射影座標系 – ウィキペディア

a 射影座標系 これにより、射影空間内のポイントの位置を、座標ベクトルを指定することにより、明確に説明できます。その結果、ジオメトリと線形代数の数学的領域では、射影室の構造画像（これらはコリネーションであり、とりわけ射影イラスト）を座標関連のイメージングマトリックスで提示でき、室は分析的なジオメトリの方法を使用して調べられます。

射影空間のポイントを記述する座標ベクトルのコンポーネントは呼ばれます 射影座標 。あなたもそうです 均一な座標 専用。 （→主な記事では、「均一な座標」では、射影座標を使用してアフィンルームなどの関連構造の要素を識別する方法も説明されています。）

有限寸法の抽象的な射影空間で

${displaystyle n}$

座標系を通過します

${displaystyle n+2}$

決定された選択された基底ポイントに適している – ポイントは一般的な場所で選択され、射影基準と呼ばれる必要があります。標準モデルで十分に十分であるベクターベース（ハメルベース）の代わりに基本ポイントへの参照は、参照システムのモデルに依存しない幾何学的説明を可能にし、合成ジオメトリでは、より一般的な構造（特に射影発生率でも同等の座標の導入を可能にします レベル ）、ベクトルルームはなく、体を座標領域として割り当てることができません。

そうです

${displaystyle kp^{n}}$

${displaystyle n}$

– 体上の次元射影空間

${displaystyle k}$

。

ベクターのベースになる射影ポイント

${displaystyle {mathcal {b}} =（{thing {e}} _ {0}、{thing {e}} _ {1}、ldots、{thing {e}} _ {n}）}}}$

の

${displaystyle k^{n+1}}$

属します、すなわち、これらの基本ベクトルによって生成される1次元の下面

${displaystyle b_ {j} = lbrace rcdot {vec {e_ {j}}}：; rin krbrace; quad 0leq jleq n}$

単位ポイントと一緒に形成します

${displaystyle e = b_ {n+1} = lbrace rcdot left（{vec {e}} _ {0}+{vec {e}} _ {1}+cdots {vec {e}}} _ {n}右）:; rin krbrace}$

射影ベース（また：射影点塩基）

${displaystyle {mathcal {b}} _ {p} =（b_ {0}、b_ {1}、ldots、b_ {n}、b_ {n+1}）}$

射影空間の

${displaystyle kp^{n}}$

。

に沿ってスライトすることによって

${displaystyle b_ {1}、ldots、b_ {n}}$

エキサイティングな射影ハイパーベンは、アフィン空間が得られます

${displaystyle {mathcal {a}}}$

。これで

${displaystyle e}$

ゼロポイント。私たちは考慮します

${displaystyle i = 1、ldots、n}$

交差点

${displaystyle e_ {i}}$

ストレート

${displaystyle eb_ {i}}$

ハイパーベルと一緒に

${displaystyle b_ {0}、ldots、b_ {i-1}、b_ {i+1}、ldots、b_ {n}}$

。これらのポイント

${displaystyle左{e_ {1}、ldots、e_ {n}右}}}$

ゼロポイントでフォーム

${displaystyle e}$

のアフィンの基礎

${displaystyle {mathcal {a}}}$

。この基礎により、調整を提携できます

${displaystyle（x_ {1}、ldots、x_ {n}）}$

の

${displaystyle {mathcal {a}}}$

選択した射影基準に関する定義および射影座標は、定義上、

${displaystyle（1; x_ {1}; ldots; x_ {n}）}$

。

それは部屋になります

${displaystyle kp^{2}}$

標準ベースで

${displaystyle b_ {0} = left [1：0：0right]、b_ {1} = left [0：1：0right]、b_ {2} = left [0：0：1 right]、b_ {3} = left [1：1：1 right]}$

見た。その後、射影線があります

${displaystyle b_ {3} b_ {1} =左{左[1：1+s：1ライト]ミッドシンkright}左{b_ {1}右}}}}$

と

${displaystyle b_ {0} b_ {2} =左{左[t：0：1-tright] mid tin kright}}}$

交差点

${displaystyle e_ {1} = left [1：0：1 right]}$

そして射影線

${displaystyle b_ {3} b_ {2} =左{左[1：1：1+sright] mid sin kright}左{b_ {2}右}}}$

と

${displaystyle b_ {0} b_ {1} =左{左[t：1-t：0right] mid tin kright}}}$

交差点

${displaystyle e_ {2} = left [1：1：0right]}$

。ポイントの射影座標

${displaystyle左[x：y：zright]}$

その後

${displaystyle（1; {tfrac {y} {x}}; {tfrac {z} {x}}）}$

ために

${displaystyle xnot = 0}$

。

いずれにせよ、非捨ての射影レベルでは、アフィン座標の助けを借りて、射影基準の助けを借りて射影座標を導入できます。

射影レベルでは、最初に射影的根拠がなければなりません

${displaystyle（b_ {0}、b_ {1}、b_ {2}、e）}$

つまり、4つのポイントのうち3つが一般的なストレートにあると言われているわけではありません。ポイント

${displaystyle b_ {0}}$

起源になります

${displaystyle o = b_ {0}}$

アフィン座標系の接続ストレート

${displaystyle b_ {0} b_ {1}}$

彼の最初に、

${displaystyle b_ {0} b_ {2}}$

彼の2番目の座標軸に。最初に射影交差点

${displaystyle e_ {1} = eb_ {2} cap ob_ {1}}$

と

${displaystyle e_ {2} = eb_ {1} cap ob_ {2}}$

これらの軸の単位ポイントなので、

${displaystyle（o、e_ {1}、e_ {2}）}$

アフィンレベルのアフィンポイントベース。

${displaystyle u = b_ {1} b_ {2}}$

発生します。これは現在、アフィンレベルのリモートラインになりつつあります。右側のイラストも参照してください。

この方法で決定される座標は、

${displaystyleu}$

明らかに、ポイントの場合

${displaystyleu}$

追加の契約によって達成できます。それらは一般的に均質ではありません：座標領域内

${displaystyle k}$

それはターネル体であり、一般に「筋肉栽培」を定義することはできません。

イラスト [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

もしも

${displaystyle p}$

と

${displaystyle q}$

寸法の射影室

${displaystyle n}$

また。

${displaystyle m}$

しっかりした体について

${displaystyle k}$

その後：

• すべての射影イラスト
  ${displaystylepi}$

  から

  ${displaystyle p}$

  後

  ${displaystyle q}$

  永久に選択されたプロジェクトベースの観点から

  ${displaystyle p}$

  と

  ${displaystyle q}$

  描写

  ${displaystyle pi colon左[x_ {0}、ldots、x_ {n}右]^{t} rightArrow左[（x_ {0}、ldots、x_ {n}）^{t}）右]^{t}}}$

  。イラストマトリックス

  ${displaystyle a}$

  もっている

  ${displaystyle n+1}$

  線と

  ${displaystyle m+1}$

  分割され、スカラー係数を除く

  ${displaystyle rin ksetminus lbrace {0} rbrace}$

  はっきりと決まっています。

• あなたはすべてのポイントに行くことを選択します
  ${displaystyle b_ {j}（0leq jleq n+1）}$

  の射影ポイントベース

  ${displaystyle p}$

  または相当します

  ${displaystyle n+2}$

  一般的な場所、各ピクセポイントのポイント

  ${displaystyle c_ {j} in q}$

  、これはできます 明らかに 射影イラストに

  ${displaystyle piコロンprightarrow q}$

  続く 、それでどちらで

  ${displaystyle pi（b_ {j}）= c_ {j}}}$

  すべてのベースポイントに適用されます。

• すべての射影
  ${displaystylepi}$

  の上

  ${displaystyle p}$

  永久に選択された射影点ベースの観点から

  ${displaystyle p}$

  描写

  ${displaystyle pi colon左[x_ {0}、ldots、x_ {n}右]^{t} rightArrow左[（x_ {0}、ldots、x_ {n}）^{t}）右]^{t}}}$

  。正方形、レギュラー

  ${displaystyle（n+1）回（n+1）}$

  イラストマトリックス

  ${displaystyle a}$

  スカラー因子を除く

  ${displaystyle rin ksetminus lbrace {0} rbrace}$

  はっきりと決まっています。

• に
  ${displaystyle n+2}$

  ポイントポイント

  ${displaystyle b_ {j}（0leq jleq n+1）}$

  一般的な場所と

  ${displaystyle n+2}$

  ピクセル

  ${displaystyle c_ {j}（0leq jleq n+1）}$

  一般的な場所には、ちょうど1つの射影があります

  ${displaystylepi}$

  の上

  ${displaystyle p}$

  、 の中に

  ${displaystyle pi（b_ {j}）= c_ {j}、（0leq jleq n+1）}}$

  は。したがって、射影線形グループはまた

  ${displaystyle operatorname {pgl}（n+1、k）}$

  単純に一時的に鋭く動作します

  ${displaystyle n+2}$

  – 一般的な場所にあるポイントのtupel。

• 寸法です
  ${displaystyle ngeq 2}$

  、それからすべてのコリネーションが可能になります

  ${displaystyle kappa}$

  の上

  ${displaystyle p}$

  固定射影基準について

  ${displaystyle p}$

  構成として

  ${displaystyle kappa = pi circ sigma}$

  射影を伴う

  ${displaystylepi}$

  そして自動化

  ${displaystyle sigma}$

  体の

  ${displaystyle k}$

  代表する。

二重関係 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

4つの共線ポイントの二重関係

${displaystyle P、Q、R、S}$

射影空間には、射影座標の単純な関係がそのポイントです

${displaystyle p}$

他の3つのポイントを共通ストレートのポイントベースとして選択しました。ある

${displaystyle b_ {0} = r ,, b_ {1} = s}$

基底ポイントと

${displaystyle e = b_ {2} = q}$

座標系の単位点。今持っています

${displaystyle p}$

このシステムに関しては、座標プレゼンテーション

${displaystyle p =左[p_ {0}; p_ {1}右]}$

、次に、二重の関係に適用します。

${displaystyle t = operatorname {dv}（pqrs）= {tfrac {p_ {1}} {p_ {0}}}}}$

。この接続は、二重の関係がある理由の1つです

${displaystyletin kcup lbrace infty rbrace}$

また、時々 不均一な座標プロジェクト から

${displaystyle p}$

（二重関係にある他のポイントに関して）。 ^[初め]

パラメーター方程式 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

• 2つの異なるポイントの接続ストレート
  ${displaystyle a = left [a_ {0}; a_ {1}; ldots a_ {n} right]}}$

  と

  ${displaystyle b = left [b_ {0}; b_ {1}; ldots b_ {n} right]}}$

  均一なパラメータープレゼンテーションがあります

${displaystyle langle A,Brangle :;{vec {x}}=alpha cdot {begin{pmatrix}a_{0}\a_{1}\vdots \a_{n}end{pmatrix}}+beta cdot {begin{pmatrix}b_{0}\b_{1}\vdots \b_{n}end{pmatrix}}}$

次にです

${displaystyle {vec {x}}}$

ために

${displaystyle（alpha; beta）in k^{2} setminus lbrace 0rbrace}$

ストレートポイントの射影座標

${displaystyle x = left [{vec {x}}^{、t}右]}$

• の接続空間
  ${displaystyle k}$

  スコア

  ${displaystyle a_ {j} = left [{vec {a}} _ {j}}^{t} right] ;; 1leq jleq k}$

  その座標ベクトルは線形から独立しています

  ${displaystyle k-1}$

  – パラメーター表現を備えた射影空間の次元サブスペース

${displaystyle langle a_ {1}、a_ {2}、ldots a_ {k} rangle：{vec {x}} = sum _ {j = 1}^{k} alpha _ {j} {vec {a}}} _ {j} pha _ {k}）in k^{k} setminus lbrace 0rbrace。}$

方程式と誇張を調整します [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

射影ポイントベースを選択した後

${displaystyle {mathcal {b}} _ {p}}$

1つ

${displaystyle n}$

– 次元射影空間

${displaystyle {mathcal {p}}}$

あなたはすべてのポイントを行うことができます

${displaystyle p = left [p_ {0}; p_ {1}; ldots p_ {n} right]}}$

明らかに コーディネート方程式

${displaystyle p_ {0} cdot x_ {0}+p_ {1} cdot x_ {1}+cdots+p_ {n} cdot x_ {n} = 0;}$

ポイント座標として、そのソリューション数量を1つに割り当てます

${displaystyle n-1}$

– 次元のサブスペース

${displaystyle {mathcal {p}}}$

、つまり、誇張可能なレベルについて説明します。方程式は均一であるため、同じスカラーですべての座標を実行してもソリューションは変わりません

${displaystyle rin k^{*}}$

乗算すると、誇張可能なレベルはポイントのみに依存します

${displaystyle p}$

選択した射影座標系。座標ベクトルが呼び出されます

${displaystyle p^{d} = left [p_ {0}; p_ {1}; ldots p_ {n}右]^{d}}$

いつ Hyperebenenkoordinaten このハイパーボーンの。したがって、部屋のすべてのポイントは二重化によるものです

${displaystyle prightarrow p^{d}}$

高度なレベルを一意に割り当てました。

射影室の二重性 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ハイパーレベルへのポイントのデュアル割り当ては、射影空間の射影サブスペースの関連付けの二重性に拡張できます。次の割り当てが適用されます。

二重化が関係しているため、割り当ても理解されるべきです。デュアルはハイパーテインレベルに対応します。
具体的な二重化は選択された座標系に依存しますが、一般的な文は影響を受けません。

射影幾何学の原理は、に基づいています 代数 最終的な寸法座標ベクトルルームの二重スペース

${displaystyle k^{n+1}}$

、メインの記事「デュアルスペース」を参照してください。レベルジオメトリのアプリケーションの例は、セクション「射影幾何学の二重の原理と入射構造」のセクション「二重性（数学）」にあります。

3次元の例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

3次元空間で

${displaystyle kp^{3}}$

ストレートの量です（ストレートはの2次元サブスペースに対応します

${displaystyle k^{4}}$

）あなた自身にデュアル。コンクリートストレート

${displaystyle g = langle e_ {0}、e_ {1} rangle = lbrace left [r、s、0,0right]：;（r、s）in k^{2} setminus lbrace 0rbrace rbrace}$

デュアルです

${displaystyle g^{d} = lbrace left [x_ {0}、x_ {1}、x_ {2}、x_ {3}右] 🙁 x_ {0}、x_ {1}、x_ {2}、x_ {3}） rbrace = langle e_ {2}、e_ {3} rangle}$

これも1つです

${displaystyle g}$

Windschiefe 真っ直ぐ！声明「ストレート

${displaystyle g}$

と

${displaystyle g^{d}}$

お互いを切断しないでください」とは「の接続室に二重です

${displaystyle g^{d}}$

と

${displaystyle g}$

3次元空間全体です」。
2つの風のスレートの場合

${displaystyle g}$

と

${displaystyle h}$

いつでもポイントベースを選ぶことができます

${displaystyle g^{d} = h}$

以下 – 2つの線形非依存性、各ストレートの生成ベクトルを選択し、これらの4つのベクトルを合計の単位点としてサプリメントします。したがって、「2つのストレートカットは互いにカットされない」と「「Windschief」プロパティのデュアル記述の部屋の2つのストレート緊張。

対照的に、声明は ”

${displaystyle g}$

と

${displaystyle h}$

1つのポイントでカット」と「

${displaystyle g}$

と

${displaystyle h}$

最初のステートメントはいくつかの直線に適用されず、他の直線からの二重ステートメントを扱うため、「同等ですが、互いに二重ではありません。

1. ↑ ヘルマンスケール： 線形代数と分析ジオメトリ、ボリュームII 、P。153、Vieby 1980、ISBN 3-528-13057-1