Vielfalt (universelle Algebra) – Wikipedia

In der universellen Algebra a Vielzahl von Algebren oder Gleichungsklasse ist die Klasse aller algebraischen Strukturen einer bestimmten Signatur, die einen bestimmten Satz von Identitäten erfüllt. Zum Beispiel bilden die Gruppen eine Vielzahl von Algebren, ebenso wie die abelschen Gruppen, die Ringe, die Monoide usw. Nach dem Satz von Birkhoff ist eine Klasse von algebraischen Strukturen derselben Signatur genau dann eine Vielzahl, wenn sie unter der geschlossen wird Aufnahme von homomorphen Bildern, Subalgebren und (direkten) Produkten. Im Kontext der Kategorietheorie bildet eine Vielzahl von Algebren zusammen mit ihren Homomorphismen eine Kategorie; diese werden normalerweise genannt endliche algebraische Kategorien.

EIN Kovarianz ist die Klasse aller kohlegebraischen Strukturen einer bestimmten Signatur.

Terminologie[edit]

Eine Vielzahl von Algebren sollte nicht mit einer algebraischen Variante verwechselt werden, dh eine Reihe von Lösungen für ein System von Polynomgleichungen. Sie sind formal sehr unterschiedlich und ihre Theorien haben wenig gemeinsam.

Der Begriff “Vielfalt von Algebren” bezieht sich auf Algebren im allgemeinen Sinne der universellen Algebra; Es gibt auch einen spezifischeren Sinn für Algebra, nämlich als Algebra über einem Feld, dh einen Vektorraum, der mit einer bilinearen Multiplikation ausgestattet ist.

Definition[edit]

EIN Unterschrift (in diesem Zusammenhang) ist eine Menge, deren Elemente aufgerufen werden Operationen, denen jeweils eine natürliche Zahl (0, 1, 2, …) zugewiesen ist, die als its bezeichnet wird Arität. Unterschrift gegeben

σ{ displaystyle sigma}

und ein Set

V.{ displaystyle V}

, deren Elemente genannt werden Variablen, ein Wort ist ein Baum mit endlichen planaren Wurzeln, in dem jeder Knoten entweder durch eine Variable oder eine Operation gekennzeichnet ist, so dass jeder durch eine Variable gekennzeichnete Knoten keine Verzweigungen von der Wurzel entfernt hat und jeder Knoten durch eine Operation gekennzeichnet ist

Ö{ displaystyle o}

hat so viele Äste von der Wurzel entfernt wie die Arität von

Ö{ displaystyle o}

. Ein Gleichstellungsrecht ist ein Paar solcher Wörter; Wir schreiben das Axiom, das aus den Wörtern besteht

v{ displaystyle v}

und

w{ displaystyle w}

wie

v=w{ displaystyle v = w}

.

EIN Theorie ist eine Signatur, eine Reihe von Variablen und eine Reihe von Gleichungsgesetzen. Jede Theorie gibt eine Vielzahl von Algebren wie folgt an. Gegeben eine Theorie

T.{ displaystyle T}

, ein Algebra von

T.{ displaystyle T}

besteht aus einem Satz

EIN{ displaystyle A}

zusammen mit für jede Operation

Ö{ displaystyle o}

von

T.{ displaystyle T}

mit Arität

n{ displaystyle n}

, eine Funktion

ÖEIN::EINn→EIN{ displaystyle o_ {A} Doppelpunkt A ^ {n} bis A}

so dass für jedes Axiom

v=w{ displaystyle v = w}

und jede Zuordnung von Elementen von

EIN{ displaystyle A}

Für die Variablen in diesem Axiom gilt die Gleichung, die durch Anwenden der Operationen auf die Elemente von gegeben ist

EIN{ displaystyle A}

wie durch die Bäume definiert, die definieren

v{ displaystyle v}

und

w{ displaystyle w}

. Wir nennen die Klasse der Algebren einer gegebenen Theorie

T.{ displaystyle T}

ein Vielzahl von Algebren.

Letztendlich wichtiger als diese Klasse von Algebren ist jedoch die Kategorie der Algebren und Homomorphismen zwischen ihnen. Gegeben zwei Algebren einer Theorie

T.{ displaystyle T}

, sagen

EIN{ displaystyle A}

und

B.{ displaystyle B}

, ein Homomorphismus ist eine Funktion

f::EIN→B.{ displaystyle f Doppelpunkt A bis B}

so dass

f((ÖEIN((ein1,…,einn))=ÖB.((f((ein1),…,f((einn)){ displaystyle f (o_ {A} (a_ {1}, dots, a_ {n})) = o_ {B} (f (a_ {1}), dots, f (a_ {n}))}

für jede Operation

Ö{ displaystyle o}

der Arität

n{ displaystyle n}

. Jede Theorie gibt eine Kategorie an, in der die Objekte Algebren dieser Theorie und die Morphismen Homomorphismen sind.

Beispiele[edit]

Die Klasse aller Halbgruppen bildet eine Vielzahl von Algebren der Signatur (2), was bedeutet, dass eine Halbgruppe eine einzige binäre Operation hat. Eine ausreichend definierende Gleichung ist das Assoziativgesetz:

x((yz)=((xy)z.{ displaystyle x (yz) = (xy) z.}

Die Klasse von Gruppen bildet eine Vielzahl von Algebren der Signatur (2,0,1), wobei die drei Operationen jeweils sind Multiplikation (binär), Identität (nullary, eine Konstante) und Inversion (einstellig). Die bekannten Axiome von Assoziativität, Identität und Umkehrung bilden einen geeigneten Satz von Identitäten:

x((yz)=((xy)z{ displaystyle x (yz) = (xy) z}

1x=x1=x{ displaystyle 1x = x1 = x}

xx– –1=x– –1x=1.{ displaystyle xx ^ {- 1} = x ^ {- 1} x = 1.}

Die Klasse der Ringe bildet auch eine Vielzahl von Algebren. Die Signatur hier ist (2,2,0,0,1) (zwei binäre Operationen, zwei Konstanten und eine unäre Operation).

Wenn wir einen bestimmten Ring reparieren R.können wir die Klasse der Linken betrachten R-Module. Um die Skalarmultiplikation mit Elementen aus auszudrücken R.Wir brauchen eine unäre Operation für jedes Element von R. Wenn der Ring unendlich ist, haben wir somit unendlich viele Operationen, was durch die Definition einer algebraischen Struktur in der universellen Algebra erlaubt ist. Wir werden dann auch unendlich viele Identitäten benötigen, um die Modulaxiome auszudrücken, was durch die Definition einer Vielzahl von Algebren erlaubt ist. Also die Linke R.-Module bilden eine Vielzahl von Algebren.

Die Felder tun es nicht bilden eine Vielzahl von Algebren; Die Anforderung, dass alle Nicht-Null-Elemente invertierbar sein müssen, kann nicht als universell erfüllte Identität ausgedrückt werden.^{[citation needed]}

Die stornierenden Halbgruppen bilden auch keine Vielzahl von Algebren, da die Stornierungseigenschaft keine Gleichung ist, sondern eine Implikation, die keinem Satz von Gleichungen entspricht. Sie bilden jedoch eine Quasivarität, da die Implikation, die die Aufhebungseigenschaft definiert, ein Beispiel für eine Quasi-Identität ist.

Satz von Birkhoff[edit]

Bei einer Klasse von algebraischen Strukturen derselben Signatur können wir die Begriffe Homomorphismus, Subalgebra und Produkt definieren. Garrett Birkhoff hat bewiesen, dass eine Klasse algebraischer Strukturen derselben Signatur genau dann eine Vielfalt ist, wenn sie unter der Aufnahme homomorpher Bilder, Subalgebren und beliebiger Produkte geschlossen wird.^[1] Dies ist ein Ergebnis von grundlegender Bedeutung für die universelle Algebra und bekannt als Satz von Birkhoff oder als die HSP-Theorem. H., S., und P. stehen jeweils für die Operationen Homomorphismus, Subalgebra und Produkt.

Die Klasse von Algebren, die einige Identitäten erfüllen, wird im Rahmen der HSP-Operationen geschlossen. Das Gegenteil zu beweisen – Klassen von Algebren, die im Rahmen der HSP-Operationen geschlossen werden, müssen gleichwertig sein – ist schwieriger.

Mit dem Satz von Birkhoff können wir beispielsweise die oben gemachte Behauptung überprüfen, dass die Feldaxiome nicht durch einen möglichen Satz von Identitäten ausgedrückt werden können: Das Produkt von Feldern ist kein Feld, daher bilden Felder keine Sorte.

Subvarietäten[edit]

EIN Subvariety einer Vielzahl von Algebren V. ist eine Unterklasse von V. das hat die gleiche signatur wie V. und ist selbst eine Sorte, dh wird durch eine Reihe von Identitäten definiert.

Beachten Sie, dass, obwohl jede Gruppe zu einer Halbgruppe wird, wenn die Identität als Konstante weggelassen wird (und / oder die inverse Operation weggelassen wird), die Klasse von Gruppen dies tut nicht bilden eine Untervariante der Vielfalt der Halbgruppen, da die Signaturen unterschiedlich sind. In ähnlicher Weise ist die Klasse von Halbgruppen, die Gruppen sind, keine Untervariante der Vielfalt von Halbgruppen. Die Klasse der Monoide, die Gruppen sind, enthält

⟨Z.,+⟩{ displaystyle langle mathbb {Z}, + rangle}

und enthält nicht seine Subalgebra (genauer Submonoid)

⟨N.,+⟩{ displaystyle langle mathbb {N}, + rangle}

.

Die Klasse der abelschen Gruppen ist jedoch eine Teilvariante der Gruppenvielfalt, da sie aus den befriedigenden Gruppen besteht

xy=yx,{ displaystyle xy = yx,}

ohne Änderung der Unterschrift. Die endlich erzeugten abelschen Gruppen bilden keine Subvarietät, da sie nach Birkhoffs Theorem keine Varietät bilden, da ein beliebiges Produkt endlich erzeugter abelscher Gruppen nicht endlich erzeugt wird.

Eine Vielzahl anzeigen V. und seine Homomorphismen als Kategorie, als Subvarietät U. von V. ist eine vollständige Unterkategorie von V., was bedeutet, dass für alle Objekte ein, b im U., die Homomorphismen aus ein zu b im U. sind genau die von ein zu b im V..

Freie Objekte[edit]

Annehmen V. ist eine nicht triviale Variante von Algebren, dh V. enthält Algebren mit mehr als einem Element. Das kann man für jeden Satz zeigen S., die Vielfalt V. enthält ein freie Algebra F._S. auf S.. Dies bedeutet, dass es eine injektive Set-Map gibt ich :: S. → F._S. Dies erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: bei gegebener Algebra EIN im V. und jede Karte k :: S. → EINgibt es eine einzigartige V.-Homomorphismus f :: F._S. → EIN so dass

f∘ich=k{ displaystyle f circ i = k}

.

Dies verallgemeinert die Begriffe freie Gruppe, freie abelsche Gruppe, freie Algebra, freies Modul usw. Dies hat zur Folge, dass jede Algebra in einer Sorte ein homomorphes Bild einer freien Algebra ist.

Kategorietheorie[edit]

Wenn

V.{ displaystyle V}

ist eine endliche algebraische Kategorie (dh die Kategorie einer Vielzahl von Algebren mit Homomorphismen als Morphismen) und dann der vergessliche Funktor

G::V.→S.et{ displaystyle G Doppelpunkt V bis mathbf {Set}}

hat einen linken Adjunkt

F.::S.et→V.{ displaystyle F Doppelpunkt mathbf {Setze} auf V}

nämlich der Funktor, der jedem Satz die freie Algebra auf diesem Satz zuweist. Diese Ergänzung ist streng monadisch, in dem die Kategorie

V.{ displaystyle V}

ist isomorph zur Kategorie Eilenberg-Moore

S.etT.{ displaystyle mathbf {Set} ^ {T}}

für die Monade

T.=GF.{ displaystyle T = GF}

.

Die Monade

T.::S.et→S.et{ displaystyle T Doppelpunkt mathbf {Set} to mathbf {Set}}

ist somit ausreichend, um die endliche algebraische Kategorie wiederherzustellen, die die folgende Verallgemeinerung ermöglicht. Man sagt, eine Kategorie ist eine algebraische Kategorie wenn es monadisch vorbei ist

S.et{ displaystyle mathbf {Set}}

. Dies ist ein allgemeinerer Begriff als “enditäre algebraische Kategorie”, da er Kategorien wie z CABA (vollständige atomare Boolesche Algebren) und CSLat (vollständige Halbgitter), deren Signaturen unendliche Operationen umfassen. In diesen beiden Fällen ist die Signatur groß, was bedeutet, dass sie keine Menge, sondern eine richtige Klasse bildet, da ihre Operationen von unbegrenzter Bedeutung sind. Die algebraische Kategorie der Sigma-Algebren hat ebenfalls unendliche Operationen, aber ihre Arität ist zählbar, woher ihre Signatur klein ist (bildet eine Menge).

Jede endliche algebraische Kategorie ist eine lokal darstellbare Kategorie.

Pseudovarianz endlicher Algebren[edit]

Da Sorten unter beliebigen direkten Produkten geschlossen werden, enthalten alle nicht trivialen Sorten unendliche Algebren. Es wurden Versuche unternommen, ein endliches Analogon der Varieté-Theorie zu entwickeln. Dies führte zB zum Begriff der Vielfalt endlicher Halbgruppen. Diese Art von Sorte verwendet nur Endprodukte. Es werden jedoch allgemeinere Identitäten verwendet.

EIN Pseudovariety wird normalerweise als eine Klasse von Algebren einer bestimmten Signatur definiert, die unter der Aufnahme von homomorphen Bildern, Subalgebren und endlichen Direktprodukten geschlossen wird. Nicht jeder Autor geht davon aus, dass alle Algebren einer Pseudovarianz endlich sind; wenn dies der Fall ist, spricht man manchmal von a Vielzahl von endlichen Algebren. Für Pseudovarianten gibt es kein allgemeines Gegenstück zum Satz von Birkhoff, aber in vielen Fällen ermöglicht die Einführung eines komplexeren Gleichungsbegriffs die Ableitung ähnlicher Ergebnisse.^[2]

Pseudovarianten sind von besonderer Bedeutung für das Studium endlicher Halbgruppen und damit für die formale Sprachtheorie. Eilenbergs Theorem, oft als das bezeichnet Varietésatzbeschreibt eine natürliche Entsprechung zwischen Sorten regulärer Sprachen und Pseudovarianten endlicher Halbgruppen.

Siehe auch[edit]

Externe Links[edit]

Zwei Monographien kostenlos online verfügbar: