Szenariooptimierung – Wikipedia

Die Szenarioansatz oder Ansatz zur Szenariooptimierung ist eine Technik zum Erhalten von Lösungen für robuste Optimierungs- und zufallsbeschränkte Optimierungsprobleme basierend auf einer Stichprobe der Einschränkungen. Es bezieht sich auch auf induktives Denken bei der Modellierung und Entscheidungsfindung. Die Technik existiert seit Jahrzehnten als heuristischer Ansatz und wurde in jüngerer Zeit systematisch theoretisch fundiert.

Bei der Optimierung werden Robustheitsmerkmale in Beschränkungen übersetzt, die durch die unsicheren Elemente des Problems parametrisiert werden. Bei der Szenariomethode^[1][2][3] eine Lösung erhält man, indem man nur eine zufällige Stichprobe von Beschränkungen betrachtet (heuristischer Ansatz) genannt Szenarien und eine fundierte Theorie sagt dem Benutzer, wie „robust“ die entsprechende Lösung im Verhältnis zu anderen Einschränkungen steht. Diese Theorie rechtfertigt die Verwendung von Randomisierung in robuster und zufallsbeschränkter Optimierung.

Datengetriebene Optimierung[edit]

Manchmal werden Szenarien als zufällige Extraktionen aus einem Modell erhalten. Häufiger sind Szenarien jedoch Beispiele für die unsicheren Randbedingungen, die als Beobachtungen gewonnen werden (data-driven science). Im letzteren Fall wird kein Unsicherheitsmodell benötigt, um Szenarien zu generieren. Bemerkenswert ist, dass auch in diesem Fall die Szenariooptimierung von einer vollwertigen Theorie begleitet wird, da alle Ergebnisse der Szenariooptimierung verteilungsfrei sind und daher auch dann angewendet werden können, wenn ein Unsicherheitsmodell nicht verfügbar ist.

Theoretische Ergebnisse[edit]

Für konvexe Nebenbedingungen (z. B. bei semidefiniten Problemen mit LMIs, Linear Matrix Inequalities) wurde eine tiefgreifende theoretische Analyse erstellt, die zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine neue Nebenbedingung nicht erfüllt wird, einer Verteilung folgt, die von einer Beta-Verteilung dominiert wird. Dieses Ergebnis ist knapp, da es für eine ganze Klasse konvexer Probleme exakt ist.^[3] Allgemeiner gesagt wurde gezeigt, dass verschiedene empirische Niveaus einer Dirichlet-Verteilung folgen, deren Randbereiche die Beta-Verteilung sind.^[4] Der Szenarioansatz mit

${displaystyle L_{1}}$

wurde auch an eine Regularisierung gedacht,^[5] und handliche Algorithmen mit reduzierter Rechenkomplexität stehen zur Verfügung.^[6] Erweiterungen auf komplexere, nicht konvexe Anordnungen sind immer noch Gegenstand aktiver Untersuchungen.

Entlang des Szenario-Ansatzes kann auch ein Risk-Return-Trade-off verfolgt werden.^[7][8] Darüber hinaus kann ein vollwertiges Verfahren verwendet werden, um diesen Ansatz auf die Steuerung anzuwenden.^[9] Zuerst

${displaystyle N}$

Einschränkungen werden abgetastet, und dann beginnt der Benutzer, einige der Einschränkungen nacheinander zu entfernen. Dies kann auf verschiedene Weise geschehen, sogar nach gierigen Algorithmen. Nach Eliminierung einer weiteren Einschränkung wird die optimale Lösung aktualisiert und der entsprechende optimale Wert bestimmt. Im weiteren Verlauf dieses Verfahrens konstruiert der Benutzer eine empirische „Wertkurve“, dh die Kurve, die den Wert darstellt, der nach dem Entfernen einer zunehmenden Anzahl von Beschränkungen erreicht wird. Die Szenariotheorie liefert genaue Einschätzungen, wie robust die verschiedenen Lösungen sind.

Ein bemerkenswerter Fortschritt in der Theorie wurde durch den jüngsten abwartenden Ansatz festgestellt:^[10] man beurteilt die Komplexität der Lösung (wie im referenzierten Artikel genau definiert) und formuliert aus ihrem Wert genaue Einschätzungen zur Robustheit der Lösung. Diese Ergebnisse beleuchten tiefgreifende Zusammenhänge zwischen den Konzepten von Komplexität und Risiko. Ein verwandter Ansatz mit dem Namen “Repetitive Scenario Design” zielt darauf ab, die Stichprobenkomplexität der Lösung zu reduzieren, indem eine Szenarioentwurfsphase (mit reduzierter Anzahl von Stichproben) wiederholt mit einer randomisierten Prüfung der Machbarkeit der resultierenden Lösung abgewechselt wird.^[11]

Beispiel[edit]

Betrachten Sie eine Funktion

${displaystyle R_{delta}(x)}$

die die Rendite einer Investition darstellt; es hängt von unseren Anlageentscheidungen ab

${displaystyle x}$

und am Marktzustand

${displaystyledelta}$

die am Ende des Anlagezeitraums erfahren wird.

Bei einem stochastischen Modell für die Marktbedingungen betrachten wir

${displaystyle N}$

der möglichen Zustände

${displaystyle delta_{1},dots,delta_{N}}$

(Randomisierung der Unsicherheit). Alternativ können die Szenarien

${displaystyle delta_{i}}$

kann einem Beobachtungsprotokoll entnommen werden.

Wir machten uns daran, das Szenariooptimierungsprogramm zu lösen

${displaystyle max_{x}min_{i=1,dots,N}R_{delta_{i}}(x). (1)}$

Dies entspricht der Auswahl eines Portfoliovektors x um im schlimmsten Fall die bestmögliche Rendite zu erzielen.^[12][13]

Nach Lösen von (1) eine optimale Anlagestrategie

${displaystyle x^{ast}}$

wird zusammen mit der entsprechenden optimalen Rendite erzielt

${displaystyle R^{ast}}$

. Während

${displaystyle R^{ast}}$

wurde durch Anschauen erhalten

${displaystyle N}$

nur mögliche Marktzustände, die Szenariotheorie sagt uns, dass die Lösung bis zu einem Level robust ist

${displaystylevarepsilon}$

, das heißt die Rückkehr

${displaystyle R^{ast}}$

wird mit Wahrscheinlichkeit erreicht

${displaystyle 1-varepsilon}$

für andere Marktstaaten.

Bei quantitativen Finanzen kann der Worst-Case-Ansatz zu konservativ sein. Eine Alternative besteht darin, einige seltsame Situationen zu verwerfen, um Pessimismus zu reduzieren;^[7] Darüber hinaus kann die Szenariooptimierung auf andere Risikomaße wie CVaR – Conditional Value at Risk – angewendet werden, wodurch die Flexibilität des Einsatzes erhöht wird.^[14]

Anwendungsgebiete[edit]

Anwendungsgebiete sind: Vorhersage, Systemtheorie, Regressionsanalyse (insbesondere Intervall-Prädiktor-Modelle), Versicherungsmathematik, optimale Steuerung, Finanzmathematik, maschinelles Lernen, Entscheidungsfindung, Lieferkette und Management.

Verweise[edit]