Bereich einer Funktion – Wikipedia

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Mathematisches Konzept

Eine Funktion F von x zu Ja. Das rote Oval x ist die Domäne von F.

Graph der reellwertigen Quadratwurzelfunktion, F(x) = √x, deren Definitionsbereich aus allen nichtnegativen reellen Zahlen besteht

In der Mathematik ist die Domain oder Satz der Abfahrt einer Funktion ist die Menge, in die die gesamte Eingabe der Funktion beschränkt ist.[1] Es ist das Set x in der Notation F: x → Ja, und wird alternativ als . bezeichnet

dom⁡(F){displaystyle operatorname {dom} (f)}

. Da eine (Gesamt-)Funktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich definiert ist, fällt ihr Definitionsbereich mit ihrem Definitionsbereich zusammen.[2] Diese Koinzidenz gilt jedoch nicht mehr für eine Teilfunktion, da der Definitionsbereich einer Teilfunktion eine echte Teilmenge des Bereichs sein kann.

Eine Domäne ist Teil einer Funktion F wenn F ist als Tripel definiert (x, Ja, g), wo x heißt der Domain von F, Ja es ist codomain, und g es ist Graph.[3]

Eine Domäne ist nicht Teil einer Funktion F wenn F ist nur als Graph definiert.[4][5] Zum Beispiel ist es in der Mengenlehre manchmal praktisch, den Definitionsbereich einer Funktion als echte Klasse zuzulassen x, in diesem Fall gibt es formal kein Tripel (x, Ja, g). Mit einer solchen Definition haben Funktionen keine Domäne, obwohl einige Autoren sie nach der Einführung einer Funktion in der Form immer noch informell verwenden F: x → Ja.[6]

Der Kosinusbereich ist beispielsweise die Menge aller reellen Zahlen, während der Bereich der Quadratwurzel nur aus Zahlen größer oder gleich 0 besteht (in beiden Fällen werden komplexe Zahlen ignoriert).

Wenn der Definitionsbereich einer Funktion eine Teilmenge der reellen Zahlen ist und die Funktion in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt wird, dann wird der Definitionsbereich auf der x-Achse.

Beispiele[edit]

Eine wohldefinierte Funktion muss jedes Element ihrer Domäne auf ein Element ihrer Co-Domäne abbilden. Zum Beispiel die Funktion

F{displaystyle f}

definiert von

hat keinen Wert für

F(0){displaystyle f(0)}

. Also die Menge aller reellen Zahlen,

R{displaystyle mathbb{R}}

, kann nicht seine Domäne sein. In solchen Fällen ist die Funktion entweder definiert auf

R∖{0}{displaystyle mathbb{R}setminus{0}}

, oder die “Lücke wird geschlossen” durch Definieren

F(0){displaystyle f(0)}

ausdrücklich. Zum Beispiel. wenn man die Definition von erweitert

F{displaystyle f}

zur stückweisen Funktion

dann

F{displaystyle f}

ist für alle reellen Zahlen definiert und sein Definitionsbereich ist

R{displaystyle mathbb{R}}

.

Jede Funktion kann auf eine Teilmenge ihrer Domäne beschränkt werden. Die Einschränkung von

g:EIN→B{displaystyle gcolon Ato B}

zu

S{displaystyle S}

, wo

S⊆EIN{displaystyle Ssubseteq A}

, wird geschrieben als

g|S:S→B{displaystyle left.gright|_{S}colon Sto B}

.

Natürliche Domäne[edit]

Die natürliche Domäne einer Funktion (manchmal abgekürzt als Domäne) ist die maximale Menge von Werten, für die die Funktion definiert ist, typischerweise innerhalb der reellen Zahlen, aber manchmal auch unter den ganzen oder komplexen Zahlen. Zum Beispiel ist der natürliche Bereich der Quadratwurzel die nicht-negativen reellen Zahlen, wenn sie als reelle Zahlenfunktion betrachtet werden. Bei der Betrachtung eines natürlichen Bereichs wird die Menge der möglichen Werte der Funktion typischerweise als ihr Bereich bezeichnet.[7] Auch in der komplexen Analysis, insbesondere bei mehreren komplexen Variablen, wenn eine Funktion F ist holomorph auf dem Gebiet

D⊂Cn{displaystyle Dsubset mathbb{C} ^{n}}

und kann sich nicht direkt mit der Domain außerhalb verbinden D, einschließlich des Punktes der Domänengrenze

∂D{displaystyle partial D}

, mit anderen Worten, eine solche Domäne D ist ein natürliche Domäne im Sinne der analytischen Fortsetzung ist die Domäne D heißt das Gebiet der Holomorphie von F und der Rand heißt natürlicher Rand von F.

Kategorientheorie[edit]

Die Kategorientheorie beschäftigt sich mit Morphismen statt mit Funktionen. Morphismen sind Pfeile von einem Objekt zum anderen. Die Domäne jedes Morphismus ist das Objekt, von dem ein Pfeil ausgeht. In diesem Zusammenhang müssen viele mengentheoretische Vorstellungen von Domänen aufgegeben – oder zumindest abstrakter formuliert werden. Zum Beispiel muss die Vorstellung, einen Morphismus auf eine Teilmenge seines Bereichs zu beschränken, modifiziert werden. Weitere Informationen finden Sie unter Unterobjekt.

Andere Verwendungen[edit]

Das Wort “Domäne” wird in einigen Bereichen der Mathematik mit anderen verwandten Bedeutungen verwendet. In der Topologie ist eine Domäne eine verbundene offene Menge.[8] In der reellen und komplexen Analyse ist eine Domäne eine offene zusammenhängende Teilmenge eines reellen oder komplexen Vektorraums. Beim Studium partieller Differentialgleichungen ist ein Gebiet die offen zusammenhängende Teilmenge des euklidischen Raums

Rn{displaystyle mathbb{R} ^{n}}

wo ein Problem gestellt wird (dh wo die unbekannte(n) Funktion(en) definiert sind).

Weitere gängige Beispiele[edit]

Als Teilfunktion von den reellen Zahlen zu den reellen Zahlen ist die Funktion

x↦x{displaystyle xmapsto {sqrt {x}}}

hat Domain

x≥0{displaystyle xgeq 0}

. Definiert man jedoch die Quadratwurzel einer negativen Zahl x als komplexe Zahl z mit positivem Imaginärteil, so dass z2 = x, dann die Funktion

x↦x{displaystyle xmapsto {sqrt {x}}}

hat die gesamte reelle Linie als Domäne (aber jetzt mit einer größeren Co-Domäne). Der Bereich der trigonometrischen Funktion

bräunen⁡x=Sünde⁡xcos⁡x{displaystyle tan x={tfrac {sin x}{cos x}}}

ist die Menge aller (reellen oder komplexen) Zahlen, die nicht von der Form . sind

π2+kπ,k=0,±1,±2,…{displaystyle {tfrac {pi}{2}}+kpi ,k=0,pm 1,pm 2,ldots}

.

Siehe auch[edit]

  1. ^ Codd, Edgar Frank (Juni 1970). “Ein relationales Datenmodell für große gemeinsam genutzte Datenbanken” (PDF). Mitteilungen des ACM. 13 (6): 377–387. mach:10.1145/362384.362685. Abgerufen 2020-04-29.
  2. ^ Paley, Hiram; Weichsel, Paul M. (1966). Ein erster Kurs in abstrakter Algebra. New York: Holt, Rinehart und Winston. P. 16.
  3. ^ Bourbaki 1970, S. 76
  4. ^ Bourbaki 1970, S. 77
  5. ^ Forster 2003, S. 10–11
  6. ^ Eccles 1997, P. 91 (Zitat 1, Zitat 2); Mac Lane 1998, P. 8; Mac Lane, in Scott & Jech 1967, P. 232; Scharma 2004, P. 91; Stewart & Tall 1977, P. 89
  7. ^ Rosenbaum, Robert A.; Johnson, G. Philip (1984). Infinitesimalrechnung: Grundbegriffe und Anwendungen. Cambridge University Press. P. 60. ISBN 0-521-25012-9.
  8. ^ Weisstein, Eric W. “Domain”. mathworld.wolfram.com. Abgerufen 2020-08-28.

Verweise[edit]

  • Bourbaki, Nicolas (1970). Théorie des ensembles. Elemente der Mathematik. Springer. ISBN 9783540340348.


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