フォロー-Up Compactness -Wikipedia

Posted on May 22, 2022 by lordneo

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数学にはトポロジカル領域があります -up compactをフォローします 各エピソードに収束部分シーケンスがある場合。メトリックルームは、完全に制限された完全な、つまりコンパクトである場合、まさにフォローアップコンパクトです。したがって、の部分量

{displaystyle mathbb {r} ^{n}}

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$mathbb {R} ^{n}$ これは、閉じられて制限されているときに、まさにそれに続く（そしてコンパクトな）ものです。フォローアップコンパクトでコンパクトではないトポロジールームがあり、フォローアップコンパクトではなくコンパクトなスペースがあります。

Table of Contents

トポロジールームの収束的な結果 [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

は

{displaystyle（x、d）}

$(X,d)$ メトリック空間なので、1つのエピソードが変換されます

{displaystyle（x_ {i}）_ {iin mathbb {n}}}}}

$(x_{i})_{{iin mathbb{N} }}$ と

{displaystyle x_ {i} in x}

$x_i in X$ に対して

{displaystyleをお願いしますx}

$xin X$ 、もしも

after-content-x4

{displaystyle forall epsilon> 0はnin mathbb {n} forall igeq n：d（x_ {i}、x）存在します

つまり、エピソードが正確に反対していることを意味します

{displaystyle x}

$x$ 正の実数があるときに収束します

{displaystyle epsilon}

$epsilon$ 自然数

{displaystyle n}

$n$ 以降のすべてのメンバーがからすべてを与えます

{displaystyle n}

$n$ – 距離をメンバーにします

{displaystyle x}

$x$ より少ないものを持っています

{displaystyle epsilon}

$epsilon$ は。

トポロジーロジカルの部屋では、オープンεボールの代わりに環境が発生します

{displaystyle b_ {epsilon}（x）= {yin xmid d（y、x）

${displaystyle B_{epsilon }(x)={yin Xmid d(y,x)<epsilon }}$ 。は

{displaystyle x}

$X$ トポロジカル空間なので、1つのエピソードが変換されます

{displaystyle（x_ {i}）_ {iin mathbb {n}}}}}

$(x_{i})_{{iin mathbb{N} }}$ と

{displaystyle x_ {i} in x}

$x_i in X$ に対して

{displaystyleをお願いしますx}

$xin X$ それがすべての環境にある場合

{displaystyleu}

$U$ から

{displaystyle x}

$x$ a

{displaystyle nin mathbb {n}}

$nin mathbb {N}$ それを与える

{displaystyle x_ {i} in u}

${displaystyle x_{i}in U}$ すべての人に適用されます

{displaystyle igeq n}

${displaystyle igeq n}$ 。

ファローアップ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

トポロジカルエリア

{displaystyle x}

$X$ 各エピソードの場合、フォローアップコンパクトと呼ばれます

{displaystyle（x_ {i}）_ {iin mathbb {n}}}}}

$(x_{i})_{{iin mathbb{N} }}$ と

{displaystyle x_ {i} in x}

$x_i in X$ 収束部分シーケンスが含まれています。したがって、1つは部分領域と呼ばれます

{displaystyle ksubset x}

$Ksubset X$ 各エピソードの場合は-upコンパクトをフォローします

{displaystyle（x_ {i}）_ {iin mathbb {n}}}}}

$(x_{i})_{{iin mathbb{N} }}$ と

{displaystyle x_ {i} in k}

${displaystyle x_{i}in K}$ 制限値がある収束部分シーケンス

{displaystyle k}

$K$ 所有。

メトリック空間は、コンパクトな場合、まさにフォローアップコンパクトです。メトリックスペースは、完全に制限された完了であればコンパクトであるためです。

メトリックスペースが完全に制限されている場合、各エピソードには部分的なシーケンスとしてCauchyエピソードが含まれています。それも完全である場合、この結果は収束します。したがって、コンパクトメトリックスペースは、フォローアップコンパクトです。最初のファッション性のあるコンパクトスペースは、より一般的です。

結果として逆にメトリック空間がある場合、それは完全に制限されている必要があります。そうしないと、

{displaystyle epsilon> 0}

$epsilon >0″></span>そしてそれぞれが距離を持っている一連のポイント <span class=$

{displaystyle epsilon}

$epsilon$ したがって、収束的な部分配列はありません。 Cauchyエピソードの収束部分シーケンスは、元のエピソードと同じ制限を持たなければならないため、部屋も完全でなければなりません。

各エピソードにクラスターがある場合、トポロジカル空間はカウント可能なコンパクトです。すべてのフォローアップコンパクトスペースはカウント可能なコンパクトです。（逆転は適用されません。）特に、すべてのフォローアップコンパクトスペースも、すべての可算コンパクトスペースでもあるため、弱く数えるコンパクトで擬似コンパクトです。メトリックルーム、コンパクトさの場合、フォローアップのコンパクトさと数える可能性のあるコンパクトさのフォローは常に一緒に落ちます。 ^[初め]

フォローアップコンパクトではないコンパクトハウスドーフルーム [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

総額

{displaystyle {0.1}}

${0, 1}$ 個別のトポロジーが提供されている、コンパクトなので、Tychonoffの判決によると、その量もあります

{displaystyle {0.1}^{[0.1]}}

${0,1}^{{[0,1]}}$ 間隔のすべての関数

{displaystyle [0.1]}

$[0,1]$ 後

{displaystyle {0.1}}

${0, 1}$ 、製品トポロジーコンパクトが提供されているこのエリアもhausdorffschです。

それか

{displaystyle {0.1}^{[0.1]}}

${0,1}^{{[0,1]}}$ 製品トポロジが提供されていることは、一連の関数がポイントに収束すると収束することを意味します。

ただし、このスペースは結果ではありません。

収束部分シーケンスを含まない一連の関数は、次のように定義できます。

小数点分裂に類似したデュアルシステムのスペルでは、実数の小数の小数はゼロスの無限のエピソードです。

結果

{displaystyle（a_ {n}）_ {nin mathbb {n}}（a_ {n} in {0.1}^{[0.1]}}}}}

${displaystyle (a_{n})_{nin mathbb {N} } (a_{n}in {0,1}^{[0,1]})}$ これで次のように定義されています。

{displaystyle a_ {n}（x）}

$a_{n}(x)$ それは

{displaystyle n}

$n$ -te数字の小数点

{displaystyle x}

$x$ 。

部分的なシーケンスに

{displaystyle（a_ {n_ {k}}）_ {nin mathbb {n}}}}}

${displaystyle (a_{n_{k}})_{nin mathbb {N} }}$ これで、次のように番号を付けることができます

{displaystyle y}

$y$ 定義します。バイナリの商業で

{displaystyle y}

$y$ の中に

{displaystyle n_ {k}}

$n_{k}$ -te 1つを配置します

{displaystyle 0}

${displaystyle 0}$ 、もしも

{displaystyle k}

$k$ 正義と1つです

{displaystyle1}

$1$ 、もしも

{displaystyle k}

$k$ オッドはさらに場所にあります

{displaystyle 0}

${displaystyle 0}$ 。それはエピソードを意味します

{displaystyle（a_ {n_ {k}}）_ {nin mathbb {n}}}}}

${displaystyle (a_{n_{k}})_{nin mathbb {N} }}$ ポイントには収束されていません

{displaystyle y}

$y$ 値は前後にジャンプします。結果

{displaystyle（a_ {n}）_ {nin mathbb {n}}}}

$(a_{n})_{{nin {mathbb N}}}$ したがって、収束部分シーケンスを持つことはできません。

部屋はコンパクトであるため、結果はあります

{displaystyle（a_ {n}）}

$(a_{n})$ ただし、収束サブネットワーク。

コンパクトではないフォローアップスペース [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

最初のオーバーカウント可能な注文番号

{displaystyle omega _ {1}}

$omega _{1}$ （つまり、すべての可算序数の誇張額

{displaystyle [0、omega _ {1}）}

$[0,omega _{1})$ ）関係を通してです

{displaystyle <}

$<$ （

{displaystyle in}

$in$ – 関係）したがって、この順序のトポロジーを担っています。

今でしょ

{displaystyle（a_ {n}）_ {nin mathbb {n}}}}

$(a_{n})_{{nin {mathbb N}}}$ 順序数の1つの結果は、プロパティの最小の注文数は、その後のメンバーの多くのみがこのエピソードのクラスターポイントであり、結果を収束的な結果に薄くすることができるということです。したがって、部屋は数え切れないほどのコンパクトで結果です。

家族

{displaystyle bigcup _ {alpha

${displaystyle bigcup _{alpha <omega _{1}}alpha =bigcup _{alpha <omega _{1}}{beta mid beta <alpha }}$ すべての可算順序数の量は、オープン数量をカバーしています。ただし、サブファミリーの有限部分には、の多くの要素のみが含まれています

{displaystyle omega _ {1}}

$omega _{1}$ 。

{displaystyle omega _ {1}}

$omega _{1}$ したがって、コンパクトではありません。

その金額

{displaystyle [0、omega _ {1}）}

$[0,omega _{1})$ コンパクトではありません、それはあなたのからです

{displaystyle omega _ {1}}

$omega _{1}$ 含まれていません。ただし、これは数える可能性のあるエピソードのライムではなく、カウント可能なネットワークのライムのみです（たとえば、すべてのカウント可能な順序数で自然な順序で与えられます）。

↑ Horst Schubert：トポロジー。はじめに（= 数学的ガイドライン）。第4版。 B. G. Teubner Verlag、Stuttgart 1975、ISBN 3-519-12200-6、 S. 63–64 。

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ファローアップ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

フォローアップコンパクトではないコンパクトハウスドーフルーム [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

コンパクトではないフォローアップスペース [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

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