Quadratisches Gitter Ising-Modell – Wikipedia
In der statistischen Mechanik ist die zweidimensionales quadratisches Gitter Ising-Modell ist ein einfaches Gittermodell für wechselwirkende Magnetspins. Das Modell zeichnet sich durch nichttriviale Wechselwirkungen aus, verfügt jedoch über eine analytische Lösung. Das Modell wurde von Lars Onsager für den Sonderfall des externen Magnetfeldes gelöst H. = 0. (Onsager (1944)) Eine analytische Lösung für den allgemeinen Fall für
muss noch gefunden werden.
Partitionsfunktion definieren[edit]
Betrachten Sie ein 2D-Ising-Modell auf einem quadratischen Gitter
mit N. Standorte und periodische Randbedingungen sowohl in horizontaler als auch in vertikaler Richtung, wodurch die Topologie des Modells effektiv auf einen Torus reduziert wird. Im Allgemeinen ist die horizontale Kopplung
die vertikale
. Mit
und absolute Temperatur
und Boltzmanns Konstante
, die Partitionsfunktion
Kritische Temperatur[edit]
Die kritische Temperatur
kann aus der Kramers-Wannier-Dualitätsbeziehung erhalten werden. Bezeichnet die freie Energie pro Standort als
, hat man:
wo
Unter der Annahme, dass es nur eine kritische Linie in der (K, L) -Ebene gibt, impliziert die Dualitätsbeziehung, dass dies gegeben ist durch:
Für den isotropen Fall
findet man die berühmte Beziehung für die kritische Temperatur
Doppelgitter[edit]
Betrachten Sie eine Konfiguration von Spins
auf dem quadratischen Gitter
. Lassen r und s bezeichnen die Anzahl der ungleichen Nachbarn in vertikaler bzw. horizontaler Richtung. Dann der Summand in
korrespondierend zu
ist gegeben durch
Konstruieren Sie ein Doppelgitter
wie im Diagramm dargestellt. Für jede Konfiguration
wird dem Gitter ein Polygon zugeordnet, indem eine Linie am Rand des Doppelgitters gezogen wird, wenn sich die durch die Kante getrennten Drehungen nicht unterscheiden. Da durch Überqueren eines Scheitelpunktes von
Die Drehungen müssen sich gerade ändern, damit man mit der gleichen Ladung am Startpunkt ankommt. Jeder Scheitelpunkt des Doppelgitters ist mit einer geraden Anzahl von Linien in der Konfiguration verbunden, wodurch ein Polygon definiert wird.
Dies reduziert die Partitionsfunktion auf
Summieren über alle Polygone im Doppelgitter, wo r und s sind die Anzahl der horizontalen und vertikalen Linien im Polygon, wobei sich der Faktor 2 aus der Inversion der Spin-Konfiguration ergibt.
Niedertemperatur-Expansion[edit]
Bei niedrigen Temperaturen K, L. nähere dich der Unendlichkeit, so dass als
, damit
definiert eine Niedertemperaturausdehnung von
.
Hochtemperaturausdehnung[edit]
Schon seit
hat man
Deshalb
wo
und
. Weil dort sind N. horizontale und vertikale Kanten gibt es insgesamt
Begriffe in der Erweiterung. Jeder Term entspricht einer Konfiguration von Linien des Gitters, indem eine Verbindungslinie zugeordnet wird ich und j wenn der Begriff
(oder
wird im Produkt gewählt. Summieren über die Konfigurationen mit
zeigt, dass nur Konfigurationen mit einer geraden Anzahl von Linien an jedem Scheitelpunkt (Polygone) zur Partitionsfunktion beitragen
wobei die Summe über allen Polygonen im Gitter liegt. Seit Tanh K., tanh L.
wie
Dies ergibt die Hochtemperaturausdehnung von
.
Die beiden Erweiterungen können mithilfe der Kramers-Wannier-Dualität in Beziehung gesetzt werden.
Genaue Lösung[edit]
Die freie Energie pro Standort im Grenzbereich
wird wie folgt angegeben. Definieren Sie den Parameter
wie
Die Helmholtz-freie Energie pro Standort
kann ausgedrückt werden als
Für den isotropen Fall
Aus dem obigen Ausdruck ergibt sich für die innere Energie pro Stelle:
und die spontane Magnetisierung ist z
,
Verweise[edit]
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- Onsager, Lars (1949), “Diskussion”, Nuovo Cimento Supplement, 6: 261
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