Quadratisches Gitter Ising-Modell – Wikipedia

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In der statistischen Mechanik ist die zweidimensionales quadratisches Gitter Ising-Modell ist ein einfaches Gittermodell für wechselwirkende Magnetspins. Das Modell zeichnet sich durch nichttriviale Wechselwirkungen aus, verfügt jedoch über eine analytische Lösung. Das Modell wurde von Lars Onsager für den Sonderfall des externen Magnetfeldes gelöst H. = 0. (Onsager (1944)) Eine analytische Lösung für den allgemeinen Fall für

H.≠0{ displaystyle H neq 0}

muss noch gefunden werden.

Partitionsfunktion definieren[edit]

Betrachten Sie ein 2D-Ising-Modell auf einem quadratischen Gitter

Λ{ displaystyle Lambda}

mit N. Standorte und periodische Randbedingungen sowohl in horizontaler als auch in vertikaler Richtung, wodurch die Topologie des Modells effektiv auf einen Torus reduziert wird. Im Allgemeinen ist die horizontale Kopplung

J.≠{ displaystyle J neq}

die vertikale

J.∗{ displaystyle J ^ {*}}

. Mit

β=1kT.{ displaystyle beta = { frac {1} {kT}}}

und absolute Temperatur

T.{ displaystyle T}

und Boltzmanns Konstante

k{ displaystyle k}

, die Partitionsfunktion

Z.N.(K.≡βJ.,L.≡βJ.∗)=∑{σ}}exp⁡(K.∑⟨ichj⟩H.σichσj+L.∑⟨ichj⟩V.σichσj).{ displaystyle Z_ {N} (K äquiv beta J, L äquiv beta J ^ {*}) = sum _ { { sigma }} exp left (K sum _ { langle ij rangle _ {H}} sigma _ {i} sigma _ {j} + L sum _ { langle ij rangle _ {V}} sigma _ {i} sigma _ {j} right ).}

Kritische Temperatur[edit]

Die kritische Temperatur

T.c{ displaystyle T_ {c}}

kann aus der Kramers-Wannier-Dualitätsbeziehung erhalten werden. Bezeichnet die freie Energie pro Standort als

F.(K.,L.){ displaystyle F (K, L)}

, hat man:

βF.(K.∗,L.∗)=βF.(K.,L.)+12Log⁡[sinh⁡(2K)sinh⁡(2L)]{ displaystyle beta F left (K ^ {*}, L ^ {*} right) = beta F left (K, L right) + { frac {1} {2}} log links[sinh left(2Kright)sinh left(2Lright)right]}}

wo

sinh⁡(2K.∗)sinh⁡(2L.)=1{ displaystyle sinh left (2K ^ {*} right) sinh left (2L right) = 1}

sinh⁡(2L.∗)sinh⁡(2K.)=1{ displaystyle sinh left (2L ^ {*} right) sinh left (2K right) = 1}

Unter der Annahme, dass es nur eine kritische Linie in der (K, L) -Ebene gibt, impliziert die Dualitätsbeziehung, dass dies gegeben ist durch:

sinh⁡(2K.)sinh⁡(2L.)=1{ displaystyle sinh left (2K right) sinh left (2L right) = 1}

Für den isotropen Fall

J.=J.∗{ displaystyle J = J ^ {*}}

findet man die berühmte Beziehung für die kritische Temperatur

T.c{ displaystyle T_ {c}}

kT.cJ.=2ln⁡(1+2)≈2.26918531421{ displaystyle { frac {kT_ {c}} {J}} = { frac {2} { ln (1 + { sqrt {2}})}} ca. 2.26918531421}

Doppelgitter[edit]

Betrachten Sie eine Konfiguration von Spins

{σ}}{ displaystyle { sigma }}

auf dem quadratischen Gitter

Λ{ displaystyle Lambda}

. Lassen r und s bezeichnen die Anzahl der ungleichen Nachbarn in vertikaler bzw. horizontaler Richtung. Dann der Summand in

Z.N.{ displaystyle Z_ {N}}

korrespondierend zu

{σ}}{ displaystyle { sigma }}

ist gegeben durch

eK.(N.– –2s)+L.(N.– –2r){ displaystyle e ^ {K (N-2s) + L (N-2r)}}

Konstruieren Sie ein Doppelgitter

ΛD.{ displaystyle Lambda _ {D}}

wie im Diagramm dargestellt. Für jede Konfiguration

{σ}}{ displaystyle { sigma }}

wird dem Gitter ein Polygon zugeordnet, indem eine Linie am Rand des Doppelgitters gezogen wird, wenn sich die durch die Kante getrennten Drehungen nicht unterscheiden. Da durch Überqueren eines Scheitelpunktes von

Λ{ displaystyle Lambda}

Die Drehungen müssen sich gerade ändern, damit man mit der gleichen Ladung am Startpunkt ankommt. Jeder Scheitelpunkt des Doppelgitters ist mit einer geraden Anzahl von Linien in der Konfiguration verbunden, wodurch ein Polygon definiert wird.

Spin-Konfiguration auf einem Doppelgitter

Dies reduziert die Partitionsfunktion auf

Z.N.(K.,L.)=2eN.(K.+L.)∑P.⊂ΛD.e– –2L.r– –2K.s{ displaystyle Z_ {N} (K, L) = 2e ^ {N (K + L)} sum _ {P subset Lambda _ {D}} e ^ {- 2Lr-2Ks}}

Summieren über alle Polygone im Doppelgitter, wo r und s sind die Anzahl der horizontalen und vertikalen Linien im Polygon, wobei sich der Faktor 2 aus der Inversion der Spin-Konfiguration ergibt.

Niedertemperatur-Expansion[edit]

Bei niedrigen Temperaturen K, L. nähere dich der Unendlichkeit, so dass als

T.→0, e– –K.,e– –L.→0{ displaystyle T rightarrow 0, e ^ {- K}, e ^ {- L} rightarrow 0}

, damit

Z.N.(K.,L.)=2eN.(K.+L.)∑P.⊂ΛD.e– –2L.r– –2K.s{ displaystyle Z_ {N} (K, L) = 2e ^ {N (K + L)} sum _ {P subset Lambda _ {D}} e ^ {- 2Lr-2Ks}}

definiert eine Niedertemperaturausdehnung von

Z.N.(K.,L.){ displaystyle Z_ {N} (K, L)}

.

Hochtemperaturausdehnung[edit]

Schon seit

σσ‘=±1{ displaystyle sigma sigma ‘= pm 1}

hat man

eK.σσ‘=cosh⁡K.+sinh⁡K.(σσ‘)=cosh⁡K.(1+tanh⁡K.(σσ‘)).{ displaystyle e ^ {K sigma sigma ‘} = cosh K + sinh K ( sigma sigma’) = cosh K (1+ tanh K ( sigma sigma ‘)).}

Deshalb

Z.N.(K.,L.)=(cosh⁡K.cosh⁡L.)N.∑{σ}}∏⟨ichj⟩H.(1+vσichσj)∏⟨ichj⟩V.(1+wσichσj){ displaystyle Z_ {N} (K, L) = ( cosh K cosh L) ^ {N} sum _ { { sigma }} prod _ { langle ij rangle _ {H}} (1 + v sigma _ {i} sigma _ {j}) prod _ { langle ij rangle _ {V}} (1 + w sigma _ {i} sigma _ {j})}

wo

v=tanh⁡K.{ displaystyle v = tanh K}

und

w=tanh⁡L.{ displaystyle w = tanh L}

. Weil dort sind N. horizontale und vertikale Kanten gibt es insgesamt

22N.{ displaystyle 2 ^ {2N}}

Begriffe in der Erweiterung. Jeder Term entspricht einer Konfiguration von Linien des Gitters, indem eine Verbindungslinie zugeordnet wird ich und j wenn der Begriff

vσichσj{ displaystyle v sigma _ {i} sigma _ {j}}

(oder

wσichσj){ displaystyle w sigma _ {i} sigma _ {j})}

wird im Produkt gewählt. Summieren über die Konfigurationen mit

∑σich=±1σichn={0zum n seltsam2zum n sogar{ displaystyle sum _ { sigma _ {i} = pm 1} sigma _ {i} ^ {n} = { begin {case} 0 & { mbox {for}} n { mbox {odd} } \ 2 & { mbox {für}} n { mbox {gerade}} end {Fälle}}}

zeigt, dass nur Konfigurationen mit einer geraden Anzahl von Linien an jedem Scheitelpunkt (Polygone) zur Partitionsfunktion beitragen

Z.N.(K.,L.)=2N.(cosh⁡K.cosh⁡L.)N.∑P.⊂Λvrws{ displaystyle Z_ {N} (K, L) = 2 ^ {N} ( cosh K cosh L) ^ {N} sum _ {P subset Lambda} v ^ {r} w ^ {s} }}

wobei die Summe über allen Polygonen im Gitter liegt. Seit Tanh K., tanh L.

→0{ displaystyle rightarrow 0}

wie

T.→∞{ displaystyle T rightarrow infty}

Dies ergibt die Hochtemperaturausdehnung von

Z.N.(K.,L.){ displaystyle Z_ {N} (K, L)}

.

Die beiden Erweiterungen können mithilfe der Kramers-Wannier-Dualität in Beziehung gesetzt werden.

Genaue Lösung[edit]

Die freie Energie pro Standort im Grenzbereich

N.→∞{ displaystyle N to infty}

wird wie folgt angegeben. Definieren Sie den Parameter

k{ displaystyle k}

wie

k=1sinh⁡(2K.)sinh⁡(2L.){ displaystyle k = { frac {1} { sinh left (2K right) sinh left (2L right)}}}

Die Helmholtz-freie Energie pro Standort

F.{ displaystyle F}

kann ausgedrückt werden als

– –βF.=Log⁡(2)2+12π∫0πLog⁡[cosh⁡(2K)cosh⁡(2L)+1k1+k2−2kcos⁡(2θ)]dθ{ displaystyle – beta F = { frac { log (2)} {2}} + { frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ { pi} log left[cosh left(2Kright)cosh left(2Lright)+{frac {1}{k}}{sqrt {1+k^{2}-2kcos(2theta )}}right]d theta}

Für den isotropen Fall

J.=J.∗{ displaystyle J = J ^ {*}}

Aus dem obigen Ausdruck ergibt sich für die innere Energie pro Stelle:

U.=– –J.coth⁡(2βJ.)[1+2π(2tanh2⁡(2βJ)−1)∫0π/211−4k(1+k)−2sin2⁡(θ)dθ]{ displaystyle U = -J coth (2 beta J) left[1+{frac {2}{pi }}(2tanh ^{2}(2beta J)-1)int _{0}^{pi /2}{frac {1}{sqrt {1-4k(1+k)^{-2}sin ^{2}(theta )}}}dtheta right]}}

und die spontane Magnetisierung ist z

T.<T.c{ displaystyle T.

,

M.=[1−sinh−4⁡(2βJ)]1/.8{ displaystyle M = left[1-sinh ^{-4}(2beta J)right]^ {1/8}}

Verweise[edit]