Logarithmische Spirale – Wikipedia

Selbstähnliche Wachstumsspirale, deren Krümmungsmuster in der Natur häufig auftritt

Logarithmische Spirale (Steigung 10 °)

EIN logarithmische Spirale, gleichwinklige Spirale, oder Wachstumsspirale ist eine selbstähnliche Spiralkurve, die häufig in der Natur auftritt. Die logarithmische Spirale wurde zuerst von Descartes beschrieben und später von Jacob Bernoulli, der sie nannte, eingehend untersucht Spira mirabilis, “die wunderbare Spirale”.

Die logarithmische Spirale kann von der archimedischen Spirale dadurch unterschieden werden, dass die Abstände zwischen den Drehungen einer logarithmischen Spirale im geometrischen Verlauf zunehmen, während diese Abstände in einer archimedischen Spirale konstant sind.

Definition[edit]

In Polarkoordinaten

Die logarithmische Spirale kann wie folgt geschrieben werden^[1]

after-content-x4

${ displaystyle r = ae ^ {k varphi}, quad varphi in mathbb {R},}$

oder

${ displaystyle varphi = { frac {1} {k}} ln { frac {r} {a}},}$

mit

die Basis natürlicher Logarithmen sein, und

In kartesischen Koordinaten[edit]

Die logarithmische Spirale mit der polaren Gleichung

${ displaystyle ; r = ae ^ {k varphi}}$

kann in kartesischen Koordinaten dargestellt werden

durch

• 
  ${ displaystyle x = ae ^ {k varphi} cos varphi, qquad y = ae ^ {k varphi} sin varphi.}$

  

In der komplexen Ebene

::

• 
  ${ displaystyle z = ae ^ {(k + i) varphi}.}$

  

Spira mirabilis und Jacob Bernoulli[edit]

Spira mirabilis, Latein für “wundersame Spirale”ist ein anderer Name für die logarithmische Spirale. Obwohl diese Kurve bereits von anderen Mathematikern benannt wurde, wurde der spezifische Name (“Wunder-” oder “wunderbar” Diese Kurve wurde von Jacob Bernoulli gegeben, weil er von einer ihrer einzigartigen mathematischen Eigenschaften fasziniert war: Die Größe der Spirale nimmt zu, aber ihre Form bleibt mit jeder aufeinanderfolgenden Kurve unverändert, eine Eigenschaft, die als Selbstähnlichkeit bekannt ist. Möglicherweise aufgrund dieser einzigartigen Eigenschaft hat sich die Spira mirabilis in der Natur entwickelt und tritt in bestimmten wachsenden Formen wie Nautilusschalen und Sonnenblumenköpfen auf. Jacob Bernoulli wollte eine solche Spirale, die zusammen mit der Phrase in seinen Grabstein eingraviert war “Eadem mutata resurgo” ((“Obwohl geändert, werde ich das gleiche entstehen.”), aber versehentlich wurde stattdessen eine archimedische Spirale dort platziert.^[2][3]

Eigenschaften[edit]

Definition von Neigungswinkel und Sektor

Die logarithmische Spirale

hat folgende Eigenschaften (siehe Spirale):

• Polare Neigung::
  ${ displaystyle tan alpha = k quad ({ color {red} { text {Konstante!}}})}$

  

mit polarer Neigungswinkel

${ displaystyle alpha}$

(siehe Zeichnung).

(Im Falle von

${ displaystyle k = 0}$

Winkel

${ displaystyle alpha}$

wäre 0 und die Kurve ein Kreis mit Radius

${ displaystyle a}$

.)

• Krümmung::
  ${ displaystyle ; kappa = { frac {1} {r { sqrt {1 + k ^ {2}}}} = { frac { cos alpha} {r}}}$

  

• Bogenlänge:
  ${ displaystyle L ( varphi _ {1}, varphi _ {2}) = { frac { sqrt {k ^ {2} +1}} {k}} { big (} r ( varphi) _ {2}) – r ( varphi _ {1}) { big)} = { frac {r ( varphi _ {2}) – r ( varphi _ {1})} { sin alpha }}}$

  

Insbesondere:

${ displaystyle L (- infty, varphi _ {2}) = { frac {r ( varphi _ {2})} { sin alpha}} quad ({ color {red} { Text {endlich!}}}) ;}$

, wenn

${ displaystyle k> 0}$

[4]

• Sektorbereich:
  ${ displaystyle A = { frac {r ( varphi _ {2}) ^ {2} -r ( varphi _ {1}) ^ {2})} {4k}}}$

  

• Inversion: Kreisinversion (
  ${ displaystyle r to 1 / r}$

  ) bildet die logarithmische Spirale ab

  ${ displaystyle ; r = ae ^ {k varphi} ;}$

  auf die logarithmische Spirale

  ${ displaystyle ; r = { tfrac {1} {a}} e ^ {- k varphi} .}$

  

Beispiele für

${ displaystyle a = 1,2,3,4,5}$

• Drehen, skalieren: Drehen der Spirale um einen Winkel
  ${ displaystyle varphi _ {0}}$

  ergibt die Spirale

  ${ displaystyle r = ae ^ {- k varphi _ {0}} e ^ {k varphi}}$

  Dies ist die ursprüngliche Spirale, die (am Ursprung) gleichmäßig skaliert ist durch

  ${ displaystyle e ^ {- k varphi _ {0}}}$

  .

Skalieren nach

${ displaystyle ; e ^ {kn2 ​​ pi} ;, n = pm 1, pm 2, …, ;}$

gibt dem gleich Kurve.

Eine skalierte logarithmische Spirale ist (durch Drehung) kongruent zur ursprünglichen Kurve.

Beispiel: Das Diagramm zeigt Spiralen mit Neigungswinkel

${ displaystyle alpha = 20 ^ { circ}}$

und

${ displaystyle a = 1,2,3,4,5}$

. Daher sind sie alle skalierte Kopien der roten. Sie können aber auch durch Drehen des roten um Winkel erzeugt werden

${ displaystyle -109 ^ { circ}, – 173 ^ { circ}, – 218 ^ { circ}, – 253 ^ { circ}}$

resp .. Alle Spiralen haben keine gemeinsamen Punkte (siehe Eigenschaft auf komplexe Exponentialfunktion).

• Beziehung zu anderen Kurven: Logarithmische Spiralen sind kongruent zu ihren eigenen Evolventen, Evoluten und den Pedalkurven basierend auf ihren Zentren.
• Komplexe Exponentialfunktion: Die Exponentialfunktion ordnet genau alle Linien, die nicht parallel zur realen oder imaginären Achse in der komplexen Ebene sind, allen logarithmischen Spiralen in der komplexen Ebene mit dem Zentrum bei zu
  ${ displaystyle 0}$

  ::

${ displaystyle alpha}$

der logarithmischen Spirale ist der Winkel zwischen der Linie und der imaginären Achse.

Sonderfälle und Annäherungen[edit]

Die goldene Spirale ist eine logarithmische Spirale, die alle 90 Grad Drehung um einen Faktor des goldenen Schnitts nach außen wächst (polarer Neigungswinkel ca. 17,03239 Grad). Es kann durch a angenähert werden “Fibonacci-Spirale”, hergestellt aus einer Folge von Viertelkreisen mit Radien proportional zu Fibonacci-Zahlen.

In der Natur[edit]

Ausschnitt einer Nautilusschale, die die in einer ungefähr logarithmischen Spirale angeordneten Kammern zeigt. Die aufgetragene Spirale (gestrichelte blaue Kurve) basiert auf dem Wachstumsratenparameter

${ displaystyle b = 0.1759}$

, was zu einer Tonhöhe von

${ displaystyle arctan b ca. 10 ^ { circ}}$

.

In mehreren natürlichen Phänomenen kann man Kurven finden, die nahe daran sind, logarithmische Spiralen zu sein. Hier einige Beispiele und Gründe:

• Die Annäherung eines Falken an seine Beute bei der klassischen Verfolgung, vorausgesetzt, die Beute bewegt sich in einer geraden Linie. Ihre schärfste Sicht ist in einem Winkel zu ihrer Flugrichtung; Dieser Winkel entspricht der Steigung der Spirale.^[5]
• Die Annäherung eines Insekts an eine Lichtquelle. Sie sind es gewohnt, die Lichtquelle in einem konstanten Winkel zu ihrer Flugbahn zu haben. Normalerweise ist die Sonne (oder der Mond für nachtaktive Arten) die einzige Lichtquelle, und wenn Sie auf diese Weise fliegen, erhalten Sie eine praktisch gerade Linie.^[6]
• Die Arme von Spiralgalaxien.^[7] Unsere eigene Galaxie, die Milchstraße, hat mehrere Spiralarme, von denen jeder ungefähr eine logarithmische Spirale mit einer Neigung von etwa 12 Grad ist.^[8]
• Die Nerven der Hornhaut (dh die Hornhautnerven der subepithelialen Schicht enden in einem logarithmischen Spiralmuster nahe der oberflächlichen Epithelschicht der Hornhaut).^[9]
• Die Banden tropischer Wirbelstürme wie Hurrikane.^[10]
• Viele biologische Strukturen einschließlich der Muschelschalen.^[11] In diesen Fällen kann der Grund darin liegen, dass ähnliche Formen expandiert werden, wie dies bei polygonalen Figuren der Fall ist.
• Logarithmische Spiralstrände können sich durch Wellenbrechung und Beugung an der Küste bilden. Half Moon Bay (Kalifornien) ist ein Beispiel für eine solche Art von Strand.^[12]

Galerie[edit]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

1. ^ Priya Hemenway (2005). Göttliches Verhältnis: Φ Phi in Kunst, Natur und Wissenschaft. Sterling Publishing Co. ISBN 978-1-4027-3522-6.
2. ^ Livio, Mario (2002). Der goldene Schnitt: Die Geschichte von Phi, der erstaunlichsten Zahl der Welt. New York: Broadway-Bücher. ISBN 978-0-7679-0815-3.
3. ^ Yates, RC: Ein Handbuch über Kurven und ihre EigenschaftenJW Edwards (1952), “Evolutes”. p. 206.
4. ^
   Carl Benjamin Boyer (1949). Die Geschichte des Kalküls und seine konzeptionelle Entwicklung. Courier Dover Veröffentlichungen. p. 133. ISBN 978-0-486-60509-8.
5. ^ Chin, Gilbert J. (8. Dezember 2000), “Organisationsbiologie: Fliegen entlang einer logarithmischen Spirale”, Wissenschaft, 290 (5498): 1857, doi:10.1126 / science.290.5498.1857c
6. ^
   John Himmelman (2002). Motten entdecken: Juwelen der Nacht in Ihrem eigenen Garten. Down East Enterprise Inc. p. 63. ISBN 978-0-89272-528-1.
7. ^
   G. Bertin und CC Lin (1996). Spiralstruktur in Galaxien: eine Dichtewellentheorie. MIT Press. p. 78. ISBN 978-0-262-02396-2.
8. ^
   David J. Darling (2004). Das universelle Buch der Mathematik: von Abrakadabra bis zu Zenos Paradoxien. John Wiley und Söhne. p. 188. ISBN 978-0-471-27047-8.
9. ^ CQ Yu CQ und MI Rosenblatt, “Transgene Hornhautneurofluoreszenz bei Mäusen: ein neues Modell für die In-vivo-Untersuchung der Nervenstruktur und -regeneration,”
   Invest Ophthalmol Vis Sci. 2007 Apr; 48 (4): 1535 & ndash; 42.
10. ^
    Andrew Gray (1901). Abhandlung über Physik, Band 1. Churchill. pp. 356–357.
11. ^
    Michael Cortie (1992). “Form, Funktion und Synthese der Weichtierschale”. In István Hargittai und Clifford A. Pickover (Hrsg.). Spiralsymmetrie. World Scientific. p. 370. ISBN 978-981-02-0615-4.
12. ^
    Allan Thomas Williams und Anton Micallef (2009). Strandmanagement: Grundsätze und Praxis. Erdscan. p. 14. ISBN 978-1-84407-435-8.

Externe Links[edit]