Complex Creek -Wikipedia、無料百科事典

Posted on June 23, 2022 by lordneo

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と 複雑な高調波運動 これは、単純な高調波運動の線形オーバーラップの動きです。単純な高調波運動は常に新聞ですが、複雑な高調波運動は必ずしも新聞ではありませんが、フーリエの調和のとれた分析によって分析できます。複雑な高調波運動は、周波数がすべて基本周波数の合理的な倍数である単純な高調波運動の組み合わせである場合にのみ新聞です。

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Table of Contents

複雑な高調波運動の運動学 [ 編集します ]

調和振動を提示するシステム n 一般的な自由度には伸びがあります バツ _私oフォームの独立した方向全体の動き：

（ 1a ））
${displaystyle mathbf {x}（t）= sum _ {j = 1}^{n} c_} mathbf {a} _ _ {j} cos（omega _ {j} t+phi _ {j}）}}$
${displaystyle mathbf {x} (t)=sum _{j=1}^{n}C_{j}mathbf {A} _{j}cos(omega _{j}t+phi _{j})}$

または詳細：

（ 1b ））
${displaystyle {begin {pmatrix} x_ {1}（t）\ vdots \ x_ {n}（t）end {pmatrix}} = {begin {pmatrix} a_ {11}＆cdots＆a_ {1n} \ vdots＆vdots＆vdots＆vdots＆a_ {n1} {pmatrix}} {begin {pmatrix} c_ {1} cos（omega _ {1} t+phi _ {1}）\ vdots \ c_ {n} cos（omega _ {n} t+phi _ {n} _ {1j} \ vdots \ a_ {nj} end {pmatrix}} c_ {j} cos（omega _ {j} t+phi _ {j}）}$
${displaystyle {begin{pmatrix}x_{1}(t)\vdots \x_{n}(t)end{pmatrix}}={begin{pmatrix}A_{11}&cdots &A_{1n}\vdots &ddots &vdots \A_{n1}&cdots &A_{nn}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}C_{1}cos(omega _{1}t+phi _{1})\vdots \C_{n}cos(omega _{n}t+phi _{n})end{pmatrix}}=sum _{j}{begin{pmatrix}A_{1j}\vdots \A_{nj}end{pmatrix}}C_{j}cos(omega _{j}t+phi _{j})}$

どこ、

{displaystyle leftlbrace omega _ {i} rightrbrace _ {i = 1、…、n}}

${displaystyle leftlbrace omega _{i}rightrbrace _{i=1,...,n}}$ です 独自の周波数 システムの、

{displaystyle leftlbrace phi _ {i} rightrbrace _ {i = 1、…、n}}}

${displaystyle leftlbrace phi _{i}rightrbrace _{i=1,...,n}}$ 初期フェーズ。各マトリックス列ベクトル a 呼ばれています 独自のやり方 振動の、そして c _私それらは、各片方の相対的な振幅です。そのために見ることができます n = 1複雑な高調波運動は、単に単純な高調波運動の合計です。

一般的な複雑な高調波運動の速度と加速は、時間に関して導出することによって得られ、また、同じ周波数の動きの複雑な高調波の動きであることが判明します。ただし、単純な高調波の動きのように、ゼロ速度ポイントは現在ありません。

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周期性 [ 編集します ]

運動は、定期的に時間の間隔で繰り返されると新聞が言われています。つまり、一定の時間間隔の後、同じ位置を通り、同じ速度で戻る場合です。周期性には、位置ベクトルが必要ですバツ（ t ）= バツ（ t+t ）すべてのために t の価値のために t 。次のような複雑な高調波運動の場合 1a ）それはすべてのために必要です私、

${displaystyle cos（omega _ {i}（t+t））= cos（omega _ {i} t）rightarrow leftlbraceはexists k_ {1}、… k_ {n} rightrbrace Subset Mathbb {z}：t = {frac {{i} {i}} {} {{} {i} {{i}} {{i}} {frac {2pi k_ {n}} {omega _ {n}}}}}$
${displaystyle cos(omega _{i}(t+T))=cos(omega _{i}t)Rightarrow leftlbrace exists k_{1},...k_{n}rightrbrace subset mathbb {Z} :T={frac {2pi k_{i}}{omega _{i}}}=...={frac {2pi k_{n}}{omega _{n}}}}$

周期性は、どんな周波数でも、その商が合理的な数である場合にのみ可能です。合理的な数値がゼロまたはヌルセットセットであるため、すべての周波数の商が合理的な数値である可能性はゼロであるため、実際の複雑な高調波の動きはQuasiperiódicosですが、新聞ではありません。

動き方程式 [ 編集します ]

によって与えられた複雑な高調波運動（ 1a ）o（ 1b ）これは、タイプの小さな振動の問題の方程式に対する解決策です。

${displaystyle mathbf {m} {ddot {mathbf {x}}}（t）+mathbf {k} mathbf {x}（t）= mathbf {0}}$
${displaystyle mathbf {M} {ddot {mathbf {x} }}(t)+mathbf {K} mathbf {x} (t)=mathbf {0} }$

どこ：

{displaystyle mathbf {m}}

{displaystyle mathbf {k}}

線形減衰と内部励起力を持つシステムの最も一般的なケースでは、動きの方程式はより一般的です。

${displaystyle mathbf {m} {ddot {mathbf {x}}}（t）+mathbf {c}} {dot {mathbf {x}}}（t）+mathbf {k} mathbf {x}（t）= mathbf {f}（t）}$
${displaystyle mathbf {M} {ddot {mathbf {x} }}(t)+mathbf {C} {dot {mathbf {x} }}(t)+mathbf {K} mathbf {x} (t)=mathbf {F} (t)}$

マトリックスが追加された場所

{displaystyle mathbf {c}}

${displaystyle mathbf {C} }$ それは減衰を占めています。

結合振動 [ 編集します ]

複雑な高調波運動の一般的なケースは、 結合振動 。結合された振動のこの問題は、たとえば、結晶の熱振動、地震での建物の水平方向の動き、ドックまたはスプリングによる大規模な質量システムの動きに現れます。これらの問題は、次のタイプの方程式のシステムにつながります。

（ 2 ））

${displaystyle m_ {i} {ddot {x}} _ {i}+sum _ {k = 1}^{n} k_ {ik} x_ {k} = 0}$

それはマトリックスの方法で、次のように書くことができます。

（ 2 ‘ ））
${displaystle {begin {pmatrix} m_ {1}＆0＆0＆cdots＆0 \ 0＆m_ {2}＆cdots＆0 \ vdots＆vdots＆dots＆vdots＆vdots \ 0＆0＆0＆cdots＆m_ {n} end {pmatrix}} {{Pmatrix} {x} {x} {x} {x} {x}} _ {2} \ vdots \ {dot {x}} _ {n} end {pmatrix}}+{begin {pmatrix} k_ {11}＆k_ {12}＆k_ {1n} \ k_ {21} {22} {22} {2n} {2n} {2n} {2n} {22} {2n} {2n} {2n} { ＆vdots \ k_ {n1}＆k_ {n2}＆cdots＆k_ {nn} end {pmatrix}}} {begin {pmatrix} x_ {1} \ x_ {2} \ vdots} end {pmatrix}}} = 0}}$
${displaystyle {begin{pmatrix}m_{1}&0&cdots &0\0&m_{2}&cdots &0\vdots &vdots &ddots &vdots \0&0&cdots &m_{N}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}{ddot {x}}_{1}\{ddot {x}}_{2}\vdots \{ddot {x}}_{N}end{pmatrix}}+{begin{pmatrix}k_{11}&k_{12}&cdots &k_{1N}\k_{21}&k_{22}&cdots &k_{2N}\vdots &vdots &ddots &vdots \k_{N1}&k_{N2}&cdots &k_{NN}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\vdots \x_{N}end{pmatrix}}=0}$

問題は、通常の座標または振幅につながる変数の特定の変更によって解決できます。 独自のモード 実際、元の機械的問題の一般化された座標の特定の形態である振動の。

独自の周波数とモード [ 編集します ]

独自のモードは問題解決策を提供します（ 2 ‘ ）形（初め）。このためには、次のように計算できるシステムの一連の自然周波数を決定する必要があります。

${displaystyle {begin {vmatrix} k_ {11} -omega _ {j}^{2} m_ {1}＆k_ {12}＆cdots＆k_ {1n} \ vdots＆vdots＆ddots＆vdots \ k_ {n1}＆k_ {n2}＆cdots＆k_ {nn} -omega _ {j}^{2} m_ {n} end {vmatrix}} = 0} = 0}$
${displaystyle {begin{vmatrix}k_{11}-omega _{j}^{2}m_{1}&k_{12}&cdots &k_{1N}\k_{21}&k_{22}-omega _{j}^{2}m_{2}&cdots &k_{2N}\vdots &vdots &ddots &vdots \k_{N1}&k_{N2}&cdots &k_{NN}-omega _{j}^{2}m_{N}end{vmatrix}}=0}$

これは提供します n 固有周波数の正方形のソリューション。これらのソリューションのそれぞれについて、ユニットベクトルが求められ、呼ばれます 独自のやり方 、それは不確定な互換性のある方程式を満たします：

${displaystyle {begin {pmatrix} k_ {11} -omega _ {j}^{2} m_ {1}＆k_ {12}＆cdots＆k_ {1n} vdots＆vdots＆ddots＆vdots \ k_ {n1}＆k_ {n2}＆cdots＆k_ {nn} -omega _ {j}^{2} m_ {n} end {pmatrix}} {begin {pmatrix} a_ {a_ a_ {a_ \ a_ \ a_ {a_ \ a_ \ a_ {pmatrix} {pmatrix} } end {pmatrix}} = 0}$
${displaystyle {begin{pmatrix}k_{11}-omega _{j}^{2}m_{1}&k_{12}&cdots &k_{1N}\k_{21}&k_{22}-omega _{j}^{2}m_{2}&cdots &k_{2N}\vdots &vdots &ddots &vdots \k_{N1}&k_{N2}&cdots &k_{NN}-omega _{j}^{2}m_{N}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}a_{1j}\a_{2j}\vdots \a_{Nj}end{pmatrix}}=0}$

システムのさまざまなモードを表すこれらのベクトルが互いに直交しているため、それらすべてによって形成されるマトリックスは直交行列であることを確認できます。

${displaystyle mathbf {a} = {leftlbrace a_ {ij} rightrbrace} _ {i = 1 … n}^{j = 1 … n} = {begin {pmatrix} a_ {11}＆cdots＆a_ {1n} \ vdots＆ddots＆ddots＆vdots} End {pmatrix}}}$
${displaystyle mathbf {A} ={leftlbrace a_{ij}rightrbrace }_{i=1...n}^{j=1...n}={begin{pmatrix}a_{11}&cdots &a_{1n}\vdots &ddots &vdots \a_{n1}&cdots &a_{nn}end{pmatrix}}}$

通常の座標 、独自のモードに関連付けられており、従来の座標からの線形変化によって得られます。

${displaystyle {begin {pmatrix} q_ {1}（t）\ vdots \ q_ {n}（t）end {pmatrix}} = {begin {pmatrix} {11}＆cdots＆b_ {1n} \ vdots＆vdots＆vdots＆vdots＆vdots \ b_ {n1} {pmatrix}} {begin {pmatrix} x_ {1}（t）\ vdots \ x_ {n}（t）end {pmatrix}}}}$
${displaystyle {begin{pmatrix}q_{1}(t)\vdots \q_{N}(t)end{pmatrix}}={begin{pmatrix}b_{11}&cdots &b_{1n}\vdots &ddots &vdots \b_{n1}&cdots &b_{nn}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}x_{1}(t)\vdots \x_{N}(t)end{pmatrix}}}$

どこ

{displaystyle mathbf {b} = leftlbrace b_ {ij} rightrbrace = mathbf {a} ^{t}}

${displaystyle mathbf {B} =leftlbrace b_{ij}rightrbrace =mathbf {A} ^{T}}$ 、それを満たします b ‘ の逆マトリックスです a （ a・b = b・a = 私）。

自由振動の問題の解決 [ 編集します ]

一般的なソリューションは、通常の座標で問題を解決することで簡単に取得できます。これらの座標を使用して、それを考慮すると簡単に取得できます

{displaystyle mathbf {x} = mathbf {a} mathbf {q}}

${displaystyle mathbf {x} =mathbf {A} mathbf {q} }$ ：

${displaystyle mathbf {m} {ddt {xbf {x}}}+mathbf {k} mathbf {x} = 0qqquad rightarrow qud {ddot {q}}}+left [mathbf {a} ^{mathbf {a} mathbf {mathbf {-1bf {{-1bf {-1bf {-1bf {mathbf {{-1bf {{-1bf {-1bf} {a} right] mathbf {q} = 0}$
${displaystyle mathbf {M} {ddot {mathbf {x} }}+mathbf {K} mathbf {x} =0qquad Rightarrow qquad {ddot {mathbf {q} }}+left[mathbf {A} ^{T}mathbf {M} ^{-1}mathbf {K} mathbf {A} right]mathbf {q} =0}$

しかし、マトリックスのプロパティによる

{displaystyle mathbf {a}}

${mathbf {A}}$ 括弧内のマトリックスは斜めのマトリックスであることが判明しているため、その最後のシステムの解は解決することによって得られます n 型方程式の各セットの方程式：

${displaystyle {ddot {q}} _ {j}+omega _ {j}^{2} q_ {j} = 0qquad right arrow qquad q_ {j}（t）= c_ {j} cos _ {j} t+phi_ {j}}$
${displaystyle {ddot {q}}_{j}+omega _{j}^{2}q_{j}=0qquad Rightarrow qquad q_{j}(t)=C_{j}cos(omega _{j}t+phi _{j})}$

通常の座標と独自のモードのマトリックスに関しては、システムの一般的なソリューションが書かれています。

${displaystyle {begin {pmatrix} x_ {1}（t）\ vdots \ x_ {n}（t）end {pmatrix}} = {begin {pmatrix} a_ {11}＆cdots＆a_ {1n} \ vdots＆vdots＆vdots＆vdots＆a_ {n1} {pmatrix}} {begin {pmatrix} q_ {1}（t）\ vdots \ q_ {n}（t）end {pmatrix}} = {begin {pmatrix} a_ {11}＆cdots＆a_ {1n} \ vdots＆ddots＆a_ a_ {n1} } end {pmatrix}}} {begin {pmatrix} c_ {1} cos（omega _ {1} t+phi _ {1}）\ vdots \ c_ {n}$
${displaystyle {begin{pmatrix}x_{1}(t)\vdots \x_{N}(t)end{pmatrix}}={begin{pmatrix}a_{11}&cdots &a_{1n}\vdots &ddots &vdots \a_{n1}&cdots &a_{nn}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}q_{1}(t)\vdots \q_{N}(t)end{pmatrix}}={begin{pmatrix}a_{11}&cdots &a_{1n}\vdots &ddots &vdots \a_{n1}&cdots &a_{nn}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}C_{1}cos(omega _{1}t+phi _{1})\vdots \C_{n}cos(omega _{n}t+phi _{n})end{pmatrix}}}$

強制振動の問題の解決策が緩衝されました [ 編集します ]

一般的なソリューションは、通常の座標を使用して前と同様に取得されます

{displaystyle mathbf {x} = mathbf {a} mathbf {q}}

${displaystyle mathbf {x} =mathbf {A} mathbf {q} }$ ：

${Displaystyle Mathbf {m} {ddot {ddot {xbf {xbf {x} }+Mathbf {c} {dot {dot {dot {dot {xbf {x {x} }+mathbf {k} mathbf {f} Quad Rightarrow quad {ddf {Q} }+Left[ Mathbf {a} ^{t}mathbf {m} ^{1}mathbf {c} mathbf {a} right]{dot {a} right]{mathbf {Q} }+Left[mathbf {a} ^{t}mathbf {m} {-1}mathbf {k} mathbf {a} mathbf {a} mathbf {a} mathbf {a} mathbf =Left[mathbf {a} ^{t}mathbf {m} ^{-1}mathbf {f} right]}$
${displaystyle mathbf {M} {ddot {mathbf {x} }}+mathbf {C} {dot {mathbf {x} }}+mathbf {K} mathbf {x} =mathbf {F} qquad Rightarrow qquad {ddot {mathbf {q} }}+left[mathbf {A} ^{T}mathbf {M} ^{-1}mathbf {C} mathbf {A} right]{dot {mathbf {q} }}+left[mathbf {A} ^{T}mathbf {M} ^{-1}mathbf {K} mathbf {A} right]mathbf {q} =left[mathbf {A} ^{T}mathbf {M} ^{-1}mathbf {F} right]}$

乗算する直交座標マトリックスの構築により

{displaystyle scriptStyle {ddot {mathbf {q}}}}}

${displaystyle scriptstyle {ddot {mathbf {q} }}}$ と

{displaystyle scriptStyle {dot {mathbf {q}}}}}

${displaystyle scriptstyle {dot {mathbf {q} }}}$ それらは対角線です（これには追加の条件として必要です

{displaystyle scriptStyle mathbf {kc} = mathbf {ck}}

${displaystyle scriptstyle mathbf {KC} =mathbf {CK} }$ ）、したがって、最後のシステムはに縮小されます n タイプの独立した方程式：

${displaystyle {ddot {q}} _ {j}+2nu omega {dot {q}} _ {j}+omega _ {j}^{2} q_ {j} = 0qquad rightarrow qqquad q_ {j}（j}（t）= c_ {j} {j} {j} {-q_ {j}} {omega _ {j} {sqrt {1-nu _ {j}}}}} e^{ – nu _ {j}} omega _ {j}（t-tau）} sin（omega _ {j} {sqr} {x} {x} {x} {x} {j} {j} {j} {j}） t+phi _ {j}）dtau}$
${displaystyle {ddot {q}}_{j}+2nu omega {dot {q}}_{j}+omega _{j}^{2}q_{j}=0qquad Rightarrow qquad q_{j}(t)=C_{j}int _{0}^{t}{frac {-Q_{j}}{omega _{j}{sqrt {1-nu _{j}}}}}e^{-nu _{j}omega _{j}(t-tau )}sin(omega _{j}{sqrt {1-nu _{j}}}(t-tau )t+phi _{j}) dtau }$

したがって、解決策は次のとおりです。

${displaystyle {begin {pmatrix} x_ {1}（t）\ vdots \ x_ {n}（t）end {pmatrix}} = {begin {pmatrix} a_ {11}＆cdots＆a_ {1n} \ vdots＆vdots＆vdots＆vdots＆a_ {n1} {pmatrix}} {begin {pmatrix} q_ {1}（t）\ vdots \ q_ {n}（t）end {pmatrix}}}}$
${displaystyle {begin{pmatrix}x_{1}(t)\vdots \x_{N}(t)end{pmatrix}}={begin{pmatrix}a_{11}&cdots &a_{1n}\vdots &ddots &vdots \a_{n1}&cdots &a_{nn}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}q_{1}(t)\vdots \q_{N}(t)end{pmatrix}}}$

つまり、の線形の組み合わせです n 強制高調波運動は緩和されました。

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複雑な高調波運動の運動学 [ 編集します ]

周期性 [ 編集します ]

動き方程式 [ 編集します ]

結合振動 [ 編集します ]

独自の周波数とモード [ 編集します ]

自由振動の問題の解決 [ 編集します ]

強制振動の問題の解決策が緩衝されました [ 編集します ]

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