Ramanujansumme – ウィキペディア

いつ ラマヌジャンサム 数理論の特定の有限合計、数学のサブエリア

${displaystyle c_ {q}（n）}$

自然数の価値

${displaystyle q}$

そして整数

${displaystyle n}$

参照されます。彼女は通り抜けています

${displaystyle c_ {q}（n）= sum _ {a = 1 atop（a、q）= 1}^{q} e^{2pi i {frac {a} {q}}}}}}$

定義されています。スペル

${displaystyle（a、q）}$

の最大の共有分割者を表しています

${displaystyle a}$

と

${displaystyle q}$

、合計は数字の上に広がっています

${displaystyle a}$

と

${displaysStyle 1LQ leq}$

1つも

${displaystyle q}$

参加する外国人です。個々のサマンドは、しっかりした複雑なユニットルートの強力です。

S.ラマヌジャンは1916年にこれらの金額を導入しました。 ^[初め] あなたは重要な役割を果たします 円形の方法 Hardy、Littlewood、Winogradowの後。 ^[2] →三角多項式も参照してください。

Ramanujansummeは、これらの機能の分析的継続を可能にする数の理論的機能の興味深い表現を獲得できます。

明確なプレゼンテーションのために、数の理論は略されます

${displaystyle e（x）= e^{2pi ix}}$

書かれたものと関数

${displaystyle e}$

意志として 多数の理論的指数関数 専用。 ^[3]

数の理論的指数関数では、ラマヌジャナンは

${displaystyle c_ {q}（n）}$

いつ

${displaystyle c_ {q}（n）= sum _ {a = 1 atop（a、q）= 1}^{q} eleft（{frac {a} {q}} cdot norright）}}$

書く。

完全な数字の場合

${displaystyle a}$

と

${displaystyle b}$

あなたが書く

${b}の中のdisplaystyle$

、整数の場合は「a shares b」を読んでください

${displaystyle c}$

で存在しました

${displaystyle b = acdot c}$

適用可能です。そのような数がない場合、1つは書いています

${displaystyle anmid b}$

、「aはbを共有しない」と読みます。合計記号

${DisplayStyle Text Style Sum {D、Mid、M} f（d）}$

総合指数を意味します

${displaystyle d}$

のすべての肯定的な除数

${displaystyle m}$

通過します。素数の効力のため

${displaystyle p^{k}、kin mathbb {n} setminus lbrace 0rbrace}$

そして整数

${displaystyle b}$

あなたが書く

${displaystyle p^{k} parallel b}$

（読んだ」

${displaystyle p^{k}}$

Bを正確に共有する “）、if

${displaystyle p^{k} mid b、}$

しかし

${displaystyle p^{k+1} nmid b}$

– つまり、if

${displaystyle（p^{k+1}、b）= p^{k}}$

。

変数の1つを保持します

${displaystyle q}$

また

${displaystyle n}$

ラマヌジャナンで

${displaystyle c_ {q}（n）}$

最後に、他の変数に応じて数字の理論的関数を取得します。

${displaystyle n}$

この用語のために 変数 の上

${displaystyle nin mathbb {n} setminus lbrace 0rbrace}$

制限されます。会社と

${displaystyle q}$

関数です

${displaystyle nmapsto c_ {q}（n）}$

${displaystyle q}$

– 周期、つまり、適用されます

${displaystyle c_ {q}（m）= c_ {q}（n）}$

、滝

${displaystyle mequiv n {pmod {q}} ,, n、min mathbb {z}}$

。

合計に外国の状態を離れると、

${displaystyle sum _ {a = 1}^{q} eleft（{frac {a} {q}} cdot nright）= {begin {cases} qquad {falls}}; nequiv 0 {pmod {q}} \ 0 {sonst、}}}}}}}$

なぜなら、左側は幾何学的な合計だからです。の最大の共有分割者に応じて合計で並べ替えます

${displaystyle q}$

と

${displaystyle a}$

、次に、数理論的機能の直接折りたたみがあります

${displaystyle qmapsto c_ {q}（n）}$

一定の関数で

${displaystyle i^{0}（q）= 1}$

：

${displaystyle sum _ {a = 1}^{q} eleft（{frac {a} {q}} cdot nright）= sum _ {dmid q} sum _ {a = 1 atop（a、q）= d}^{q} eleft（{a} k} {a {a} k} summ {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ k {q/d}（n）}$

。

これに続いて、Möbiissian反転式が続きます。

${displaystyle c_ {q}（n）= sum _ {{dmid q} atop {nequiv 0 {pmod {d}}}} mu left（{frac {q} {d}} right）cdot d = sum _ {dmid（q、rac dmid（q、qut} {d。$

次に、次のようになります。

out

${displaystyle（q、r）= 1}$

続きます

${displaystyle c_ {qr}（n）= c_ {q}（n）cdot c_ {r}（n）}$

• そして、それは常に適用されます
  ${displaystyle c_ {q}（n）= c_ {q}（（q、n））}$

  。

• eulerscheφ関数を介してラマヌジャンの量を使用できます
  ${displaystyle varphi}$

  およびメビウス関数

  ${displaystyle mu}$

  代表する： ^[4]

${displaystyle c_ {q}（n）= varphi（q）cdot {frac {mu left（{frac {q} {（q、n）}}右）} {varphi（{frac {q} {（q、n）}}}}}}}}}}}$

（ために

${displaystyle n = 0}$

あなたが設定した

${displaystyle（q、0）= q}$

、より一般的です

${displaystyle（q、n）}$

いつ ポジティブ GGTフェスト）、

• あなたの価値は固定されています
  ${displaystyle q}$

  金額の観点から

  ${displaystyle varphi（q）}$

  限定、

• は
  ${displaystyle q/（q、n）}$

  正方形ではないので、そうです

  ${displaystyle c_ {q}（n）= 0}$

  。

数字理論関数を表示するラマヌジャンサム [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

ラマヌジャンは、いくつかの重要な特別なケースのために、あなたがあなたの合計で数の理論的機能の興味深い表現を獲得できることをすでに示しています。この目的のために、最大の共通仕分けの数の理論的機能に対して、特別なタイプの控えめなフーリエ変換が導入されます。 ^[5] なれ

${displaystyle nin mathbb {z}、qin mathbb {n}}}$

と

${displaystyle fcolon mathbb {n} to mathbb {c}}$

数の理論的関数。次に意味します

${displaystyle f_ {f}（n、q）= sum _ {a = 1}^{q} f（（a、q））cdot eleft（ – {frac {a} {q}} cdot nright）}$

離散フーリエが変換されました から

${displaystyle f（（n、q））}$

。
このフーリエに変換されたこのフーリエに以下が適用されます

1. 
   ${displaystyle f_ {f}（n、q）=（f*c_ {bullet}（n））（q）= sum _ {dmid q} fleft（{frac {q} {d}}右）cdot c_ {d}（n）}$

   と

2. 
   ${displaystyle f（（n、q））= {frac {1} {q}} sum _ {a = 1}^{q} f_ {f}（a、q）eleft（{a} {q}} cdot night）}}$

   のために 逆変換 。 ^[5]

これらの変換では、最大の共通分割体の形成による決定的方程式は、最終的に正のインデックスを持つ多くの係数を考慮に入れる必要があります。

例 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

• 最大公約数：

${displaystyle（n、q）= sum _ {a = 1}^{q} eleft（{frac {a} {q}} cdot nright）cdot sum _ {dmid q} {frac {c_ {d}（a）} {d}}}}}$

このプレゼンテーションにより、そもそも最大の共通仕分けの分析的継続が可能になります

${displaystyle n}$

の上

${displaystyle nin mathbb {c}}$

全体として。 ^[5]

${displaystyle varphi（q）= sum _ {a = 1}^{q}（a、q）cdot eleft（ – {frac {a} {q}}右）}$

これに続いて、実際の部分と想像上の部分に分割する三角関係が続きます

${displaystyle sum _ {a = 1}^{q}（a、q）cdot cos left（2pi cdot {frac {a} {q}}右）= varphi（q）quad}$

と

${displaystyle quad sum _ {a = 1}^{q}（a、q）cdot sin left（2pi cdot {frac {a} {q}}右）= 0。}$

• 分割関数
  ${displaystyle sigma _ {k}}$

  のためのことができます

  ${displaystyle k> 0}$

  [6]

${displaystyle sigma _ {k}（n）= zeta（k+1）n^{k} sum _ {m = 1}^{infty} {frac {c_ {m}（n）} {m^{k+1}}}}}}$

の最初の値の計算

${displaystyle c_ {m}（n）}$

「平均サイズ」（平均サイズ）の周りの変動を示しています

${displaystyle zeta（k+1）n^{k}}$

：

${displaystyle sigma _ {k}（n）= zeta（k+1）n^{k}左[1+ {frac {（-1）^{n}} {2^{k+1}}}}+{frac {2cos {frac {2pi n} {3^{frac {frac {frac {3^}}}}}}}} {2cos {frac {pi n} {2}}} {4^{k+1}}+cdots右]}$

• ラマヌジャンスマムの一種の直交性：be
  ${displaystyle eta（n）}$

  数の理論的な1つの関数、すなわち、折りたたみ操作の中立要素

${displaystyle eta（n）= {begin {cases} 1quad（n = 1）\ 0quad left（nin mathbb {n} setminus lbrace 1rbrace right）.end {cases}}}}}}$

次に、逆フーリエ変換を介して続きます

${displaystyle nin mathbb {z} setminus lbrace 0rbrace、qin mathbb {n} colon}$

${displaystyle eta（（n、q））= {frac {1} {q}} sum _ {a = 1}^{q} c_ {q}（a）cdot eleft（{a} {q}} cdot nright）}}$

つまり、正確には法定額が消えない場合、数字は

${displaystyle n}$

と

${displaystyle q}$

エイリアン。方程式の右側には値1があります。

• ヨルグ兄弟： 分析番号理論の紹介 。 Springer、Berlin、Heidelberg、New York 1995、ISBN 3-540-58821-3。
• ゴッドフリーハロルドハーディ： ラマヌジャン：彼の人生と仕事によって提案された主題に関する12の講義 。アメリカ数学協会/チェルシー、プロビデンス1999、ISBN 978-0-8218-2023-0。
• ゴッドフリーハロルドハーディ、エドワードメイトランドライト： 数字の理論の紹介 。第5版。オックスフォード大学出版局、オックスフォード1980、ISBN 978-0-19-853171-5。
• ジョン・ノップマッハー： 抽象分析番号理論 。新版。 Dover Publications、2000、ISBN 0-486-66344-2。
• Srinivasa Ramanujan： 特定の三角法と数字の理論におけるそれらのアプリケーションについて 。の： ケンブリッジ哲学協会の取引 。 バンド 22 、 いいえ。 15 、1918年、 S. 259–276 。
• Srinivasa Ramanujan： 特定の算術関数について 。の： ケンブリッジ哲学協会の取引 。 バンド 22 、 いいえ。 9 、1916年、 S. 159–184 。
• Srinivasa Ramanujan： 集められた論文 。アメリカ数学協会/チェルシー、プロビデンス2000、ISBN 978-0-8218-2076-6。
• ロバートチャールズヴォーン： Hardy-Littlewoodメソッド 。第2版​​。ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ1997、ISBN 0-521-57347-5。
• Wolfgang Schramm： 最大の共通除数の機能のフーリエ変換 。の： Integers：Electronic Journal of Combinatorical Number Theory 。 バンド 8 、 いいえ。 50 、2008年（ emis.de [PDF]）。
• Ivan Matvevitch Vinogradov： 数字の理論における三角測定の方法 。ロシア語から翻訳され、クラウス・フリードリッヒ・ロスとアン・アシュリー・ダベンポートによって注釈が付けられました。ニューヨーク、ドーバー2004。

1. ↑ ラマヌジャン（1916）。
2. ↑ ヴォーン（1997）。
3. ↑ 兄弟（1995）p。20。
4. ↑ 兄弟（1995）補題1.3.1。
5. ↑ ^{a b c} Schramm（2008）。
6. ↑ E.クレッツェル： 番号理論 。 Veb Deutscher Verlag Der Sciences、Berlin 1981、 S. 130 。