Shubnikov-De Haas-Effekt – Wikipedia

Eine Schwingung der Leitfähigkeit eines Materials, die bei tiefen Temperaturen in Gegenwart sehr starker Magnetfelder auftritt, die Shubnikov-De Haas-Effekt (SdH) ist eine makroskopische Manifestation der inhärenten quantenmechanischen Natur der Materie. Es wird häufig verwendet, um die effektive Masse von Ladungsträgern (Elektronen und Elektronenlöchern) zu bestimmen, wodurch Forscher zwischen Majoritäts- und Minoritätsträgerpopulationen unterscheiden können. Der Effekt ist nach Wander Johannes de Haas und Lev Shubnikov benannt.

Physikalischer Prozess[edit]

Bei ausreichend niedrigen Temperaturen und hohen Magnetfeldern verhalten sich die freien Elektronen im Leitungsband eines Metall-, Halbmetall- oder Halbleiters mit schmaler Bandlücke wie einfache harmonische Oszillatoren. Wenn die magnetische Feldstärke geändert wird, ändert sich die Schwingungsperiode der einfachen harmonischen Oszillatoren proportional. Das resultierende Energiespektrum besteht aus Landau-Niveaus, die durch die Zyklotronenergie getrennt sind. Diese Landau-Ebenen werden durch die Zeeman-Energie weiter aufgespalten. In jedem Landau-Niveau sind die Zyklotron- und Zeeman-Energien sowie die Anzahl der Elektronenzustände (eB/h) nehmen alle linear mit zunehmendem Magnetfeld zu. Wenn das Magnetfeld zunimmt, bewegen sich die Spin-Split-Landau-Niveaus zu einer höheren Energie. Wenn jedes Energieniveau durch die Fermi-Energie geht, entvölkert es sich, da die Elektronen frei werden, um als Strom zu fließen. Dadurch schwingen die Transport- und thermodynamischen Eigenschaften des Materials periodisch, was zu einer messbaren Schwingung der Leitfähigkeit des Materials führt. Da der Übergang über die Fermi-Kante einen kleinen Energiebereich umfasst, ist die Wellenform eher quadratisch als sinusförmig, wobei die Form mit sinkender Temperatur immer quadratischer wird^{[citation needed]}.

Betrachten Sie ein zweidimensionales Quantengas von Elektronen, das in einer Probe mit gegebener Breite und Kanten eingeschlossen ist. Bei Vorhandensein einer magnetischen Flussdichte B, werden die Energieeigenwerte dieses Systems durch Landau-Niveaus beschrieben. Wie in Abb. 1 gezeigt, sind diese Ebenen entlang der vertikalen Achse gleich weit entfernt. Jedes Energieniveau ist innerhalb einer Probe im Wesentlichen flach (siehe 1 ). An den Kanten einer Probe krümmt sich die Austrittsarbeit nach oben.

Abb. 1: Kantenkanäle einer Probe mit einem zweidimensionalen Elektronengas.

Abb. 1 zeigt die Fermi-Energie E_F dazwischen gelegen^[1] zwei Landau-Ebenen. Elektronen werden mobil, wenn ihre Energieniveaus die Fermi-Energie überqueren E_F. Mit der Fermi-Energie E_F zwischen zwei Landau-Niveaus tritt die Streuung von Elektronen nur an den Kanten einer Probe auf, wo die Niveaus gebogen sind. Die entsprechenden Elektronenzustände werden üblicherweise als Kantenkanäle bezeichnet.

Der Landauer-Büttiker-Ansatz wird verwendet, um den Transport von Elektronen in dieser speziellen Probe zu beschreiben. Der Landauer-Büttiker-Ansatz ermöglicht die Berechnung von Nettoströmen ich_ich fließt zwischen mehreren Kontakten 1 ≤ ich ≤ nein. In seiner vereinfachten Form ist der Nettostrom ich_ich Kontakt ich mit chemischem Potenzial µ_ich liest

after-content-x4 ${displaystyle I_{m}=2{frac {ecdot i}{h}}left(mu_{m}-sum_{lneq m}T_{ml}mu_{l }Recht),,}$

(1)

wo e bezeichnet die Elektronenladung, ha bezeichnet die Plancksche Konstante und ich steht für die Anzahl der Kantenkanäle.^[2] Die Matrix T_ml bezeichnet die Übertragungswahrscheinlichkeit eines negativ geladenen Teilchens (dh eines Elektrons) von einem Kontakt l ≠ ich zu einem anderen Kontakt ich. Der Nettostrom ich_ich in einer Beziehung (1) setzt sich aus den Strömen zum Kontakt zusammen ich und des vom Kontakt übertragenen Stroms ich an alle anderen Kontakte l ≠ ich . Dieser Strom entspricht der Spannung μ_ich / e Kontakt ich multipliziert mit der Hall-Leitfähigkeit von 2 e² / ha pro Kantenkanal.

Abb 2: Kontaktanordnung zur Messung von SdH-Schwingungen.

Bild 2 zeigt ein Beispiel mit vier Kontakten. Um einen Strom durch die Probe zu treiben, wird eine Spannung zwischen den Kontakten 1 und 4 angelegt. Eine Spannung wird zwischen den Kontakten 2 und 3 gemessen. Angenommen, Elektronen verlassen den 1. Kontakt, werden dann von Kontakt 1 zu Kontakt 2 übertragen, dann von Kontakt transmitted 2 zu Kontakt 3, dann von Kontakt 3 zu Kontakt 4 und schließlich von Kontakt 4 zurück zu Kontakt 1. Eine negative Ladung (dh ein Elektron), die von Kontakt 1 zu Kontakt 2 übertragen wird, führt zu einem Strom von Kontakt 2 zu Kontakt 1. Ein Elektron, das von Kontakt 2 zu Kontakt 3 übertragen wird, führt zu einem Strom von Kontakt 3 zu Kontakt 2 usw. Nehmen Sie auch an, dass auf weiteren Wegen keine Elektronen übertragen werden. Die Übertragungswahrscheinlichkeiten idealer Kontakte lauten dann

${displaystyle T_{21}=T_{32}=T_{43}=T_{14}=1,}$

und

${displaystyle T_{ml}=0}$

Andernfalls. Mit diesen Wahrscheinlichkeiten sind die Ströme ich₁ … ich₄ durch die vier Kontakte und mit ihren chemischen Potentialen µ₁ … µ₄, Gleichung (1) kann umgeschrieben werden

${displaystyle left({begin{matrix}I_{1}\I_{2}\I_{3}\I_{4}end{matrix}}right)={frac {2e cdot i}{h}}left({begin{matrix}1&0&0&-1\-1&1&0&0\0&-1&1&0\0&0&-1&1end{matrix}}right)left({begin{matrix }mu_{1}\mu_{2}\mu_{3}\mu_{4}end{matrix}}right).}$

Zwischen den Kontakten 2 und 3 wird eine Spannung gemessen. Die Spannungsmessung sollte idealerweise keinen Stromfluss durch das Messgerät beinhalten, also ich₂ = ich₃ = 0. Daraus folgt

${displaystyle I_{3}=0={frac {2ecdot i}{h}}left(-mu_{2}+mu_{3}right),}$

${displaystyle mu_{2}=mu_{3}.}$

Mit anderen Worten, die chemischen Potentiale µ₂ und µ₃ und ihre jeweiligen Spannungen µ₂/e und µ₃/e sind gleich. Da keine Spannung zwischen den Kontakten 2 und 3 abfällt, wird der Strom ich₁ erfährt keinen spezifischen Widerstand R_SdH zwischen den Kontakten 2 und 3

${displaystyle R_{mathrm{SdH}}={frac {mu_{2}-mu_{3}}{ecdot I_{1}}}=0.}$

Das Ergebnis des Nullwiderstands zwischen den Kontakten 2 und 3 ist eine Folge davon, dass die Elektronen nur in den Randkanälen der Probe beweglich sind. Anders wäre die Situation, wenn ein Landau-Niveau der Fermi-Energie nahe kommt E_F. Alle Elektronen auf diesem Niveau würden mobil werden, wenn sich ihre Energie der Fermi-Energie annähert E_F. Folglich würde Streuung zu R_SdH > 0. Mit anderen Worten, der obige Ansatz ergibt einen spezifischen Widerstand von Null, wenn die Landau-Niveaus so positioniert sind, dass die Fermi-Energie E_F liegt zwischen zwei Ebenen.

Anwendungen[edit]

Shubnikov-De Haas-Oszillationen können verwendet werden, um die zweidimensionale Elektronendichte einer Probe zu bestimmen. Für einen gegebenen magnetischen Fluss

die maximale anzahl D von Elektronen mit Spin S = 1/2 pro Landau-Level ist

${displaystyle D=left(2S+1right){frac {Phi }{Phi_{0}}}=2{frac {Phi }{Phi_{0}}}. ,}$

(2)

Beim Einsetzen der Ausdrücke für das Flussquant Φ₀ = h / e und für den magnetischen Fluss = B ∙ EIN Beziehung (2) liest

${displaystyle D=2{frac {ecdot Bcdot A}{h}}}$

Lassen Nein die maximale Anzahl von Zuständen pro Flächeneinheit bezeichnen, also D = Nein ∙ EIN und

${displaystyle N=2{frac {ecdot B}{h}}.}$

Lassen Sie nun jedes Landau-Niveau einem Kantenkanal des obigen Beispiels entsprechen. Für eine bestimmte Zahl ich von Randkanälen jeweils gefüllt mit Nein Elektronen pro Flächeneinheit, die Gesamtzahl nein der Elektronen pro Flächeneinheit lautet

${displaystyle n=icdot N=2cdot icdot {frac {ecdot B}{h}}.}$

Die Gesamtzahl nein der Elektronen pro Flächeneinheit wird allgemein als Elektronendichte einer Probe bezeichnet. Da keine Elektronen aus der Probe ins Unbekannte verschwinden, ist die Elektronendichte nein ist konstant. Es folgt dem

${displaystyle B_{i}={frac {ncdot h}{2cdot ecdot i}},}$

${displaystyle {frac {1}{B_{i}}}={frac {2cdot ecdot i}{ncdot h}}},}$

${displaystyle Delta left({frac {1}{B}}right)={frac {1}{B_{i+1}}}}-{frac {1}{B_{i}} }={frac{2cdot e}{ncdot h}}.,}$

(3)

Bild 3: Inverse magnetische Flussdichten 1/B_ich vs Shubnikov-De Haas Minima, wie in hochdotiertem Bi . beobachtet₂Se₃.

Für eine gegebene Probe sind alle Faktoren einschließlich der Elektronendichte nein auf der rechten Seite der Beziehung (3) sind konstant. Beim Plotten des Index ich eines Randkanals gegen den Kehrwert seiner magnetischen Flussdichte 1/B_ich, erhält man eine Gerade mit Steigung 2 ∙ e/(nein∙ ha). Da die Elektronenladung e ist bekannt und auch die Plancksche Konstante ha, kann man die Elektronendichte nein einer Probe aus diesem Plot.^[3]

Shubnikov-De Haas-Oszillationen werden in hochdotiertem Bi . beobachtet₂Se₃.^[4] Bild 3 zeigt die reziproke magnetische Flussdichte 1/B_ich des 10. bis 14. Minima eines Bi₂Se₃ Stichprobe. Die aus einer linearen Anpassung erhaltene Steigung von 0,00618/T ergibt die Elektronendichte nein

${displaystyle n={frac {2cdot e}{0,00618/mathrm {T} cdot h}}approx 7,82cdot 10^{14}/mathrm {m} ^{2}.}$

Shubnikov-De Haas-Oszillationen können verwendet werden, um die Fermi-Oberfläche von Elektronen in einer Probe abzubilden, indem die Schwingungsperioden für verschiedene angelegte Feldrichtungen bestimmt werden.

Zugehöriger physikalischer Prozess[edit]

Der Effekt ist mit dem De Haas-Van Alphen-Effekt verwandt, der die entsprechenden Schwingungen in der Magnetisierung bezeichnet. Die Signatur jedes Effekts ist eine periodische Wellenform, wenn sie als Funktion des inversen Magnetfelds aufgetragen wird. Die “Frequenz” der Magnetowiderstands-Oszillationen zeigt Bereiche extremaler Bahnen um die Fermi-Oberfläche an. Die Fläche der Fermi-Oberfläche wird in Tesla angegeben.

Verweise[edit]

Externe Links[edit]