積分計算の平均値-Wikipedia

Posted on August 19, 2019 by lordneo

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積分計算の平均値 （また Cauchyscherの平均 呼ばれる）は分析の重要な文です。実際の値を計算せずに積分を推定することができ、分析の基本的な文の簡単な証拠を提供します。

平均値の幾何学的解釈へ

{displaystyleg = 1}

Riemann積分はここで考慮されます。声明は次のとおりです。

多分

{displaystyle fcolon [a、b] to mathbb {r}}

${displaystyle fcolon [a,b]to mathbb {R} }$ 一定の関数も同様です

{displaystyle gcolon [a、b] to mathbb {r}}

${displaystyle gcolon [a,b]to mathbb {R} }$ 統合可能で、どちらか

{displaystyle ggeq 0}

$gge0$ また

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{displaystyle gleq 0}

$gle0$ （つまり、標識が変更されていない）。それからあります

{displaystyle xi in [a、b]}

$xi in [a,b]$ 、となることによって

{displaystyle int limits _ {a}^{b} {f（x）g（x）dx} = f（xi）int limits _ {a}^{b} {g（x）dx}}}}

適用可能です。一部の著者は、上記の声明を次のように参照してください 延長された平均 との声明

{displaystyleg = 1}

$g=1$ いつ平均また 最初の平均 。ために

{displaystyleg = 1}

$g=1$ あなたは重要な特別なケースを取得します：

{displaystyle int limits _ {a}^{b} {f（x）dx} = f（xi）（b-a）}

幾何学的に簡単に解釈できます。

{displaystyle a}

$a$ と

{displaystyle b}

$b$ 長方形の内容に等しくなります 中程度の高さ 。

多分

{displaystyle g（x）geq 0}

$g(x)ge 0$ 間隔で

{displaystyle [a、b]}

$[a,b]$ 。他のケースは、移行によって実行できます

{displaystyle -g}

$-g$ これに起因する。

安定性のため

{displaystyle f}

$f$ の

{displaystyle [a、b]}

$[a,b]$ 最小および最小値からの文の後

{displaystyle k}

$k$ そして最大

{displaystyle k}

$K$ で。と

{displaystyle kleq f（x）leq k}

$k le f(x) le K$ と

{displaystyle g（x）geq 0}

$g(x)ge 0$ は

{displaystyle kg（x）leq f（x）g（x）leq kg（x）}

Riemann積分の単調さと直線性により、さらに

{displaystyle kint limits _ {a}^{b} {g（x）、{rm {d}} x} int rmits _ {a}^{b} {f（x）g（x）、{rm {d}} x} leq kint limits _ {x} {b} {x } x}}

と

{displaystyle i：= int limits _ {a}^{b} {g（x）、{rm {d}} x}}

${displaystyle I:=int limits _{a}^{b}{g(x),{rm {d}}x}}$ 適用されます

{displaystyle kileq int limits _ {a}^{b} {f（x）g（x）、{rm {d}} x} leq ki}

これで、次のケースを区別する必要があります。

秋i：

${displaystyle ineq 0}$

${displaystyle Ineq 0}$ 。 – その後、クレームには同等の形式があります

{displaystyle f（xi）= {frac {1} {i}} cdot int limits _ {a}^{b} {f（x）g（x）、{rm {d}}}}}}

この方程式の右側は数字であり、それは

{displaystyle f}

$f$ のために

{displaystyle xi in [a、b]}

$xi in [a,b]$ この数値は値として想定されます （2） 。

なぜなら

{displaystyle g（x）geq 0}

$g(x)ge 0$ は

{displaystyle i> 0}

$I>0″></span>、および（1）分割後 <span class=$

{displaystyle i}

$I$ 形状

{displaystyle kleq {frac {1} {i}} cdot int limits _ {a}^{b} {f（x）g（x）、{rm {d}} x} leq k}

これから（2）は、定数関数の中間値を使用します。 e。 d。

秋II：

${displaystyle i = 0}$

$I=0$ 。 – 次に（1）に従ってください：

{displaystyle int limits _ {a}^{b} {f（x）g（x）、{rm {d}} x} = 0}

そして、主張は得られます毎日

{displaystyle xi in [a、b]}

$xi in [a,b]$ 有効なフォーム

{displaystyle f（xi）cdot 0 = 0}

その条件

{displaystyle ggeq 0}

$gge0$ また

{displaystyle -ggeq 0}

$-ggeq 0$ 適用されます。
実際、関数の平均値が適用されます

{displaystyle g}

$g$ 次の例が示すように、一般的にこの条件がありません：

{displaystyle [a、b] = [-1,1]}

$[a,b]=[-1,1]$ と

{displaystyle f（x）= g（x）= x}

$f(x)=g(x)=x$ は

{displaystyle int limits _ {a}^{b} f（x）cdot g（x）mathrm {d} x = {tfrac {2} {3}}}}}

しかし

{displaystyle f（xi）cdot int limits _ {a}^{b} g（x）mathrm {d} x = 0}

なれ

{displaystyle F、gcolon [a、b] to mathbb {r}}

${displaystyle f,gcolon [a,b]to mathbb {R} }$ 機能、

{displaystyle f}

$f$ モノトンと

{displaystyle g}

$g$ 安定。それからあります

{displaystyle xi in [a、b]}

$xi in [a,b]$ 、となることによって

{displaystyle int limits _ {a}^{b} {f（x）g（x）dx} = f（a）int limits _ {a}^{xi} {g（x）dx}+f（b）int limits _ {xi}^{b} {g（x）dx}}

その場合は

{displaystyle f}

$f$ 常に差別化することさえできます

{displaystyle xi in（a、b）}

$xi in (a,b)$ 選ぶ。証拠には、部分的な統合、分析の基本的なセット、上記の文が必要です。

オットーフォースター： 分析1.変数の微分および積分計算。 第7版。 Vieweg、Braunschweig 2004、ISBN 3-528-67224-2。
Harro Heuser： 分析の教科書 。パート第18版。 B. G. Teubner、Stuttgart 1990、ISBN 3-519-12231-6。

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