Notation der Bremse – Wikipedia

Notation für Quantenzustände

In der Quantenmechanik, Bremsnotation, oder Dirac-Notation, ist allgegenwärtig. Die Notation verwendet die spitzen Klammern, “

Ich{displaystylelangle}

“ und “

Ich{displaystylerangle}

“, und ein vertikaler Balken “

|{displaystyle |}

“, um “BHs” und “Kets” zu konstruieren.

EIN ket sieht aus wie “

|vIch{displaystyle |vrangle}

“. Mathematisch bezeichnet es einen Vektor,

v{displaystyle {boldsymbol {v}}}

, in einem abstrakten (komplexen) Vektorraum

V{displaystyle V}

, und physikalisch repräsentiert es einen Zustand eines Quantensystems.

EIN BH sieht aus wie “

IchF|{displaystyle langle f|}

“, und mathematisch bezeichnet es eine lineare Form

F:V→C{displaystyle f:Vtomathbb{C}}

, dh eine lineare Abbildung, die jeden Vektor in

V{displaystyle V}

zu einer Zahl in der komplexen Ebene

C{displaystylemathbb{C}}

. Lassen Sie das lineare Funktional

IchF|{displaystyle langle f|}

auf einen Vektor wirken

|vIch{displaystyle |vrangle}

wird geschrieben als

IchF|vIch∈C{displaystylelangle f|vrangleinmathbb{C}}

.

Angenommen auf

V{displaystyle V}

existiert ein inneres Produkt

(⋅,⋅){displaystyle (cdot,cdot)}

mit antilinearem ersten Argument, was

V{displaystyle V}

ein Hilbertraum. Dann ist mit diesem inneren Produkt jeder Vektor

φ≡|φIch{displaystyle {boldsymbol {phi}}äquiv |phirangle}

kann mit einer entsprechenden Linearform identifiziert werden, indem der Vektor in den antilinearen ersten Schlitz des inneren Produkts gelegt wird:

(φ,⋅)≡Ichφ|{displaystyle ({boldsymbol {phi}},cdot)equivlanglephi |}

. Die Entsprechung zwischen diesen Notationen ist dann

(φ,ψ)≡Ichφ|ψIch{displaystyle ({boldsymbol {phi}},{boldsymbol {psi}})equivlanglephi |psirangle}

. Die lineare Form

Ichφ|{displaystyle langle phi |}

ist ein Kovektor zu

|φIch{displaystyle |phirangle}

, und die Menge aller Kovektoren bildet einen Unterraum des dualen Vektorraums

V∨{displaystyle V^{vee}}

, zum Anfangsvektorraum

V{displaystyle V}

. Der Zweck dieser linearen Form

Ichφ|{displaystyle langle phi |}

kann nun im Sinne von Projektionen auf den Staat verstanden werden

φ{displaystyle {boldsymbol {phi}}}

, um herauszufinden, wie linear abhängig zwei Zustände sind usw.

Für den Vektorraum

Cn{displaystyle mathbb{C} ^{n}}

, Kets können mit Spaltenvektoren und BHs mit Zeilenvektoren identifiziert werden. Kombinationen von BHs, Kets und Operatoren werden mittels Matrixmultiplikation interpretiert. Wenn

Cn{displaystyle mathbb{C} ^{n}}

hat das Standard-Hermite-Innenprodukt

(v,w)=vIchw{displaystyle ({boldsymbol {v}},{boldsymbol {w}})=v^{dagger}w}

, unter dieser Identifizierung ist die Identifizierung von Kets und BHs und umgekehrt, die durch das innere Produkt bereitgestellt wird, das hermitesche Konjugat (bezeichnet mit

Ich{displaystyledolch}

).

Es ist üblich, den Vektor oder die lineare Form aus der Bra-Ket-Notation zu unterdrücken und nur ein Label innerhalb der Typografie für den BH oder das Ket zu verwenden. Zum Beispiel der Spinoperator

σ^z{displaystyle {hat {sigma}}_{z}}

auf einem zweidimensionalen Raum

Δ{displaystyle Delta}

von Spinoren, hat Eigenwerte

±{displaystyle pm}

½ mit Eigenspinoren

ψ+,ψ−∈Δ{displaystyle {boldsymbol {psi}}_{+},{boldsymbol {psi}}_{-}in Delta}

. In der Bra-Ket-Notation bezeichnet man dies typischerweise als

ψ+=|+Ich{displaystyle {boldsymbol {psi}}_{+}=|+rangle}

, und

ψ−=|−Ich{displaystyle {boldsymbol {psi}}_{-}=|-rangle}

. Ebenso wie oben werden Kets und BHs mit dem gleichen Etikett als einander entsprechende Kets und BHs unter Verwendung des Innenprodukts interpretiert. Insbesondere, wenn sie auch mit Zeilen- und Spaltenvektoren identifiziert werden, werden Kets und Bras mit derselben Bezeichnung mit hermitesch konjugierten Spalten- und Zeilenvektoren identifiziert.

Die Bra-Ket-Notation wurde 1939 von Paul Dirac . effektiv eingeführt^[1][2] und wird daher auch als Dirac-Notation bezeichnet. (Dennoch hat die Bra-Ket-Notation einen Vorläufer in Hermann Grassmanns Verwendung der Notation

[ϕ∣ψ]{displaystyle [phi {mid }psi ]}

für seine inneren Produkte fast 100 Jahre zuvor.^[3][4])

Einführung[edit]

Die Bra-Ket-Notation ist eine Notation für lineare Algebra und lineare Operatoren auf komplexen Vektorräumen zusammen mit ihrem Dualraum sowohl im endlich-dimensionalen als auch im unendlich-dimensionalen Fall. Es wurde speziell entwickelt, um die Arten von Berechnungen zu erleichtern, die in der Quantenmechanik häufig vorkommen. Seine Verwendung in der Quantenmechanik ist weit verbreitet. Viele Phänomene, die mit der Quantenmechanik erklärt werden, werden mit Hilfe der Bra-Ket-Notation erklärt.

Vektorräume[edit]

Vektoren vs. kets[edit]

In der Mathematik wird der Begriff “Vektor” für ein Element eines beliebigen Vektorraums verwendet. In der Physik ist der Begriff “Vektor” jedoch viel spezifischer: “Vektor” bezieht sich fast ausschließlich auf Größen wie Verschiebung oder Geschwindigkeit, deren Komponenten sich direkt auf die drei Dimensionen des Raumes oder relativistisch auf die vier der Raumzeit beziehen . Solche Vektoren werden typischerweise mit Überpfeilen (

R→{displaystyle {vec {r}}}

), Fettdruck (

P{displaystylemathbf{p}}

) oder Indizes (

vμ{displaystyle v^{mu}}

).

In der Quantenmechanik wird ein Quantenzustand typischerweise als Element eines komplexen Hilbert-Raums dargestellt, zum Beispiel der unendlichdimensionale Vektorraum aller möglichen Wellenfunktionen (quadratische integrierbare Funktionen, die jeden Punkt des 3D-Raums auf eine komplexe Zahl abbilden) oder mehr abstrakter Hilbert-Raum konstruiert mehr algebraisch. Da der Begriff “Vektor” bereits für etwas anderes verwendet wird (siehe vorheriger Absatz) und Physiker dazu neigen, die konventionelle Notation der Angabe des Raumes vorzuziehen, in dem etwas ein Element ist, ist es üblich und nützlich, ein Element zu bezeichnen

φ{displaystyle phi}

eines abstrakten komplexen Vektorraums als ket

|φIch{displaystyle |phirangle}

Verwenden Sie vertikale Balken und spitze Klammern und bezeichnen Sie sie als “Kets” und nicht als Vektoren und ausgesprochen “Ket-

φ{displaystyle phi}

” oder “ket-A” für |EINIch.

Symbole, Buchstaben, Zahlen oder sogar Wörter – was auch immer als praktisches Etikett dient – ​​können als Etikett in einem Ket verwendet werden

| Ich{displaystyle | rangle}

um deutlich zu machen, dass das Label einen Vektor im Vektorraum anzeigt. Mit anderen Worten, das Symbol “|EINIch” hat eine spezifische und universelle mathematische Bedeutung, während nur “EIN” allein nicht. Zum Beispiel, |1⟩ + |2⟩ ist nicht unbedingt gleich |3⟩. Dennoch gibt es der Einfachheit halber normalerweise ein logisches Schema hinter den Labels innerhalb von Kets, wie zum Beispiel die gängige Praxis, Energieeigenkets in der Quantenmechanik durch eine Auflistung ihrer Quantenzahlen zu kennzeichnen. Im einfachsten Fall ist das Label innerhalb des Ket der Eigenwert eines physikalischen Operators, wie zum Beispiel

x^{displaystyle {hat {x}}}

,

P^{displaystyle {hat{p}}}

,

L^z{displaystyle {hat {L}}_{z}}

, etc.

Bremsnotation[edit]

Da Kets nur Vektoren in einem hermiteschen Vektorraum sind, können sie mit den üblichen Regeln der linearen Algebra manipuliert werden, zum Beispiel:

|EINIch=|BIch+|CIch|CIch=(−1+2ich)|DIch|DIch=∫−∞∞e−x2|xIchDx.{displaystyle {begin{ausgerichtet}|Arangle &=|Brangle +|Crangle \|Crangle &=(-1+2i)|Drangle \|Drangle &= int_{-infty}^{infty}e^{-x^{2}}|xrangle,mathrm{d}x,.end{ausgerichtet}}}

Beachten Sie, dass die letzte Zeile oben unendlich viele verschiedene Kets beinhaltet, einen für jede reelle Zahl x.

Da der Ket ein Element eines Vektorraums ist, ist a BH

IchEIN|{displaystyle langle A|}

ist ein Element seines Dualraums, dh ein BH ist ein lineares Funktional, das eine lineare Abbildung vom Vektorraum zu den komplexen Zahlen ist. Daher ist es sinnvoll, sich Kets und BHs als Elemente verschiedener Vektorräume (siehe jedoch unten) vorzustellen, wobei beide unterschiedliche nützliche Konzepte sind.

Ein BH

Ichφ|{displaystyle langle phi |}

und ein ket

|ψIch{displaystyle |psirangle}

(dh ein Funktional und ein Vektor), können zu einem Operator kombiniert werden

|ψIchIchφ|{displaystyle |psiranglelanglephi |}

von Rang eins mit äußerem Produkt

|ψIchIchφ|:|ξIch↦|ψIchIchφ|ξIch .{displaystyle |psiranglelanglephi |colon |xiranglemapsto |psiranglelanglephi |xirangle~.}

Innenprodukt- und Bremsenidentifikation auf Hilbert-Platz[edit]

Die Bra-Ket-Notation ist besonders nützlich in Hilbert-Räumen, die ein inneres Produkt haben^[5] das erlaubt die hermitesche Konjugation und die Identifizierung eines Vektors mit einem stetigen linearen Funktional, dh einem Ket mit einem BH und umgekehrt (siehe Riesz-Darstellungssatz). Das innere Produkt auf dem Hilbertraum

( , ){displaystyle ( , )}

(mit dem ersten Argument antilinear, wie es von Physikern bevorzugt wird) ist voll äquivalent zu einer (antilinearen) Identifizierung zwischen dem Raum von kets und dem von bras in der Klammernotation: für einen Vektor ket

φ=|φIch{displaystylephi =|phirangle}

einen funktionellen (zB BH) definieren

Fφ=Ichφ|{displaystyle f_{phi}=langlephi |}

von

(φ,ψ)=(|φIch,|ψIch)=:Fφ(ψ)=Ichφ|(|ψIch)=:Ichφ|ψIch{displaystyle (phi,psi)=(|phirangle,|psirangle)=:f_{phi}(psi)=langlephi |,{bigl(}| psi rangle {bigr)}=:langle phi {mid }psirangle}

Bras und Kets als Zeilen- und Spaltenvektoren[edit]

Im einfachen Fall betrachten wir den Vektorraum

Cn{displaystyle mathbf {mathbb{C}} ^{n}}

, kann ein Ket mit einem Spaltenvektor und ein BH als Zeilenvektor identifiziert werden. Wenn wir darüber hinaus das hermitesche Innenprodukt verwenden auf

Cn{displaystyle mathbf {mathbb{C}} ^{n}}

, der BH entspricht einem Ket, insbesondere einem BH Ichm| und ein ket |mIch mit der gleichen Markierung sind konjugiert transponiert. Darüber hinaus sind Konventionen so aufgestellt, dass das Schreiben von Bras, Kets und linearen Operatoren nebeneinander einfach eine Matrixmultiplikation impliziert.^[6] Insbesondere das äußere Produkt

|ψIchIchφ|{displaystyle |psiranglelanglephi |}

eines Spalten- und Zeilenvektors ket und bra können mit Matrixmultiplikation identifiziert werden (Spaltenvektor mal Zeilenvektor gleich Matrix).

Für einen endlichdimensionalen Vektorraum kann mit einer festen Orthonormalbasis das innere Produkt als Matrixmultiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor geschrieben werden:

IchEIN|BIch≐EIN1*B1+EIN2*B2+⋯+EINn*Bn=(EIN1*EIN2*⋯EINn*)(B1B2⋮Bn){displaystyle langle A|Brangle doteq A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+cdots +A_{N}^{*}B_ {N}={begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&cdots &A_{N}^{*}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}B_ {1}\B_{2}\vdots \B_{N}end{pmatrix}}}

Auf dieser Grundlage können die BHs und Kets definiert werden als:

IchEIN|≐(EIN1*EIN2*⋯EINn*)|BIch≐(B1B2⋮Bn){displaystyle {begin{ausgerichtet}langle A|&doteq {begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&cdots &A_{N}^{*} end{pmatrix}}\|Brangle &doteq {begin{pmatrix}B_{1}\B_{2}\vdots \B_{N}end{pmatrix}}end{aligned }}}

und dann versteht es sich, dass ein BH neben einem Ket eine Matrixmultiplikation impliziert.

Die konjugierte Transponierung (auch hermitesch konjugieren) eines BHs ist der entsprechende Ket und umgekehrt:

IchEIN|Ich=|EINIch,|EINIchIch=IchEIN|{displaystyle langle A|^{dagger}=|Arangle ,quad |Arangle^{dagger}=langle A|}

denn wenn man mit dem BH anfängt

(EIN1*EIN2*⋯EINn*),{displaystyle {begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&cdots &A_{N}^{*}end{pmatrix}},,}

führt dann eine komplexe Konjugation durch, und dann eine Matrixtransponierung, man endet mit dem ket

(EIN1EIN2⋮EINn){displaystyle {begin{pmatrix}A_{1}\A_{2}\vdots \A_{N}end{pmatrix}}}

Das Schreiben von Elementen eines endlichdimensionalen (oder mutatis mutandis, abzählbar unendlichen) Vektorraums als Spaltenvektor von Zahlen erfordert die Auswahl einer Basis. Die Auswahl einer Basis ist nicht immer hilfreich, da bei quantenmechanischen Berechnungen häufig zwischen verschiedenen Basen gewechselt wird (z. B. Ortsbasis, Impulsbasis, Energieeigenbasis), und man kann so etwas schreiben wie “|mIch” ohne sich auf eine bestimmte Basis festzulegen. In Situationen mit zwei verschiedenen wichtigen Basisvektoren können die Basisvektoren explizit in der Notation verwendet werden und werden hier einfach als “|−Ich” und “|+Ich“.

Nicht normalisierbare Zustände und Nicht-Hilbert-Räume[edit]

Die Bra-Ket-Notation kann auch dann verwendet werden, wenn der Vektorraum kein Hilbert-Raum ist.

In der Quantenmechanik ist es gängige Praxis, Kets mit unendlicher Norm, dh nicht normalisierbaren Wellenfunktionen, aufzuschreiben. Beispiele sind Zustände, deren Wellenfunktionen Dirac-Deltafunktionen oder unendliche ebene Wellen sind. Diese gehören technisch gesehen nicht zum Hilbert-Raum selbst. Die Definition des “Hilbert-Raums” kann jedoch erweitert werden, um diese Zustände aufzunehmen (siehe die Gelfand-Naimark-Segal-Konstruktion oder manipulierte Hilbert-Räume). Die Bra-Ket-Notation funktioniert in diesem breiteren Kontext auf analoge Weise weiter.

Banachräume sind eine andere Verallgemeinerung von Hilberträumen. In einem Banach-Raum B, können die Vektoren mit kets und die stetigen linearen Funktionale mit bras notiert werden. Über jedem Vektorraum ohne Topologie können wir die Vektoren auch mit kets und die linearen Funktionale mit bras notieren. In diesen allgemeineren Kontexten hat die Klammer nicht die Bedeutung eines inneren Produkts, da der Darstellungssatz von Riesz nicht gilt.

Verwendung in der Quantenmechanik[edit]

Die mathematische Struktur der Quantenmechanik basiert zu großen Teilen auf der linearen Algebra:

• Wellenfunktionen und andere Quantenzustände lassen sich als Vektoren in einem komplexen Hilbertraum darstellen. (Die genaue Struktur dieses Hilbert-Raums hängt von der Situation ab.) In der Bra-Ket-Notation könnte sich beispielsweise ein Elektron im “Zustand” befinden |ψIch. (Technisch sind die Quantenzustände Strahlen von Vektoren im Hilbertraum, da C|ψIch entspricht dem gleichen Zustand für jede komplexe Zahl ungleich null C.)
• Quantensuperpositionen können als Vektorsummen der konstituierenden Zustände beschrieben werden. Zum Beispiel ein Elektron im Zustand 1/√2|1⟩ + ich/√2|2⟩ befindet sich in einer Quantensuperposition der Zustände |1⟩ und |2⟩.
• Messungen sind mit linearen Operatoren (sogenannten Observablen) auf dem Hilbert-Raum der Quantenzustände verbunden.
• Dynamiken werden auch durch lineare Operatoren auf dem Hilbertraum beschrieben. Im Schrödinger-Bild gibt es beispielsweise einen linearen Zeitentwicklungsoperator U mit der Eigenschaft, dass, wenn ein Elektron im Zustand ist |ψIch gerade jetzt, zu einem späteren Zeitpunkt wird es im Staat sein U|ψIch, das gleiche U für alles möglich |ψIch.
• Die Wellenfunktionsnormierung skaliert eine Wellenfunktion so, dass ihre Norm 1 ist.

Da praktisch jede Berechnung in der Quantenmechanik Vektoren und lineare Operatoren beinhaltet, kann sie die Bra-Ket-Notation beinhalten und beinhaltet dies häufig. Es folgen einige Beispiele:

Spinlose Positions-Raumwellenfunktion[edit]

Der Hilbertraum eines Spin-0-Punkt-Teilchens wird von einer “Ortsbasis” aufgespannt { |RIch }, wo das Etikett R erstreckt sich über die Menge aller Punkte im Positionsraum. Dieses Label ist der Eigenwert des Positionsoperators, der auf einen solchen Basiszustand wirkt,

R^|RIch=R|RIch{displaystyle {hat {mathbf {r}}}|mathbf {r} rangle =mathbf {r} |mathbf {r} rangle }

. Da die Basis unabzählbar unendlich viele Vektorkomponenten enthält, handelt es sich um einen unabzählbar unendlichdimensionalen Hilbertraum. Die Dimensionen des Hilbertraums (normalerweise unendlich) und des Ortsraums (normalerweise 1, 2 oder 3) dürfen nicht zusammengeführt werden.

Ausgehend von jedem ket |Ψ⟩ in diesem Hilbertraum kann man definieren eine komplexe Skalarfunktion von R, bekannt als Wellenfunktion,

Ψ(R) =def IchR|ΨIch.{displaystyle Psi(mathbf{r}) {stackrel {text{def}}{=}}\langlemathbf{r} |Psirangle,.}

Auf der linken Seite, (R) ist eine Funktion, die einen beliebigen Punkt im Raum auf eine komplexe Zahl abbildet; auf der rechten Seite, |Ψ⟩ = ∫ d³R (R) |RIch ist ein Ket, das aus einer Superposition von Kets mit relativen Koeffizienten besteht, die durch diese Funktion angegeben werden.

Es ist dann üblich, lineare Operatoren, die auf Wellenfunktionen wirken, als lineare Operatoren zu definieren, die auf Kets wirken, durch

EIN^(R) Ψ(R) =def IchR|EIN^|ΨIch.{displaystyle {hat{A}}(mathbf{r})~Psi(mathbf{r}){stackrel{text{def}}{=}}\langlemathbf{r} |{hat{A}}|Psirangle,.}

Zum Beispiel der Impulsoperator

P^{displaystyle {hat {mathbf {p}}}}

hat die folgende Koordinatendarstellung,

P^(R) Ψ(R) =def IchR|P^|ΨIch=−ichℏ∇Ψ(R).{displaystyle {hat {mathbf{p}}}(mathbf{r})~Psi(mathbf{r}){stackrel {text{def}}{=}}\langle mathbf{r}|{hat{mathbf{p}}}|Psirangle =-ihbarnablaPsi(mathbf{r}),.}

Gelegentlich begegnet man sogar einem Ausdruck wie

∇|ΨIch,{displaystylenabla |Psirangle,,}

obwohl dies so etwas wie ein Missbrauch der Notation ist. Der Differentialoperator ist als abstrakter Operator zu verstehen, der auf Kets wirkt und die Wirkung hat, Wellenfunktionen zu differenzieren, sobald der Ausdruck auf die Positionsbasis projiziert wird,

∇IchR|ΨIch,{displaystylenablalanglemathbf{r}|Psirangle,,}

obwohl dieser Operator in der Impulsbasis ein reiner Multiplikationsoperator ist (durch ich hP). Das heißt,

IchR|P^=−ichℏ∇IchR| ,{displaystyle langle mathbf {r} |{hat {mathbf {p}}}=-ihbar nabla langle mathbf {r} |~,}

oder

P^=∫D3R |RIch(−ichℏ∇)IchR| .{displaystyle {hat {mathbf {p}}}=int d^{3}mathbf {r} ~|mathbf {r} rangle (-ihbarnabla)langle mathbf {r } |~.}

Überlappung von Staaten[edit]

In der Quantenmechanik ist der Ausdruck Ichφ|ψIch wird typischerweise als Wahrscheinlichkeitsamplitude für den Zustand interpretiert ψ in den Staat zusammenbrechen φ. Mathematisch bedeutet dies den Koeffizienten für die Projektion von ψ auf zu φ. Sie wird auch als Zustandsprojektion bezeichnet ψ auf den Staat φ.

Ändern der Basis für ein Spin-½-Teilchen[edit]

Ein stationäres Spin-½-Teilchen hat einen zweidimensionalen Hilbert-Raum. Eine Orthonormalbasis ist:

|↑zIch,|↓zIch{displaystyle |{uparrow}_{z}rangle,,;|{downarrow}_{z}rangle}

wo |↑_zIch ist der Zustand mit einem bestimmten Wert des Spinoperators S_z gleich +½ und |↓_zIch ist der Zustand mit einem bestimmten Wert des Spinoperators S_z gleich −½ .

Da diese eine Grundlage sind, irgendein Der Quantenzustand des Teilchens kann als Linearkombination (dh Quantensuperposition) dieser beiden Zustände ausgedrückt werden:

|ψIch=einψ|↑zIch+Bψ|↓zIch{displaystyle |psirangle =a_{psi}|{uparrow}_{z}rangle +b_{psi}|{downarrow}_{z}rangle}

wo ein_ψ und B_ψ sind komplexe Zahlen.

EIN unterschiedlich Basis für denselben Hilbertraum ist:

|↑xIch,|↓xIch{displaystyle |{uparrow}_{x}rangle,,;|{downarrow}_{x}rangle}

definiert in Bezug auf S_x eher, als S_z.

Wieder, irgendein Zustand des Teilchens kann als Linearkombination dieser beiden ausgedrückt werden:

|ψIch=Cψ|↑xIch+Dψ|↓xIch{displaystyle |psirangle =c_{psi}|{uparrow}_{x}rangle +d_{psi}|{downarrow}_{x}rangle}

In Vektorform könntest du schreiben

|ψIch≐(einψBψ)oder|ψIch≐(CψDψ){displaystyle |psirangledoteq {begin{pmatrix}a_{psi}\b_{psi}end{pmatrix}}quad {text{or}}quad |psirangle doteq {begin{pmatrix}c_{psi}\d_{psi}end{pmatrix}}}

je nachdem, welche Basis Sie verwenden. Mit anderen Worten, die “Koordinaten” eines Vektors hängen von der verwendeten Basis ab.

Es besteht ein mathematischer Zusammenhang zwischen

einψ{displaystyle a_{psi}}

,

Bψ{displaystyle b_{psi}}

,

Cψ{displaystyle c_{psi}}

und

Dψ{displaystyle d_{psi}}

; siehe Basiswechsel.

Fallstricke und mehrdeutige Verwendungen[edit]

Es gibt einige Konventionen und Verwendungen der Notation, die für den Nichteingeweihten oder frühen Schüler verwirrend oder mehrdeutig sein können.

Trennung von innerem Produkt und Vektoren[edit]

Ein Grund zur Verwirrung ist, dass die Notation die Innerprodukt-Operation nicht von der Notation für einen (bra)-Vektor trennt. Wenn ein (Zweiraum-) BH-Vektor als Linearkombination anderer BH-Vektoren konstruiert wird (z. B. wenn er in irgendeiner Basis ausgedrückt wird), erzeugt die Notation einige Mehrdeutigkeiten und verbirgt mathematische Details. Wir können die Bra-Ket-Notation mit der Verwendung von Fett für Vektoren vergleichen, wie z

ψ{displaystyle {boldsymbol {psi}}}

, und

(⋅,⋅){displaystyle (cdot,cdot)}

für das innere Produkt. Betrachten Sie den folgenden Dual-Space-BH-Vektor in der Basis

{|enIch}{displaystyle {|e_{n}rangle }}

:

Ichψ|=ΣnIchen|ψn{displaystyle langle psi |=sum_{n}langle e_{n}|psi_{n}}

Es muss durch Konvention bestimmt werden, ob die komplexen Zahlen

{ψn}{displaystyle {psi_{n}}}

befinden sich innerhalb oder außerhalb des inneren Produkts, und jede Konvention führt zu anderen Ergebnissen.

Ichψ|≡(ψ,⋅)=Σn(en,⋅)ψn{displaystyle langle psi |equiv ({boldsymbol {psi}},cdot)=sum _{n}({boldsymbol {e}}_{n},cdot),psi _{n}}

Ichψ|≡(ψ,⋅)=Σn(enψn,⋅)=Σn(en,⋅)ψn*{displaystyle langle psi |equiv ({boldsymbol {psi}},cdot)=sum _{n}({boldsymbol {e}}_{n}psi_{n}, cdot )=sum _{n}({boldsymbol {e}}_{n},cdot ),psi_{n}^{*}}

Wiederverwendung von Symbolen[edit]

Es ist üblich, dasselbe Symbol für zu verwenden Etiketten und Konstanten. Zum Beispiel,

α^|αIch=α|αIch{displaystyle {hat{alpha}}|alpharangle =alpha |alpharangle}

, wo das Symbol

α{displaystylealpha}

wird gleichzeitig als Name des Betreibers

α^{displaystyle {hat {alpha}}}

, es ist Eigenvektor

|αIch{displaystyle |alpharangle}

und das dazugehörige Eigenwert

α{displaystylealpha}

. Manchmal die Hut wird auch für Operatoren weggelassen, und man sieht Notationen wie

EIN|einIch=ein|einIch{displaystyle A|arangle =a|arangle}

^[7]

hermitesch konjugiert von kets[edit]

Es ist üblich, die Verwendung zu sehen

|ψIchIch=Ichψ|{displaystyle |psirangle^{dagger}=langlepsi |}

, wo der Dolch (

Ich{displaystyledolch}

) entspricht der hermitesch-konjugierten. Dies ist jedoch im technischen Sinne nicht korrekt, da der Ket,

|ψIch{displaystyle |psirangle}

, repräsentiert einen Vektor in einem komplexen Hilbert-Raum

h{displaystyle {mathcal{H}}}

, und der BH,

Ichψ|{displaystyle langle psi |}

, ist ein lineares Funktional auf Vektoren in

h{displaystyle {mathcal{H}}}

. Mit anderen Worten,

|ψIch{displaystyle |psirangle}

ist nur ein Vektor, während

Ichψ|{displaystyle langle psi |}

ist die Kombination aus einem Vektor und einem inneren Produkt.

Operationen in BHs und Kets[edit]

Dies geschieht für eine schnelle Notation von Skalierungsvektoren. Wenn beispielsweise der Vektor

|αIch{displaystyle |alpharangle}

wird skaliert um

1/2{displaystyle 1/{sqrt {2}}}

, es kann bezeichnet werden

|α/2Ich{displaystyle |alpha /{sqrt {2}}rangle }

. Dies kann mehrdeutig sein, da

α{displaystylealpha}

ist einfach eine Bezeichnung für einen Zustand und kein mathematisches Objekt, an dem Operationen ausgeführt werden können. Diese Verwendung wird häufiger verwendet, wenn Vektoren als Tensorprodukte bezeichnet werden, bei denen ein Teil der Labels verschoben wird außen der entworfene Schlitz, zB

|αIch=|α/21Ich⊗|α/22Ich{displaystyle |alpharangle =|alpha /{sqrt {2}}_{1}rangleotimes |alpha /{sqrt {2}}_{2}rangle}

.

Lineare Operatoren[edit]

Lineare Operatoren, die auf Kets wirken[edit]

Ein linearer Operator ist eine Abbildung, die einen Ket eingibt und einen Ket ausgibt. (Um als “linear” bezeichnet zu werden, müssen bestimmte Eigenschaften vorhanden sein.) Mit anderen Worten, wenn

EIN^{displaystyle {hat {A}}}

ist ein linearer Operator und

|ψIch{displaystyle |psirangle}

ein Ket-Vektor ist, dann

EIN^|ψIch{displaystyle {hat{A}}|psirangle}

ist ein weiterer Ket-Vektor.

In einem (n

n{displaystyle N}

-dimensionalen Hilbert-Raum können wir dem Raum eine Basis auferlegen und darstellen

|ψIch{displaystyle |psirangle}

bezüglich seiner Koordinaten als a

n×1{displaystyle Ntimes 1}

Spaltenvektor. Verwenden der gleichen Basis für

EIN^{displaystyle {hat {A}}}

, es wird repräsentiert durch ein

n×n{displaystyle Nmal N}

komplexe Matrix. Der Ket-Vektor

EIN^|ψIch{displaystyle {hat{A}}|psirangle}

kann nun durch Matrixmultiplikation berechnet werden.

Lineare Operatoren sind in der Theorie der Quantenmechanik allgegenwärtig. Beispielsweise werden beobachtbare physikalische Größen durch selbstadjungierte Operatoren wie Energie oder Impuls dargestellt, während transformative Prozesse durch unitäre lineare Operatoren wie Rotation oder Zeitverlauf dargestellt werden.

Lineare Operatoren, die auf BHs wirken[edit]

Operatoren können auch als auf BHs wirkend angesehen werden von der rechten Seite. Insbesondere, wenn EIN ist ein linearer Operator und Ichφ| ist dann ein BH Ichφ|EIN ist ein weiterer BH, der von der Regel definiert wird

(Ichφ|EIN)|ψIch=Ichφ|(EIN|ψIch),{displaystyle {bigl (}langle phi |{boldsymbol {A}}{bigr)}|psirangle =langlephi |{bigl (}{boldsymbol {A}}| psi rangle {bigr)},,}

(mit anderen Worten, eine Funktionskomposition). Dieser Ausdruck wird üblicherweise geschrieben als (vgl. inneres Energieprodukt)

Ichφ|EIN|ψIch.{displaystyle langle phi |{boldsymbol {A}}|psirangle,.}

In einem (n n-dimensionaler Hilbertraum, Ichφ| kann geschrieben werden als 1 × n Zeilenvektor, und EIN (wie im vorherigen Abschnitt) ist ein n × n Matrix. Dann der BH Ichφ|EIN kann durch normale Matrixmultiplikation berechnet werden.

Wenn derselbe Zustandsvektor sowohl auf der Bra- als auch auf der Ket-Seite erscheint,

Ichψ|EIN|ψIch,{displaystyle langlepsi |{boldsymbol {A}}|psirangle,,}

dann gibt dieser Ausdruck den Erwartungswert oder Mittel- oder Durchschnittswert der Observablen an, die durch Operator . dargestellt wird EIN für das physikalische System im Staat |ψIch.

Äußere Produkte[edit]

Eine bequeme Möglichkeit, lineare Operatoren auf einem Hilbert-Raum zu definieren h ist durch das äußere Produkt gegeben: if Ichφ| ist ein BH und |ψIch ist ein Ket, das äußere Produkt

|φIchIchψ|{displaystyle |phirangle,langlepsi |}

bezeichnet den Rang-Eins-Operator mit der Regel

(|φIchIchψ|)(x)=Ichψ|xIch|φIch{displaystyle {bigl(}|phiranglelanglepsi |{bigr)}(x)=langlepsi |xrangle |phirangle}

.

Für einen endlichdimensionalen Vektorraum kann das äußere Produkt als einfache Matrixmultiplikation verstanden werden:

|φIchIchψ|≐(φ1φ2⋮φn)(ψ1*ψ2*⋯ψn*)=(φ1ψ1*φ1ψ2*⋯φ1ψn*φ2ψ1*φ2ψ2*⋯φ2ψn*⋮⋮⋱⋮φnψ1*φnψ2*⋯φnψn*){displaystyle |phirangle,langlepsi |doteq {begin{pmatrix}phi _{1}\phi _{2}\vdots \phi _{N} end{pmatrix}}{begin{pmatrix}psi_{1}^{*}&psi_{2}^{*}&cdots &psi_{N}^{*}end{pmatrix }}={begin{pmatrix}phi_{1}psi_{1}^{*}&phi_{1}psi_{2}^{*}&cdots &phi_{ 1}psi_{N}^{*}\phi_{2}psi_{1}^{*}&phi_{2}psi_{2}^{*}&cdots &phi_{2}psi_{N}^{*}\vdots &vdots &ddots &vdots \phi_{N}psi_{1}^{*}& phi_{N}psi_{2}^{*}&cdots &phi_{N}psi_{N}^{*}end{pmatrix}}}

Das äußere Produkt ist ein n × n Matrix, wie für einen linearen Operator erwartet.

Eine der Verwendungen des äußeren Produkts besteht darin, Projektionsoperatoren zu konstruieren. Gegeben ein ket |ψIch der Norm 1, die orthogonale Projektion auf den von aufgespannten Unterraum |ψIch ist

|ψIchIchψ|.{displaystyle |psirangle,langlepsi |,.}

Dies ist ein Idempotent in der Algebra der Observablen, die auf den Hilbert-Raum wirkt.

Hermitesch-Konjugationsoperator[edit]

So wie Kets und BHs ineinander umgewandelt werden können (machen |ψIch hinein Ichψ|), das Element aus dem Dualraum entsprechend EIN|ψIch ist Ichψ|EIN^Ich, wo EIN^Ich bezeichnet die hermitesche Konjugierte (oder Adjungierte) des Operators EIN. Mit anderen Worten,

|φIch=EIN|ψIchdann und nur dann, wennIchφ|=Ichψ|EINIch.{displaystyle |phirangle=A|psiranglequad {text{wenn und nur wenn}}quadlanglephi |=langlepsi |A^{dagger},.}

Wenn EIN wird ausgedrückt als ein n × n Matrix, dann EIN^Ich ist seine konjugierte Transponierte.

Selbstadjungierte Operatoren, wobei EIN = EIN^Ich, eine wichtige Rolle in der Quantenmechanik spielen; Beispielsweise wird eine Observable immer durch einen selbstadjungierten Operator beschrieben. Wenn EIN ein selbstadjungierter Operator ist, dann Ichψ|EIN|ψIch ist immer eine reelle Zahl (nicht komplex). Dies impliziert, dass die Erwartungswerte von Observablen reell sind.

Eigenschaften[edit]

Die Bra-Ket-Notation wurde entwickelt, um die formale Manipulation von linear-algebraischen Ausdrücken zu erleichtern. Einige der Eigenschaften, die diese Manipulation ermöglichen, sind hier aufgeführt. Im Folgenden, C₁ und C₂ beliebige komplexe Zahlen bezeichnen, C* bezeichnet die komplex Konjugierte von C, EIN und B bezeichnen beliebige lineare Operatoren, und diese Eigenschaften gelten für jede Wahl von Bras und Kets.

Linearität[edit]

• Da BHs lineare Funktionale sind,

Ichφ|(C1|ψ1Ich+C2|ψ2Ich)=C1Ichφ|ψ1Ich+C2Ichφ|ψ2Ich.{displaystyle langle phi |{bigl (}c_{1}|psi_{1}rangle +c_{2}|psi_{2}rangle {bigr)}=c_{1} langle phi |psi _{1}rangle +c_{2}langle phi |psi_{2}rangle ,.}

• Durch die Definition von Addition und skalarer Multiplikation linearer Funktionale im Dualraum^[8]

(C1Ichφ1|+C2Ichφ2|)|ψIch=C1Ichφ1|ψIch+C2Ichφ2|ψIch.{displaystyle {bigl(}c_{1}langle phi_{1}|+c_{2}langlephi_{2}|{bigr)}|psirangle =c_{1} langle phi_{1}|psirangle+c_{2}langle phi_{2}|psirangle,.}

Assoziativität[edit]

Bei allen Ausdrücken, die komplexe Zahlen, Bras, Kets, innere Produkte, äußere Produkte und/oder lineare Operatoren (aber nicht Addition) beinhalten und in Bra-Ket-Notation geschrieben sind, spielen die Klammergruppierungen keine Rolle (dh die assoziative Eigenschaft gilt). Zum Beispiel:

Ichψ|(EIN|φIch)=(Ichψ|EIN)|φIch=defIchψ|EIN|φIch(EIN|ψIch)Ichφ|=EIN(|ψIchIchφ|)=defEIN|ψIchIchφ|{displaystyle {begin{ausgerichtet}langlepsi |{bigl(}A|phirangle {bigr)}={bigl(}langlepsi |A{bigr)}|phi rangle ,&{stackrel {text{def}}{=}},langle psi |A|phirangle \{bigl(}A|psirangle {bigr)} langle phi |=A{bigl(}|psiranglelanglephi |{bigr)},&{stackrel {text{def}}{=}},A|psi rangle langle phi |end{ausgerichtet}}}

und so weiter. Die Ausdrücke rechts (ohne Klammern) dürfen eindeutig geschrieben werden da der Gleichheiten auf der linken Seite. Beachten Sie, dass die Assoziativeigenschaft nicht gilt für Ausdrücke, die nichtlineare Operatoren enthalten, wie den antilinearen Zeitumkehroperator in der Physik.

Hermitesche Konjugation[edit]

Die Bra-Ket-Notation macht es besonders einfach, die hermitesche Konjugierte (auch Dolch, und bezeichnet Ich) von Ausdrücken. Die formalen Regeln sind:

• Das hermitesche Konjugat eines BHs ist das entsprechende Ket und umgekehrt.
• Die hermitesch Konjugierte einer komplexen Zahl ist ihre komplex Konjugierte.
• Die hermitesche Konjugierte der hermiteschen Konjugierten von irgendetwas (lineare Operatoren, bras, kets, Zahlen) ist selbst – dh

(xIch)Ich=x.{displaystyle left(x^{dagger}right)^{dagger}=x,.}

• Bei einer beliebigen Kombination von komplexen Zahlen, Bras, Kets, inneren Produkten, äußeren Produkten und/oder linearen Operatoren, die in Bra-Ket-Notation geschrieben sind, kann ihre hermitesche Konjugation berechnet werden, indem die Reihenfolge der Komponenten umgekehrt und die hermitesche Konjugierte von . verwendet wird jede einzelne.

Diese Regeln reichen aus, um die hermitesche Konjugierte eines solchen Ausdrucks formell zu schreiben; einige Beispiele sind wie folgt:

(C1|ψ1Ich+C2|ψ2Ich)Ich=C1*Ichψ1|+C2*Ichψ2|.{displaystyle {bigl(}c_{1}|psi_{1}rangle +c_{2}|psi_{2}rangle {bigr)}^{dagger}=c_{1} ^{*}langle psi_{1}|+c_{2}^{*}langlepsi_{2}|,.}

Ichφ|ψIch*=Ichψ|φIch.{displaystylelanglephi|psirangle^{*}=langlepsi|phirangle,.}

Beachten Sie, dass Ichφ|ψIch ist ein Skalar, also ist die hermitesch Konjugierte nur die komplex Konjugierte, dh

(Ichφ|ψIch)Ich=Ichφ|ψIch*{displaystyle {bigl(}langlephi |psirangle {bigr)}^{dagger}=langlephi |psirangle^{*}}

Ichφ|EIN|ψIch*=Ichψ|EINIch|φIchIchφ|EINIchBIch|ψIch*=Ichψ|BEIN|φIch.{displaystyle {begin{ausgerichtet}langlephi |A|psirangle^{*}&=leftlanglepsileft|A^{dagger}right|phirightrangle \linkslanglephileft|A^{dagger}B^{dagger}right|psirightrangle^{*}&=langlepsi |BA|phirangle ,.end{ausgerichtet}}}

((C1|φ1IchIchψ1|)+(C2|φ2IchIchψ2|))Ich=(C1*|ψ1IchIchφ1|)+(C2*|ψ2IchIchφ2|).{displaystyle {Big (}{bigl(}c_{1}|phi_{1}ranglelanglepsi_{1}|{bigr)}+{bigl(}c_{2} |phi_{2}ranglelanglepsi_{2}|{bigr)}{Big)}^{dagger}={bigl(}c_{1}^{*}|psi _{1}ranglelanglephi_{1}|{bigr)}+{bigl(}c_{2}^{*}|psi_{2}ranglelanglephi_{2 }|{bigr)},.}

Verbund-BHs und -Kets[edit]

Zwei Hilbert-Räume V und W kann einen dritten Raum bilden V ⊗ W durch ein Tensorprodukt. In der Quantenmechanik wird dies zur Beschreibung zusammengesetzter Systeme verwendet. Wenn ein System aus zwei Teilsystemen besteht, beschrieben in V und W dann ist der Hilbertraum des Gesamtsystems das Tensorprodukt der beiden Räume. (Die Ausnahme ist, wenn die Subsysteme tatsächlich identische Teilchen sind. In diesem Fall ist die Situation etwas komplizierter.)

Wenn |ψIch ist ein ket in V und |φIch ist ein ket in W, das direkte Produkt der beiden Kets ist ein Ket in V ⊗ W. Dies ist in verschiedenen Notationen geschrieben:

|ψIch|φIch,|ψIch⊗|φIch,|ψφIch,|ψ,φIch.{displaystyle |psirangle |phirangle,,quad |psirangleotimes |phirangle,,quad |psiphirangle,,quad |psi ,phirangle,.}

Siehe Quantenverschränkung und das EPR-Paradox für Anwendungen dieses Produkts.

Der Anlagenbetreiber[edit]

Betrachten Sie ein vollständiges Orthonormalsystem (Basis),

{eich | ich∈n},{displaystyle {e_{i} |iinmathbb{N}},,}

für einen Hilbertraum h, bezogen auf die Norm aus einem inneren Produkt ·,·⟩.

Aus der grundlegenden Funktionsanalyse ist bekannt, dass jedes ket

|ψIch{displaystyle |psirangle}

kann auch geschrieben werden als

|ψIch=Σich∈nIcheich|ψIch|eichIch,{displaystyle |psirangle =sum_{iinmathbb{N}}langle e_{i}|psirangle |e_{i}rangle,}

mit ·|·⟩ das innere Produkt auf dem Hilbertraum.

Aus der Kommutativität von Kets mit (komplexen) Skalaren folgt

Σich∈n|eichIchIcheich|=1{displaystyle sum_{iinmathbb{N}}|e_{i}ranglelangle e_{i}|=mathbb{1} }

muss das sein Identitätsoperator, die jeden Vektor an sich selbst sendet.

Dies kann dann in jeden Ausdruck eingefügt werden, ohne seinen Wert zu beeinflussen; zum Beispiel

Ichv|wIch=Ichv|(Σich∈n|eichIchIcheich|)|wIch=Ichv|(Σich∈n|eichIchIcheich|)(ΣJ∈n|eJIchIcheJ|)|wIch=Ichv|eichIchIcheich|eJIchIcheJ|wIch,{displaystyle {begin{ausgerichtet}langle v|wrangle &=langle v|left(sum _{iinmathbb {N}}|e_{i}rangle langle e_{i }|right)|wrangle \&=langle v|left(sum_{iinmathbb{N}}|e_{i}ranglelangle e_{i}|right) left(sum_{jinmathbb{N}}|e_{j}rangle langle e_{j}|right)|wrangle \&=langle v|e_{i} Winkel langle e_{i}|e_{j}rangle langle e_{j}|wrangle ,,end{ausgerichtet}}}

wobei in der letzten Zeile die Einstein-Summierungskonvention verwendet wurde, um Unordnung zu vermeiden.

In der Quantenmechanik kommt es oft vor, dass wenig oder keine Informationen über das innere Produkt Ichψ|φIch zweier beliebiger (Zustands-)Kets vorliegt, während man noch etwas über die Ausdehnungskoeffizienten sagen kann Ichψ|e_ichIch = Iche_ich|ψIch* und Iche_ich|φIch dieser Vektoren in Bezug auf eine spezifische (orthonormierte) Basis. In diesem Fall ist es besonders sinnvoll, den Gerätebediener einmal oder mehrmals in die Halterung einzufügen.

Weitere Informationen finden Sie unter Auflösung der Identität,

• 1 = ∫ dx |xIchIchx| = ∫ dP |PIchIchP|, wo
• |PIch = ∫ dx e^ixp/h|xIch/√2πħ.

Schon seit Ichx|xIch = δ(x − x), ebene Wellen folgen,

• Ichx|PIch = e^ixp/h/√2πħ.

In seinem Buch (1958), Ch. III.20, Dirac definiert die Standardket das ist bis auf eine Normierung der translatorisch invariante Impulseigenzustand

|πIch=limP→0|PIch{displaystyle |varpirangle =lim_{pto 0}|prangle}

in der Impulsdarstellung, dh

P^|πIch=0{displaystyle {hat{p}}|varpirangle =0}

. Folglich ist die entsprechende Wellenfunktion eine Konstante,

Ichx|πIch2πℏ=1{displaystyle langle x|varpirangle {sqrt {2pihbar}}=1}

, und

|xIch=δ(x^−x)|πIch2πℏ{displaystyle |xrangle =delta ({hat{x}}-x)|varpirangle {sqrt {2pihbar}}}

, ebenso gut wie |PIch=exp⁡(ichPx^/ℏ)|πIch{displaystyle |prangle =exp(ip{hat{x}}/hbar)|varpirangle}

.

Normalerweise, wenn alle Matrixelemente eines Operators wie

Ichx|EIN|jaIch{displaystyle langle x|A|yrangle}

vorhanden sind, dient dieser Beschluss der Wiederherstellung des vollständigen Betreibers,

∫DxDja |xIchIchx|EIN|jaIchIchja|=EIN .{displaystyle int dxdy~~|xranglelangle x|A|yranglelangle y|=A~.}

Von Mathematikern verwendete Notation[edit]

Die Objektphysiker betrachten bei der Verwendung der Bra-Ket-Notation einen Hilbert-Raum (einen vollständigen inneren Produktraum).

Lassen

(h,Ich⋅,⋅Ich){displaystyle ({mathcal{H}},langlecdot,cdotrangle)}

sei ein Hilbertraum und h ∈ h ein Vektor in h. Was Physiker mit . bezeichnen würden |hIch ist der Vektor selbst. Das ist,

|hIch∈h{displaystyle |hranglein {mathcal{H}}}

.

Lassen h* sei der duale Raum von h. Dies ist der Raum der linearen Funktionale auf h. Die Einbettung

Φ:h↪h*{displaystyle Phi:{mathcal{H}}hookrightarrow {mathcal{H}}^{*}}

ist definiert durch

Φ(h)=φh{displaystyle Phi(h)=varphi_{h}}

, wo für alle h ∈ h das lineare Funktional

φh:h→C{displaystyle varphi_{h}:{mathcal{H}}tomathbb{C}}

erfüllt für alle g ∈ h die Funktionsgleichung

φh(g)=Ichh,gIch=Ichh|gIch{displaystyle varphi_{h}(g)=langle h,grangle =langle hmid grangle}

. Beim Identifizieren entsteht Verwirrung in der Notation φ_h und g mit Ichh| und |gIch bzw. Dies liegt an wörtlichen symbolischen Ersetzungen. Lassen

φh=h=Ichh|{displaystyle varphi_{h}=H=langle hmid}

und lass g = G = |gIch. Das gibt

φh(g)=h(g)=h(g)=Ichh|(g)=Ichh|(|gIch).{displaystyle varphi_{h}(g)=H(g)=H(G)=langle h|(G)=langle h|{bigl(}|grangle {bigr)} ,.}

Man ignoriert die Klammern und entfernt die Doppelstriche.

Außerdem schreiben Mathematiker die duale Entität normalerweise nicht an erster Stelle, wie dies die Physiker tun, sondern an zweiter Stelle, und sie verwenden normalerweise kein Sternchen, sondern eine Überstreichung (die die Physiker für Mittelwerte und den Dirac-Spinor adjungiert halten) zur Bezeichnung komplex konjugierte Zahlen; dh für Skalarprodukte schreiben Mathematiker normalerweise

Ichφ,ψIch=∫φ(x)⋅ψ(x)¯Dx,{displaystyle langlephi ,psirangle =intphi(x)cdot {overline {psi(x)}},mathrm {d}x,,}

während Physiker für die gleiche Menge schreiben würden

Ichψ|φIch=∫Dx ψ*(x)⋅φ(x) .{displaystyle langle psi |phirangle =int dx~~psi^{*}(x)cdot phi(x)~.}

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

• Dirac, PAM (1939). „Eine neue Notation für die Quantenmechanik“. Mathematische Verfahren der Cambridge Philosophical Society. 35 (3): 416–418. Bibcode:1939PCPS…35..416D. mach:10.1017/S0305004100021162.. Siehe auch seinen Standardtext, Die Prinzipien der Quantenmechanik, IV. Ausgabe, Clarendon Press (1958), ISBN 978-0198520115
• Grassmann, H. (1862). Erweiterungstheorie. Geschichte der Mathematikquellen. 2000 Übersetzung von Lloyd C. Kannenberg. Amerikanische Mathematische Gesellschaft, London Mathematische Gesellschaft.
• Cajori, Florian (1929). Eine Geschichte der mathematischen Notationen Band II. Open Court Publishing. P. 134. ISBN 978-0-486-67766-8.
• Shankar, R. (1994). Prinzipien der Quantenmechanik (2. Aufl.). ISBN 0-306-44790-8.
• Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (1965). Die Feynman-Vorlesungen über Physik. III. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02118-8.

Externe Links[edit]