公理 – ウィキペディア

a ^[初め] 公理 （ギリシャ語からἀίωμα axíoma 、「財政的支援。意思;決断;原理;哲学（…）証拠のニーズがないという文」 ^[2] 、「誠実な原則としての感謝、判断」 ^[3] ）このシステム内で正当化されたり導き出されたりすることはないが、基礎として意図的に受け入れられたり、設定されたりする理論、科学、または公理的システムの原則です。

正式な理論の中で、論文は証明されるべき文です。 ^[4] 一方、公理は、理論的には証明されていないが、重要ではない文です。選択された理論の公理が 論理的に独立しています それらのいずれも他のものから派生できない場合。正式な計算の一環として、この計算の公理を常に導き出すことができます。形式的または構文的な意味では、これは証拠です。セマンティックな観点から、それは円の閉鎖です。それ以外の場合：「計算または真の声明の公理から派生がある場合、証拠について話します。」 ^[5]

公理は、定理のカウンタータイムとして使用されます（より狭い意味で）。 ^[6] 公理などの定理は、派生関係に関連する正式な計算の文です。したがって、定理は、正式な証拠によって公理に由来する文です。 ^[7] 時には、論文と定理の表現が、正式なシステムのすべての有効な文でさらに意味がある場合に使用されることがあります。 H.元の意味での公理と定理の両方を含む一般的な用語として。 ^[8]

したがって、公理は、正式な計算で表現できる限り、完全な理論の条件として理解することができます。公理を選択することにより、解釈された正式な言語内で異なる理論を区別できます。ただし、正式な論理の不解決計算の場合、 論理システム、 公理と最終規則によって完全に決定されます。これは、派生性または証拠の概念を相対的に相対的にします。それは常に特定のシステムに関連して存在します。 ^[9] 公理と派生ステートメントは、メタ言語のルールであるオブジェクト言語に属します。 ^[9]

ただし、計算は必ずしもaではありません 公理計算、 そのため、「多くの公理と可能な限り最小の閉鎖ルールで構成されています」。 ^[十] さらに、石灰岩とタブロー石灰岩の証拠もあります。

Immanuel Kantは、公理を「すぐに確信している場合、合成原理は先験的に」と説明し、哲学の分野からこの定義を通じてそれらを除外します。これらは、抽象的な想像力の写真として、即時の見解の主題として決して持たないという用語に基づいています（証拠）。したがって、彼は哲学の議論的原則を数学の直感的なものと区別しています。前者は「徹底的な控除のために同じもののために疲労を正当化する」必要があり、したがって、先験的な基準を満たさないでしょう。 ^[11]

表現 公理 3つの基本的な意味で使用されます。彼は説明します

1. すぐに明白な原則 – クラシック（素材）axiome用語、
2. 経験的によく構成された規則の原則として仮定できる自然法 – 科学的（物理）axiomeの概念、
3. 正式な言語の計算で有効として必要な出力率 – モダン（フォーマル）Axiomeコンセプト 。

古典的なaxiomeコンセプト [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

古典的なaxiomeコンセプトがあります 要素 ユークリッドのジオメトリとアリストテレスのアナカ後期。 公理 この見解では、すぐに明白な原則または1つの原則を参照しています。この本質主義的な意味での公理は、その証拠のために証拠を必要としません。公理は、これらの文に直面している既存のオブジェクトに関する絶対に真の文と見なされました。この意味は19世紀まで支配的でした。

19世紀の終わりには、「現実の幾何学からつぶやく」ことがありました。 ^[12番目] さまざまな形状（ユクリジカル、双曲線、球状の幾何学など）の異なる公理腫システムの体系的な検査は、UPから日付の世界を説明することが不可能である可能性があり、形式的およびaxiOMAの公理概念を定義の観点から従来の特性を受け取らなければなりませんでした。デイビッド・ヒルバートの著作は先駆的であることが証明され、経験科学からの証拠の仮定を完全性と矛盾の自由の正式な基準に置き換えました。したがって、代替手段として、Axiomaシステムは単にUP -Dateの世界を指すのではなく、次のスキームに従います。 もしも いくつかの構造が公理を満たします、 それから 彼女はまた、公理からの派生物を満たします（そのため、呼び出しました。 理論的 ）。このような見解は、暗示主義、演ductivismism、または排除された構造主義に位置することができます。 ^[13]

現代の正式な論理の意味での公理化された計算では、古典的な認識論（証拠、確実性）、オントロジー（存在論的に基本的な言及）または従来の（特定の文脈での受け入れ）は、公理の授与のために省略できます。その場合、公理は、特定の計算における論理派生の基礎であるという事実によって、定理と正式に異なります。 ^[14] 「基本」および「独立した」原則として、それらは公理システム内の他の開始率から導き出すことはできません。 初め 正式な証拠はありません。

科学的axiomeの概念 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

経験科学では、公理は基本的な法律にも言及されており、しばしば経験的に確認されています。 ^[15] メカニックのニュートン公理は例として言及されています。

科学理論、特に物理学は、公理にも基づいています。定理と結果が実験の結果を予測できる理論は、これらから結論付けることができます。理論の声明が実験的観察と矛盾している場合、公理は適応されます。たとえば、ニュートンの公理は、「スロー」および「大規模」システムの良い予測のみを提供し、相対性と量子力学の特別な理論の公理に置き換えまたは補完されています。それにもかかわらず、結論はより簡単で、ほとんどのアプリケーションで結果が十分に正確であるため、ニュートンの公理は依然としてそのようなシステムに使用されています。

正式なaxiomeコンセプト [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

Hilbert（1899）は、正式なaxiomeの概念を勝ちました。公理はすべての議論の余地のない声明です。これは純粋に正式なプロパティです。公理の証拠または存在論的地位は役割を果たさず、別の解釈に任されています。

a 公理 その後、その基本的な声明です

• 正式な文の一部の一部は、
• 証拠なしに受け入れられます
• システムのすべての文（定理）は、他の公理と一緒に論理的に導出されます。

この理解において、公理は完全にarbitrary意的であると主張されることがあります。 ^[16] 公理は「証明されていない、したがって誤解された文」です。 ^[16] なぜなら、公理が洞察に基づいており、したがって「理解可能」であるかどうかは、最初は重要ではないからです。 ^[17] 公理が理論に関連して証明されていないのは正しいことです。しかし、それは、公理が承認できないことを意味するものではありません。公理であるという特性は、正式なシステムに関連しています。科学の公理とは、別の人の定理になる可能性があります。

公理です 誤解されました その真実が正式に証明されていない限りのみですが、必要です。現代のaxiome用語は、証拠の問題からaxiome特性を切り離すために使用されますが、これは必ずしも証拠がないことを意味するものではありません。ただし、定理は正式な規則に基づいてのみ閉じられており、公理的な兆候の解釈によっては使用されないという公理的方法の決定的な特性です。 ^[18]

Axiomaシステムが最初に適用されるが、矛盾の自由とほぼ同等である（数学的、論理的、現実的な）オブジェクトがあるかどうかの問題。もちろん、公理システムでうまく動作できるサンプルオブジェクトは、そのようなオブジェクトの存在の証拠として、および公理システムの矛盾の自由のために明らかです。

従来の論理 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

古典ロジック [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

元の言葉遣いは、ジョージカントールの素朴な量に由来し、拡張と用語の意図との関係が明確に顕著であるように見えました。 Gottlob Fregeによる公理化に含まれていなかったことが判明したとき、それは大きな衝撃を意味しました 非矛盾 他の公理に追加することもできますが、ラッセルの反項が生成されました。

数学 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

一般に、自然数、モノイド、グループ、リング、ボディ、ヒルバードリーム、トポロジカル空間などの用語は、数学の公理のシステムによって特徴付けられます。
たとえば、話します den peano-axiomen （自然数の場合）、 グループ公理 、 リング公理 等
個々の要求（結論を含む）もシステム内にあることがあります 法 呼び出された（例：Dass Associated Law）。

言及された例の特別な公理システム – 必要に応じて（以下を参照）ピアノ軸の自然数 – 間違いなく 意味 理解するために。
特定の数学的オブジェクト、たとえばモノイドとして（そして他の特性を締めくくる）ことができるように、モノイドの公理システムで定式化されている要求がすべてオブジェクトに適用されることを（他の公理または定理の助けを借りて）実証する必要があります。
重要な例は、関連性の証明が完全に些細なものではない機能の連続です。公理の1つのこの証明の場合、関連するオブジェクトは

${displaystyle {mathcal {f}}（a）}$

モノイドとは見なされません。 （フィボナッチの乗算の関連性の証拠は非常に困難です。

この点で、言及されている「公理腫システム」の多くは、「不確実な声明」として「受け入れられている」基本的な声明ではありません（そして対照的です）。

• 配置公理および完全性axiomeに関連する身体公理は、実数を定義します。
• Parallelenxiom：「このまっすぐにないすべてのストレートとすべてのポイントで、このポイントを通るまっすぐな並列に正確に1つあります。」このユークリッド幾何学のこの仮定は、他の幾何学よりも常に明白ではないと考えられていました。彼の妥当性が争われていたので、彼らはそれを他の定義と仮定から導き出そうとしました。 19世紀の変わり目の幾何学の公理化の一環として、他の仮説の公理化の論理的であるため、そのような派生は不可能であることが判明しました 独立 は。したがって、パスは認識に明確でした 非タックスジオメトリ。
• 「確率」という用語は、1933年以来Kolmogorowによって設定された公理システムによってまったく暗黙的に定義されています。これにより、フランス人、ドイツ人、イギリス人、頻繁な芸術家、ベイジア人、確率主義者、統計学者など、すべての異なる確率的学校が初めて均一な理論を提供します。

他の基本的なシステム（一次の理論）がありますが、ピアノ軸は、さらに戻ることなく自然数をカウントするために使用されます。例えば：

物理 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

重要なサブエリアの公理化に関する提案 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

経験科学の理論も「公理化」することができます。しかし、科学理論では、「理論を公理化する」ことの意味については異なる意見があります。 ^[20] 異なる物理理論に対して公理化が提案されました。ハンス・ライヒェンバッハは自分自身に専念しました3つのモノグラフでは、相対性理論の公理の彼の提案、 ^[21] 彼は特にヒルベルトの影響を強く受けていましたが。 ^[22] アルフレッド・ロブも ^[23] コンスタンティンカラテオドリー ^[24] 相対性の特別な理論のための公理化提案を提示した。科学理論と物理学の哲学で議論された公理化の試みは、現在存在しています。パトリック・サポートなどは、ニュートンの定式化における古典的な粒子力学のために、現代の意味での大いに議論された公理的再構築を提案しました。 ^[25] ゲオルグ・ハメルも敷いた、 ^[26] ヒルバートの学生、およびクラシックメカニクスのハンスエルメスの公理化。 ^[27] GüntherLudwigの会社は、量子力学の公理化に関する最も尊敬される提案の1つです。 ^[28] 公理的量子フィールド理論については、v。 a。 1950年代のアーサーワイトマンの文言は重要です。 ^[29] 宇宙論の分野では、公理化、a。エドワードアーサーミルンは特に影響力があります。 ^[30] 古典的な熱力学のために、公理化の提案などが存在します。ジャイルズから、 ^{[最初に30]} ボーリング、 ^[32] ジャウチ、 ^[33] LiebとYngvason。 ^[34] 確率で動作するすべての物理理論、特に統計的メカニズムでは、コルモゴロウによる確率計算の公理化が重要になりました。 ^[35]

実験と理論の関係 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

物理理論の公理は、正式に証明可能でも、通常の視点によれば、直接的および全体的に検証可能であるか、観察を通じて偽造可能でもありません。特定の理論の試験によれば、特定の現実理論の見解は通常、「このシステムは古典的な粒子力学です」という形式を説明しています。対応する理論テストが成功した場合、z。 B.測定値の正しい予測、このレビューは 確認 このため、対応する理論の意図したアプリケーションで対応するシステムが正しくカウントされ、繰り返し障害が発生した場合に対応するタイプのシステムによって削減される可能性があります。

主題関連の百科事典と辞書の記事 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

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