ボディ上の代数 – ウィキペディア

一 体の代数

${displaystyle k}$

after-content-x4

、 代数オーバー

${displaystyle k}$

また

${displaystyle k}$

-代数 （以前も 線形代数 専用） ^[初め] 体の上のベクトル室です

${displaystyle k}$

、ベクターの構造と互換性のある乗算を含むように拡張されています。コンテキストに応じて、乗算が連想行為または通勤法を満たすことも、代数が乗算に関して再要素を持っていることも必要です。

一 代数

${displaystyle a}$

体の上

${displaystyle k}$

または短い

${displaystyle k}$

– 代数は1つです

${displaystyle k}$

-1つのベクトルルーム

${displaystyle k}$

– 二重リンク

${displaystyle atimes ato a、}$

スルーを呼び出す乗算

${displaystyle xcdot y}$

また

${displaystyle xy}$

象徴されています。 （このリンクは、体内の乗算とベクトルを持つ身体要素のリンクとは無関係です。同じシンボルを使用すると、コンテキストがどのリンクが意味するかを示しているため、混乱につながりません。）

両線形は、すべての要素に対して明示的にそれを意味します

${displaystyle x、y、zin a}$

そしてすべてのスケーラ

${displaystyle lambda in k}$

該当する：

• 
  ${displaystyle（x+y）cdot z = xcdot z+ycdot z}$

  

• 
  ${displaystyle xcdot（y+z）= xcdot y+xcdot z}$

  

• 
  ${displaystyle lambda（xcdot y）=（lambda x）cdot y = xcdot（lambda y）}$

  

基礎となる身体は実数の体です

${displaystyle mathbb {r}}$

、代数は本物の代数とも呼ばれます。 ^[2]

の概念

${displaystyle k}$

-代数 ボディを通勤リングに置き換えることで置き換えることができます

${displaystyle r}$

-代数 、通勤リングの上の代数。定義では、「ベクトルルーム」を「モジュール」と交換できます。

一 非委員

${displaystyleu}$

代数

${displaystyle a}$

体の上

${displaystyle k}$

のサブスペースです

${displaystyle a}$

、誰が、スカラーで加算と乗算に加えて、の要素である

${displaystyle k}$

、inの下でも

${displaystyle a}$

定義された乗算が完了します。 H.

${displaystyle u、vin urightarrow uvin u}$

。それから

${displaystyleu}$

独立した代数。複雑な数値を実際の代数として、たとえば実際の代数として配置する場合、想像上の数字ではなく、複雑な数字の下位代数を形成します。

それを超えています

${displaystyle vin urightarrow avin u}$

任意の要素で

${displaystyle a}$

から

${displaystyle a}$

、呼ばれます

${displaystyleu}$

の左側の理想

${displaystyle a}$

。したがって、意味があります

${displaystyleu}$

、滝

${displaystyle vin urightarrow vain u}$

右側の理想

${displaystyle a}$

は。場合でもそうです

${displaystyle a}$

通勤、それは意味します

${displaystyleu}$

単に理想です

${displaystyle a}$

。代数の場合

${displaystyle a}$

自明でない理想はありません、それは呼ばれています 単に 。

連想アルバラ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

連想代数は1つです

${displaystyle k}$

-albra、関連する行為は乗算に適用されるため、リングです。例：

• の代数
  ${displaystyle n}$

  – 体の上のマトリジン。乗算はマトリックスの乗算です。

• 部分的に順序付けられた金額の発生率アルバム。
• 1つの線形演算子のアルバー
  ${displaystyle k}$

  -Vektorraum自体。ここでの乗算は継承です。代数は、それがマトリクシャルブラへの同型である場合、減衰と呼ばれます。

• グループ代数
  ${displaystyle k [g]}$

  グループに

  ${displaystyle g}$

  ;ここで、グループ要素はaを形成します

  ${displaystyle k}$

  -basis des

  ${displaystyle k}$

  – ベクトルスペース

  ${displaystyle k [g]}$

  、そして代数の乗算は、グループ乗算の双線形の継続です。

• 代数
  ${displaystyle k [x]}$

  係数を持つポリノーム

  ${displaystyle k}$

  未知の

  ${displaystyle x}$

  。

• 代数
  ${displaystyle k [x_ {1}、dotsc、x_ {n}]}$

  係数を持つポリノーム

  ${displaystyle k}$

  いくつかの未知数で

  ${displaystyle x_ {1}、dotsc、x_ {n}}$

  。

• 一 機能的 あなたは量の多くの機能によって得られます
  ${displaystyle m}$

  体内

  ${displaystyle k}$

  以下で ポイント乗算 提供：

  ${displaystyle（fcdot g）（x）：= f（x）cdot g（x）、qquad f、gcolon mto k、xin m}$

  。

• の身体拡張
  ${displaystyle k}$

  連想代数です

  ${displaystyle k}$

  。 z。 B.

  ${displaystyle mathbb {r}}$

  一

  ${displaystyle mathbb {q}}$

  – 代数と

  ${displaystyle mathbb {c}}$

  できる

  ${displaystyle mathbb {q}}$

  – 代数またはas

  ${displaystyle mathbb {r}}$

  – 代数が考慮されます。

• 代数
  ${displaystyle mathbb {h}}$

  ハミルトンの四元数は、4次元の連想ユニタリアンの本物の代数であり、曲がった体としての分裂サルブラでさえあります。彼女は最終的に次元です 中央の代数 （アズマヤ代数）体の上

  ${displaystyle mathbb {r}}$

  。実際のセクションとして、異なるコピーが含まれています

  ${displaystyle iota _ {epsilon}（mathbb {c}）= mathbb {r} [epsilon]}$

  体の

  ${displaystyle mathbb {c}}$

  複雑な数字

  ${displaystyle mathbb {r}}$

  センターである実数の数：

  ${displaystyle mathbb {h} supsetneq mathbb {r} [epsilon] supsetneq mathbb {r} = z（mathbb {h}）}}}$

  。誰もが配達します

  ${displaystyle epsilon in mathbb {h}}$

  と

  ${displaystyle epsilon ^{2} = -1}$

  埋め込み

  ${displaystyle iota _ {epsilon}コロンMathbb {c}からmathbb {h}}へ$

  体の

  ${displaystyle mathbb {c}}$

  の

  ${displaystyle mathbb {h}}$

  、その等型の絵は現在です

  ${displaystyle mathbb {r} [epsilon]}$

  は。したがって、これらの埋め込みはそれぞれ実際の代数を装備します

  ${displaystyle mathbb {h}}$

  複雑なベクトルルームの構造がありますが、この複雑なベクトル空間構造に関連する四項代数の乗算は双線形ではありません

  ${displaystyle mathbb {c}}$

  、しかし、終わっただけです

  ${displaystyle z（mathbb {h}）= mathbb {r}}$

  。したがって、Quaternionsは複雑な代数を形成しません。

コンピューターアルバース [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

一 Kommutate 代数は1つです

${displaystyle k}$

– 代数、通勤行為は乗算に適用されます。例：

• 通勤代数の数学的サブエリアでは、Albarsが連想的で通勤すると見なされます。これには、上記のポリノマル結合、機能的結合、身体拡張が含まれます。
• 遺伝的アルバラは、一般的に会うことができないいくつかの追加特性を持つ通勤アルミニウムです。

ユニタリアン・アルバラ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

一 ユニテール 代数は、乗算の中性要素を持つ代数であり、選択されています（統行リングを参照）。例：

• 単一の要素としてユニットマトリックスを伴う結婚式結合。
• 単一のフィクションとしてアイデンティティを持つベクターメイトドモルフィアの代数。
• 機能は、発生率代数の関数です
  ${displaystyle delta（a、b）：= {begin {cases} 1quad＆{mbox {falls}} a = b、\ 0＆{mbox {sonst。}} end {cases}}}}}}$

  

• すべてのグループ代数は統一者です。グループの要素は、代数の要素でもあります。
• 一定の多項式1は、多項式の要素です。
• 体 k 代数の乗算としての身体乗算により、
  ${displaystyle k}$

  – 代替、合流、単位主義者。

これがそれぞれのコンテキストから明らかである場合、プロパティは一般に「連想」、「通勤」、および「単位」に明示的に言及されていません。代数に要素がない場合は、編集できます。したがって、各代数は団体に含まれています。

関連していないアルバラ [ 編集 | ソーステキストを編集します ]

一部の著者は1つを示しています

${displaystyle k}$

– 銀行als 非共同 連想法が必要ない場合。 ^[3] （ただし、この概念形成は、特にすべての連想代数も非共同的であるというやや混乱した結果につながります。）必ずしも関連していないアルバラのいくつかの例は次のとおりです。

• 部門のサルブラは、「分割」できる代数です。 H.すべての方程式で
  ${displaystyle ax = b}$

  と

  ${displaystyle ya = b}$

  ために

  ${displaystyle aneq 0}$

  常に明らかに解決可能です。部門のサルブラは、通勤でも連想的でも、統行的でもない必要があります。

• 代替体
  ${displaystyle mathbb {o}}$

  ケイリー・オクタベンは、8次元のユニタリアンの本物の代数であり、連想代数

  ${displaystyle mathbb {h}}$

  ハミルトンの四元数は本当に構成されています。

• Lie-algebraは代数であり、次の2つの条件が適用されます（Loy-Albangenでは、通常、製品はとして使用されます。
  ${displaystyle [x、y]}$

  書かれた）：

  • 
    ${displayStyle [x、x] = 0}$

    

  • 
    ${displaystyle [x、[y、z]]+[y、[z、x]]+[z、[x、y] = 0}$

    （ヤコビのアイデンティティ）

• 本当のベクターラウム
  ${displaystyle mathbb {r} ^{3}}$

  クロス製品で。この本当の代数は、特に嘘代数です。

• バリック代数は代数です
  ${displaystyle a}$

  、それは非些細なアルバル同性愛です

  ${displaystyle wcolon ato k}$

  与えます。

間の準同型

${displaystyle k}$

– アレマン、つまり、構造的な画像はそうです k – 乗法的な線形イラスト。アルミニウムの要素に1つがある場合、通常は互いにマッピングされることも必要です。つまり、

イラスト

${displaystyle fcolon arightarrow b}$

2つの間

${displaystyle k}$

– 以下が適用される場合、網膜は同性愛です。

その後、通常の文が適用されます。同性愛のコアは、まさに2つの理想です。は

${displaystyle fcolon arightarrow b}$

同種性、アナログは同型、つまり誘導されたイラストに適用されます

${displaystyle {overline {f}} colon a/mathrm {ker}（f）rightArrow f（a）,, a+mathrm {ker}（f）mapsto f（a）}$

明確に定義されており、アルバリソモルフィズムです

${displaystyle a/mathrm {ker}（f）cong f（a）}$

、つまり、生物のアルバル同性症である反転画像は、自動的にアルバルの同性愛です。これは、通常の証拠がそれらを同音型に起因するため、これはアルバラに異型レートに転送することもできます。

1. ↑ zを参照してください。 B.ディクソン（1905）、 https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/extras/dickson_lineear_algebras/
2. ↑ 本当の代数 。 In：Guido Walz（編）： 数学の辞書 。第1版。 Spectrum Akademischer Verlag、Mannheim/Heidelberg 2000、ISBN 978-3-8274-0439-8。
3. ↑ zを参照してください。 B. R. LidlとJ. Wiesenbauer、 リング理論とその応用 、Wiesbaden 1980、ISBN 3-400-00371-9