Beobachtbar – Wikipedia

In der Physik ist ein beobachtbar ist eine physikalische Größe, die gemessen werden kann. Beispiele sind Position und Impuls. In Systemen, die von der klassischen Mechanik gesteuert werden, handelt es sich um eine reelle “Funktion” auf der Menge aller möglichen Systemzustände. In der Quantenphysik ist es ein Operator oder ein Messgerät, bei dem die Eigenschaft des Quantenzustands durch eine Abfolge von Operationen bestimmt werden kann. Beispielsweise können diese Vorgänge das Senden des Systems an verschiedene elektromagnetische Felder und schließlich das Lesen eines Werts umfassen.

Physikalisch bedeutsame Observable müssen auch Transformationsgesetze erfüllen, die Beobachtungen von verschiedenen Beobachtern in verschiedenen Referenzrahmen in Beziehung setzen. Diese Transformationsgesetze sind Automorphismen des Zustandsraums, dh bijektive Transformationen, die bestimmte mathematische Eigenschaften des betreffenden Raums bewahren.

Quantenmechanik[edit]

In der Quantenphysik manifestieren sich Observablen als lineare Operatoren auf einem Hilbert-Raum, der den Zustandsraum von Quantenzuständen darstellt. Die Eigenwerte von Observablen sind reelle Zahlen, die möglichen Werten entsprechen, mit denen die durch das Observable dargestellte dynamische Variable gemessen werden kann. Das heißt, Observable in der Quantenmechanik weisen den Ergebnissen von reelle Zahlen zu bestimmte Messungen, entsprechend dem Eigenwert des Operators in Bezug auf den gemessenen Quantenzustand des Systems. Infolgedessen können nur bestimmte Messungen den Wert eines für einen bestimmten Zustand eines Quantensystems beobachtbaren Werts bestimmen. In der klassischen Mechanik irgendein Es kann eine Messung durchgeführt werden, um den Wert eines Observablen zu bestimmen.

Die Beziehung zwischen dem Zustand eines Quantensystems und dem Wert eines Observablen erfordert eine lineare Algebra für seine Beschreibung. In der mathematischen Formulierung der Quantenmechanik werden Zustände durch Vektoren ungleich Null in einem Hilbert-Raum gegeben V.. Zwei Vektoren v und w Es wird davon ausgegangen, dass genau dann derselbe Status angegeben wird, wenn

${ displaystyle mathbf {w} = c mathbf {v}}$

für einige ungleich Null

${ displaystyle c in mathbb {C}}$

. Observables werden von selbstadjutierenden Operatoren am angegeben V.. Wie unten angegeben, entspricht jedoch nicht jeder selbstadjunkte Operator einer physikalisch bedeutsamen beobachtbaren Größe^{[citation needed]}. Für den Fall eines Partikelsystems ist der Raum V. besteht aus Funktionen, die als Wellenfunktionen oder Zustandsvektoren bezeichnet werden.

Bei Transformationsgesetzen in der Quantenmechanik sind die erforderlichen Automorphismen einheitliche (oder antiunitäre) lineare Transformationen des Hilbert-Raums V.. Unter der galiläischen Relativitätstheorie oder der speziellen Relativitätstheorie ist die Mathematik der Referenzrahmen besonders einfach und schränkt die Menge der physikalisch bedeutsamen Observablen erheblich ein.

In der Quantenmechanik weist die Messung von Observablen einige scheinbar unintuitive Eigenschaften auf. Insbesondere wenn sich ein System in einem Zustand befindet, der durch einen Vektor in einem Hilbert-Raum beschrieben wird, beeinflusst der Messprozess den Zustand auf nicht deterministische, aber statistisch vorhersagbare Weise. Insbesondere kann nach Anwendung einer Messung die Zustandsbeschreibung durch einen einzelnen Vektor zerstört und durch ein statistisches Ensemble ersetzt werden. Die irreversible Natur von Messoperationen in der Quantenphysik wird manchmal als Messproblem bezeichnet und durch Quantenoperationen mathematisch beschrieben. Durch die Struktur der Quantenoperationen ist diese Beschreibung mathematisch äquivalent zu derjenigen, die durch die relative Zustandsinterpretation angeboten wird, wobei das ursprüngliche System als Teilsystem eines größeren Systems betrachtet wird und der Zustand des ursprünglichen Systems durch die Teilspur des Zustands des gegeben ist größeres System.

In der Quantenmechanik dynamische Variablen

${ displaystyle A}$

B. Position, translatorischer (linearer) Impuls, Bahndrehimpuls, Spin und Gesamtdrehimpuls sind jeweils einem hermitischen Operator zugeordnet

${ displaystyle { hat {A}}}$

das wirkt auf den Zustand des Quantensystems. Die Eigenwerte des Operators

${ displaystyle { hat {A}}}$

entsprechen den möglichen Werten, die die dynamische Variable haben kann. Nehmen wir zum Beispiel an

${ displaystyle | psi _ {a} rangle}$

ist ein Eigenket (Eigenvektor) des Observablen

${ displaystyle { hat {A}}}$

mit Eigenwert

${ displaystyle a}$

und existiert in einem d-dimensionalen Hilbert-Raum. Dann

${ displaystyle { hat {A}} | psi _ {a} rangle = a | psi _ {a} rangle.}$

Diese Eigenket-Gleichung besagt, dass bei einer Messung des Beobachtbaren

${ displaystyle { hat {A}}}$

wird gemacht, während das System von Interesse im Staat ist

${ displaystyle | psi _ {a} rangle}$

dann muss der beobachtete Wert dieser bestimmten Messung den Eigenwert zurückgeben

${ displaystyle a}$

mit Sicherheit. Wenn sich das interessierende System jedoch im allgemeinen Zustand befindet

${ displaystyle | phi rangle in { mathcal {H}}}$

, dann der Eigenwert

${ displaystyle a}$

wird mit Wahrscheinlichkeit zurückgegeben

${ displaystyle | langle psi _ {a} | phi rangle | ^ {2}}$

nach der Born-Regel.

Die obige Definition hängt etwas von unserer Konvention ab, reelle Zahlen zu wählen, um reale physikalische Größen darzustellen. Nur weil dynamische Variablen im metaphysischen Sinne “real” und nicht “unreal” sind, heißt das nicht, dass sie reellen Zahlen im mathematischen Sinne entsprechen müssen.^{[citation needed]}

Genauer gesagt ist die dynamische Variable / Observable ein selbstadjunkter Operator in einem Hilbert-Raum.

Operatoren auf endlichen und unendlich dimensionalen Hilbert-Räumen[edit]

Observable können durch eine hermitische Matrix dargestellt werden, wenn der Hilbert-Raum endlichdimensional ist. In einem unendlich dimensionalen Hilbert-Raum wird das Beobachtbare durch einen symmetrischen Operator dargestellt, der möglicherweise nicht überall definiert ist. Der Grund für eine solche Änderung ist, dass in einem unendlich dimensionalen Hilbert-Raum der beobachtbare Operator unbegrenzt werden kann, was bedeutet, dass er keinen größten Eigenwert mehr hat. Dies ist in einem endlichdimensionalen Hilbert-Raum nicht der Fall: Ein Operator kann nicht mehr Eigenwerte haben als die Dimension des Zustands, auf den er einwirkt, und aufgrund der gut geordneten Eigenschaft hat jede endliche Menge von reellen Zahlen ein größtes Element. Zum Beispiel kann die Position eines Punktteilchens, das sich entlang einer Linie bewegt, eine beliebige reelle Zahl als Wert annehmen, und die Menge der reellen Zahlen ist unzählig unendlich. Da der Eigenwert eines Observablen eine mögliche physikalische Größe darstellt, die seine entsprechende dynamische Variable annehmen kann, müssen wir schließen, dass es keinen größten Eigenwert für die in diesem unzähligen unendlich dimensionalen Hilbert-Raum beobachtbare Position gibt.

Inkompatibilität von Observablen in der Quantenmechanik[edit]

Ein entscheidender Unterschied zwischen klassischen Größen und quantenmechanischen Observablen besteht darin, dass letztere möglicherweise nicht gleichzeitig messbar sind, eine Eigenschaft, die als Komplementarität bezeichnet wird. Dies wird mathematisch durch die Nichtkommutativität der entsprechenden Operatoren ausgedrückt, so dass der Kommutator

${ displaystyle left[{hat {A}},{hat {B}}right]: = { hat {A}} { hat {B}} – { hat {B}} { hat {A}} neq { hat {0}}.}$

Diese Ungleichung drückt eine Abhängigkeit der Messergebnisse von der Reihenfolge aus, in der Messungen von Observablen durchgeführt werden

${ displaystyle { hat {A}}}$

und

${ displaystyle { hat {B}}}$

durchgeführt werden. Observable, die nicht kommutativen Operatoren entsprechen, werden als bezeichnet inkompatible Observable. Inkompatible Observable können keinen vollständigen Satz gemeinsamer Eigenfunktionen haben. Beachten Sie, dass es einige simultane Eigenvektoren von geben kann

${ displaystyle { hat {A}}}$

und

${ displaystyle { hat {B}}}$

, aber nicht genug, um eine vollständige Grundlage zu bilden.^[1][2]

Siehe auch[edit]

Weiterführende Literatur[edit]