Singularität (Mathematik) – Wikipedia

Punkt, an dem sich eine Funktion, eine Kurve oder ein anderes mathematisches Objekt nicht regelmäßig verhält

In der Mathematik, a Singularität ist ein Punkt, an dem ein gegebenes mathematisches Objekt nicht definiert ist, oder ein Punkt, an dem das mathematische Objekt auf eine bestimmte Weise aufhört, sich gut zu benehmen, beispielsweise durch mangelnde Unterscheidbarkeit oder Analytik.^[1][2][3]

Zum Beispiel die reelle Funktion

${displaystyle f(x)={frac {1}{x}}}$

hat eine Singularität bei

${displaystyle x=0}$

, wobei der Zahlenwert der Funktion gegen

${displaystyle pm infty}$

Die Funktion ist also nicht definiert. Die Absolutwertfunktion

${displaystyle g(x)=|x|}$

hat auch eine Singularität bei

${displaystyle x=0}$

, da es dort nicht differenzierbar ist.^[4]

Die algebraische Kurve definiert durch

${displaystyle left{(x,y):y^{3}-x^{2}=0right}}$

in dem

${displaystyle (x,y)}$

Koordinatensystem hat eine Singularität (eine sogenannte Spitze) bei

${displaystyle (0,0)}$

. Für Singularitäten in der algebraischen Geometrie siehe Singularpunkt einer algebraischen Varietät. Für Singularitäten in der Differentialgeometrie siehe Singularitätstheorie.

Echte Analyse[edit]

In der reellen Analyse sind Singularitäten entweder Diskontinuitäten oder Diskontinuitäten der Ableitung (manchmal auch Diskontinuitäten von Ableitungen höherer Ordnung). Es gibt vier Arten von Diskontinuitäten: tippe I, die zwei Untertypen hat, und Typ II, die auch in zwei Untertypen unterteilt werden kann (obwohl dies normalerweise nicht der Fall ist).

Um zu beschreiben, wie diese beiden Arten von Grenzwerten verwendet werden, nehmen wir an, dass

${displaystyle f(x)}$

ist eine Funktion eines reellen Arguments

${displaystyle x}$

, und für jeden Wert seines Arguments sagen wir

${displaystyle c}$

, dann ist die Linkshänder-Limit,

${displaystyle f(c^{-})}$

, und der rechtshändiges Limit,

${displaystyle f(c^{+})}$

, sind definiert durch:

${displaystyle f(c^{-})=lim_{xto c}f(x)}$

, eingeschränkt durch

${displaystyle x$

und

${displaystyle f(c^{+})=lim_{xto c}f(x)}$

, eingeschränkt durch

${displaystyle x>c}$

${displaystyle f(c^{-})}$

ist der Wert, den die Funktion

${displaystyle f(x)}$

tendiert als Wert

${displaystyle x}$

nähert sich

${displaystyle c}$

von unter, und der Wert

${displaystyle f(c^{+})}$

ist der Wert, den die Funktion

${displaystyle f(x)}$

tendiert als Wert

${displaystyle x}$

nähert sich

${displaystyle c}$

von Oben, unabhängig davon, welchen tatsächlichen Wert die Funktion an der Stelle hat, an der

${displaystyle x=c}$

.

Es gibt einige Funktionen, für die diese Grenzen überhaupt nicht existieren. Zum Beispiel die Funktion

${displaystyle g(x)=sinleft({frac {1}{x}}right)}$

neigt zu nichts als

${displaystyle x}$

nähert sich

${displaystyle c=0}$

. Die Grenzen sind in diesem Fall nicht unendlich, sondern eher undefiniert: Es gibt keinen Wert, der

${displaystyle g(x)}$

setzt sich ein. In Anlehnung an eine komplexe Analyse wird dies manchmal als wesentliche Singularität.

Die möglichen Fälle bei einem gegebenen Wert

${displaystyle c}$

für das Argument sind wie folgt.

• EIN Punkt der Kontinuität ist ein Wert von
  ${displaystyle c}$

  für die

  ${displaystyle f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})}$

  , wie man es für eine glatte Funktion erwartet. Alle Werte müssen endlich sein. Wenn

  ${displaystyle c}$

  kein Stetigkeitspunkt ist, dann tritt eine Diskontinuität bei auf

  ${displaystyle c}$

  .

• EIN tippe I Diskontinuität tritt auf, wenn beide
  ${displaystyle f(c^{-})}$

  und

  ${displaystyle f(c^{+})}$

  existieren und sind endlich, aber es trifft auch mindestens eine der folgenden drei Bedingungen zu:

  • 
    ${displaystyle f(c^{-})neq f(c^{+})}$

    ;

  • 
    ${displaystyle f(x)}$

    ist nicht definiert für den Fall von

    ${displaystyle x=c}$

    ; oder

  • 
    ${displaystyle f(c)}$

    hat einen definierten Wert, der jedoch nicht mit dem Wert der beiden Grenzen übereinstimmt.

  Diskontinuitäten vom Typ I können weiter als einer der folgenden Untertypen unterschieden werden:

  • EIN Sprungunstetigkeit passiert wenn
    ${displaystyle f(c^{-})neq f(c^{+})}$

    , egal ob

    ${displaystyle f(c)}$

    definiert ist, und unabhängig von seinem Wert, wenn er definiert ist.

  • EIN entfernbare Diskontinuität passiert wenn
    ${displaystyle f(c^{-})=f(c^{+})}$

    , auch unabhängig davon, ob

    ${displaystyle f(c)}$

    definiert ist, und zwar unabhängig von seinem Wert, falls er definiert ist (der jedoch nicht dem der beiden Grenzen entspricht).

• EIN Typ II Diskontinuität tritt auf, wenn entweder
  ${displaystyle f(c^{-})}$

  oder

  ${displaystyle f(c^{+})}$

  existiert nicht (eventuell beides). Dies hat zwei Untertypen, die normalerweise nicht separat betrachtet werden:

  • Ein unendliche Diskontinuität ist der Sonderfall, wenn entweder der linke oder der rechte Grenzwert nicht existiert, insbesondere weil er unendlich ist, und der andere Grenzwert entweder ebenfalls unendlich oder eine wohldefinierte endliche Zahl ist. Mit anderen Worten, die Funktion hat eine unendliche Diskontinuität, wenn ihr Graph eine vertikale Asymptote hat.
  • Ein wesentliche Singularität ist ein Begriff aus der komplexen Analyse (siehe unten). Dies ist der Fall, wenn entweder die eine oder die andere Grenze
    ${displaystyle f(c^{-})}$

    oder

    ${displaystyle f(c^{+})}$

    existiert nicht, aber nicht weil es ein . ist unendliche Diskontinuität. Wesentliche Singularitäten nähern Sie sich keinem Limit, auch nicht, wenn gültige Antworten um erweitert werden

    ${displaystyle pm infty}$

    .

In der reellen Analysis ist eine Singularität oder Diskontinuität allein eine Eigenschaft einer Funktion. Alle Singularitäten, die in der Ableitung einer Funktion vorkommen können, werden als zur Ableitung gehörend betrachtet, nicht zur ursprünglichen Funktion.

Koordinatensingularitäten[edit]

EIN Koordinatensingularität tritt auf, wenn in einem Koordinatenrahmen eine scheinbare Singularität oder Diskontinuität auftritt, die durch Auswahl eines anderen Rahmens beseitigt werden kann. Ein Beispiel dafür ist die scheinbare Singularität am 90. Breitengrad in Kugelkoordinaten. Ein Objekt, das sich auf der Oberfläche einer Kugel genau nach Norden bewegt (z. . Diese Diskontinuität ist jedoch nur scheinbar; es ist ein Artefakt des gewählten Koordinatensystems, das an den Polen singulär ist. Ein anderes Koordinatensystem würde die scheinbare Diskontinuität beseitigen (z. B. durch Ersetzen der Breiten-/Längen-Darstellung durch ein n-Vektordarstellung).

Komplexe Analyse[edit]

In der komplexen Analysis gibt es mehrere Klassen von Singularitäten. Dazu gehören die isolierten Singularitäten, die nicht isolierten Singularitäten und die Verzweigungspunkte.

Isolierte Singularitäten[edit]

Nehme an, dass U ist eine offene Teilmenge der komplexen Zahlen C, mit dem punkt ein ein Element von . sein U, und das F ist eine komplexe differenzierbare Funktion, die auf einer Umgebung um . definiert ist ein, ausschließlich ein: U {ein}, dann:

• Der Punkt ein ist eine entfernbare Singularität von F falls es eine holomorphe Funktion gibt g auf allen definiert U so dass F(z) = g(z) für alle z in U {ein}. Die Funktion g ist ein ständiger Ersatz für die Funktion F.^[5]
• Der Punkt ein ist ein Pol oder eine nicht-essentielle Singularität von F falls es eine holomorphe Funktion gibt g definiert auf U mit g(ein) ungleich Null und eine natürliche Zahl n so dass F(z) = g(z) / (z − ein)ⁿ für alle z in U {ein}. Die kleinste solche Zahl n heißt der Reihenfolge der Pole. Die Ableitung an einer nicht-essentiellen Singularität selbst hat eine nicht-essentielle Singularität, mit n um 1 erhöht (außer wenn n 0 ist, damit die Singularität entfernbar ist).
• Der Punkt ein ist eine wesentliche Singularität von F wenn es weder eine entfernbare Singularität noch ein Pol ist. Der Punkt ein ist genau dann eine essentielle Singularität, wenn die Laurent-Reihe unendlich viele Potenzen negativen Grades hat.^[1]

Nicht isolierte Singularitäten[edit]

Abgesehen von isolierten Singularitäten können komplexe Funktionen einer Variablen ein anderes singuläres Verhalten aufweisen. Diese werden als nicht isolierte Singularitäten bezeichnet, von denen es zwei Arten gibt:

• Clusterpunkte: Grenzpunkte isolierter Singularitäten. Wenn sie alle Pole sind, obwohl auf jedem von ihnen Laurent-Reihenentwicklungen zugelassen sind, ist eine solche Erweiterung an ihrer Grenze nicht möglich.
• Natürliche Grenzen: jede nicht isolierte Menge (zB eine Kurve), auf der Funktionen nicht analytisch fortgeführt werden können (oder außerhalb von ihnen, wenn es sich um geschlossene Kurven in der Riemannschen Kugel handelt).

Verzweigungspunkte[edit]

Verzweigungspunkte sind im Allgemeinen das Ergebnis einer mehrwertigen Funktion, wie z

${displaystyle {sqrt {z}}}$

oder

${displaystylelog(z)}$

, die innerhalb einer bestimmten begrenzten Domäne definiert sind, so dass die Funktion innerhalb der Domäne einwertig gemacht werden kann. Der Schnitt ist eine Linie oder Kurve, die aus dem Bereich ausgeschlossen wird, um eine technische Trennung zwischen unstetigen Werten der Funktion einzuführen. Wenn der Schnitt wirklich erforderlich ist, weist die Funktion auf jeder Seite des Zweigschnitts deutlich unterschiedliche Werte auf. Die Form des Astschnitts ist frei wählbar, auch wenn er zwei unterschiedliche Astpunkte verbinden muss (z

${displaystyle z=0}$

und

${displaystyle z=infty}$

zum

${displaystylelog(z)}$

) die fest montiert sind.

Endliche Singularität[edit]

EIN endliche Singularität tritt auf, wenn eine Eingabevariable die Zeit ist und eine Ausgabevariable zu einem endlichen Zeitpunkt gegen Unendlich ansteigt. Diese sind wichtig in Kinematiken und PDEs (Partial Differential Equations) – Infinites treten physikalisch nicht auf, aber das Verhalten nahe der Singularität ist oft von Interesse. Mathematisch sind die einfachsten endlichen Singularitäten Potenzgesetze für verschiedene Exponenten der Form

${displaystyle x^{-alpha},}$

von denen das einfachste hyperbolisches Wachstum ist, wobei der Exponent (negativ) 1 ist:

${displaystyle x^{-1}.}$

Genauer gesagt, um mit fortschreitender Zeit eine Singularität zu einem positiven Zeitpunkt zu erhalten (so dass die Ausgabe ins Unendliche wächst), verwendet man stattdessen

${displaystyle (t_{0}-t)^{-alpha }}$

(mit T für Zeit, Richtungsumkehr zu

${displaystyle -t}$

so dass die Zeit ins Unendliche ansteigt und die Singularität nach vorne von 0 auf eine feste Zeit verschoben wird

${displaystyle t_{0}}$

).

Ein Beispiel wäre die Sprungbewegung eines unelastischen Balls auf einer Ebene. Betrachtet man eine idealisierte Bewegung, bei der bei jedem Aufprall der gleiche Anteil an kinetischer Energie verloren geht, wird die Häufigkeit des Aufpralls unendlich, da der Ball in endlicher Zeit zur Ruhe kommt. Andere Beispiele für Singularitäten in endlicher Zeit sind die verschiedenen Formen des Painlevé-Paradoxons (z. bevor Sie abrupt anhalten (wie mit dem Spielzeug Eulersche Scheibe untersucht).

Hypothetische Beispiele sind Heinz von Foersters scherzhaftes “Die Gleichung des Weltuntergangs” (einfache Modelle ergeben eine unendliche menschliche Bevölkerung in endlicher Zeit).

Algebraische Geometrie und kommutative Algebra[edit]

In der algebraischen Geometrie ist eine Singularität einer algebraischen Varietät ein Punkt der Varietät, an dem der Tangentialraum nicht regelmäßig definiert werden kann. Das einfachste Beispiel für Singularitäten sind Kurven, die sich selbst kreuzen. Aber es gibt auch andere Arten von Singularitäten, wie zum Beispiel Höcker. Zum Beispiel die Gleichung ja² − x³ = 0 definiert eine Kurve mit einer Spitze im Ursprung x = ja = 0. Man könnte das definieren x-Achse als Tangente an diesem Punkt, aber diese Definition kann nicht mit der Definition an anderen Punkten identisch sein. Tatsächlich ist in diesem Fall die x-Achse ist a “Doppeltangente.”

Bei affinen und projektiven Varietäten sind die Singularitäten die Punkte, an denen die Jacobi-Matrix einen niedrigeren Rang hat als an anderen Punkten der Varietät.

Eine äquivalente Definition in Bezug auf die kommutative Algebra kann gegeben werden, die sich auf abstrakte Varietäten und Schemata erstreckt: Ein Punkt ist Singular wenn der lokale Ring an dieser Stelle kein regulärer lokaler Ring ist.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]