Poyntings Satz – Wikipedia

In der Elektrodynamik Poyntings Satz ist eine Erklärung zur Energieeinsparung für das elektromagnetische Feld,^{[clarification needed]}in Form einer partiellen Differentialgleichung, die vom britischen Physiker John Henry Poynting entwickelt wurde.^[1] Der Satz von Poynting ist analog zum Arbeitsenergiesatz in der klassischen Mechanik und mathematisch ähnlich der Kontinuitätsgleichung, da er die im elektromagnetischen Feld gespeicherte Energie mit der Arbeit an einer Ladungsverteilung (dh einem elektrisch geladenen Objekt) durch Energie in Beziehung setzt Fluss.

Erklärung[edit]

Allgemeines[edit]

In Worten ist der Satz eine Energiebilanz:

Das Energieübertragungsrate (pro Volumeneinheit) aus einer Region des Raumes entspricht der Arbeitsgeschwindigkeit auf eine Gebührenverteilung plus die Energiefluss diese Region verlassen.

Eine zweite Aussage kann auch den Satz erklären: “Die Abnahme der elektromagnetischen Energie pro Zeiteinheit in einem bestimmten Volumen entspricht der Summe der von den Feldkräften geleisteten Arbeit und dem Nettofluss nach außen pro Zeiteinheit.”

Mathematisch ist dies in zusammengefasst Differentialform wie:

wo ∇ •S. ist die Divergenz des Poynting-Vektors (Energiefluss) und J.• •E. ist die Rate, mit der die Felder an einem geladenen Objekt arbeiten (J. ist die Stromdichte, die der Ladungsbewegung entspricht, E. ist das elektrische Feld und • ist das Punktprodukt). Die Energiedichte uunter der Annahme, dass keine elektrische oder magnetische Polarisierbarkeit vorliegt, ist gegeben durch:^[2]

u=12((ϵ0E.⋅E.+1μ0B.⋅B.){ displaystyle u = { frac {1} {2}} left ( epsilon _ {0} mathbf {E} cdot mathbf {E} + { frac {1} { mu _ {0} }} mathbf {B} cdot mathbf {B} right)}

in welchem B. ist die magnetische Flussdichte. Mit dem Divergenzsatz kann der Satz von Poynting umgeschrieben werden integrale Form::

wo

ist die Grenze eines Volumens V.. Die Form des Volumens ist beliebig, aber für die Berechnung festgelegt.

Elektrotechnik[edit]

Im elektrotechnischen Kontext wird der Satz normalerweise mit dem Energiedichte-Term geschrieben u auf folgende Weise erweitert, was der Kontinuitätsgleichung ähnelt:

∇⋅S.+ϵ0E.⋅∂E.∂t+B.μ0⋅∂B.∂t+J.⋅E.=0,{ displaystyle nabla cdot mathbf {S} + epsilon _ {0} mathbf {E} cdot { frac { partielle mathbf {E}} { partielle t}} + { frac { mathbf {B}} { mu _ {0}}} cdot { frac { partielle mathbf {B}} { partielle t}} + mathbf {J} cdot mathbf {E} = 0, }}

wo

• ε₀ ist die elektrische Konstante und μ₀ ist die magnetische Konstante.
• 
  ϵ0E.⋅∂E.∂t{ displaystyle epsilon _ {0} mathbf {E} cdot { frac { partielle mathbf {E}} { partielle t}}}
  ist die Dichte der Blindleistung, die den Aufbau eines elektrischen Feldes antreibt,
• 
  B.μ0⋅∂B.∂t{ displaystyle { frac { mathbf {B}} { mu _ {0}}} cdot { frac { teilweise mathbf {B}} { teilweise t}}}
  ist die Dichte der Blindleistung, die den Aufbau des Magnetfelds antreibt, und
• 
  J.⋅E.{ displaystyle mathbf {J} cdot mathbf {E}}
  ist die Dichte der elektrischen Leistung, die durch die auf Ladungsträger wirkende Lorentzkraft abgeführt wird.

Ableitung[edit]

Während die Energieerhaltung und das Lorentz-Kraftgesetz die allgemeine Form des Satzes liefern können, sind Maxwell-Gleichungen zusätzlich erforderlich, um den Ausdruck für den Poynting-Vektor abzuleiten und damit die Aussage zu vervollständigen.

Poyntings Satz[edit]

In Anbetracht der obigen Aussage enthält der Satz drei Elemente, bei denen die Energieübertragung (pro Zeiteinheit) als Volumenintegrale geschrieben wird:^[3]

Durch Energieeinsparung ist die Gleichgewichtsgleichung für den Energiefluss pro Zeiteinheit die integrale Form des Satzes:

– –∫V.∂u∂tdV.=∫V.∇⋅S.dV.+∫V.J.⋅E.dV.,{ displaystyle – int _ {V} { frac { partielle u} { partielle t}} dV = int _ {V} nabla cdot mathbf {S} dV + int _ {V} mathbf {J} cdot mathbf {E} dV,}

und da die Lautstärke V. ist willkürlich, dies gilt für alle Bände, was impliziert

– –∂u∂t=∇⋅S.+J.⋅E.,{ displaystyle – { frac { partielle u} { partielle t}} = nabla cdot mathbf {S} + mathbf {J} cdot mathbf {E},}

Das ist Poyntings Theorem in Differentialform.

Poynting Vektor[edit]

Aus dem Satz ergibt sich die tatsächliche Form des Poynting-Vektors S. kann gefunden werden. Die zeitliche Ableitung der Energiedichte (unter Verwendung der Produktregel für Vektorpunktprodukte) ist

∂u∂t=12((E.⋅∂D.∂t+D.⋅∂E.∂t+H.⋅∂B.∂t+B.⋅∂H.∂t)=E.⋅∂D.∂t+H.⋅∂B.∂t,{ displaystyle { frac { partielle u} { partielle t}} = { frac {1} {2}} left ( mathbf {E} cdot { frac { partielle mathbf {D}} { partielle t}} + mathbf {D} cdot { frac { partielle mathbf {E}} { partielle t}} + mathbf {H} cdot { frac { partielle mathbf {B. }} { partielles t}} + mathbf {B} cdot { frac { partielles mathbf {H}} { partielles t}} rechts) = mathbf {E} cdot { frac { partiell mathbf {D}} { partiell t}} + mathbf {H} cdot { frac { partiell mathbf {B}} { partiell t}},}

unter Verwendung der konstitutiven Beziehungen^{[clarification needed]}

D.=ϵ0E.,H.=B.μ0{ displaystyle mathbf {D} = epsilon _ {0} mathbf {E}, quad mathbf {H} = { frac { mathbf {B}} { mu _ {0}}}

Die Teilzeitableitungen schlagen vor, zwei der Maxwellschen Gleichungen zu verwenden. Nehmen Sie das Punktprodukt der Maxwell-Faraday-Gleichung mit H.::

∂B.∂t=– –∇×E. → H.⋅∂B.∂t=– –H.⋅∇×E.,{ displaystyle { frac { partielle mathbf {B}} { partielle t}} = – nabla times mathbf {E} rightarrow mathbf {H} cdot { frac { partielle mathbf {B}} { partielle t}} = – mathbf {H} cdot nabla times mathbf {E},}

Als nächstes wird das Punktprodukt der Maxwell-Ampère-Gleichung mit genommen E.::

∂D.∂t+J.=∇×H. → E.⋅∂D.∂t+E.⋅J.=E.⋅∇×H..{ displaystyle { frac { partiell mathbf {D}} { partiell t}} + mathbf {J} = nabla times mathbf {H} rightarrow mathbf {E} cdot { frac { partielle mathbf {D}} { partielle t}} + mathbf {E} cdot mathbf {J} = mathbf {E} cdot nabla times mathbf {H}.}

Das Sammeln der bisherigen Ergebnisse ergibt:

– –∇⋅S.=∂u∂t+J.⋅E.=((H.⋅∂B.∂t+E.⋅∂D.∂t)+J.⋅E.=E.⋅∇×H.– –H.⋅∇×E.,{ displaystyle { begin {align} – nabla cdot mathbf {S} & = { frac { partielle u} { partielle t}} + mathbf {J} cdot mathbf {E} \ & = left ( mathbf {H} cdot { frac { partiell mathbf {B}} { partiell t}} + mathbf {E} cdot { frac { partiell mathbf {D}} { partielle t}} rechts) + mathbf {J} cdot mathbf {E} \ & = mathbf {E} cdot nabla times mathbf {H} – mathbf {H} cdot nabla times mathbf {E}, \ end {align}}}

dann unter Verwendung der Vektorrechnung Identität:

∇⋅((E.×H.)=H.⋅((∇×E.)– –E.⋅((∇×H.),{ displaystyle nabla cdot ( mathbf {E} times mathbf {H}) = mathbf {H} cdot ( nabla times mathbf {E}) – mathbf {E} cdot ( nabla times mathbf {H}),}

gibt einen Ausdruck für den Poynting-Vektor:

S.=E.×H.,{ displaystyle mathbf {S} = mathbf {E} times mathbf {H},}

was physikalisch bedeutet, dass die Energieübertragung aufgrund zeitlich variierender elektrischer und magnetischer Felder senkrecht zu den Feldern ist

Poynting-Vektor in makroskopischen Medien[edit]

In einem makroskopischen Medium werden elektromagnetische Effekte durch räumlich gemittelte (makroskopische) Felder beschrieben. Der Poynting-Vektor in einem makroskopischen Medium kann mit der mikroskopischen Theorie selbstkonsistent definiert werden, so dass der räumlich gemittelte mikroskopische Poynting-Vektor durch einen makroskopischen Formalismus genau vorhergesagt wird. Dieses Ergebnis ist im Grenzbereich für geringe Verluste streng gültig und ermöglicht die eindeutige Identifizierung der Poynting-Vektorform in der makroskopischen Elektrodynamik.^[4][5]

Alternative Formen[edit]

Es ist möglich, alternative Versionen des Satzes von Poynting abzuleiten.^[6] Anstelle des Flussvektors E. × B. Wie oben ist es möglich, dem gleichen Ableitungsstil zu folgen, aber stattdessen die Abraham-Form zu wählen E. × H., die Minkowski-Form D. × B., oder vielleicht D. × H.. Jede Wahl repräsentiert die Reaktion des Ausbreitungsmediums auf ihre eigene Weise: die E. × B. Form oben hat die Eigenschaft, dass die Reaktion nur aufgrund elektrischer Ströme erfolgt, während die D. × H. Form verwendet nur (fiktive) magnetische Monopolströme. Die beiden anderen Formen (Abraham und Minkowski) verwenden komplementäre Kombinationen von elektrischen und magnetischen Strömen, um die Polarisations- und Magnetisierungsreaktionen des Mediums darzustellen.

Verallgemeinerung[edit]

Das mechanisch Energiegegenstück des obigen Satzes für die elektromagnetisch Energiekontinuitätsgleichung ist

∂∂tum((r,t)+∇⋅S.m((r,t)=J.((r,t)⋅E.((r,t),{ displaystyle { frac { partiell} { partiell t}} u_ {m} ( mathbf {r}, t) + nabla cdot mathbf {S} _ {m} ( mathbf {r}, t) = mathbf {J} ( mathbf {r}, t) cdot mathbf {E} ( mathbf {r}, t),}

wo u_m ist die (mechanische) kinetische Energiedichte im System. Es kann als die Summe der kinetischen Energien von Partikeln beschrieben werden α (zB Elektronen in einem Draht), deren Flugbahn gegeben ist durch r_α((t):

∂∂t((ue+um)+∇⋅((S.e+S.m)=0,{ displaystyle { frac { partiell} { partiell t}} left (u_ {e} + u_ {m} right) + nabla cdot left ( mathbf {S} _ {e} + mathbf {S} _ {m} right) = 0,}

beide Arten von Energie und die Umwandlung von einem in den anderen abdecken.

Verweise[edit]

Externe Links[edit]