二次方程式-Wikipedia

Posted on April 27, 2023 by lordneo

before-content-x4

一 二次方程式 形式の方程式です

{displaystyle ax^{2}+bx+c = 0quad}

と

{displaystyle aneq 0}

$aneq 0$ かきましょう。ここにあります

{displaystyle a、b、c}

$a,b,c$ 係数;

{displaystyle x}

$x$ 未知です。
追加です

{displaystyle b = 0}

$b=0$ 、1つについて話します 純粋な経験類 。

あなたのソリューションは式に基づいています

after-content-x4

{displaystyle x_ {1,2} = {frac {-bpm {sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}}}}

決定。実数の領域では、正方方程式には1つまたは2つのソリューションを持つことはできません。ルートの下の式が負の場合、解決策はありません。ゼロの場合、解決策があります。それが肯定的である場合、2つの解決策が存在します。

この方程式の左側は、正方形関数の用語です（より一般的には表現：第2度多項式）、

{displaystyle f（x）= ax^{2}+bx+c}

$f(x)=ax^{2}+bx+c$ ;デカルト座標系のこの関数の機能グラフは放物線です。正方方程式を幾何学的に説明します

{displaystyle f（x）= 0}

$f(x)=0$ この放物線のゼロポイント。

正方方程式の一般的な形式はです

{displaystyle ax^{2}+bx+c = 0qquad（aneq 0）。}

その意味は

{displaystyle ax^{2}}

$ax^{2}$ 四角、

{displaystyle bx}

$bx$ 線形肢 と

{displaystyle c}

$c$ 一定のメンバー （また絶対）方程式。

方程式は通常の形です

{displaystyle a = 1}

$a=1$ したがって、正方形のメンバーが係数1を持っている場合。一般的な形式から、通常の形式は、

{displaystyle aneq 0}

$aneq 0$ 分割されています。定義で

{displaystyle p = {frac {b} {a}}}

通常の形式を次のように書くことはできますか

{displaystyle x^{2}+px+q = 0。}

0が方程式の片側にある場合、 nullform 呼び出されました。 ^[初め]

以下では、係数としての実数の正方方程式は最初は

{displaystyle a}

$a$ 、

{displaystyle b}

$b$ と

{displaystyle c}

$c$ またはとして

{displaystyle p}

$p$ と

{displaystyle q}

$q$ 見た。

Table of Contents

実際の係数を備えた正方方程式のソリューション [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

正方方程式の解決策は、方程式を満たす数値です

{displaystyle x}

$x$ 使用されている。すべての正方方程式は、解決策として複雑な数値を許可する場合、正確に2つ（おそらく崩壊する）ソリューションを持っています。 方程式の根 呼び出されました。実数のみを見ると、正方形の方程式にはゼロから2つのソリューションがあります。

実際のゼロポイントの数 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

番号ソリューションは、SO -CALLED DISMINANTの助けを借りて使用できます

{displaystyle d}

$D$ （からラテン差別、差別化 ‘ ）決定。一般的に

{displaystyle d = b^{2} -4ac}

$D=b^{2}-4ac$ 標準化されたケースでは

{displaystyle d = p^{2} -4q}

$D=p^{2}-4q$ （派生については、以下を参照してください）：

たとえの位置とゼロポイントの数に対する影響

グラフィックは、実際のゼロスポットの数と判別剤の間の接続を示しています。

簡単な特別なケース [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

線形部材の係数です

{displaystyle b = 0}

$b=0$ または絶対メンバー

{displaystyle c = 0}

$c=0$ 、したがって、正方方程式は、一般的なソリューション式が必要になることなく、単純な等価形成によって解決できます。

リニアメンバーがありません [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

純粋な正方形 方程式

{displaystyle ax^{2}+c = 0}

$ax^{2}+c=0$ と

{displaystyle aneq 0}

$aneq 0$ に相当します

{displaystyle x^{2} = – {frac {c} {a}}。}

ソリューションはそうです

{displaystyle x_ {1,2} = pm {sqrt { – {frac {c} {a}}}}}}}

その場合

{displaystyle a、c <0、}

${displaystyle a,c<0,}$ 2つの解決策があります。その場合

{displaystyle a、c> 0、}

${displaystyle a,c>0,}”></span>のために存在します <span class=$

{displaystyle {tfrac {c} {a}}> 0}

${tfrac {c}{a}}>0″></span>本当の解決策はありません。その後、複雑なソリューションがあります </p> <dl> <dd><span class=$

{displaystyle x_ {1,2} = PM mathrm {i} {sqrt {frac {c} {a}}}。}}

${displaystyle x_{1,2}=pm mathrm {i} {sqrt {frac {c}{a}}} .}$

たとえば、方程式にはあります

{displaystyle x^{2} -3 = 0}

$x^{2}-3=0$ ソリューション

{displaystyle x_ {1,2} = pm {sqrt {3}}}

$x_{1,2}=pm {sqrt {3}}$ 。方程式

{displaystyle 2x^{2}+8 = 0}

$2x^{2}+8=0$ 複雑なソリューションである実際のソリューションはありません

{displaystyle x_ {1,2} = PM 2mathrm {i}}

$x_{1,2}=pm 2mathrm {i}$

ケース

{displaystyle a、c = 0}

${displaystyle a,c=0}$ そして、

{displaystyle aneq 0}

$aneq 0$ それと

{displaystyle c = 0、}

${displaystyle c=0,}$ 、二重の解決策、型方程式の方程式のみがあります

{displaystyle ax^{2} = 0}

${displaystyle ax^{2}=0}$ と

{displaystyle aneq 0}

$aneq 0$ そしてそれはそうです

{displaystyle x_ {1,2} = 0}

${displaystyle x_{1,2}=0}$ 。

一定のメンバーがありません [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

方程式から

{displaystyle ax^{2}+bx = 0}

$ax^{2}+bx=0$ 除外の結果

{displaystyle x（ax+b）= 0}

$x(ax+b)=0$ 、d。 h。、しなければなりません

{displaystyle x = 0}

$x=0$ また

{displaystyle ax+b = 0}

$ax+b=0$ 有効です。したがって、2つのソリューションはそうです

{displaystyle x_ {1} = 0}

たとえば、方程式にはあります

{displaystyle 3x^{2} -2x = 0}

$3x^{2}-2x=0$ ソリューション

{displaystyle x_ {1} = 0}

$x_{1}=0$ と

{displaystyle x_ {2} = {tfrac {2} {3}}。}

${displaystyle x_{2}={tfrac {2}{3}} .}$

頂点の方程式 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

バーテックス

{displaystyle a（x-d）^{2}+e = 0}

純粋な正方方程式のバリエーションです

{displaystyle ax^{2}+c = 0}

$ax^{2}+c=0$ 。このように、それは「逆の計算」によって解決できます：最初に減算しました

{displaystyle e}

$e$ で分割されています

{displaystyle a}

$a$ 。これはにつながります

{displaystyle（x-d）^{2} = – {frac {e} {a}}。}

ために

{displaystyle -{frac {e} {a}} geq 0}

${displaystyle -{frac {e}{a}}geq 0}$ これの結果

{displaystyle x-d = pm {sqrt { – {frac {e} {a}}}}}}

追加することによって

{displaystyle d}

$d$ あなたは解決策を取得します

{displaystyle x_ {1} = d+{sqrt { – {frac {e} {a}}}}}}

ために

{displaystyle -{frac {e} {a}} <0}

${displaystyle -{frac {e}{a}}<0}$ それに応じて2つの複雑なソリューションを取得した場合

{displaystyle x_ {1} = d+mathrm {i} {sqrt {frac {e} {a}}}}}

例：

{displaystyle {begin {aligned} 3（x-​​2）^{2} -5＆= 0 && | +5;：3 \（x-2）^{2}＆= {frac {5} {3}} && | pm {sqrt {}} \ x-2＆= pm {{3} {3} {} {} {3} {} {3} \ x＆= 2pm {sqrt {frac {5} {3}}} end {aligned}}}}

正方形の追加で緩めます [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

正方形のサプリメントで緩めると、ビノミック式は一般的な形式または通常の形の正方方程式に使用されます。 バーテックス 持ち込むには、簡単に解決できます。

1番目または2番目のビノミック式はフォームで使用されます

{displaystyle（xpm d）^{2} = x^{2} pm 2dx+d^{2}。}

${displaystyle (xpm d)^{2}=x^{2}pm 2dx+d^{2} .}$

これを行うために、左側が形成されるように正方方程式が形成されます

{displaystyle x^{2} pm 2dx}

${displaystyle x^{2}pm 2dx}$ もっている。その後、両側に

{displaystyle d^{2}}

$d^2$ 追加した。これは「正方形の追加」です。左側には形があります

{displaystyle x^{2} pm 2dx+d^{2}}

${displaystyle x^{2}pm 2dx+d^{2}}$ また、ビノミック式でもできます

{ディスプレイスタイル（xpm d） ^ {2}}

${displaystyle (xpm d)^{2}}$ 形をする。次に、方程式はわずかに溶解する頂点にあります。

これは、具体的な数値の例を使用して説明するのが最もよくあります。正方方程式が考慮されます

{displaystyle 3x^{2} -15x+18 = 0。}

まず、方程式は、先行係数を分割することによって標準化されます（ここ3）：

{displaystyle x^{2} -5x+6 = 0。}

定数リンク（ここ6）は両側で減算されます。

{displaystyle x^{2} -5x = -6。}

実際の正方形の補体が次のとおりです。左側は、二項式（ここでは2番目）を後方に使用できるように補充する必要があります。

{displaystyle d}

$d$ 上記のビノミック式からです

{displaystyle {tfrac {5} {2}}}

${displaystyle {tfrac {5}{2}}}$ 、式の両側に

{displaystyle d^{2} = left（{tfrac {5} {2}}右）^{2}}

${displaystyle d^{2}=left({tfrac {5}{2}}right)^{2}}$ 追加する：

{displaystyle x^{2} -5x+left（{frac {5} {2}}右）^{2} =左（{frac {5} {2}}右）^{2} -6。}

左側はビノミックフォーミュラに従って変換され、右側は簡素化されます。

{displaystyle left（x- {frac {5} {2}}右）^{2} = {frac {1} {4}}。}

これはにつながります

{displaystyle x- {frac {5} {2}} = pm {frac {1} {2}}}

したがって、2つのソリューションに

{displaystyle x_ {1} = {frac {5} {2}}+{frac {1} {2}} = 3}

${displaystyle x_{1}={frac {5}{2}}+{frac {1}{2}}=3}$ と

{displaystyle x_ {2} = {frac {5} {2}} – {frac {1} {2}} = 2。}

${displaystyle x_{2}={frac {5}{2}}-{frac {1}{2}}=2 .}$

一般的なソリューション式 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

また、正方形のサプリメントの助けを借りて導出された一般的なソリューション式のいずれかを使用して、正方方程式を解くこともできます。

一般的な方程式の解決策（ a-b-c- 方式） [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

一般的な方程式の解

{displaystyle ax^{2}+bx+c = 0}

$ax^{2}+bx+c=0$ 指輪：

{displaystyle x_ {1,2} = {frac {-bpm {sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}。}}

フォーミュラは、ドイツとスイスの一部として口語的に口語的にあります」 ミッドナイトフォーミュラ 「「学生は真夜中に目覚めて式を求めても、学生が和解できるようになるべきだ」と説明した。 ^[2]オーストリアでは表現があります 大きなソリューションフォーミュラ 一般。 ^[3]

代替形状 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

以下に扱われているP-Q式の多くに似たA-B-C式の代替製剤は次のとおりです。

{displaystyle x_ {1,2} = {frac {-b} {2a}} pm {sqrt {frac {b^{2} -4ac} {4a^{2}}}}} = – {frac {b} {{2a}} pm {{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{f）右）^{2} – {frac {c} {a}}}}}

形式の正方方程式がある場合

{displaystyle ax^{2}+2beta x+c = 0}

示されている（つまり、

{displaystyle beta = b/2}

$beta =b/2$ ）、やや単純なソリューション式を取得します。

{displaystyle x_ {1,2} = {frac {-beta pm {sqrt {beta ^{2} -ac}}} {a}}}}}}

A-B-C式を用語で拡張することにより

{displaystyle -bmp {sqrt {b^{2} -4ac}}}}

${displaystyle -bmp {sqrt {b^{2}-4ac}}}$ 線形ケースのための式を取得した場合

{displaystyle a = 0}

$a=0$ 適用可能ですが、場合はそうです

{displaystyle c = 0}

$c=0$ ソリューションの計算

{displaystyle x = {frac {-b} {a}}}

${displaystyle x={frac {-b}{a}}}$ ゼロによる分裂のため。どちらの場合も、とにかくソリューション式は必要ありません。非常に小さなもののために

{displaystyle a}

$a$ ただし、代替形状は数値的絶滅と比較してより堅牢です。

{displaystyle x_ {1,2} = {frac {left（-bpm {sqrt {b^{2} -4ac}}右）cdot left（sqrt {b^{2} -4ac}}右）} {b^sight（sibmp {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} {}） }} = {frac {2c} { – bmp {sqrt {b^{2} -4ac}}}}}}

ソリューションder a-b-c- 負の判別を伴う式 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

上記で紹介された判別です

{displaystyle d = b^{2} -4ac}

$D=b^{2}-4ac$ 負、負の数の根は、解に対して計算する必要があります。実数の数領域に解決策はありません。複雑な数の領域

{displaystyle {sqrt {d}} = i {sqrt {-d}}}}}

${sqrt {D}}=i{sqrt {-D}}$ 。この用語は、2つのソリューションの想像上の部分を、一度は肯定的な兆候で一度否定的な兆候を持つ想像上の部分を決定します。その前の用語

{displaystyle -{tfrac {b} {2a}}}

$-{tfrac {b}{2a}}$ 2つのソリューションの一定の実際のセクションになります。

{displaystyle x_{1,2}=-{frac {b}{2a}}pm icdot {frac {sqrt {4ac-b^{2}}}{2a}}=-{frac { b}{2a}}pm icdot {sqrt {{Big |}left(-{frac { b}{2a}}right)^{2}-{frac {c}{a}}{Big |}}} }

の派生 a-b-c- 方式 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

一般的な形式から、正方形のサプリメントの手順に従って形成されます。結果は次のとおりです。

{displayStyle {begin {array} {rcll} ax^{2}+bx+c＆=＆=＆| -c \ [1ex] ax^{2}+bx＆=＆ – c＆| {} Atischeergänzung）}} \ [1ex]（2ax）^{2}+2cdot 2ax、b+b^{2}＆=＆b^{2} -4ac＆| {umformen mit binomischer formel}} \ [1ex] t {quad}} \ [1ex] 2ax+b＆=＆pm {sqrt {b^{2} -4ac}}＆| -b \ [1ex] 2ax＆=＆ – bpm {sqrt {b^{2} -4ac}}＆|：（2a） ^{2} -4ac}}} {2a}}＆end {array}}}}

コンピューティング [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

正方方程式が与えられます

{displaystyle x^{2} -x-1 = 0}

ここは

{displaystyle a = 1、b = -1}

${displaystyle a=1,b=-1}$ と

{displaystyle c = -1}

$c=-1$ 。
これらの値をA-B-C式に挿入すると、ソリューションが表示されます

{displaystyle x_ {1,2} = {frac {-bpm {sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}} = {frac { – 1）pm {sqrt {（-1）^{2} {2}}}}}}}}}}} ac {1pm {sqrt {5}}} {2}}}

通常のフォームのソリューション式（ p-q– 方式） [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

通常のフォームが利用可能な場合

{displaystyle x^{2}+px+q = 0}

$x^{2}+px+q=0$ 後の解決策です p-q– 方式 ：

{displaystyle x_ {1,2} = – {frac {p} {2} {2}} pm {sqrt {left（{frac {p} {2}}右）^{2} -q}}}}}

オーストリアでは、この式はそうです 小さなソリューションフォーミュラ 知られています。 ^[3]

ソリューションder p-q– 負の判別を伴う式 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

のように a-b-c- いつ式があります

{displaystyle {tfrac {1} {4}} d = left（{tfrac {p} {2}}右）^{2} -q}

${displaystyle {tfrac {1}{4}}D=left({tfrac {p}{2}}right)^{2}-q}$ 否定的なものはなく、実数の数領域に解決策はありません。その後、複雑なソリューションが発生します。

{displaystyle x_ {1,2} = – {frac {p} {2}} pm icdot {sqrt {q-left（{frac {p} {2}}右）^{2}}}}}}

の派生 p-q– 方式 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

式は、正方形の添加による正方方程式の通常の形式から生じます。

{displaystyle {begin {array} {rcll} x^{2}+px+q＆=＆0＆| -q \ [1ex] x^{2}+px＆=＆ – q＆|+左（{dfrac {p} {2}}右） x^{2}+2cdot {dfrac {p} {2}} x+left（{dfrac {p} {2}}右）^{2}＆=＆=＆左（{dfrac {p} {2}}右）^{2} -q＆| {binomische fignel} {1 \ fignel} ac {p} {2}}右）^{2}＆=＆left（{dfrac {p} {2}}右）^{2} -q＆| {wurzel ziehen}} \ [1ex]左| x+{dfrac {p} {2} {dd} } {2}}右）^{2} -q}}＆| {text {betragauflösen}} \ [1ex} \ [1ex] x+{dfrac {p} {2}}＆=＆pm {sqrt {{dfrac {p} {p} {2}} {{dfrac）{{dfrac} {{dfrac} {} {2}} } {2}} \ [1ex] x＆=＆ – {dfrac {p} {2}} pm {sqrt {left（{dfrac {p} {2}}右）^{2} -q}} end {array}}}}}}}}

式を導き出す別の可能性は、 a-b-c- 方式

{displaystyle a = 1}

$a=1$ 、

{displaystyle b = p}

$b=p$ と

{displaystyle c = q}

$c=q$ 分母2をルートに設定して引っ張ります。

線形要因への分解 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ソリューションを使用すると、2次標準化された多項式を線形因子に分解できます。

{displaystyle x^{2}+px+q =（x-x_ {1}）cdot（x-x_ {2}）}

そして、それは標準化されていません

{displaystyle ax^{2}+bx+c = acdot（x-x_ {1}）cdot（x-x_ {2}）。}

Vietaからの文 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

正方方程式が正常な形で、解決策がある場合

{displaystyle x_ {1}}

$x_{1}$ と

{displaystyle x_ {2}}

$x_{2}$ 適用されます

{displaystyle 0 = x^{2}+px+q =（x-x_ {1}）cdot（x-x_ {2}）= x^{2} – （x_ {1}+x_ {2}）x+x_ {1} x_ {2}。}。

係数を比較することにより、Vietaから文を取得します

{displaystyle、x_ {1}+x_ {2} = -p}

特に場合

{displaystyle p}

$p$ と

{displaystyle q}

$q$ 多くの数字があるので、の部分的なペアを試すことによって

{displaystyle q}

$q$ 合計として

{displayStyle -P}

$-p$ 結果、一部の運動では、しばしば解決策がすぐに見つかります。たとえば、あなたは取得します

{displaystyle x^{2}+4x+3 = 0}

$x^{2}+4x+3=0$ ソリューション

{displaystyle x_ {1} = -1}

$x_{1}=-1$ と

{displaystyle x_ {2} = -3}

$x_{2}=-3$ 分解することによって

{displaystyle 3 =（-1）（-3）}

$3=(-1)(-3)$ と

{displaystyle（-1）+（ – 3）= -4。}

${displaystyle (-1)+(-3)=-4 .}$

数値計算 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ソリューションが数値的に決定され、サイズを区別する場合、上記の式の次の変動によってワイプの問題を回避できます。

{displaystyle x_ {1} = – {frac {p} {2}} – operatorname {sgn}（p）cdot {sqrt {left（{frac {p}} right）^{2} -q}}}}}}}}}}}

{displaystyle x_ {2} = {frac {q} {x_ {1}}}}}}

ここにあります

{displaystyle operatorname {sgn}（p）}

$operatorname {sgn}(p)$ 値

{displaystyle -1}

$-1$ ために

{displaystyle p <0}

$p<0$ それ以外の場合は値

{displaystyle1}

$1$ 。最初の式は、最大のソリューションをもたらします。 2番目の式は、Vietaの判決に基づいています。

グラフィックソリューション [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

方程式の解

{displaystyle x^{2}+px+q = 0}

$x^{2}+px+q=0$ 放物線のゼロポイントです

{displaystyle f（x）= x^{2}+px+q}

$f(x)=x^{2}+px+q$ 。これは、カーライルサークルの助けを借りて取得されます。

カートを描きます。座標系センター周辺の円 ${displaystyle M = left（{tfrac {-p} {2}} | {tfrac {q+1} {2}}右）}$

例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

コンピューティング [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

方程式の場合

{displaystyle 4x^{2} -12x-40 = 0}

その後のソリューションとしての結果 a-b-c- 方式

{displaystyle x_ {1,2} = {frac { – （ – 12）pm {sqrt {（-12）^{2} -4cdot 4cdot（-40）}}}}}}}}}}}

また

{displaystyle x_ {1} = -2}

$x_{1}=-2$ と

{displaystyle x_ {2} = 5。}

${displaystyle x_{2}=5 .}$

を使用するには p-q– 式は、方程式を4で割ることにより、最初に通常の形式に転送されます。

{displaystyle x^{2} -3x-10 = 0。}

とともに p-q– フォーミュラはソリューションをもたらします

{displaystyle x_ {1,2} = – {frac {-3} {2} {2}} pm {sqrt {let（{frac {-3} {2}}右）^{2} – （-10）}}}}}

だからも

{displaystyle x_ {1} = -2}

$x_{1}=-2$ と

{displaystyle x_ {2} = 5。}

${displaystyle x_{2}=5 .}$

解体の助けを借りて

{displaystyle -10 =（-2）cdot 5}

$-10=(-2)cdot 5$ と

{displaystyle 5-2 = 3}

$5-2=3$ Vietaの文で同じ解決策が得られます。

さらなる例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

複雑な係数 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

正方方程式

{displaystyle az^{2}+bz+c = 0}

複雑な係数を使用

{displaystyle a、b、cin mathbb {c}}

${displaystyle a,b,cin mathbb {C} }$ 、

{displaystyle aneq 0}

$aneq 0$ 常に2つの複雑なソリューションがあります

{displaystyle z_ {1}、z_ {2} in mathbb {c}}

${displaystyle z_{1},z_{2}in mathbb {C} }$ それは、判別剤が正確に一致します

{displaystyle b^{2} -4ac}

$b^{2}-4ac$ ゼロです。

実際の場合と同様に、ソリューションは、二次添加または上記の溶液式で計算できます。ただし、通常、複雑な数の平方根を計算する必要があります。

例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

正方方程式の場合

{displaystyle z^{2} – （mathrm {i} +1）z +mathrm {i} = 0}

判別には価値があります

{displaystyle d = -2mathrm {i} =（mathrm {i} -1）^{2}}

$D=-2mathrm {i} =(mathrm {i} -1)^{2}$ 。 2つのソリューションの結果

{distrastaStyle z_ {1} = 1}

$z_{1}=1$ と

{displaystyle z_ {2} = mathrm {i}。}

${displaystyle z_{2}=mathrm {i} .}$

一般的な輪の正方方程式 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

一般に、形状の方程式は抽象代数で呼ばれます

{displaystyle x^{2}+px+q = 0}

要素付き p 、 Q ボディまたはリング1の 二次方程式 。整合性分野でより一般的な団体では、彼女は最大2つの解決策を持っています。どんな闘いでも、3つ以上のソリューションを持つことができます。

解決策が存在する場合、あなたは彼らを通勤している闘争にも取得します p-q– 式リングの特性が不平等な場合2。ただし、判別剤のすべての可能な平方根を考慮する必要があります。有限のボディの場合

{displaystyle mathbb {f} _ {2^{n}} cong mathbb {f} _ {2}（varrho）}

$mathbb {F} _{2^{n}}cong mathbb {F} _{2}(varrho )$ 特性2がアプローチになります

{displaystyle x = textStyle sum _ {i = 0} ^{n-1} a_ {i} varrho ^{i}}

$x=textstyle sum _{i=0}^{n-1}a_{i}varrho ^{i}$ そして、そのままになります

{displaystyle x^{2} = textStyle sum _ {i = 0}^{n-1} a_ {i} varrho^{2i}}}}

$x^{2}=textstyle sum _{i=0}^{n-1}a_{i}varrho ^{2i}$ の方程式の線形システムへ n 係数 a _私out

{displaystyle mathbb {f} _ {2}}

$mathbb {F} _{2}$ 。

例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

正方方程式

{displaystyle x^{2} -1 = 0}

残りのクラスリングにあります

{dispastaStyle mathbb {z} /8mmbb {z}}

$mathbb {Z} /8mathbb {Z}$ 4つのソリューション1、3、5、および7。

問題は4000年前に古いバビロニア帝国で解決されましたが、同等のものは正方形の方程式です。たとえば、1930年代にオットー・ノイゲバウアーによって成功した冠型翻訳によると、大英博物館の在庫番号BM 34568の下にアーカイブされたサウンドテーブルが含まれています。 ^[4]長さと幅の合計14の結果とその面積が48である長方形の辺の長さの問題。 ^[5]

粘土板に文書化されたソリューションは、認識すべき理由はありませんが、通常のソリューション式または同等の幾何学的考慮事項にも表示される中間値があります。

「長さと幅が14および48に追加されます。
サイズは不明です。 14回14（IS）196。48回4（IS）192。
196の192あなたは脱ぎ捨てて4を残します。何をしますか
（維持するために）4を取る必要がありますか？ 2回2（IS）4。2の2の2つを引きオフすると、12のままです。
12倍（IS）6。6は幅です。 6〜2、8は追加されます。 8（IS）長さ。」

– BM 34568＃9、Otto Neugebauer（1937）による翻訳。 P. 18。

バビロニアの性的システムの粘土テーブルにリストされているテキストにリストされている中間値、 ^[6]また、関連する正方方程式の場合にも発生します

{displaystyle x^{2} -14x+48 = 0}

${displaystyle x^{2}-14x+48=0}$ 通常のソリューション式で解決されます。 2つのソリューション8と6が取得されます。これは、長方形のサイドの長さの後に求められている2つのサイドの長さに幾何学的に対応します。

{displaystyle x_ {1,2} = {frac {14pm {sqrt {196-192}}} {2}} = {frac {14pm 2} {2}}。}}

Høyrupによれば、引用されたタスクと同様のタスクの解決策がバビロニア人によって幾何学的に動機付けられていると想定することができます。 ^[7]

古代ギリシア人では、四方方程式に相当するさまざまな幾何学的な問題が解決されました。たとえば、ユークリッドで見つけることができます要素タスク：

「ルート全体を備えた長方形が、部品全体になる長方形が他方より上の正方形に等しくなるようにルートを共有すること。」

– ユークリッド： 要素。 第2巻、演習11 ^[8]

タスクは、今日の表記の方程式に対応しています

{displaystyle a（a-x）= x^{2}}

方程式に対して形成できます

{displaystyle x^{2}+ax = a^{2}。}

628年頃に作成された本の中 brāhmasphuṭasiddhānta （「Brahmas Teachingのパフォーマンス」）Brahmauptaのインドの学者は、四角方程式の溶液方法を口頭で説明しました。 Brahmaguptaはすでに負の数とそのような計算ルールを使用していました

「ネガティブとポジティブの積は、2つのネガティブ陽性のネガティブであり、2つの陽性の陽性です。ゼロとゼロと正または2つのゼロのゼロと負の積はゼロです。」

– ブラフマグプタ： brāhmasphuṭasiddhānta。 第XVIII章、33節 ^[9]

その結果、ブラフマグプタは、今日の形の正方形の方程式に形成された場合、落下を避けることができました

{displaystyle a {x}^{2}+bx = c}

これはソリューション式に対応します

{displaystyle x = {frac {{sqrt {4ac+b^{2}} -b} {2a}}}}

インドとアラビアの数字のように、インドの学者の知識は、イスラム科学者を通じて彼らの広がりとさらなる発展を発見しました。数学者のAl-Chwarizmiは特に傑出した役割を果たし、その本は825年頃に書かれました al-kitābal-muḫtaṣarfīḥisābal-wa-ʾl-muqābala （「算術手順に関する短い本を追加および補償することによる短い本」）初めて、口頭で記述されている場合、方程式の治療の一般的な手法が含まれています。 Al-Chwarizmiが詳細に説明した方程式の同等の形成により、2次方程式は6型のいずれかに還元できます。 Brahmaguptaとは異なり、Al-Chwarizmiは負の数を使用しなかったため、6種類が必要でした。

Al-Chwarizmiの本には、数値の例に基づいてすべてのタイプの幾何学的ソリューションプロセスが含まれているため、肯定的なソリューションのみが可能です。次のリストでは、平均があります根あなたが探しているソリューション

{displaystyle x}

$x$ と資産溶液の正方形

{displaystyle x^{2}}

$x^{2}$ 。また、示します

{displaystyle a、b}

$a,b$ と

{displaystyle c}

$c$ 非陰性係数： ^[十]^[11]

ルーツと同じ資産については （今日： ${displaystyle ax^{2} = bx}$
数と同じ資産については （今日： ${displaystyle ax^{2} = c}$
根に関しては、それは数で同じです （今日： ${displaystyle bx = c}$
資産とルーツに関しては、数字と同じです （今日： ${displaystyle ax^{2}+bx = c}$
ルーツと同じ資産と数字について （今日： ${displaystyle ax^{2}+c = bx}$
資産と同じルーツと数字について （今日： ${displaystyle ax^{2} = bx+c}$

方程式の幾何学的解

{displaystyle x^{2}+px = q}

方程式の幾何学的解

{displaystyle x^{2}+10x = 39}

Al-Chwarizmiは、等価形成を使用して正方形の方程式を解きませんでした。つまり、代数的議論はありませんが、幾何学的議論のギリシャ語の伝統に基づいていました。例として、式はアルチワリズミで発生するように、 ^[12番目]

{displaystyle x^{2}+10x = 39}

の特別なケースとして

{displaystyle x^{2}+px = q}

${displaystyle x^{2}+px=q}$ と

{displaystyle P、Q> 0}

${displaystyle p,q>0}”></span>幾何学的に解決されます（写真を参照）。これを行うには、方程式の左側に左側の左側に触れてください <span class=$

{displaystyle x}

$x$ （したがって、エリア

{displaystyle x^{2}}

$x^{2}$ ）そして、2つの長方形のdehgとbcfe with side

{displaystyle 5}

$5$ と

{displaystyle x}

$x$ （したがって、エリア

{displaystyle 5x}

$5x$ ）。写真に示されているように、正方形と2つの長方形は、コーナーポイントBcigdeのあるGnomonに構成されています。このノモンにはの領域があります

{displaystyle x^{2}+10x = 39}

$x^{2}+10x=39$ 。サイドの長さの正方形でそれを補完する場合

{displaystyle 5}

$5$ （したがって、エリア

{displaystyle 25}

$25$ ）正方形のacigに、これには領域があります

{displaystyle 39+25 = 64}

$39+25=64$ 。一方、この正方形のacigは、構築後に副次的な長さを持っています

{displaystyle 5+x}

$5+x$ したがって、エリア

{displaystyle（5+x）^{2}}

$(5+x)^{2}$ 。なぜなら

{displaystyle 64 = 8^{2}}

$64=8^{2}$ あなたは閉じます

{displaystyle 5+x = 8}

$5+x=8$ したがって

{displaystyle x = 3}

$x=3$ 。したがって、正方方程式は「正方形の補足」です

{displaystyle（x+5）^{2} = 64}

$(x+5)^{2}=64$ （陽性）ソリューションを使用

{displaystyle x = 3}

$x=3$ 。この幾何学的方法を使用できることに注意してください いいえ ネガティブソリューション

{displaystyle x = -13}

$x=-13$ 受信します。

Heron von AlexandriaとAl-Chwarizmiとともに、の解決策

{displaystyle ax^{2}+bx = c}

口頭で記述されています。今日のスペルとして

{displaystyle x = {frac {{sqrt {ac+left（{brac {b} {2}}右）^{2}}} – {frac {b}}} {a}}。}}

しかし、ヘロンはユークリッドの道を幾何学的正当化として押し進めます。

1145年頃、ロバート・フォン・チェスターと少し後にゲルハルト・フォン・クレモナがアル・チャワリズミの著作をラテンに翻訳しました。 ^[13]

その結果、分類および幾何学的ソリューション方法がヨーロッパに届きました。

マイケル・スティペルは1544年に本を書きました 算術全体 それは本に Algebreの人工規則による計算を持ち上げることと、コスと呼ばれます Christoph Rudolffによって建設されました。著者は、負の数を使用することにより、正方方程式の症例差を回避することに成功します。しかし、彼はそれらをばかげていると認識しているため、まだ解決策として負の数を許可していません。 ^[14]

1615年に死後に、彼の作品で正方形の方程式を解くための新しいアプローチを提供したVietaのルートセット 認識と修正交渉の方程式2 公開されました。

1637年、ルネ・デカルトは彼の執筆で説明されました ジオメトリ 円と定規で正方方程式を解く方法。彼はまた、一般に、より高い程度の方程式はコンパスや支配者だけでのみ解決できないことを示しました。

Bartel Leendert van der Warden： 科学の目覚め 。バンド1： エジプト、バビロニア、ギリシャの数学 。第2版。 Birkhäuser1966。

↑ ハイコ・スタッリグ：エコノミスト向けのアプリケーション数学。オルデンブール、ミュンヘン/ウィーン2006、ISBN 978-3-486-57920-8、 S. 29 （限られたプレビュー Google Book Search [2020年12月29日にアクセス]）。
↑ Guido Walz：方程式と不平等。非同士のためのプレーンテキスト。 Springs、2018、ISBN 978-3-658-21669-6、 S. 14 （限られたプレビュー Google Book検索で）。
↑ ^a^b フランツ・エンバッチャー： 正方方程式 。スクリプト Mathe-online.at。
↑ これらは、右列の5つの上線です。ご参照ください写真大英博物館のホームページで（全体の説明）。
↑ オットー・ノイゲバウアー： 数学、天文学と物理学の歴史に関する情報源と研究、部門A：情報源、第三バンド、第3部。 ベルリン1937、pp。14–22およびTafel 1。
↑ サウンドテーブルのテキストの数値兆候は、JörgWerksdorffで説明されています。初心者向けの代数。ガロア理論の解決から。 6.エディション。 Wiesbaden 2019、ISBN 978-3-658-26151-1、 S. 4 、doi： 10,1007/978-3-658-26152-8 （限られたプレビュー Google Book検索で）。
↑ Jenshøyrup：長さ、幅、表面。古いバビロニアの代数とその親族の肖像画。ニューヨーク2002、ISBN 978-1-4419-2945-7、 S. 393–395 、doi： 10,1007/978-1-14757-3685-4 （英語）。
↑ I.トッドハンター：ユークリッドの要素 . Toronto 1869, S. 66 （英語、 archive.orgでオンライン）。
↑ ^a^b JörgWerksdorffによる翻訳の後に引用：初心者向けの代数。ガロア理論の解決から。 6.エディション。 Wiesbaden 2019、ISBN 978-3-658-26151-1、 S. 6 f 。、doi： 10,1007/978-3-658-26152-8 。
↑ 彼のウーシング： 6000年の数学。バンド初め。 Springs、2008、ISBN 978-3 -540-77189-0、 S. 237–241 、doi： 10,1007/978-3-540-77192-0 。
↑ Helmuth Gericke： 古代、東洋、西の数学 。第7版。 Forier Verlag、2003、ISBN 3-925037-64-0、p。198。
↑ ルイ・チャールズ・カルピンスキー：チェスターのロバートのラテン語翻訳of Al-khowarizmiの代数の翻訳。ロンドン1915、 S. 77–83 （英語、 archive.orgでオンライン）。
↑ 彼のウーシング： 6000年の数学。バンド初め。 Springs、2008、ISBN 978-3 -540-77189-0、 S. 278 、doi： 10,1007/978-3-540-77192-0 。
↑ 彼のウーシング： 6000年の数学。バンド初め。 Springs、2008、ISBN 978-3 -540-77189-0、 S. 341–342 、doi： 10,1007/978-3-540-77192-0 。

after-content-x4

二次方程式-Wikipedia

実際の係数を備えた正方方程式のソリューション [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

実際のゼロポイントの数 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

簡単な特別なケース [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

リニアメンバーがありません [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

一定のメンバーがありません [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

頂点の方程式 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

正方形の追加で緩めます [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

一般的なソリューション式 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

一般的な方程式の解決策（ a-b-c- 方式） [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

代替形状 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ソリューションder a-b-c- 負の判別を伴う式 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

の派生 a-b-c- 方式 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

コンピューティング [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

通常のフォームのソリューション式（ p-q– 方式） [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ソリューションder p-q– 負の判別を伴う式 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

の派生 p-q– 方式 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

線形要因への分解 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

Vietaからの文 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

数値計算 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

グラフィックソリューション [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

コンピューティング [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

さらなる例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

複雑な係数 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

一般的な輪の正方方程式 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

Recent Posts

Recent Comments

Archives

Categories

Meta