Liouville定理（ハミルトニアンメカニック）

物理学では、 Teorema de Liouville これは、機械システムの時間的進化に関するハミルトニアンメカニズムの結果です。近くの初期条件を持つ粒子のセットは、位相空間で占める関連領域で表すことができます。定理は、各粒子が進化するにつれて伸びて収縮するにもかかわらず、その領域がその体積を維持することを確立します。

序章 [ 編集します ]

その軌跡を移動することで時間とともに進化する位相空間の領域を考えてみましょう。そのポイントのそれぞれは、時代に位置する地域に変換され、さらに、位置空間の別の部分にあります。 Liouvilleの定理は、形式の翻訳と変化にもかかわらず、この地域の合計「ボリューム」は不変のままであると述べています。さらに、領域が関連している場合の時間的進化の連続性により、最初は常に関連し続けます。

ほぼすべてのデモンストレーションでは、位相空間内のポイントの「雲」の時間的進化が、実際には、その雲の形状と位置を変える標準的な変換であるという事実を使用しています。

直接デモンストレーション [ 編集します ]

一時的な進化が標準的な変換であり、比較的単純なものであることを証明する1つの方法であり、そこからは上記の座標変化の決定要因を直接計算し、実際には前述の変換の決定要因が1に等しいことを証明します。

単純なフォームに基づくデモンストレーション [ 編集します ]

定理をテストする別の方法は、体積形状に留意することです

${displaystyle {eta} _ {gamma};}$

位相空間のです n – 単純な形式のTheimo産物であり、Darbouxの定理に準拠しているのは、標準的に共役変数のペアの産物として表されます。

${displaystyle {eta} _ {gamma} = bigwedge _ {i = 1}^{n} omega = omega _ {1} land dots land omega _ {n} = dp_ {1} land dots land dp_ {n} land dq_ {n} land dot dot dot dot dot dot dot dot dot dot dp {n} OTSランドDP_ {n}土地dq_ {1}土地ドットランドdq_ {n}}$

その場合、変換の決定要因は1に等しく、したがって：

${displaystyle forall vsubsetガンマ：quad int _ {v} d ^ {n} {n} {n} {n} {n} {n} {n} mathbf {p} = int _ {tau} {q} d ^ {n} {n} mathbf {p}}}$

この最後の表現は、本質的にLiouvilleの定理の声明です。

Liouville方程式 [ 編集します ]

Liouvilleの定理は、ポアソンのブラケットの観点から書き直すことができます。として知られるこの代替フォーム Liouville方程式 、 によって与えられます：

${displaystyle {frac {partial rho} {partial t}} = – {、rho、h、}}$

またはの観点から Liouvilleオペレーター 、「liouvillian」とも呼ばれます：

${displaystyle {hat {mathbf {l}}} = sum _ {i = 1}^{d} left [{frac {partial h} {partial p_ {i}}}} {frac {partial} {partial q^{i}}}}}}}}-{{{partial f frac {partial f frac ac {partial} {partial p_ {i}}} right]、}$

それは形につながります：

${displaystyle {frac {partial rho} {partial t}}+{hat {mathbf {l}}} rho = 0。}$

量子力学 [ 編集します ]

量子力学では、混合状態の進化を説明するLiouvilleの定理に類似した結果があります。実際、単純な標準的な量子化により、この結果の機械輝度バージョンに到達できます。その正式な手順を適用して、Liouvilleの定理の量子類似体に到達します。

${displaystyle {frac {partial} {partial t}} rho = – {frac {i} {hbar}} [h、rho]}$

ここで、ρは密度マトリックスです。結果が観察可能な期待値に適用されると、ehrenfestの定理によって与えられる対応する方程式は次の形になります。

${displaystyle {frac {d} {dt}} langle arangle = {frac {i} {hbar}} langle [h、a] rangle}$

どこ

${displaystyle a、}$

観察可能です。