Schwacher Wert – Wikipedia

Posted on by
before-content-x4

In der Quantenmechanik (und Berechnung) a schwacher Wert ist eine Größe, die sich auf eine Verschiebung des Zeigers eines Messgeräts bezieht, wenn normalerweise eine Vor- und Nachauswahl erfolgt. Es sollte nicht mit einer schwachen Messung verwechselt werden, die oft in Verbindung definiert wird. Der schwache Wert wurde zuerst von Yakir Aharonov, David Albert und Lev Vaidman definiert, veröffentlicht in Physical Review Letters 1988,[1] und ist mit dem Zwei-Zustands-Vektorformalismus verwandt. Es gibt auch eine Möglichkeit, schwache Werte ohne Nachauswahl zu erhalten.[2][3]

Definition und Ableitung[edit]

Es gibt viele ausgezeichnete Übersichtsartikel zu schwachen Werten (siehe z[4][5][6][7] ) hier behandeln wir kurz die Grundlagen.

Definition[edit]

Wir werden den Anfangszustand eines Systems als bezeichnen

|ψich⟩{ displaystyle | psi _ {i} rangle}

, während der Endzustand des Systems als bezeichnet wird

|ψf⟩{ displaystyle | psi _ {f} rangle}

. Wir werden die Anfangs- und Endzustände des Systems als vor- und nachgewählte quantenmechanische Zustände bezeichnen. In Bezug auf diese geben die schwacher Wert des beobachtbaren

EIN{ displaystyle A}

ist definiert als:

after-content-x4
EINw=⟨ψf|EIN|ψich⟩⟨ψf|ψich⟩.{ displaystyle A_ {w} = { frac { langle psi _ {f} | A | psi _ {i} rangle} { langle psi _ {f} | psi _ {i} rangle }}.}

Beachten Sie, dass wenn

|ψf⟩=|ψich⟩{ displaystyle | psi _ {f} rangle = | psi _ {i} rangle}

dann ist der schwache Wert gleich dem üblichen erwarteten Wert im Ausgangszustand

⟨ψich|EIN|ψich⟩{ displaystyle langle psi _ {i} | A | psi _ {i} rangle}

oder der Endzustand

⟨ψf|EIN|ψf⟩{ displaystyle langle psi _ {f} | A | psi _ {f} rangle}

. Im Allgemeinen ist die schwache Wertmenge eine komplexe Zahl. Der schwache Wert des Beobachtbaren wird groß, wenn der nachgewählte Zustand,

|ψf⟩{ displaystyle | psi _ {f} rangle}

Ansätze, orthogonal zu dem vorgewählten Zustand zu sein,

|ψich⟩{ displaystyle | psi _ {i} rangle}

dh

|⟨ψf|ψich⟩|≪1{ displaystyle | langle psi _ {f} | psi _ {i} rangle | ll 1}

. Wenn

EINw{ displaystyle A_ {w}}

ist größer als der größte Eigenwert von

EIN{ displaystyle A}

oder kleiner als der kleinste Eigenwert von

EIN{ displaystyle A}

Der schwache Wert soll anomal sein.

Betrachten Sie als Beispiel ein Spin-1/2-Teilchen.[8] Nehmen

EIN{ displaystyle A}

der Pauli Z Operator sein

EIN=σz{ displaystyle A = sigma _ {z}}

mit Eigenwerten

±1{ displaystyle pm 1}

. Den Ausgangszustand verwenden

|ψich⟩=12((cos⁡α2+Sünde⁡α2cos⁡α2– –Sünde⁡α2){ displaystyle | psi _ {i} rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} left ({ begin {array} {c} cos { frac { alpha} {2 }} + sin { frac { alpha} {2}} \ cos { frac { alpha} {2}} – sin { frac { alpha} {2}} end {array} }Recht)}

und der Endzustand

|ψf⟩=12((11){ displaystyle | psi _ {f} rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} left ({ begin {array} {c} 1 \ 1 end {array}} Recht)}

wir können den schwachen Wert berechnen

EINw=((σz)w=bräunen⁡α2{ displaystyle A_ {w} = ( sigma _ {z}) _ {w} = tan { frac { alpha} {2}}}

.

Zum

|α|>π2{ displaystyle | alpha |> { frac { pi} {2}}}

Ableitung[edit]

Hier folgen wir der Präsentation von Duck, Stevenson und Sudarshan.[8] (mit einigen Notationsaktualisierungen von Kofman et al.[4] ), was deutlich macht, wann die zur Ableitung des schwachen Wertes verwendeten Näherungen gültig sind.

Stellen Sie sich ein Quantensystem vor, das Sie messen möchten, indem Sie ein zusätzliches (auch Quanten-) Messgerät koppeln. Das am System zu messende Observable ist

EIN{ displaystyle A}

. Das System und die Ancilla sind über den Hamilton-Operator gekoppelt

H.=γEIN⊗p,{ displaystyle { begin {align} H = gamma A otimes p, end {align}}}

wobei die Kopplungskonstante über eine Interaktionszeit integriert wird

after-content-x4