Oktaeder – Wikipedia

Polyeder mit 8 Gesichtern

Regelmäßiges Oktaeder
(Klicken Sie hier für rotierendes Modell)
Typ	Platonischer Körper
Shortcode	4<> 3z
Elemente	F = 8, E = 12 V = 6 (χ = 2)
Gesichter an den Seiten	8{3}
Conway-Notation	Ö bei
Schläfli-Symbole	{3,4}
	r{3,3} oder ${displaystyle {begin{Bmatrix}3\3end{Bmatrix}}}$
Gesichtskonfiguration	V4.4.4
Wythoff-Symbol	4 | 2 3
Coxeter-Diagramm
Symmetrie	Öh, BC3, [4,3], (*432)
Rotationsgruppe	Ö, [4,3]+, (432)
Verweise	U05, C17, W2
Eigenschaften	regelmäßig, konvex-Deltaeder
Diederwinkel	109,47122° = arccos(−1/3)
3.3.3.3 (Scheitelpunktfigur)	Würfel (Doppelpolyeder)
Netz

In der Geometrie ein Oktaeder (Plural: Oktaeder, Oktaeder) ist ein Polyeder mit acht Flächen, zwölf Kanten und sechs Scheitelpunkten. Der Begriff wird am häufigsten verwendet, um sich auf die regulär Oktaeder, ein platonischer Körper, der aus acht gleichseitigen Dreiecken besteht, von denen sich jeweils vier treffen Scheitel.

Ein reguläres Oktaeder ist das duale Polyeder eines Würfels. Es ist ein gleichgerichteter Tetraeder. Es ist eine quadratische Bipyramide in einer von drei orthogonalen Ausrichtungen. Es ist auch ein dreieckiges Antiprisma in einer von vier Ausrichtungen.

Ein Oktaeder ist der dreidimensionale Fall des allgemeineren Konzepts eines Kreuzpolytops.

Ein reguläres Oktaeder ist eine 3-Kugel im Manhattan (l₁) metrisch.

Regelmäßiges Oktaeder[edit]

Maße[edit]

Ist die Kantenlänge eines regulären Oktaeders ein, der Radius einer umschriebenen Kugel (eine, die das Oktaeder an allen Ecken berührt) ist

${displaystyle r_{u}={frac {sqrt {2}}{2}}aapprox 0.707cdot a}$

und der Radius einer eingeschriebenen Kugel (Tangente zu jeder der Flächen des Oktaeders) ist

${displaystyle r_{i}={frac {sqrt {6}}{6}}aapprox 0,408cdot a}$

während der mittlere Radius, der die Mitte jeder Kante berührt, ist

${displaystyle r_{m}={tfrac {1}{2}}a=0.5cdot a}$

Orthogonale Projektionen[edit]

Die Oktaeder hat vier spezielle orthogonale Projektionen, zentriert, auf einer Kante, einem Scheitelpunkt, einer Fläche und senkrecht zu einer Fläche. Die zweite und dritte entsprechen dem B₂ und ein₂Coxeter-Flugzeuge.

Orthogonale Projektionen

Zentriert von	Kante	Gesicht Normal	Scheitel	Gesicht
Bild
Projektiv Symmetrie	[2]	[2]	[4]	[6]

Kugelförmige Kacheln[edit]

Das Oktaeder kann auch als sphärische Kachelung dargestellt und über eine stereographische Projektion auf die Ebene projiziert werden. Diese Projektion ist konform und bewahrt Winkel, aber keine Flächen oder Längen. Gerade Linien auf der Kugel werden als Kreisbögen auf die Ebene projiziert.

Kartesischen Koordinaten[edit]

Ein Oktaeder mit Kantenlänge √2 kann mit seinem Mittelpunkt im Ursprung und seinen Scheitelpunkten auf den Koordinatenachsen platziert werden; die kartesischen Koordinaten der Ecken sind dann

(±1, 0, 0);

( 0, ±1, 0 );

( 0, 0, ±1 ).

In einem (n x–ja–z Kartesisches Koordinatensystem, das Oktaeder mit Mittelpunktskoordinaten (ein, B, C) und Radius R ist die Menge aller Punkte (x, ja, z) so dass

${displaystyle left|xaright|+left|ybright|+left|zcright|=r.}$

Fläche und Volumen[edit]

Die Fläche EIN und die Lautstärke V eines regelmäßigen Oktaeders der Kantenlänge ein sind:

${displaystyle A=2{sqrt {3}}a^{2}approx 3.464a^{2}}$

${displaystyle V={frac {1}{3}}{sqrt {2}}a^{3}approx 0.471a^{3}}$

Somit ist das Volumen viermal so groß wie das eines regulären Tetraeders mit gleicher Kantenlänge, während die Oberfläche doppelt so groß ist (weil wir 8 statt 4 Dreiecke haben).

Wenn ein Oktaeder so gedehnt wurde, dass es der Gleichung

${displaystyle left|{frac {x}{x_{m}}}right|+left|{frac {y}{y_{m}}}right|+left|{frac { z}{z_{m}}}right|=1,}$

die Formeln für Oberfläche und Volumen erweitern sich zu

${displaystyle A=4,x_{m},y_{m},z_{m}times {sqrt {{frac {1}{x_{m}^{2}}}+{ frac {1}{y_{m}^{2}}}+{frac {1}{z_{m}^{2}}}}}},}$

${displaystyle V={frac {4}{3}},x_{m},y_{m},z_{m}.}$

Zusätzlich ist der Trägheitstensor des gestreckten Oktaeders

${displaystyle I={begin{bmatrix}{frac {1}{10}}m(y_{m}^{2}+z_{m}^{2})&0&0\0&{frac {1 }{10}}m(x_{m}^{2}+z_{m}^{2})&0\0&0&{frac {1}{10}}m(x_{m}^{2}- y_{m}^{2})end{bmatrix}}.}$

Diese reduzieren sich auf die Gleichungen für das reguläre Oktaeder, wenn

${displaystyle x_{m}=y_{m}=z_{m}=a,{frac {sqrt {2}}{2}}.}$

Geometrische Beziehungen[edit]

Das Innere der Verbindung zweier dualer Tetraeder ist ein Oktaeder, und diese Verbindung, die Stella octangula genannt wird, ist ihre erste und einzige Stellation. Dementsprechend ist ein regelmäßiges Oktaeder das Ergebnis des Abschneidens von vier regelmäßigen Tetraedern der halben linearen Größe (dh der Gleichrichtung des Tetraeders). Die Eckpunkte des Oktaeders liegen in den Mittelpunkten der Kanten des Tetraeders, und in diesem Sinne verhält es sich zum Tetraeder genauso wie das Kuboktaeder und das Ikosidodekaeder zu den anderen platonischen Körpern. Man kann auch die Kanten eines Oktaeders im Verhältnis des goldenen Mittels teilen, um die Ecken eines Ikosaeders zu definieren. Dies geschieht, indem zuerst Vektoren entlang der Kanten des Oktaeders platziert werden, sodass jede Fläche durch einen Kreis begrenzt wird, und dann auf ähnliche Weise jede Kante entlang der Richtung ihres Vektors in den goldenen Mittelwert unterteilt wird. Es gibt fünf Oktaeder, die jedes gegebene Ikosaeder auf diese Weise definieren, und zusammen definieren sie a regelmäßige Verbindung.

Oktaeder und Tetraeder können abgewechselt werden, um eine Vertex-, Kanten- und Flächentesselation des Raums zu bilden, die von Buckminster Fuller Oktettfachwerk genannt wird. Dies ist die einzige derartige Kachelung, abgesehen von der regelmäßigen Tesselation von Würfeln, und ist eine der 28 konvexen einheitlichen Waben. Eine andere ist eine Tesselierung von Oktaedern und Kuboktaedern.

Das Oktaeder ist unter den platonischen Körpern einzigartig, da es eine gerade Anzahl von Flächen hat, die sich an jedem Scheitelpunkt treffen. Folglich ist es das einzige Mitglied dieser Gruppe, das Spiegelebenen besitzt, die durch keines der Gesichter gehen.

Unter Verwendung der Standardnomenklatur für Johnson-Festkörper würde ein Oktaeder als a . bezeichnet quadratische Bipyramide. Das Abschneiden von zwei gegenüberliegenden Scheitelpunkten führt zu einem quadratischen Bifrustum.

Das Oktaeder ist 4-fach verbunden, was bedeutet, dass die Entfernung von vier Eckpunkten erforderlich ist, um die verbleibenden Eckpunkte zu trennen. Es ist eines von nur vier 4-zusammenhängenden simplizialen gut bedeckten Polyedern, was bedeutet, dass alle maximalen unabhängigen Mengen seiner Knoten die gleiche Größe haben. Die anderen drei Polyeder mit dieser Eigenschaft sind die fünfeckige Dipyramide, das Stups-Disphenoid und ein unregelmäßiges Polyeder mit 12 Ecken und 20 Dreiecksflächen.^[1]

Das Oktaeder kann auch im Fall eines 3D-Superellipsoids erzeugt werden, wobei alle Werte auf 1 gesetzt sind.

Einheitliche Farbgebung und Symmetrie[edit]

Es gibt 3 einheitliche Farbgebungen des Oktaeders, benannt nach den dreieckigen Gesichtsfarben, die um jeden Scheitelpunkt verlaufen: 1212, 1112, 1111.

Die Symmetriegruppe des Oktaeders ist O_h, der Ordnung 48, die dreidimensionale hyperoktaedrische Gruppe. Zu den Untergruppen dieser Gruppe gehören D_3d (Ordnung 12), die Symmetriegruppe eines dreieckigen Antiprismas; D_4h (Ordnung 16), die Symmetriegruppe einer quadratischen Bipyramide; und T_D (24. Ordnung), die Symmetriegruppe eines rektifizierten Tetraeders. Diese Symmetrien können durch unterschiedliche Färbungen der Gesichter betont werden.

Name	Oktaeder	Rektifiziertes Tetraeder (Tetratetraeder)	Dreieckiges Antiprisma	Quadratische Bipyramide	Rhombische Fusil
Bild (Gesichtsfärbung)	(1111)	(1212)	(1112)	(1111)	(1111)
Coxeter-Diagramm		=
Schläfli-Symbol	{3,4}	r{3,3}	s{2,6} sr{2,3}	ft{2,4} { } + {4}	ftr{2,2} { } + { } + { }
Wythoff-Symbol	4 | 3 2	2 | 4 3	2 | 6 2 | 2 3 2
Symmetrie	Öh, [4,3], (*432)	TD, [3,3], (*332)	D3d, [2+,6], (2*3) D3, [2,3]+, (322)	D4h, [2,4], (*422)	D2h, [2,2], (*222)
Befehl	48	24	12 6	16	8

Netze[edit]

Das regelmäßige Oktaeder hat elf Netzanordnungen.

Dual[edit]

Das Oktaeder ist das duale Polyeder zum Würfel.

Wenn die Länge einer Kante des Oktaeders

${displaystyle =a}$

, dann die Länge einer Kante des dualen Würfels

${displaystyle ={sqrt {2}}a}$

.

Facettierung[edit]

Das einheitliche Tetrahemihexaeder ist eine tetraedrische Symmetriefacettierung des regulären Oktaeders, die Kanten- und Scheitelpunktanordnung teilt. Es hat vier der dreieckigen Flächen und 3 zentrale Quadrate.

Unregelmäßige Oktaeder[edit]

Die folgenden Polyeder sind kombinatorisch äquivalent zum regulären Polyeder. Sie alle haben sechs Scheitelpunkte, acht Dreiecksflächen und zwölf Kanten, die eins zu eins den Merkmalen eines regelmäßigen Oktaeders entsprechen.

• Dreieckige Antiprismen: Zwei Flächen sind gleichseitig, liegen auf parallelen Ebenen und haben eine gemeinsame Symmetrieachse. Die anderen sechs Dreiecke sind gleichschenklig.
• Tetragonale Bipyramiden, bei denen mindestens eines der äquatorialen Vierecke auf einer Ebene liegt. Das regelmäßige Oktaeder ist ein Sonderfall, bei dem alle drei Vierecke ebene Quadrate sind.
• Schönhardt-Polyeder, ein nicht-konvexes Polyeder, das ohne Einführung neuer Ecken nicht in Tetraeder unterteilt werden kann.
• Bricard-Oktaeder, ein nicht-konvexes, sich selbst kreuzendes flexibles Polyeder

Andere konvexe Oktaeder[edit]

Allgemeiner kann ein Oktaeder ein beliebiges Polyeder mit acht Flächen sein. Das reguläre Oktaeder hat 6 Ecken und 12 Kanten, das Minimum für ein Oktaeder; unregelmäßige Oktaeder können bis zu 12 Ecken und 18 Kanten haben.^[2]

Es gibt 257 topologisch unterschiedliche konvex Oktaeder, ausgenommen Spiegelbilder. Genauer gesagt gibt es 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 für Oktaeder mit jeweils 6 bis 12 Ecken.^[3][4] (Zwei Polyeder sind “topologisch verschieden”, wenn sie intrinsisch unterschiedliche Anordnungen von Flächen und Scheitelpunkten aufweisen, so dass es unmöglich ist, eines ineinander zu verzerren, indem man einfach die Kantenlängen oder die Winkel zwischen Kanten oder Flächen ändert.)

Einige bekanntere unregelmäßige Oktaeder umfassen die folgenden:

• Sechseckiges Prisma: Zwei Flächen sind parallele regelmäßige Sechsecke; sechs Quadrate verbinden entsprechende Paare von Sechskantkanten.
• Siebeneckige Pyramide: Eine Seite ist ein Siebeneck (normalerweise regelmäßig), und die restlichen sieben Seiten sind Dreiecke (normalerweise gleichschenklig). Es ist nicht möglich, dass alle dreieckigen Flächen gleichseitig sind.
• Abgeschnittenes Tetraeder: Die vier Seiten des Tetraeders werden abgeschnitten, um regelmäßige Sechsecke zu werden, und es gibt vier weitere gleichseitige Dreiecksflächen, bei denen jeder Tetraeder-Scheitelpunkt abgeschnitten wurde.
• Tetragonales Trapezoeder: Die acht Gesichter sind kongruente Drachen.
• Achteckiges Hosoeder: Entartet im euklidischen Raum, kann aber sphärisch realisiert werden.

Oktaeder in der physischen Welt[edit]

Oktaeder in der Natur[edit]

Oktaeder in Kunst und Kultur[edit]

• Vor allem in Rollenspielen wird dieser Körper als “d8” bezeichnet, einer der gebräuchlicheren polyedrischen Würfel.
• Wenn jede Kante eines Oktaeders durch einen 1-Ohm-Widerstand ersetzt wird, beträgt der Widerstand zwischen gegenüberliegenden Ecken 1/2 Ohm, und das zwischen benachbarten Scheitelpunkten 5/12 Ohm.^[5]
• Sechs Musiknoten können auf den Eckpunkten eines Oktaeders so angeordnet werden, dass jede Kante eine Konsonant-Dyade und jede Fläche einen Konsonanten-Dreiklang darstellt; siehe hexany.

Tetraederbinder[edit]

Ein Rahmenwerk aus sich wiederholenden Tetraedern und Oktaedern wurde in den 1950er Jahren von Buckminster Fuller erfunden, bekannt als Space-Frame, das allgemein als die stärkste Struktur für die Widerstandsfähigkeit von Auslegerspannungen angesehen wird.

Verwandte Polyeder[edit]

Ein reguläres Oktaeder kann durch Hinzufügen von 4 Tetraedern auf abwechselnden Flächen zu einem Tetraeder erweitert werden. Das Hinzufügen von Tetraedern zu allen 8 Flächen erzeugt das sternförmige Oktaeder.

Das Oktaeder gehört zu einer Familie von gleichförmigen Polyedern, die mit dem Würfel verwandt sind.

Einheitliche oktaedrische Polyeder
Symmetrie: [4,3], (*432)							[4,3]+ (432)	[1+,4,3] = [3,3] (*332)		[3+,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{31,1}	t{3,4} t{31,1}	{3,4} {31,1}	rr{4,3} S2{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h2{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{31,1}
		=	=	=				= oder	= oder	=
Duale zu einheitlichen Polyedern
V43	V3.82	V(3.4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V34.4	V33	V3.62	V35

Es ist auch eines der einfachsten Beispiele für einen Hypersimplex, ein Polytop, das durch bestimmte Schnittpunkte eines Hyperwürfels mit einer Hyperebene gebildet wird.

Das Oktaeder ist topologisch verwandt als Teil einer Folge regelmäßiger Polyeder mit Schläfli-Symbolen {3,n} und setzt sich in die hyperbolische Ebene fort.

Tetratetraeder[edit]

Das regelmäßige Oktaeder kann auch als a gleichgerichteter Tetraeder – und kann als a . bezeichnet werden Tetratetraeder. Dies kann durch ein 2-farbiges Gesichtsmodell gezeigt werden. Bei dieser Färbung hat das Oktaeder eine tetraedrische Symmetrie.

Vergleichen Sie diese Trunkierungssequenz zwischen einem Tetraeder und seinem Dual:

Familie gleichförmiger tetraedrischer Polyeder
Symmetrie: [3,3], (*332)							[3,3]+, (332)
{3,3}	t{3,3}	r{3,3}	t{3,3}	{3,3}	rr{3,3}	tr{3,3}	sr{3,3}
Duale zu einheitlichen Polyedern
V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Die obigen Formen können auch als Schnitte orthogonal zur langen Diagonale eines Tesseraktes realisiert werden. Wenn diese Diagonale vertikal mit einer Höhe von 1 ausgerichtet ist, dann liegen die ersten fünf darüber liegenden Schichten in den Höhen R, 3/8, 1/2, 5/8, und S, wo R ist eine beliebige Zahl im Bereich 0 R ≤ 1/4, und S ist eine beliebige Zahl im Bereich 3/4 ≤ S < 1.

Das Oktaeder als a Tetratetraeder existiert in einer Folge von Symmetrien von quasiregulären Polyedern und Kacheln mit Scheitelpunktkonfigurationen (3.n)², von der Kachelung der Kugel zur euklidischen Ebene und in die hyperbolische Ebene fortschreitend. Mit Orbifold-Notationssymmetrie von *n32 Alle diese Kacheln sind Wythoff-Konstruktionen innerhalb eines fundamentalen Symmetriebereichs, mit Generatorpunkten in der rechten Winkelecke des Bereichs.^[6][7]

Trigonales Antiprisma[edit]

Als trigonales Antiprisma ist das Oktaeder mit der hexagonalen Diedersymmetriefamilie verwandt.

Einheitliche hexagonale Dieder-Kugelpolyeder
Symmetrie: [6,2], (*622)							[6,2]+, (622)	[6,2+], (2*3)
{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{6,2}	tr{6,2}	sr{6,2}	s{2,6}
Duals zu Uniformen
V62	V122	V62	V4.4.6	V26	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Quadratische Bipyramide[edit]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Externe Links[edit]