Projektion (lineare Algebra) – Wikipedia
Die Transformation P. ist die orthogonale Projektion auf die Linie m.
In der linearen Algebra und Funktionsanalyse a Projektion ist eine lineare Transformation
von einem Vektorraum zu sich selbst, so dass
. Das heißt, wann immer
Wird zweimal auf einen Wert angewendet, ergibt sich das gleiche Ergebnis, als würde es einmal angewendet (idempotent). Es lässt sein Bild unverändert.[1] Obwohl abstrakt, ist diese Definition von “Projektion” formalisiert und verallgemeinert die Idee der grafischen Projektion. Man kann auch die Auswirkung einer Projektion auf ein geometrisches Objekt betrachten, indem man die Auswirkung der Projektion auf Punkte im Objekt untersucht.
Definitionen[edit]
EIN Projektion auf einem Vektorraum
ist ein linearer Operator
so dass
.
Wann
hat ein inneres Produkt und ist vollständig (dh wann
ist ein Hilbert-Raum) kann das Konzept der Orthogonalität verwendet werden. Eine Projektion
auf einem Hilbert-Raum
heißt ein orthogonale Projektion wenn es befriedigt
für alle
. Eine Projektion auf einen Hilbert-Raum, der nicht orthogonal ist, wird als bezeichnet Schrägprojektion.
Projektionsmatrix[edit]
Die Eigenwerte einer Projektionsmatrix müssen 0 oder 1 sein.
Beispiele[edit]
Orthogonale Projektion[edit]
Zum Beispiel die Funktion, die den Punkt abbildet
im dreidimensionalen Raum
auf den Punkt
ist eine orthogonale Projektion auf die x– –y Flugzeug. Diese Funktion wird durch die Matrix dargestellt
Die Wirkung dieser Matrix auf einen beliebigen Vektor ist
Um das zu sehen
ist in der Tat eine Projektion, dh
berechnen wir
- .
Das beobachten
zeigt, dass die Projektion eine orthogonale Projektion ist.
Schrägprojektion[edit]
Ein einfaches Beispiel für eine nicht orthogonale (schräge) Projektion (Definition siehe unten) ist
Durch Matrixmultiplikation sieht man das
das zu beweisen
ist in der Tat eine Projektion.
Die Projektion
ist genau dann orthogonal, wenn
denn nur dann
.
Eigenschaften und Klassifizierung[edit]
Die Transformation T. ist die Projektion entlang k auf zu m. Die Reichweite von T. ist m und der Nullraum ist k.
Idempotenz[edit]
Per Definition eine Projektion
ist idempotent (dh
).
Komplementarität von Reichweite und Kernel[edit]
Lassen
sei ein endlicher dimensionaler Vektorraum und
eine Projektion auf sein
. Angenommen, die Unterräume
und
sind die Reichweite und der Kernel von
beziehungsweise. Dann
hat folgende Eigenschaften:
- ist der Identitätsoperator auf
- .
- Wir haben eine direkte Summe . Jeder Vektor kann eindeutig als zerlegt werden mit und , und wo .
Der Bereich und der Kern einer Projektion sind komplementär, ebenso wie
und
. Der Betreiber
ist auch eine Projektion als Bereich und Kernel von
werde der Kernel und die Reichweite von
und umgekehrt. Wir sagen
ist eine Projektion entlang
auf zu
(Kernel / Bereich) und
ist eine Projektion entlang
auf zu
.
Spektrum[edit]
In unendlich dimensionalen Vektorräumen ist das Spektrum einer Projektion enthalten
wie
Nur 0 oder 1 kann ein Eigenwert einer Projektion sein. Dies impliziert eine orthogonale Projektion
ist immer eine positive semidefinitive Matrix. Im Allgemeinen sind die entsprechenden Eigenräume der Kernel und der Bereich der Projektion. Die Zerlegung eines Vektorraums in direkte Summen ist nicht eindeutig. Daher ein Unterraum gegeben
kann es viele Projektionen geben, deren Bereich (oder Kernel) ist
.
Wenn eine Projektion nicht trivial ist, hat sie ein minimales Polynom
, was zu unterschiedlichen Wurzeln führt, und somit
ist diagonalisierbar.
Produkt von Projektionen[edit]
Das Produkt von Projektionen ist im Allgemeinen keine Projektion, auch wenn sie orthogonal sind. Wenn zwei Projektionen pendeln, ist ihr Produkt eine Projektion, aber das Gegenteil ist falsch: Das Produkt zweier nicht pendelnder Projektionen kann eine Projektion sein.
Wenn zwei orthogonale Projektionen pendeln, ist ihr Produkt eine orthogonale Projektion. Wenn das Produkt zweier orthogonaler Projektionen eine orthogonale Projektion ist, pendeln die beiden orthogonalen Projektionen (allgemeiner: zwei selbstadjunkte Endomorphismen pendeln genau dann, wenn ihr Produkt selbstadjunkt ist).
Orthogonale Projektionen[edit]
Wenn der Vektorraum
hat ein inneres Produkt und ist vollständig (ist ein Hilbert-Raum), das Konzept der Orthogonalität kann verwendet werden. Ein orthogonale Projektion ist eine Projektion, für die der Bereich
und der Nullraum
sind orthogonale Teilräume. Also für jeden
und
im
,
. Gleichwertig:
- .
Eine Projektion ist genau dann orthogonal, wenn sie selbstadjunkt ist. Verwendung der selbstadjunkten und idempotenten Eigenschaften von
für jeden
und
im
wir haben
,
, und
wo
ist das innere Produkt, das mit verbunden ist
. Deshalb,
und
sind orthogonale Projektionen.[3]
Die andere Richtung, nämlich wenn
ist orthogonal, dann ist es selbstadjunkt, folgt aus
für jeden
und
im
;; so
.
-
Existenznachweis Lassen
sei ein vollständiger metrischer Raum mit einem inneren Produkt und lass
sei ein geschlossener linearer Unterraum von
(und damit auch vollständig).
Für jeden
der folgende Satz nicht negativer Normwerte
hat ein Infimum und aufgrund der Vollständigkeit von
es ist ein Minimum. Wir definieren
als der Punkt in
wo dieses Minimum erhalten wird.
Offensichtlich
ist in
. Es bleibt zu zeigen, dass
befriedigt
und dass es linear ist.
Lassen Sie uns definieren
. Für jede Nicht-Null
im
gilt Folgendes:
Durch die Definition
wir sehen das
es sei denn
verschwindet. Schon seit
wurde als Minimum der oben genannten Menge gewählt, daraus folgt
in der Tat verschwindet. Insbesondere (z
):
.
Linearität folgt aus dem Verschwinden von
für jeden
::
Indem wir den Unterschied zwischen den Gleichungen nehmen, die wir haben
Aber da können wir wählen
(wie es selbst ist in
) es folgt dem
. Ebenso haben wir
für jeden Skalar
.
Eigenschaften und Sonderfälle[edit]
Eine orthogonale Projektion ist ein begrenzter Operator. Das liegt daran für jeden
im Vektorraum haben wir durch Cauchy-Schwarz-Ungleichung:
So
.
Für endlich dimensionale komplexe oder reale Vektorräume kann das Standard-Innenprodukt ersetzt werden
.
Formeln[edit]
Ein einfacher Fall tritt auf, wenn die orthogonale Projektion auf eine Linie erfolgt. Wenn
ist ein Einheitsvektor auf der Linie, dann ist die Projektion durch das äußere Produkt gegeben
(Wenn
Ist der Wert komplex, wird die Transponierte in der obigen Gleichung durch eine hermitische Transponierte ersetzt. Dieser Operator geht u invariant, und es vernichtet alle Vektoren orthogonal zu
Dies beweist, dass es sich tatsächlich um die orthogonale Projektion auf die enthaltende Linie handelt u.[4] Eine einfache Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, einen beliebigen Vektor zu betrachten
als die Summe einer Komponente auf der Linie (dh des projizierten Vektors, den wir suchen) und einer anderen senkrecht dazu;
. Mit Projektion bekommen wir
durch die Eigenschaften des Punktprodukts von parallelen und senkrechten Vektoren.
Diese Formel kann auf orthogonale Projektionen auf einem Unterraum beliebiger Dimension verallgemeinert werden. Lassen
eine orthonormale Basis des Unterraums sein
, und lass
bezeichnen die
Matrix, deren Spalten sind
dh
. Dann ist die Projektion gegeben durch:[5]
welches umgeschrieben werden kann als
Die Matrix
ist die partielle Isometrie, die auf dem orthogonalen Komplement von verschwindet
und
ist die Isometrie, die eingebettet wird
in den zugrunde liegenden Vektorraum. Die Reichweite von
ist daher die letzter Raum von
. Es ist auch klar, dass
ist der Identitätsoperator eingeschaltet
.
Der Orthonormalitätszustand kann auch fallengelassen werden. Wenn
ist eine (nicht unbedingt orthonormale) Basis, und
ist die Matrix mit diesen Vektoren als Spalten, dann ist die Projektion:[6][7]
Die Matrix
bettet noch ein
in den zugrunde liegenden Vektorraum, ist aber im Allgemeinen keine Isometrie mehr. Die Matrix
ist ein “Normalisierungsfaktor” das stellt die Norm wieder her. Zum Beispiel der Operator Rang 1
ist keine Projektion wenn
Nach dem Teilen durch
Wir erhalten die Projektion
auf den von überspannten Unterraum
.
Im allgemeinen Fall können wir eine beliebige positive definitive Matrix haben
ein inneres Produkt definieren
und die Projektion
ist gegeben durch
. Dann
Wenn der Bereichsraum der Projektion von einem Frame generiert wird (dh die Anzahl der Generatoren ist größer als seine Dimension), hat die Formel für die Projektion die Form:
. Hier
steht für die Moore-Penrose-Pseudoinverse. Dies ist nur eine von vielen Möglichkeiten, den Projektionsoperator zu erstellen.
Wenn
ist eine nicht singuläre Matrix und
(dh
ist die Nullraummatrix von
),[8] Folgendes gilt:
Wenn der orthogonale Zustand auf verbessert wird
mit
Nicht singulär gilt Folgendes:
Alle diese Formeln gelten auch für komplexe innere Produkträume, sofern die konjugierte Transponierte anstelle der Transponierten verwendet wird. Weitere Details zu Projektorsummen finden sich in Banerjee und Roy (2014).[9] Siehe auch Banerjee (2004)[10] zur Anwendung von Projektorsummen in der sphärischen Grundtrigonometrie.
Schräge Projektionen[edit]
Der Begriff schräge Projektionen wird manchmal verwendet, um sich auf nicht orthogonale Projektionen zu beziehen. Diese Projektionen werden auch verwendet, um räumliche Figuren in zweidimensionalen Zeichnungen darzustellen (siehe Schrägprojektion), wenn auch nicht so häufig wie orthogonale Projektionen. Während die Berechnung des angepassten Werts einer gewöhnlichen Regression der kleinsten Quadrate eine orthogonale Projektion erfordert, erfordert die Berechnung des angepassten Werts einer Regression instrumenteller Variablen eine schräge Projektion.
Projektionen werden durch ihren Nullraum und die Basisvektoren definiert, die zur Charakterisierung ihres Bereichs verwendet werden (der das Komplement des Nullraums darstellt). Wenn diese Basisvektoren orthogonal zum Nullraum sind, ist die Projektion eine orthogonale Projektion. Wenn diese Basisvektoren nicht orthogonal zum Nullraum sind, ist die Projektion eine schräge Projektion. Lassen Sie die Vektoren
bilden eine Basis für den Bereich der Projektion und setzen diese Vektoren in der
Matrix
. Der Bereich und der Nullraum sind komplementäre Räume, daher hat der Nullraum eine Dimension
. Daraus folgt, dass das orthogonale Komplement des Nullraums eine Dimension hat
. Lassen
bilden eine Basis für das orthogonale Komplement des Nullraums der Projektion und setzen diese Vektoren in der Matrix zusammen
. Dann wird die Projektion definiert durch
Dieser Ausdruck verallgemeinert die oben angegebene Formel für orthogonale Projektionen.[11][12]
Projektion mit einem inneren Produkt finden[edit]
Lassen
sei ein Vektorraum (in diesem Fall eine Ebene), der von orthogonalen Vektoren überspannt wird
. Lassen
sei ein Vektor. Man kann eine Projektion von definieren
auf zu
wie
bei dem die
impliziert Einstein-Summennotation. Der Vektor
kann als orthogonale Summe geschrieben werden, so dass
.
wird manchmal als bezeichnet
. In der linearen Algebra gibt es einen Satz, der dies besagt
ist die kürzeste Entfernung von
zu
und wird häufig in Bereichen wie maschinelles Lernen verwendet.
Kanonische Formen[edit]
Jede Projektion
auf einem Vektorraum der Dimension
über einem Feld befindet sich eine diagonalisierbare Matrix, da sich ihre minimalen Polynome teilen
, die sich in verschiedene lineare Faktoren aufteilt. Es gibt also eine Basis, auf der
hat die Form
wo
ist der Rang von
. Hier
ist die Identitätsmatrix der Größe
, und
ist die Nullmatrix der Größe
. Wenn der Vektorraum komplex und mit einem inneren Produkt ausgestattet ist, gibt es eine orthonormal Basis, in der die Matrix von P. ist[13]
- .
wo
und die reellen Zahlen
sind eindeutig bestimmt. Beachten Sie, dass
. Der Faktor
entspricht dem maximal invarianten Unterraum, auf dem
fungiert als senkrecht Projektion (so dass P. selbst ist genau dann orthogonal, wenn
) und die
-Blöcke entsprechen dem schräg Komponenten.
Projektionen auf normierten Vektorräumen[edit]
Wenn der zugrunde liegende Vektorraum
ist ein (nicht unbedingt endlich-dimensionaler) normierter Vektorraum, müssen analytische Fragen, die im endlich-dimensionalen Fall irrelevant sind, berücksichtigt werden. Nehmen wir jetzt an
ist ein Banachraum.
Viele der oben diskutierten algebraischen Ergebnisse überleben den Übergang zu diesem Kontext. Eine gegebene direkte Summenzerlegung von
In komplementären Teilräumen wird weiterhin eine Projektion angegeben und umgekehrt. Wenn
ist die direkte Summe
, dann definiert der Operator durch
ist immer noch eine Projektion mit Reichweite
und Kernel
. Es ist auch klar, dass
. Umgekehrt, wenn
ist Projektion auf
dh
, dann ist es leicht zu überprüfen, dass
. Mit anderen Worten,
ist auch eine Projektion. Die Beziehung
impliziert
und
ist die direkte Summe
.
Im Gegensatz zum endlichdimensionalen Fall müssen Projektionen jedoch im Allgemeinen nicht kontinuierlich sein. Wenn ein Unterraum
von
wird in der Normtopologie nicht geschlossen, dann Projektion auf
ist nicht kontinuierlich. Mit anderen Worten, der Bereich einer kontinuierlichen Projektion
muss ein geschlossener Unterraum sein. Darüber hinaus ist der Kern einer kontinuierlichen Projektion (in der Tat ein kontinuierlicher linearer Operator im Allgemeinen) geschlossen. Also a kontinuierlich Projektion
ergibt eine Zersetzung von
in zwei komplementäre geschlossen Unterräume:
.
Das Umgekehrte gilt auch mit einer zusätzlichen Annahme. Annehmen
ist ein geschlossener Unterraum von
. Wenn es einen geschlossenen Unterraum gibt
so dass X. = U. ⊕ V., dann die Projektion
mit Reichweite
und Kernel
ist kontinuierlich. Dies folgt aus dem Satz des geschlossenen Graphen. Annehmen xn → x und Pxn → y. Das muss man zeigen
. Schon seit
ist geschlossen und {Pxn} ⊂ U., y besteht in
dh Py = y. Ebenfalls, xn – – Pxn = (ich – – P.)xn → x – – y. weil
ist geschlossen und {(ich – – P.)xn} ⊂ V., wir haben
dh
, was den Anspruch beweist.
Das obige Argument verwendet die Annahme, dass beide
und
sind zu. Im Allgemeinen bei einem geschlossenen Unterraum
muss es keinen komplementären geschlossenen Unterraum geben
, obwohl dies für Hilbert-Räume immer durch Verwendung des orthogonalen Komplements erfolgen kann. Für Banach-Räume hat ein eindimensionaler Unterraum immer einen geschlossenen komplementären Unterraum. Dies ist eine unmittelbare Folge des Hahn-Banach-Theorems. Lassen
sei die lineare Spanne von
. Nach Hahn-Banach gibt es eine begrenzte lineare Funktion
so dass φ(u) = 1. Der Betreiber
befriedigt
dh es ist eine Projektion. Begrenztheit von
impliziert Kontinuität von
und deshalb
ist ein geschlossener komplementärer Unterraum von
.
Anwendungen und weitere Überlegungen[edit]
Projektionen (orthogonal und anderweitig) spielen eine wichtige Rolle in Algorithmen für bestimmte lineare Algebra-Probleme:
Wie oben erwähnt, sind Projektionen ein Sonderfall von Idempotenten. Orthogonale Projektionen sind analytisch nicht kommutative Verallgemeinerungen charakteristischer Funktionen. Idempotente werden beispielsweise zur Klassifizierung von halbimplitiven Algebren verwendet, während die Maßtheorie mit der Berücksichtigung charakteristischer Funktionen messbarer Mengen beginnt. Wie man sich vorstellen kann, treten Projektionen daher sehr häufig im Zusammenhang mit Operatoralgebren auf. Insbesondere wird eine von Neumann-Algebra durch ihr vollständiges Projektionsgitter erzeugt.
Verallgemeinerungen[edit]
Allgemeiner bei einer Karte zwischen normierten Vektorräumen
man kann analog verlangen, dass diese Karte eine Isometrie des orthogonalen Komplements des Kernels ist: das
eine Isometrie sein (vergleiche partielle Isometrie); insbesondere muss es auf sein. Der Fall einer orthogonalen Projektion ist wann W. ist ein Unterraum von V. V. In der Riemannschen Geometrie wird dies bei der Definition eines Riemannschen Untertauchens verwendet.
Siehe auch[edit]
- ^ Meyer, S. 386 + 387
- ^ ein b Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrixanalyse, zweite Ausgabe. Cambridge University Press. ISBN 9780521839402.
- ^ Meyer, p. 433
- ^ Meyer, p. 431
- ^ Meyer, Gleichung (5.13.4)
- ^ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Lineare Algebra und Matrixanalyse für die Statistik, Texte in Statistical Science (1. Aufl.), Chapman und Hall / CRC, ISBN 978-1420095388
- ^ Meyer, Gleichung (5.13.3)
- ^ Siehe auch Lineare kleinste Quadrate (Mathematik) § Eigenschaften der Schätzer der kleinsten Quadrate.
- ^ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Lineare Algebra und Matrixanalyse für die Statistik, Texte in Statistical Science (1. Aufl.), Chapman und Hall / CRC, ISBN 978-1420095388
- ^ Banerjee, Sudipto (2004), “Überprüfung der sphärischen Trigonometrie mit orthogonalen Projektoren”, Das College Mathematics Journal, 35 (5): 375–381, doi:10.1080 / 07468342.2004.11922099, S2CID 122277398
- ^ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Lineare Algebra und Matrixanalyse für die Statistik, Texte in Statistical Science (1. Aufl.), Chapman und Hall / CRC, ISBN 978-1420095388
- ^ Meyer, Gleichung (7.10.39)
- ^ Doković, D. Ž. (August 1991). “Einheitliche Ähnlichkeit von Projektoren”. Aequationes Mathematicae. 42 (1): 220–224. doi:10.1007 / BF01818492. S2CID 122704926.
Verweise[edit]
- Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Lineare Algebra und Matrixanalyse für die Statistik, Texte in Statistical Science (1. Aufl.), Chapman und Hall / CRC, ISBN 978-1420095388
- Dunford, N.; Schwartz, JT (1958). Linearoperatoren, Teil I: Allgemeine Theorie. Interscience.
- Meyer, Carl D. (2000). Matrixanalyse und angewandte lineare Algebra. Gesellschaft für industrielle und angewandte Mathematik. ISBN 978-0-89871-454-8.
Externe Links[edit]
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