次元分析 – ウィキペディア、無料​​百科事典

彼 次元分析 これは、独立変数の形の多くの物理的な大きさが関係する現象の研究を簡素化できるツールです。その根本的な結果であるVaschy-Buckinghamのπ定理（定理πでよく知られています）により、ある物理的な問題の寸法入力パラメーターの元のセットを、別の小型化された入力パラメーターのセットによって変更できます。これらの無次元パラメーターは、次元パラメーターの適切な組み合わせによって取得され、各システムを研究するために必要な最小数ですが、一意ではありません。このようにして、これらの最小サイズセットの1つを取得することが達成されます。

• システムの研究オブジェクトをより簡単に分析します
• システムの動作または応答を見つけるために、実行するテストの数を大幅に削減します。

寸法分析は、航空、自動車、土木工学など、多くのエンジニアリング分野で使用されるスケールモデルを減らしたリハーサルの基礎です。これらの試験から、スケールモデルで得られた結果が実験モデルで取得される無次元数が実験モデルと実際のモデルで同じ値を持っている場合、実際の現象とテストの間に物理的な類似性があるときに、実際の現象で起こることに関する情報が得られます。したがって、このタイプの計算では、それらが使用されます 寸法方程式 、変数として基本的な単位と派生ユニットを持つ代数式であり、式、同等性を実証するため、または回答の単位を提供するために使用されます。

最後に、次元分析は、科学的および工学計算のエラーを検出するための有用なツールでもあります。この目的のために、計算で使用されるユニットの一致が検証され、結果の単位に特別な注意を払っています。

次元分析 [ 編集します ]

次元の問題を、より少ないパラメーターで別の次元に減らすために（作業変数が無次元数に縮小されるため）、次の一般的な手順に従います。

1. 次元変数の数をカウントします n 。
2. 基本ユニットの数（長さ、時間、質量、温度など）を数えます。 m
3. 無次元グループの数を決定します。次元グループまたは数の数（
   ${displaystyle {pi}}$

   ）は n -m 。

4. 各番号を作成します
   ${displaystyle {pi}}$

   に依存します n -m 固定変数とそれぞれが1つに加えて依存すること n -m 残りの変数（固定変数は、流体または媒体の1つ、幾何学、および別の運動学の1つであることをお勧めします。

5. 各
   ${displaystyle {pi}}$

   それは、変数の積として、それを未知の電力に高く決定します。次元を保証するには、関連するすべての寸法がキャンセルされるように指数のすべての値を見つける必要があります。

6. 人数、個数、総数
   ${displaystyle {pi}}$

   他の無次元数の関数として決定することが望まれる変数を含む。決定することが望まれる無次元数の変数は、クリアランスで私を導くための経験的方程式を持つのに役立つ機能的関係を決定するために、残りに基づいています。経験的方程式がない場合は、低スケールでの実験データを決定する必要があります。たとえば、企業がより大きな投資に伴うものをテストしている場合など、高度に高度にできるかどうかを決定する必要があります。低いスケールの実験を実行した場合、経験的方程式を見つけて、より大きな植物からの実験データで検証する必要があります。

次元分析アプリケーション [ 編集します ]

• 計算エラーの検出。
• 直接的な解決策に克服できない数学的困難を伴う問題解決。
• 還元モデルの作成と研究。
• モデルなどの可能な変更の影響に関する考慮事項

次元分析の例 [ 編集します ]

寸法分析により、自由落下体の速度を計算しましょう。私たちはこの速度を知っています

${displaystyle v}$

高さに依存します

${displaystyle h}$

そして重力

${displaystyle g}$

。しかし、私たちは速度が質量に依存するとも想像してみましょう

${displaystyle m}$

。寸法分析の利点の1つは、それが「自動調整」であること、つまり手順自体が不要なユニットを排除することです。

• 変数の大きさを特定します。

${displaystyle [v] = {text {m/s}} = {text {lt}}^{ – 1}、quad [g] = {text {m/s}}^{2} = {lt}}}^{-2}、quad [{m} {{m}}}}}}} {{m}}} {{m}} {kg}} = {text {m}}}$

${displaystyle {begin{array}{cc}&{begin{bmatrix}{[h]}&{[g]}&{[v]}&{[m]}end{bmatrix}}\{begin{bmatrix}{textbf {M}}\{textbf {L}}\{textbf {T}}end{bmatrix}}&{begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}&{1}\{1}&{1}&{1}&{0}\{0}&{-2}&{-1}&{0}end{bmatrix}}end{array}}}$

• マトリックス製品を作成します：

ここで私たちはそれを言わなければなりません

${displaystyle displaystyle epsilon _ {k}}$

ユニットの指数を指します

${displaystyledisplayStyleK}$

、しかし、それは連続したステップで見られます。

${displaystyle {begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}&{1}\{1}&{1}&{1}&{0}\{0}&{-2}&{-1}&{0}end{bmatrix}}{begin{bmatrix}{epsilon _{h}}\{epsilon _{g}}\{epsilon _{v}}\{epsilon _{m}}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}{0}\{0}\{0}end{bmatrix}}}$

• マトリックス製品を開発し、方程式のシステムを解きます。

方程式のシステムが形成されます。見ると、4つの未知数があり、3つの方程式のみがあるため、システムを解決できるように、方程式と同じ数の未知数が必要です。問題はどのように損なわれていますか？非常にシンプル：a

${displaystyle displaystyle epsilon _ {k}}$

誰でも、私たちが望む価値を割り当てます。私たちの場合、私たちは取得します

${displaystyledisplaystyle epsilon _ {v}}$

として

${displaystyle displayStyle 1}$

。

${displaystyle左{{begin {array} {rrrrcr} epsilon _ {m} && && =＆0 \＆epsilon _ {h}＆+epsilon _ {g}＆+epsilon _ {v}＆=＆0 End {array}} right.longrightArrow Quad left {{begin {array} {rrrcrcr} epsilon _ {m} && =＆0 \＆epsilon _ {h}＆+epsilon _ {gg}＆=＆-epsilon _ {V}＆=＆-1 \ epsilon _ {v}＆=＆1end {array}}右。}$

以前に提案した最初のソリューションを適用した場合（

${displaystyledisplaystyle epsilon _ {v} = 1}$

）、簡単な計算が行われ、ソリューションに到達します。

${displaystyledisplaystyle epsilon _ {h} = -1/2}$

${displaystyledisplaystyle epsilon _ {g} = -1/2}$

${displaystyledisplaystyle epsilon _ {v} = 1}$

${displaystyledisplaystyle epsilon _ {m} = 0}$

• グループを形成します
  ${displaystyledisplayStylePi}$

  

グループ

${displaystyledisplayStylePi}$

それは無次元方程式です。
グループのグループ

${displaystyledisplayStylePi}$

私たちは得るつもりですか？はい、そうです

${displaystyledisplayStyleM}$

それはユニットの数（ユニットは地下鉄、キロ、2番目、学位、…）です。

${displaystyledisplayStyleH}$

単位の大きさの係数を含むマトリックスの最大範囲（マトリックスの範囲は、信頼できるルールではありませんが、私たちが持っている変数の数と一致する場合があります）、グループの数は

${displaystyledisplayStylePi}$

（または私たちが取得する方程式）

${displaystyle displaystyle m-h}$

。手元の場合、

${displaystyledisplayStyle 4-3 = 1}$

方程式。

今、私たちが問題で取ったユニットが取られ、私たちが得た指数にそれらを上げます。それが私たちの方程式です。

${displaystyle displaystyle pi = h^{ – 1/2} g^{ – 1/2} v^{1} m^{0} = {frac {v} {sqrt {gh}}}}}}$

（ご了承ください

${displaystyledisplayStylePi}$

無次元です）。
ここでは、「自動矯正」と呼ばれるものを取得します。質量の指数は0であるため、方程式から消え、自由落下が問題のオブジェクトの質量に依存しないことをもう一度示します。

• 最終ステップ：方程式の取得。

${displaystyledisplaystylev = k {sqrt {gh}}}$

子供

${displaystyledisplayStyleK}$

valido

${displaystyledisplaystyle {sqrt {2}}}$

、正しい式を与えるもの：

${displaystyledisplaystylev = {sqrt {2gh}}}$

寸法の均一性のフーリエ原理 [ 編集します ]

彼 フーリエ原理寸法の均一性 これは、物理的な大きさを代数的に関連付ける表現の良好な形成の原則です。つまり、同じ性質の物理的な大きさを互いに追加または減算することのみが可能であることは、数学的な一貫性の原則です。その結果、時間とともに長さ、または長さの質量などを追加することはできません。

例 [ 編集します ]

原理は、その運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの合計である身体のエネルギーの例で説明することができます。

${displaystyle e = e_ {c}+e_ {p}}$

私たちが持つ運動エネルギーとポテンシャルエネルギーを表現する：

${displaystyle e = {frac {1} {2}}、m、v^{2}+m、g、h}$

基本的な大きさに従って速度と加速を表現します：

${displaystyle e = {frac {1} {2}}; m、left（{frac {e} {t}}右）^{2}+m、{frac {e} {t^{2}}}、h}$

寸法形式で表される：

${displaystyle e = {frac {1} {2}}、[m] [l]^{2} [t]^{ – 2}+[m] [l]^{2} [t]^{-2}}$

速度論的エネルギーの両方を見ることができるように：平方速度とポテンシャルエネルギーによる質量の平均：重力と高さによる質量、どちらの場合も同じ寸法方程式のエネルギーです。

したがって、このフーリエの原理は、物理的方程式の一貫性を保証します。数値定数は無次元（統一方程式に等しい寸法方程式）であるが、一方、物理定数はユニットの異なる寸法を持っていることを覚えておくことが重要です。

そうです = 2.718281 …（ネペリアの対数の基盤）→

${displaystyle [e] = 1}$

;

c = 299 792 458 m/s（真空中の光の速度）→

${displaystyle [c] = [v] = lt^{ – 1}}$

参照してください [ 編集します ]

参照 [ 編集します ]

書誌 [ 編集します ]

• メイソン、スティーブンフィニー（1962）、 科学の歴史 、ニューヨーク：コリアーブック、p。 169、ISBN 0-02-093400-9

外部リンク [ 編集します ]