eines Gases mit niedrigen Machzahlen; aber nicht für Schallwellen – die Geschwindigkeit v hat keine Divergenz:^[1]

${ displaystyle nabla cdot mathbf {v} = 0 ,,}$

wobei der Punkt das innere Produkt bezeichnet. Als Ergebnis das Geschwindigkeitspotential φ muss die Laplace-Gleichung erfüllen^[1]

${ displaystyle nabla ^ {2} varphi = 0 ,,}$

wo ∇² = ∇ ⋅ ⋅ ist der Laplace-Operator (manchmal auch geschrieben Δ). In diesem Fall kann der Fluss vollständig aus seiner Kinematik bestimmt werden: den Annahmen der Irrotationalität und der Divergenz des Flusses von Null. Dynamik muss erst danach angewendet werden, wenn man an der Berechnung von Drücken interessiert ist: zum Beispiel für die Strömung um Tragflächen nach dem Bernoulli-Prinzip.

In zwei Dimensionen reduziert sich der potenzielle Fluss auf ein sehr einfaches System, das mithilfe einer komplexen Analyse analysiert wird (siehe unten).

Kompressibler Durchfluss[edit]

Beständiger Fluß[edit]

Die Potentialströmungstheorie kann auch verwendet werden, um einen nicht rotierenden kompressiblen Fluss zu modellieren. Das volle Potentialgleichung, beschreibt einen stetigen Fluss, ist gegeben durch:^[4]

${ displaystyle left (1-M_ {x} ^ {2} right) { frac { partielle ^ {2} Phi} { partielle x ^ {2}}} + left (1-M_ { y} ^ {2} rechts) { frac { teilweise ^ {2} Phi} { teilweise y ^ {2}}} + links (1-M_ {z} ^ {2} rechts) { frac { partiell ^ {2} Phi} { partiell z ^ {2}}} – 2M_ {x} M_ {y} { frac { partiell ^ {2} Phi} { partiell x , partielles y}} – 2M_ {y} M_ {z} { frac { partielles ^ {2} Phi} { partielles y , partielles z}} – 2M_ {z} M_ {x} { frac { partiell ^ {2} Phi} { partiell z , partiell x}} = 0 ,,}$

mit Machzahlkomponenten

${ displaystyle M_ {x} = { frac {1} {a}} { frac { partielle Phi} { partielle x}} ,, qquad M_ {y} = { frac {1} { a}} { frac { partiell Phi} { partiell y}} ,, qquad { text {und}} qquad M_ {z} = { frac {1} {a}} { frac { partielle Phi} { partielle z}} ,,}$

wo ein ist die lokale Schallgeschwindigkeit. Die Strömungsgeschwindigkeit v ist wieder gleich ∇Φmit Φ das Geschwindigkeitspotential. Die vollständige Potentialgleichung gilt für Sub-, Trans- und Überschallströmung bei beliebigem Anstellwinkel, solange die Annahme der Irrotationalität anwendbar ist.^[4]

Bei Unterschall- oder Überschallströmung (jedoch nicht bei transsonischer oder hyperschaller Strömung) bei kleinen Anstellwinkeln und dünnen Körpern kann eine zusätzliche Annahme getroffen werden: Das Geschwindigkeitspotential wird in eine ungestörte Strömungsgeschwindigkeit aufgeteilt V._∞ in dem x-Richtung und eine kleine Störgeschwindigkeit ∇φ davon. Damit:^[4]

${ displaystyle nabla Phi = V _ { infty} x + nabla varphi ,.}$

In diesem Fall ist die linearisierte Gleichung für ein kleines Störpotential – eine Annäherung an die vollständige Potentialgleichung – kann verwendet werden:^[4]

${ displaystyle left (1-M _ { infty} ^ {2} right) { frac { partiell ^ {2} varphi} { partiell x ^ {2}}} + { frac { partiell ^ {2} varphi} { teilweise y ^ {2}}} + { frac { teilweise ^ {2} varphi} { teilweise z ^ {2}}} = 0,}$

mit M._∞ = V._∞/.ein_∞ die Mach-Nummer des eingehenden freien Streams. Diese lineare Gleichung ist viel einfacher zu lösen als die vollständige Potentialgleichung: Sie kann durch einfaches Dehnen der Koordinaten in die Laplace-Gleichung umformuliert werden x-Richtung.

Ableitung der vollständigen Potentialgleichung

Für einen stetigen, nichtviskosen Fluss sind die Euler-Gleichungen – für die Masse und die Impulsdichte – in Indexnotation und in nicht konservierender Form:[5] ${ displaystyle { begin {align} { frac { teilweise} { teilweise x_ {i}}} left ( rho , v_ {i} right) & = 0 ,, \ rho , v_ {j} , { frac { partielle v_ {i}} { partielle x_ {j}}} & = – { frac { partielle p} { partielle x_ {i}}} ,, end {align}}}$ unter Verwendung der Summationskonvention: seit j tritt mehr als einmal im Term auf der linken Seite der Impulsgleichung auf, j wird über alle seine Komponenten summiert (1 bis 2 im zweidimensionalen Fluss und 1 bis 3 in drei Dimensionen). Des Weiteren: ρ ist die Flüssigkeitsdichte, p ist der Druck, ((x1, x2, x3) = (x, y, z) sind die Koordinaten und ((v1, v2, v3) sind die entsprechenden Komponenten des Geschwindigkeitsvektors v. Die Schallgeschwindigkeit ist quadratisch ein2 ist gleich der Ableitung des Drucks p in Bezug auf die Dichte ρbei konstanter Entropie S.::[6] ${ displaystyle a ^ {2} = left[{frac {partial p}{partial rho }}right]_ {S}.}$ Infolgedessen können die Flussgleichungen wie folgt geschrieben werden: ${ displaystyle v_ {i} , { frac { partiell rho} { partiell x_ {i}}} + rho , { frac { partiell v_ {i}} { partiell x_ {i} }} = 0 qquad { text {und}} qquad rho , v_ {j} , { frac { partielle v_ {i}} { partielle x_ {j}}} = – a ^ { 2} , { frac { teilweise rho} { teilweise x_ {i}}} ,.}$ Multiplizieren (und Summieren) der Impulsgleichung mit vichund Verwenden der Massengleichung zum Eliminieren des Dichtegradienten ergibt: ${ displaystyle rho , v_ {i} , v_ {j} , { frac { partielle v_ {i}} { partielle x_ {j}}} = rho , a ^ {2} , { frac { teilweise v_ {i}} { teilweise x_ {i}}} ,.}$ Wenn geteilt durch ρund mit allen Begriffen auf einer Seite der Gleichung lautet die kompressible Strömungsgleichung: ${ displaystyle { frac { partielle v_ {i}} { partielle x_ {i}}} – { frac {v_ {i} , v_ {j}} {a ^ {2}}} { frac { partielle v_ {i}} { partielle x_ {j}}} = 0 ,.}$ Beachten Sie, dass bis zu diesem Zeitpunkt keine Annahmen bezüglich des Durchflusses getroffen wurden (abgesehen davon, dass es sich um einen stetigen Durchfluss handelt). Nun zum irrotationalen Fluss die Geschwindigkeit v ist der Gradient des Geschwindigkeitspotentials Φund die lokalen Machzahlkomponenten M.ich sind definiert als: ${ displaystyle v_ {i} = { frac { partielle Phi} { partielle x_ {i}}} qquad { text {und}} qquad M_ {i} = { frac {v_ {i} } {a}} = { frac {1} {a}} { frac { partielle Phi} { partielle x_ {i}}} ,.}$ Bei Verwendung in der Flussgleichung ergibt sich die vollständige Potentialgleichung: ${ displaystyle { frac { partiell ^ {2} Phi} { partiell x_ {i} , partiell x_ {i}}} – M_ {i} , M_ {j} , { frac { partiell ^ {2} Phi} { partiell x_ {i} , partiell x_ {j}}} = 0 ,.}$ In Komponenten geschrieben, erhalten Sie das am Anfang dieses Abschnitts angegebene Formular. Wenn eine bestimmte Zustandsgleichung bereitgestellt wird, die den Druck betrifft p und Dichte ρkann die Schallgeschwindigkeit bestimmt werden. Anschließend kann zusammen mit angemessenen Randbedingungen die vollständige Potentialgleichung gelöst werden (meistens unter Verwendung eines rechnergestützten Fluiddynamikcodes).

Instationärer Fluss[edit]

Die Potentialströmungstheorie kann auch verwendet werden, um einen nicht rotierenden kompressiblen Fluss zu modellieren. Das volle Potentialgleichung, beschreibt einen instationären Fluss, ist gegeben durch:^[4]

${ displaystyle { begin {align} – & { frac {1} {a ^ {2}}} left[{frac {partial }{partial t}}(nabla Phi cdot nabla Phi )+{frac {partial ^{2}Phi }{partial t^{2}}}right]\ + & left (1-M_ {x} ^ {2} right) { frac { partiell ^ {2} Phi} { partiell x ^ {2}}} + left (1-M_ {y} ^ {2} rechts) { frac { partiell ^ {2} Phi} { partiell y ^ {2}}} + links (1-M_ {z} ^ {2} rechts) { frac { partiell ^ {2} Phi} { partiell z ^ {2}}} – 2M_ {x} M_ {y} { frac { partiell ^ {2} Phi} { partiell x , partielles y}} – 2M_ {y} M_ {z} { frac { partielles ^ {2} Phi} { partielles y , partielles z}} – 2M_ {z} M_ {x} { frac { partiell ^ {2} Phi} { partiell z , partiell x}} = 0 end {align}}}$

mit Machzahlkomponenten

${ displaystyle M_ {x} = { frac {1} {a}} { frac { partielle Phi} { partielle x}} ,, qquad M_ {y} = { frac {1} { a}} { frac { partiell Phi} { partiell y}} ,, qquad { text {und}} qquad M_ {z} = { frac {1} {a}} { frac { partielle Phi} { partielle z}} ,,}$

wo ein ist die lokale Schallgeschwindigkeit. Die Strömungsgeschwindigkeit v ist wieder gleich ∇Φmit Φ das Geschwindigkeitspotential. Die vollständige Potentialgleichung gilt für Sub-, Trans- und Überschallströmung bei beliebigem Anstellwinkel, solange die Annahme der Irrotationalität anwendbar ist.^[4]

Bei Unterschall- oder Überschallströmung (jedoch nicht bei transsonischer oder hyperschaller Strömung) bei kleinen Anstellwinkeln und dünnen Körpern kann eine zusätzliche Annahme getroffen werden: Das Geschwindigkeitspotential wird in eine ungestörte Strömungsgeschwindigkeit aufgeteilt V._∞ in dem x-Richtung und eine kleine Störgeschwindigkeit ∇φ davon. Damit:^[4]

${ displaystyle nabla Phi = V _ { infty} x + nabla varphi ,.}$

In diesem Fall ist die linearisierte Gleichung für ein kleines Störpotential – eine Annäherung an die vollständige Potentialgleichung – kann verwendet werden:^[4]

${ displaystyle – { frac {1} {a ^ {2}}} left[2V_{infty }{frac {partial ^{2}varphi }{partial xpartial t}}+{frac {partial ^{2}varphi }{partial t^{2}}}right]+ left (1-M _ { infty} ^ {2} right) { frac { partiell ^ {2} varphi} { partiell x ^ {2}}} + { frac { partiell ^ { 2} varphi} { partiell y ^ {2}}} + { frac { partiell ^ {2} varphi} { partiell z ^ {2}}} = 0,}$

mit M._∞ = V._∞/.ein_∞ die Mach-Nummer des eingehenden freien Streams.

Ableitung der vollständigen Potentialgleichung

Wir werden mit der Massenerhaltungsgleichung beginnen

${ displaystyle { frac {1} { rho}} { frac { partielle rho} { partielle t}} + { frac {{ vec {v}} cdot nabla rho} { rho}} + nabla cdot { vec {v}} = 0}$

Betrachten Sie den ersten Begriff. Nach dem Bernoulli-Prinzip schreiben wir

${ displaystyle { frac {1} { rho}} { frac { partielle rho} { partielle t}} = { frac {1} {a ^ {2} rho}} { frac { partielles p} { partielles t}} = { frac {1} {a ^ {2}}} { frac { partielles} { partielles t}} int _ {p_ {1}} ^ {p } { frac {d { tilde {p}}} {d rho ({ tilde {p}})}} = – { frac {1} {a ^ {2}}} { frac { teilweise} { partielle t}} links[{frac {partial Phi }{partial t}}+{frac {nabla Phi cdot nabla Phi }{2}}right]}}$

In ähnlicher Weise kann der zweite Term geschrieben werden

${ displaystyle { frac {{ vec {v}} cdot nabla rho} { rho}} = { frac {{ vec {v}} cdot nabla p} {a ^ {2} rho}} = – { frac {1} {a ^ {2}}} { vec {v}} cdot nabla left[{frac {partial Phi }{partial t}}+{frac {nabla Phi cdot nabla Phi }{2}}right]= – { frac {1} {a ^ {2}}} nabla Phi cdot nabla left[{frac {partial Phi }{partial t}}+{frac {nabla Phi cdot nabla Phi }{2}}right]}}$

Durch das Sammeln von Begriffen und das Neuanordnen wird die Massenerhaltungsgleichung

${ displaystyle nabla ^ {2} Phi – { frac {1} {a ^ {2}}} { frac { teilweise} { teilweise t}} left[{frac {partial Phi }{partial t}}+{frac {nabla Phi cdot nabla Phi }{2}}right]- { frac {1} {a ^ {2}}} nabla Phi cdot nabla left[{frac {partial Phi }{partial t}}+{frac {nabla Phi cdot nabla Phi }{2}}right]= 0}$

${ displaystyle nabla ^ {2} Phi – { frac {1} {a ^ {2}}} left[{frac {partial ^{2}Phi }{partial t^{2}}}+{frac {partial }{partial t}}(nabla Phi cdot nabla Phi )+nabla Phi cdot nabla left({frac {nabla Phi cdot nabla Phi }{2}}right)right]= 0}$

Schallwellen[edit]

Schallwellen mit kleiner Amplitude können mit dem folgenden Potentialflussmodell angenähert werden:^[7]

${ displaystyle { frac { partiell ^ {2} varphi} { partiell t ^ {2}}} = { overline {a}} ^ {2} Delta varphi,}$

Dies ist eine lineare Wellengleichung für das Geschwindigkeitspotential φ. Wieder der oszillierende Teil des Geschwindigkeitsvektors v hängt mit dem Geschwindigkeitspotential von zusammen v = ∇φ, während wie zuvor Δ ist der Laplace-Operator und ein ist die durchschnittliche Schallgeschwindigkeit im homogenen Medium. Beachten Sie, dass auch die oszillierenden Teile des Drucks p und Dichte ρ jeder erfüllt in dieser Näherung einzeln die Wellengleichung.

Anwendbarkeit und Einschränkungen[edit]

Der potenzielle Fluss umfasst nicht alle Eigenschaften von Flüssen, die in der realen Welt auftreten. Die Potentialströmungstheorie kann nicht für viskose interne Strömungen angewendet werden ^[2]mit Ausnahme von Strömungen zwischen eng beieinander liegenden Platten. Richard Feynman hielt den potenziellen Fluss für so unphysisch, dass die einzige Flüssigkeit, die den Annahmen entsprach, war “trockenes Wasser” (zitiert John von Neumann).^[8] Der inkompressible Potentialfluss macht auch eine Reihe ungültiger Vorhersagen, wie zum Beispiel das Paradoxon von d’Alembert, das besagt, dass der Widerstand an jedem Objekt, das sich durch eine unendliche Flüssigkeit bewegt, ansonsten in Ruhe Null ist.^[9] Genauer gesagt kann der potenzielle Fluss das Verhalten von Flüssen, die eine Grenzschicht enthalten, nicht berücksichtigen.^[2] Dennoch ist es in vielen Bereichen der Strömungsmechanik wichtig, den potenziellen Fluss zu verstehen. Insbesondere einfache Potentialflüsse (sogenannte Elementarflüsse) wie der freie Wirbel und der Punktquelle über fertige analytische Lösungen verfügen. Diese Lösungen können überlagert werden, um komplexere Strömungen zu erzeugen, die eine Vielzahl von Randbedingungen erfüllen. Diese Strömungen entsprechen eng den realen Strömungen über die gesamte Strömungsmechanik; Darüber hinaus ergeben sich viele wertvolle Erkenntnisse, wenn die (oft geringfügige) Abweichung zwischen einem beobachteten Fluss und dem entsprechenden potenziellen Fluss berücksichtigt wird. Der potenzielle Fluss findet viele Anwendungen in Bereichen wie dem Flugzeugdesign. Beispielsweise besteht in der rechnergestützten Fluiddynamik eine Technik darin, eine potentielle Strömungslösung außerhalb der Grenzschicht mit einer Lösung der Grenzschichtgleichungen innerhalb der Grenzschicht zu koppeln. Das Fehlen von Grenzschichteffekten bedeutet, dass jede Stromlinie durch eine feste Grenze ohne Änderung des Strömungsfelds ersetzt werden kann, eine Technik, die in vielen aerodynamischen Entwurfsansätzen verwendet wird. Eine andere Technik wäre die Verwendung von Riabouchinsky-Feststoffen.^{[dubious – discuss]}

Analyse für zweidimensionale Strömung[edit]

Potentialfluss in zwei Dimensionen ist einfach zu analysieren unter Verwendung einer konformen Abbildung unter Verwendung von Transformationen der komplexen Ebene. Die Verwendung komplexer Zahlen ist jedoch nicht erforderlich, wie beispielsweise bei der klassischen Analyse des Flüssigkeitsflusses an einem Zylinder vorbei. Es ist nicht möglich, einen potenziellen Fluss mit komplexen Zahlen in drei Dimensionen zu lösen.^[10]

Die Grundidee besteht darin, eine holomorphe (auch analytische) oder meromorphe Funktion zu verwenden f, die die physische Domäne abbildet ((x, y) zur transformierten Domäne ((φ, ψ). Während x, y, φ und ψ Sind alle real bewertet, ist es zweckmäßig, die komplexen Mengen zu definieren

${ displaystyle z = x + iy qquad { text {und}} qquad w = varphi + i psi ,.}$

Nun, wenn wir das Mapping schreiben f wie^[10]

${ displaystyle f (x + iy) = varphi + i psi qquad { text {oder}} qquad f (z) = w ,.}$

Dann weil f ist eine holomorphe oder meromorphe Funktion, die die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllen muss^[10]

${ displaystyle { frac { partiell varphi} { partiell x}} = { frac { partiell psi} { partiell y}} ,, qquad { frac { partiell varphi} { partiell y}} = – { frac { partiell psi} { partiell x}} ,.}$

Die Geschwindigkeitskomponenten ((u, v), in dem ((x, y) Richtungen können jeweils direkt von erhalten werden f durch Differenzierung in Bezug auf z. Das ist^[10]

${ displaystyle { frac {df} {dz}} = u-iv}$

Also das Geschwindigkeitsfeld v = (u, v) wird angegeben durch^[10]

${ displaystyle u = { frac { partielle varphi} { partielle x}} = { frac { partielle psi} { partielle y}}, qquad v = { frac { partielle varphi} { partielles y}} = – { frac { partielles psi} { partielles x}} ,.}$

Beide φ und ψ dann erfülle die Laplace-Gleichung:^[10]

${ displaystyle Delta varphi = { frac { partiell ^ {2} varphi} { partiell x ^ {2}}} + { frac { partiell ^ {2} varphi} { partiell y ^ {2}}} = 0 qquad { text {und}} qquad Delta psi = { frac { partiell ^ {2} psi} { partiell x ^ {2}}} + { frac { partiell ^ {2} psi} { partiell y ^ {2}}} = 0 ,.}$

Damit φ kann als das Geschwindigkeitspotential und identifiziert werden ψ wird die Stream-Funktion genannt.^[10] Linien der Konstanten ψ sind als Stromlinien und Konstantenlinien bekannt φ sind als Äquipotentiallinien bekannt (siehe Äquipotentialfläche).

Stromlinien und Äquipotentiallinien sind seitdem orthogonal zueinander^[10]

${ displaystyle nabla varphi cdot nabla psi = { frac { partielle varphi} { partielle x}} { frac { partielle psi} { partielle x}} + { frac { partiell varphi} { partiell y}} { frac { partiell psi} { partiell y}} = { frac { partiell psi} { partiell y}} { frac { partiell psi} { partielle x}} – { frac { partielle psi} { partielle x}} { frac { partielle psi} { partielle y}} = 0 ,.}$

Somit erfolgt die Strömung entlang der Konstantenlinien ψ und im rechten Winkel zu den Linien der Konstanten φ.^[10]

Δψ = 0 ist auch zufrieden, diese Beziehung ist äquivalent zu ∇ × v = 0. Der Fluss ist also irrotational. Der automatische Zustand ∂²Ψ/.∂x ∂y = ∂²Ψ/.∂y ∂x gibt dann die Inkompressibilitätsbeschränkung an ∇ · v = 0.

Beispiele für zweidimensionale Strömungen[edit]

Jede differenzierbare Funktion kann für verwendet werden f. Die folgenden Beispiele verwenden eine Vielzahl elementarer Funktionen. Sonderfunktionen können ebenfalls verwendet werden. Beachten Sie, dass mehrwertige Funktionen wie der natürliche Logarithmus verwendet werden können, die Aufmerksamkeit jedoch auf eine einzelne Riemann-Oberfläche beschränkt werden muss.

Machtgesetze[edit]

Falls die folgende Potenzgesetz-konforme Karte angewendet wird, von z = x + iy zu w = φ + iψ::^[11]

${ displaystyle w = Az ^ ​​{n} ,,}$

dann schreiben z in Polarkoordinaten als z = x + iy = Re^iθ, wir haben^[11]

${ displaystyle varphi = Ar ^ {n} cos n theta qquad { text {und}} qquad psi = Ar ^ {n} sin n theta ,.}$

In den Abbildungen rechts sind Beispiele für mehrere Werte von angegeben n. Die schwarze Linie ist die Grenze des Flusses, während die dunkelblauen Linien Stromlinien und die hellblauen Linien Äquipotentiallinien sind. Einige interessante Kräfte n sind:^[11]

• n = 1/.2: dies entspricht einer Strömung um eine semi-infinite Platte,
• n = 2/.3: um eine rechte Ecke fließen,
• n = 1: ein trivialer Fall eines gleichmäßigen Flusses,
• n = 2: durch eine Ecke oder in der Nähe eines Stagnationspunktes fließen und
• n = -1: Fluss aufgrund eines Quelldubletts

Die Konstante EIN ist ein Skalierungsparameter: sein absoluter Wert |EIN| bestimmt die Skala, während sein Argument arg (EIN) führt eine Drehung ein (wenn nicht Null).

Machtgesetze mit n = 1: gleichmäßiger Fluss[edit]

Wenn w = Az¹das heißt, ein Machtgesetz mit n = 1die Stromlinien (dh Linien der Konstanten ψ) sind ein System von geraden Linien parallel zum x-Achse. Dies lässt sich am einfachsten anhand realer und imaginärer Komponenten erkennen:

${ displaystyle f (x + iy) = A , (x + iy) = Ax + iAy}$

also geben φ = Axt und ψ = Ja. Dieser Fluss kann interpretiert werden als gleichmäßiger Fluss parallel zum x-Achse.

Machtgesetze mit n = 2[edit]

Wenn n = 2, dann w = Az² und die Stromlinie, die einem bestimmten Wert von entspricht ψ Sind diese Punkte zufriedenstellend?

${ displaystyle psi = Ar ^ {2} sin 2 theta ,,}$

Das ist ein System von rechteckigen Hyperbeln. Dies kann durch erneutes Umschreiben in Bezug auf reale und imaginäre Komponenten gesehen werden. Bemerken, dass Sünde 2θ = 2 Sünde θ cos θ und umschreiben Sünde θ = y/.r und cos θ = x/.r Es ist (bei Vereinfachung) zu sehen, dass die Stromlinien durch gegeben sind

${ displaystyle psi = 2Axy ,.}$

Das Geschwindigkeitsfeld ist gegeben durch ∇φ, oder

${ displaystyle { begin {pmatrix} u \ v end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} { frac { partielle varphi} { partielle x}} \[2px]{ frac { partielle varphi} { partielle y}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} + { partielle psi über partielle y} \[2px]- { partielle psi über partielle x} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} + 2Ax \[2px]-2Ay end {pmatrix}} ,.}$

In der Fluiddynamik entspricht das Strömungsfeld in der Nähe des Ursprungs einem Stagnationspunkt. Beachten Sie, dass die Flüssigkeit am Ursprung in Ruhe ist (dies folgt bei Differenzierung von f(z) = z² beim z = 0). Das ψ = 0 Die Stromlinie ist besonders interessant: Sie hat zwei (oder vier) Zweige, die den Koordinatenachsen folgen, d. h x = 0 und y = 0. Da fließt keine Flüssigkeit über die x-Achse, es (die x-Achse) kann als feste Grenze behandelt werden. Es ist somit möglich, die Strömung in der unteren Halbebene zu ignorieren, wo y <0 und sich auf die Strömung in der oberen Halbebene zu konzentrieren. Bei dieser Interpretation ist die Strömung die eines vertikal gerichteten Strahls, der auf eine horizontale flache Platte auftrifft. Der Fluss kann auch als Fluss in eine 90-Grad-Ecke interpretiert werden, wenn die durch (sagen wir) angegebenen Bereiche x, y <0 werden ignoriert.

Machtgesetze mit n = 3[edit]

Wenn n = 3ist der resultierende Fluss eine Art hexagonale Version des n = 2 Fall oben betrachtet. Stromlinien sind gegeben durch, ψ = 3x²y – – y³ und die Strömung kann in diesem Fall als Strömung in eine 60 ° -Ecke interpretiert werden.

Machtgesetze mit n = -1: Dublett[edit]

Wenn n = -1sind die Stromlinien gegeben durch

${ displaystyle psi = – { frac {A} {r}} sin theta.}$

Dies lässt sich leichter anhand realer und imaginärer Komponenten interpretieren:

${ displaystyle psi = { frac {-Ay} {r ^ {2}}} = { frac {-Ay} {x ^ {2} + y ^ {2}}} ,,}$

${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + { frac {Ay} { psi}} = 0 ,,}$

${ displaystyle x ^ {2} + left (y + { frac {A} {2 psi}} right) ^ {2} = left ({ frac {A} {2 psi}} right ) ^ {2} ,.}$

Somit sind die Stromlinien Kreise, die die x-Achse am Ursprung tangieren. Die Kreise in der oberen Halbebene fließen also im Uhrzeigersinn, die in der unteren Halbebene gegen den Uhrzeigersinn. Beachten Sie, dass die Geschwindigkeitskomponenten proportional zu sind r⁻²;; und ihre Werte am Ursprung sind unendlich. Dieses Strömungsmuster wird üblicherweise als a bezeichnet Dublett, oder Dipolund kann als die Kombination eines Source-Sink-Paares unendlicher Stärke interpretiert werden, das einen unendlich kleinen Abstand voneinander hält. Das Geschwindigkeitsfeld ist gegeben durch

${ displaystyle (u, v) = left ({ frac { partiell psi} { partiell y}}, – { frac { partiell psi} { partiell x}} rechts) = links (A { frac {y ^ {2} -x ^ {2}} { left (x ^ {2} + y ^ {2} right) ^ {2}}}, – A { frac {2xy } { left (x ^ {2} + y ^ {2} right) ^ {2}}} right) ,.}$

oder in Polarkoordinaten:

${ displaystyle (u_ {r}, u _ { theta}) = left ({ frac {1} {r}} { frac { partielle psi} { partielle theta}}, – { frac { partielle psi} { partielle r}} rechts) = links (- { frac {A} {r ^ {2}}} cos theta, – { frac {A} {r ^ { 2}}} sin theta right) ,.}$

Machtgesetze mit n = –2: Quadrupol[edit]

Wenn n = –2sind die Stromlinien gegeben durch

${ displaystyle psi = – { frac {A} {r ^ {2}}} sin 2 theta ,.}$

Dies ist das einem Quadrupol zugeordnete Strömungsfeld.^[12]

Leitungsquelle und -senke[edit]

Eine Linienquelle oder -senke der Stärke

${ displaystyle Q}$

((

${ displaystyle Q> 0}$

${ displaystyle Q <0}$

für sink) ist durch das Potential gegeben

${ displaystyle w = { frac {Q} {2 pi}} ln z}$

wo

${ displaystyle Q}$

Tatsächlich ist der Volumenstrom pro Längeneinheit über eine Oberfläche, die die Quelle oder Senke umschließt. Das Geschwindigkeitsfeld in Polarkoordinaten ist

${ displaystyle u_ {r} = { frac {Q} {2 pi r}}, quad u _ { theta} = 0}$

dh eine rein radiale Strömung.

Linienwirbel[edit]

Ein Linienwirbel der Stärke

${ displaystyle Gamma}$

ist gegeben durch

${ displaystyle w = { frac { Gamma} {2 pi i}} ln z}$

wo

${ displaystyle Gamma}$

ist die Zirkulation um jede einfache geschlossene Kontur, die den Wirbel umschließt. Das Geschwindigkeitsfeld in Polarkoordinaten ist

${ displaystyle u_ {r} = 0, quad u _ { theta} = { frac { Gamma} {2 pi r}}}$

dh eine rein azimutale Strömung.

Analyse für dreidimensionale Strömung[edit]

Für dreidimensionale Strömungen kann kein komplexes Potential erhalten werden.

Punktquelle und Senke[edit]

Das Geschwindigkeitspotential einer Punktquelle oder -senke

${ displaystyle Q}$

((

${ displaystyle Q> 0}$

${ displaystyle Q <0}$

für sink) in sphärischen Polarkoordinaten ist gegeben durch

${ displaystyle phi = – { frac {Q} {4 pi r}}}$

wo

${ displaystyle Q}$

Tatsächlich ist der Volumenstrom über eine geschlossene Oberfläche, die die Quelle oder Senke umschließt.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

• Batchelor, GK (1973), Eine Einführung in die Fluiddynamik, Cambridge University Press, ISBN 0-521-09817-3
• Chanson, H. (2009), Angewandte Hydrodynamik: Eine Einführung in ideale und reale Flüssigkeitsströme, CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Niederlande, 478 Seiten, ISBN 978-0-415-49271-3
• Lamb, H. (1994) [1932], Hydrodynamik (6. Aufl.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9
• Milne-Thomson, LM (1996) [1968], Theoretische Hydrodynamik (5. Aufl.), Dover, ISBN 0-486-68970-0

Weiterführende Literatur[edit]

• Chanson, H. (2007), “Das Potenzial der Fluid-Réels: Der Beitrag von Joseph-Louis Lagrange [Velocity potential in real fluid flows: Joseph-Louis Lagrange’s contribution]”, La Houille Blanche (auf Französisch) (5): 127–131, doi:10.1051 / lhb: 2007072
• Wehausen, JV; Laitone, EV (1960), “Oberflächenwellen”in Flügge, S.; Truesdell, C. (Hrsg.), Enzyklopädie der Physik, IX, Springer Verlag, S. 446–778, archiviert von das Original am 05.01.2009abgerufen 2009-03-29

Externe Links[edit]