In der Quantenmechanik (und Berechnung) a schwacher Wert ist eine Größe, die sich auf eine Verschiebung des Zeigers eines Messgeräts bezieht, wenn normalerweise eine Vor- und Nachauswahl erfolgt. Es sollte nicht mit einer schwachen Messung verwechselt werden, die oft in Verbindung definiert wird. Der schwache Wert wurde zuerst von Yakir Aharonov, David Albert und Lev Vaidman definiert, veröffentlicht in Physical Review Letters 1988,[1] und ist mit dem Zwei-Zustands-Vektorformalismus verwandt. Es gibt auch eine Möglichkeit, schwache Werte ohne Nachauswahl zu erhalten.[2] [3]
Definition und Ableitung [ edit]
Es gibt viele ausgezeichnete Übersichtsartikel zu schwachen Werten (siehe z[4] [5] [6] [7] ) hier behandeln wir kurz die Grundlagen.
Definition [ edit]
Wir werden den Anfangszustand eines Systems als bezeichnen
| ψ ich ⟩ { displaystyle | psi _ {i} rangle}
, während der Endzustand des Systems als bezeichnet wird
| ψ f ⟩ { displaystyle | psi _ {f} rangle}
. Wir werden die Anfangs- und Endzustände des Systems als vor- und nachgewählte quantenmechanische Zustände bezeichnen. In Bezug auf diese geben die schwacher Wert des beobachtbaren
EIN { displaystyle A}
ist definiert als:
EIN w = ⟨ ψ f | EIN | ψ ich ⟩ ⟨ ψ f | ψ ich ⟩ . { displaystyle A_ {w} = { frac { langle psi _ {f} | A | psi _ {i} rangle} { langle psi _ {f} | psi _ {i} rangle }}.}
Beachten Sie, dass wenn
| ψ f ⟩ = | ψ ich ⟩ { displaystyle | psi _ {f} rangle = | psi _ {i} rangle}
dann ist der schwache Wert gleich dem üblichen erwarteten Wert im Ausgangszustand
⟨ ψ ich | EIN | ψ ich ⟩ { displaystyle langle psi _ {i} | A | psi _ {i} rangle}
oder der Endzustand
⟨ ψ f | EIN | ψ f ⟩ { displaystyle langle psi _ {f} | A | psi _ {f} rangle}
. Im Allgemeinen ist die schwache Wertmenge eine komplexe Zahl. Der schwache Wert des Beobachtbaren wird groß, wenn der nachgewählte Zustand,
| ψ f ⟩ { displaystyle | psi _ {f} rangle}
Ansätze, orthogonal zu dem vorgewählten Zustand zu sein,
| ψ ich ⟩ { displaystyle | psi _ {i} rangle}
dh
| ⟨ ψ f | ψ ich ⟩ | ≪ 1 { displaystyle | langle psi _ {f} | psi _ {i} rangle | ll 1}
. Wenn
EIN w { displaystyle A_ {w}}
ist größer als der größte Eigenwert von
EIN { displaystyle A}
oder kleiner als der kleinste Eigenwert von
EIN { displaystyle A}
Der schwache Wert soll anomal sein.
Betrachten Sie als Beispiel ein Spin-1/2-Teilchen.[8] Nehmen
EIN { displaystyle A}
der Pauli Z Operator sein
EIN = σ z { displaystyle A = sigma _ {z}}
mit Eigenwerten
± 1 { displaystyle pm 1}
. Den Ausgangszustand verwenden
| ψ ich ⟩ = 1 2 (( cos α 2 + Sünde α 2 cos α 2 – – Sünde α 2 ) { displaystyle | psi _ {i} rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} left ({ begin {array} {c} cos { frac { alpha} {2 }} + sin { frac { alpha} {2}} \ cos { frac { alpha} {2}} – sin { frac { alpha} {2}} end {array} }Recht)}
und der Endzustand
| ψ f ⟩ = 1 2 (( 1 1 ) { displaystyle | psi _ {f} rangle = { frac {1} { sqrt {2}}} left ({ begin {array} {c} 1 \ 1 end {array}} Recht)}
wir können den schwachen Wert berechnen
EIN w = (( σ z ) w = bräunen α 2 { displaystyle A_ {w} = ( sigma _ {z}) _ {w} = tan { frac { alpha} {2}}}
.
Zum
| α | > π 2 { displaystyle | alpha |> { frac { pi} {2}}}
Ableitung [ edit]
Hier folgen wir der Präsentation von Duck, Stevenson und Sudarshan.[8] (mit einigen Notationsaktualisierungen von Kofman et al.[4] ), was deutlich macht, wann die zur Ableitung des schwachen Wertes verwendeten Näherungen gültig sind.
Stellen Sie sich ein Quantensystem vor, das Sie messen möchten, indem Sie ein zusätzliches (auch Quanten-) Messgerät koppeln. Das am System zu messende Observable ist
EIN { displaystyle A}
. Das System und die Ancilla sind über den Hamilton-Operator gekoppelt
H. = γ EIN ⊗ p , { displaystyle { begin {align} H = gamma A otimes p, end {align}}}
wobei die Kopplungskonstante über eine Interaktionszeit integriert wird
U. = exp [ − i γ A ⊗ p ] . { displaystyle { begin {align} U = exp[-igamma Aotimes p]. end {align}}}
Nehmen Sie den Anfangszustand der Ancilla, um eine Gaußsche Verteilung zu erhalten
| Φ ⟩ = 1 (( 2 π σ 2 ) 1 /. 4 ∫ d q ‘ exp [ − q ′ 2 / 4 σ 2 ] | q ‘ ⟩ , { displaystyle { begin {align} | Phi rangle = { frac {1} {(2 pi sigma ^ {2}) ^ {1/4}}} int dq ‘ exp[-q’^{2}/4sigma ^{2}]| q ‘ rangle, end {align}}}
Die Positionswellenfunktion dieses Zustands ist
Φ (( q ) = ⟨ q | Φ ⟩ = 1 (( 2 π σ 2 ) 1 /. 4 exp [ − q 2 / 4 σ 2 ] . { displaystyle { begin {align} Phi (q) = langle q | Phi rangle = { frac {1} {(2 pi sigma ^ {2}) ^ {1/4}}} exp[-q^{2}/4sigma ^{2}]. end {align}}}
Der Ausgangszustand des Systems ist gegeben durch
| ψ ich ⟩ { displaystyle | psi _ {i} rangle}
über; der Staat
| Ψ ⟩ { displaystyle | Psi rangle}
Die gemeinsame Beschreibung des Ausgangszustands des Systems und der Ancilla ist dann gegeben durch:
| Ψ ⟩ = | ψ ich ⟩ ⊗ | Φ ⟩ . { displaystyle { begin {align} | Psi rangle = | psi _ {i} rangle otimes | Phi rangle. end {align}}}
Als nächstes interagieren das System und Ancilla über die Einheit
U. | Ψ ⟩ { displaystyle U | Psi rangle}
. Danach führt man eine projektive Messung der Projektoren durch
{ | ψ f ⟩ ⟨ ψ f | , ich – – | ψ f ⟩ ⟨ ψ f | }} { displaystyle {| psi _ {f} rangle langle psi _ {f} |, I- | psi _ {f} rangle langle psi _ {f} | }}
auf dem System. Wenn wir nach der Auswahl (oder Bedingung) das Ergebnis erhalten
| ψ f ⟩ ⟨ ψ f | { displaystyle | psi _ {f} rangle langle psi _ {f} |}
, dann ist der (nicht normalisierte) Endzustand des Messgeräts
| Φ f ⟩ = ⟨ ψ f | U. | ψ ich ⟩ ⊗ | Φ ⟩ ≈ ⟨ ψ f | (( ich ⊗ ich – – ich γ EIN ⊗ p ) | ψ ich ⟩ ⊗ | Φ ⟩ (( ich ) = ⟨ ψ f | ψ ich ⟩ (( 1 – – ich γ EIN w p ) | Φ ⟩ ≈ ⟨ ψ f | ψ ich ⟩ exp (( – – ich γ EIN w p ) | Φ ⟩ . (( ich ich ) { displaystyle { begin {align} | Phi _ {f} rangle & = langle psi _ {f} | U | psi _ {i} rangle otimes | Phi rangle \ & ungefähr langle psi _ {f} | (I otimes Ii gamma A otimes p) | psi _ {i} rangle otimes | Phi rangle quad (I) \ & = langle psi _ {f} | psi _ {i} rangle (1-i gamma A_ {w} p) | Phi rangle \ & approx langle psi _ {f} | psi _ {i } rangle exp (-i gamma A_ {w} p) | Phi rangle. quad (II) end {align}}}
Um zu dieser Schlussfolgerung zu gelangen, verwenden wir die Serienerweiterung erster Ordnung von
U. { displaystyle U}
online (I), und das benötigen wir[4] [8]
| γ | σ | ⟨ ψ f | EIN n | ψ ich ⟩ ⟨ ψ f | EIN | ψ ich ⟩ | 1 /. (( n – – 1 ) ≪ 1 , (( n = 2 , 3 , . . . ) { displaystyle { begin {align} { frac {| gamma |} { sigma}} left | { frac { langle psi _ {f} | A ^ {n} | psi _ {i } rangle} { langle psi _ {f} | A | psi _ {i} rangle}} right | ^ {1 / (n-1)} ll 1, quad (n = 2, 3, …) end {align}}}
In Zeile (II) verwenden wir die Näherung, dass
e – – x ≈ 1 – – x { displaystyle e ^ {- x} ca. 1-x}
für kleine
x { displaystyle x}
. Diese endgültige Annäherung ist nur gültig, wenn[4] [8]
| γ EIN w | /. σ ≪ 1. { displaystyle { begin {align} | gamma A_ {w} | / sigma ll 1. end {align}}}
Wie
p { displaystyle p}
ist der Generator von Übersetzungen, die Wellenfunktion der Ancilla ist nun gegeben durch
Φ f (( q ) = Φ (( q – – γ EIN w ) . { displaystyle { begin {align} Phi _ {f} (q) = Phi (q- gamma A_ {w}). end {align}}}
Dies ist die ursprüngliche Wellenfunktion, die um einen Betrag verschoben ist
γ EIN w { displaystyle gamma A_ {w}}
. Nach Buschs Satz[9] Die Wellenfunktionen des Systems und des Messgeräts werden durch die Messung notwendigerweise gestört. In gewissem Sinne ist das Protokoll, mit dem der schwache Wert gemessen werden kann, minimal störend.[10] aber es gibt immer noch Störungen.[10]
Anwendungen [ edit]
Quantenmetrologie und Tomographie [ edit]
Am Ende des ursprünglichen Papiers mit schwachem Wert[1] Die Autoren schlugen vor, dass schwache Werte in der Quantenmetrologie verwendet werden könnten:
Ein weiterer bemerkenswerter Aspekt dieses Experiments wird deutlich, wenn wir es als Gerät zur Messung eines kleinen Gradienten des Magnetfelds betrachten … was eine enorme Verstärkung ergibt.
Aharonov, Albert, Vaidman[1]
Diesem Vorschlag folgten Hosten und Kwiat[11] und später von Dixon et al.[12] Es scheint eine interessante Forschungslinie zu sein, die zu einer verbesserten Quantensensortechnologie führen könnte.
Zusätzlich wurden 2011 schwache Messungen vieler Photonen, die im gleichen reinen Zustand hergestellt wurden, gefolgt von starken Messungen einer komplementären Variablen, verwendet, um die Quantentomographie durchzuführen (dh den Zustand zu rekonstruieren, in dem die Photonen hergestellt wurden).[13]
Quantengrundlagen [ edit]
Schwache Werte wurden verwendet, um einige der Paradoxien in den Grundlagen der Quantentheorie zu untersuchen. Dies hängt in hohem Maße davon ab, ob schwache Werte für die Beschreibung der Eigenschaften von Quantensystemen als relevant erachtet werden.[14] Ein Punkt, der nicht offensichtlich ist, da sich schwache Werte im Allgemeinen von Eigenwerten unterscheiden. Zum Beispiel bestätigte die Forschungsgruppe von Aephraim Steinberg an der Universität von Toronto Hardys Paradoxon experimentell unter Verwendung einer gemeinsamen schwachen Messung der Positionen verschränkter Photonenpaare.[15] [16] (siehe auch[17] )
Aufbauend auf schwachen Messungen schlug Howard M. Wiseman eine Schwachwertmessung der Geschwindigkeit eines Quantenteilchens an einer genauen Position vor, die er als seine bezeichnete “naiv beobachtbare Geschwindigkeit”. Im Jahr 2010 wurde eine erste experimentelle Beobachtung der Flugbahnen eines Photons in einem Doppelspaltinterferometer veröffentlicht, die die 2001 von Partha Ghose vorhergesagten qualitativen Merkmale aufwies[18] für Photonen in der De-Broglie-Bohm-Interpretation.[19] [20]
Quantenberechnung [ edit]
Schwache Werte wurden in das Quantencomputing implementiert, um die zeitliche Komplexität erheblich zu beschleunigen. In einem Papier,[21] Arun Kumar Pati beschreibt eine neue Art von Quantencomputer mit schwacher Wertverstärkung und Nachauswahl (WVAP) und implementiert einen Suchalgorithmus, der (bei erfolgreicher Nachauswahl) den Zielzustand in einem einzigen Lauf mit zeitlicher Komplexität finden kann
Ö (( Log N. ) { displaystyle O ( log N)}
und schlug den bekannten Grover-Algorithmus aus.
Kritik [ edit]
Kritik an schwachen Werten schließt philosophische und praktische Kritik ein. Einige bekannte Forscher wie Asher Peres, Tony Leggett, David Mermin und Charles H. Bennett kritisieren auch schwache Werte:
Weiterführende Literatur [ edit]
Verweise [ edit]
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