測地川 – ウィキペディア

Posted on September 21, 2021 by lordneo

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数学と物理学では、 測地川 最短の接続ライン（ジオデ）に沿った動き。ジオデは出発点だけでなく、開始方向にも依存するため、測地川は接線バンドルでのみ定義できます。

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そうです

{displaystyle m}

$M$ 接線バンドルを備えた完全なRiemannの多様性

{displaystyleTm}

$TM$ 。 Hopf-Rinowの判決によると、すべての接線ベクトルがあります

{displaystyle vin t_ {x} m、m}をお願いします

$vin T_xM, xin M$ 明確なジオデ

{displaystyleガンマ_ {v}コロン（-infty、infty）からm}

と

{displaystyle gamma _ {v}（0）= x、{dot {gamma}} _ {v}（0）= v}

これで定義されています

{displaystyle phi colon tmtimes（-infty、infty）からtm}

終えた

{displaystyle phi（v、t）：= {dot {gamma}} _ {v}（t）}

これは川を定義します

{displaystyleTm}

$TM$ 、d。 H.適用されます

{displaystyle phi（v、s+t）= phi（phi（v、t）、s）}

$phi (v,s+t)=phi (phi (v,t),s)$ と

{displaystyle phi（v、0）= v}

$phi (v,0)=v$ 。

多くの場合、ユニットロッドバンドルへの測地川の制限

{displaystylet^{1} m}

$T^{1}M$ 測地川と呼ばれます。

測地川は、ハミルトンの地元の座標の流れです

{displaystyle h（x、p）：= {frac {1} {2}} sum _ {i、j} g^{ij}（x）p_ {i} p_ {j}}

{displaystyle hcolon t^{*} mto mathbb {r}}

こちらを参照してください

{displaystyle g^{ij}（x）}

$g^{{ij}}(x)$ Riemann Metrikのエントリ

{displaystyle g_ {ij}（x）}

$g_{{ij}}(x)$ インバーセンマトリックス。

剛体の動きのオイラー方程式は、嘘グループの測地的な流れとして解釈できます

{displaysyllllle mathrm {isom}（mathbb {r} ^ {3}

${mathrm {Isom}}(mathbb{R} ^{3})$ 。

非圧縮性川の流体ダイナミクス上のオイラー方程式は、無限次元の嘘グループの測地的な流れとして解釈できます

{displaystyle mathrm {sdiff}（mathbb {r} ^{3}）}

${mathrm {Sdiff}}(mathbb{R} ^{3})$ 助成金の摂取イラストの。

どちらの解釈もウラジミールアーノルドに戻ります。 ^[初め]

Table of Contents

非ポストパン粉のマニホールド上の測地川 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

以下であり

{displaystyle m}

$M$ 非位置的な曲率のリーマンの多様性。

理論を測定します [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

測地川はリウビルのサイズを受け取ります。もしも

{displaystyle m}

$M$ コンパクトで、測地川はエルゴジックです。 ^[2]^[3]この場合、彼はまた、指数関数的に混合しており、エントロピーが正、密な軌道があり、周期軌道の量はきつく、無限の（線形非依存性の）不変寸法があります。

安定した不安定なマニホールド [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

もしも

{displaystyle m}

$M$ 測地川はアノソフ川です（そして、より弱い条件下でも）。

無限の球体のダイナミクスとの関係 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

もしも

{displaystyle m}

$M$ 非陽性のパン粉があり、測地川はハイキングではなく、次に

{displaystyle pi _ {1} m}

$pi _{1}M$ 無限の球体

{displaystyle partial _ {infty} {widetilde {m}}}

$partial _{infty }widetilde {M}$ 測地川が単位角度のバンドルに密度がある場合、正確に密度。

例：双曲線レベル [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

双曲線レベルのポアンカレモデル、同じポイント（赤）で終了するさまざまなジオーデと関連するホロサイクル（青）。

そうです

{displaystyle h^{2}}

$H^{2}$ 双曲線レベルと

{displaystyle t^{1} h^{2}}

$T^{1}H^{2}$ ユニットエッジバンドル。方向のグループの効果 – 拡張型イソメトリ

{displaystyle mathrm {isom} ^{+}（h ^{2}）simeq {psl}（2、mathbb {r}）}

の上

{displaystyle t^{1} h^{2}}

$T^{1}H^{2}$ 間にバイジェクションを誘導します

{displaystyle psl（2、mathbb {r}）}

$PSL(2,mathbb{R} )$ と

{displaystyle t^{1} h^{2}}

$T^{1}H^{2}$ 。の効果を考慮します

{displaystyle psl（2、mathbb {r}）}

$PSL(2,mathbb{R} )$ の上

{displaystyle t^{1} h^{2} = psl（2、mathbb {r}）}

$T^{1}H^{2}=PSL(2,mathbb{R} )$ 左翼効果として。その後、測地川が対応します

{displaystyle phi _ {t}}

$Phi_t$ の法的効果

{displaystyle left（{begin {array} {cc} e^{t}＆0 \ 0＆e^{ – t} end {array}}右）}

$left({begin{array}{cc}e^{t}&0\0&e^{{-t}}end{array}}right)$ の上

{displaystyle psl（2、mathbb {r}）}

$PSL(2,mathbb{R} )$ 。測地線川の安定した不安定なマニホールドは、ホロサイクルへのユニットロッドバンドルの制限であり、それらは二次クラスのクラスよりも代数的に説明することができます

{displaystyle n^{+} = left {left（{begin {array} {cc} 1＆n \ 0＆1end {array}}右）：nin mathbb {r}右}}}}

$N^{+}=left{left({begin{array}{cc}1&n\0&1end{array}}right):nin mathbb{R} right}$ また。

{displaystyle n^{ – } = left {left（{begin {array} {cc} 1＆0 \ n＆1end {array}}右）：nin mathbb {r}右}}}}

$N^{-}=left{left({begin{array}{cc}1&0\n&1end{array}}right):nin mathbb{R} right}$ 。

パトリック・エベライン： 測地線は、非陽性の曲率の多様体に流れます。 の： Proc。シンポーズ。純粋な数学。 バンド69、2001、S。525–571。（citeseerx.ist.psu.edu; pdf）

↑ V.アーノルド： 無限の寸法のグループの微分ジオメトリと、完全な流体の流体力学への応用について。 の： アン。 Inst。フーリエ。 （glenoble）。バンド16、nr。 1、1966、S。319–361。
↑ D. V.アノソフ： 測地線は、負の曲率の閉じたリーマニアン多様体に流れます。 の： トルーディマット。 Inst。ステクロフ。 第90巻、1967、S。3–210。（オンライン）
↑ W.ボールマン、M。ブリン： 測地線フローのergodity性について。 の： erg。 th。王朝。 syst。 2、1982、S。311–315。

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