Satz von Chern-Gauss-Bonnet – Wikipedia

Bindet Euler-Charakteristik einer geschlossenen, gleichdimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit an die Krümmung

In der Mathematik ist die Chern-Theorem (oder der Satz von Chern-Gauss-Bonnet^[1][2] Nach Shiing-Shen Chern stellen Carl Friedrich Gauss und Pierre Ossian Bonnet fest, dass das Euler-Poincaré-Merkmal (eine topologische Invariante, definiert als die alternierende Summe der Betti-Zahlen eines topologischen Raums) einer geschlossenen, gerade dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit gleich ist auf das Integral eines bestimmten Polynoms (der Euler-Klasse) seiner Krümmungsform (eine analytische Invariante).

Es ist eine höchst nicht triviale Verallgemeinerung des klassischen Gauß-Bonnet-Theorems (für zweidimensionale Mannigfaltigkeiten / Oberflächen) auf höhere gleichdimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten. 1943 erwiesen sich Carl B. Allendoerfer und André Weil als Sonderfall für extrinsische Verteiler. In einem 1944 veröffentlichten klassischen Artikel bewies Shiing-Shen Chern den Satz in voller Allgemeinheit, der die globale Topologie mit der lokalen Geometrie verbindet.^[3]

Riemann-Roch und Atiyah-Singer sind weitere Verallgemeinerungen des Gauß-Bonnet-Theorems.

Erklärung[edit]

Eine nützliche Form der Chern-Theorem ist das^[4][5]

${ displaystyle chi (M) = int _ {M} e ( Omega)}$

wo

${ displaystyle chi (M)}$

bezeichnet das Euler-Merkmal von M. Die Euler-Klasse ist definiert als

${ displaystyle e ( Omega) = { frac {1} {(2 pi) ^ {n}}} operatorname {Pf} ( Omega).}$

wo wir den Pfaffian haben

${ displaystyle operatorname {Pf} ( Omega)}$

. Hier M. ist eine kompakte orientierbare 2n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit ohne Grenze, und

${ displaystyle Omega}$

ist die zugehörige Krümmungsform der Levi-Civita-Verbindung. In der Tat gilt die Aussage mit

${ displaystyle Omega}$

die Krümmungsform einer beliebigen metrischen Verbindung auf dem Tangentenbündel sowie für andere Vektorbündel über

${ displaystyle M}$

.^[6]

Da die Dimension 2 istn, wir haben das

${ displaystyle Omega}$

ist ein

${ displaystyle { mathfrak {s}} { mathfrak {o}} (2n)}$

-bewertete 2-Differentialform auf M. (siehe spezielle orthogonale Gruppe). Damit

${ displaystyle Omega}$

kann als schiefsymmetrisch angesehen werden 2n × 2n Matrix, deren Einträge 2-Formen sind, ist also eine Matrix über dem kommutativen Ring

${ textstyle { bigwedge} ^ { text {even}} , T ^ {*} M}$

. Daher ist der Pfaffian eine 2n-bilden. Es ist auch ein invariantes Polynom.

Der Satz von Chern im Allgemeinen ist jedoch der für jeden geschlossenen

${ displaystyle C ^ { infty}}$

orientierbar n-dimensional M.,^[4]

${ displaystyle chi (M) = (e (TM),[M])}$

wobei die obige Paarung (,) das Kappenprodukt mit der Euler-Klasse des Tangentenbündels TM bezeichnet.

Anwendungen[edit]

Das Chern-Gauss-Bonnet-Theorem kann als besonderes Beispiel in der Theorie der charakteristischen Klassen angesehen werden. Der Chern-Integrand ist die Euler-Klasse. Da es sich um eine topdimensionale Differentialform handelt, ist sie geschlossen. Die Natürlichkeit der Euler-Klasse bedeutet, dass man beim Ändern der Riemannschen Metrik in derselben Kohomologieklasse bleibt. Das bedeutet, dass das Integral der Euler-Klasse konstant bleibt, wenn die Metrik variiert wird, und somit eine globale Invariante der glatten Struktur ist.^[5]

Der Satz hat auch zahlreiche Anwendungen in der Physik gefunden, darunter:^[5]

Spezialfälle[edit]

Vierdimensionale Verteiler[edit]

In der Dimension

${ displaystyle 2n = 4}$

Für einen kompakt ausgerichteten Verteiler erhalten wir

${ displaystyle chi (M) = { frac {1} {32 pi ^ {2}}} int _ {M} left (| { text {Riem}} | ^ {2} -4 | { text {Ric}} | ^ {2} + R ^ {2} right) , d mu}$

wo

${ displaystyle { text {Riem}}}$

ist der volle Riemannsche Krümmungstensor,

${ displaystyle { text {Ric}}}$

ist der Ricci-Krümmungstensor und

${ displaystyle R}$

ist die Skalarkrümmung. Dies ist besonders wichtig in der allgemeinen Relativitätstheorie, wo die Raumzeit als 4-dimensionale Mannigfaltigkeit betrachtet wird.

Gauß-Bonnet-Theorem[edit]

Das Gauß-Bonnet-Theorem ist ein Sonderfall, wenn M eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit ist. Dies ist der Sonderfall, bei dem der topologische Index anhand von Betti-Zahlen und der analytische Index anhand des Gauß-Bonnet-Integranden definiert wird.

Wie beim zweidimensionalen Gauß-Bonnet-Theorem gibt es Verallgemeinerungen, wenn M. ist eine Mannigfaltigkeit mit Grenze.

Weitere Verallgemeinerungen[edit]

Atiyah-Sänger[edit]

Eine weitreichende Verallgemeinerung des Gauß-Bonnet-Theorems ist das Atiyah-Singer-Index-Theorem.^[5]

Lassen

${ displaystyle D}$

sei ein schwach elliptischer Differentialoperator zwischen Vektorbündeln. Das heißt, das Hauptsymbol ist ein Isomorphismus. Eine starke Elliptizität würde außerdem erfordern, dass das Symbol positiv definit ist.

Lassen

${ displaystyle D ^ {*}}$

sei sein adjungierter Operator. Dann ist die analytischer Index ist definiert als

dim (ker (D.)) – dim (ker (D.*)),

Durch Elliptizität ist dies immer endlich. Der Indexsatz besagt, dass dies konstant ist, da der elliptische Operator gleichmäßig variiert wird. Es ist gleich a topologischer Index, die in charakteristischen Klassen wie der Euler-Klasse ausgedrückt werden kann.

Der GB-Satz wird unter Berücksichtigung des Dirac-Operators abgeleitet

${ displaystyle D = d + d ^ {*}}$

Ungerade Abmessungen[edit]

Die Chen-Formel ist für gerade Dimensionen definiert, da die Euler-Charakteristik für ungerade Dimensionen verschwindet. Es werden einige Untersuchungen durchgeführt, um den Indexsatz in der K-Theorie zu “verdrehen”, um nicht triviale Ergebnisse für ungerade Dimensionen zu erhalten.^[7][8]

Es gibt auch eine Version von Chens Formel für Orbifolds.^[9]

Geschichte[edit]

Shiing-Shen Chern veröffentlichte 1944 am Institut für fortgeschrittene Studien seinen Beweis des Theorems. Dies war historisch das erste Mal, dass die Formel bewiesen wurde, ohne anzunehmen, dass die Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum eingebettet ist, was mit “intrinsisch” gemeint ist. Der Sonderfall für eine Hyperfläche (eine n-1-dimensionale Untervielfalt in einem n-dimensionalen euklidischen Raum) wurde von H. Hopf bewiesen, in dem der Integrand die Gauß-Kronecker-Krümmung ist (das Produkt aller Hauptkrümmungen an einem Punkt der Hyperfläche). Dies wurde von Allendoerfer im Jahr 1939 und Fenchel im Jahr 1940 unabhängig auf eine Riemannsche Untervielfalt eines euklidischen Raums beliebiger Codimension verallgemeinert, für die sie die Lipschitz-Killing-Krümmung (den Durchschnitt der Gauß-Kronecker-Krümmung entlang jedes Einheitsnormalenvektors über der Einheit) verwendeten Kugel im normalen Raum; für eine gerade dimensionale Untervielfalt ist dies nur in Abhängigkeit von der Riemannschen Metrik der Untervielfalt eine Invariante). Ihr Ergebnis wäre für den allgemeinen Fall gültig, wenn der Nash-Einbettungssatz angenommen werden kann. Dieser Satz war damals jedoch nicht verfügbar, da John Nash 1956 seinen berühmten Einbettungssatz für Riemannsche Mannigfaltigkeiten veröffentlichte. 1943 veröffentlichten Allendoerfer und Weil ihren Beweis für den allgemeinen Fall, in dem sie zuerst einen Näherungssatz von H. Whitney verwendeten, um ihn zu reduzieren Bei analytischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten haben sie dann mit Hilfe des lokalen Einbettungssatzes von Cartan-Janet “kleine” Nachbarschaften der Mannigfaltigkeit isometrisch in einen euklidischen Raum eingebettet, damit sie diese eingebetteten Nachbarschaften zusammenfügen und den obigen Satz von Allendoerfer anwenden können und Fenchel, um das globale Ergebnis zu ermitteln. Dies ist natürlich unbefriedigend, da der Satz nur intrinsische Invarianten der Mannigfaltigkeit beinhaltet, dann sollte die Gültigkeit des Satzes nicht von seiner Einbettung in einen euklidischen Raum abhängen. Weil traf Chern in Princeton, nachdem Chern im August 1943 angekommen war. Er sagte Chern, dass er der Meinung sei, dass es einen inneren Beweis geben sollte, den Chern innerhalb von zwei Wochen erhalten konnte. Das Ergebnis ist Cherns klassisches Papier “Ein einfacher intrinsischer Beweis der Gauß-Bonnet-Formel für geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeiten”, das im nächsten Jahr in den Annals of Mathematics veröffentlicht wurde. Die früheren Arbeiten von Allendoerfer, Fenchel, Allendoerfer und Weil wurden von Chern in diesem Artikel zitiert. Die Arbeit von Allendoerfer und Weil wurde auch von Chern in seiner zweiten Arbeit zum gleichen Thema zitiert.^[3]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]