Fermatscher多角形数レート-Wikipedia

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Fermatschポリゴナル数レート 数の理論からの数学的な文です。それはせいぜいすべての自然数が

n {displaystyle n}
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nコーナーの数値を表すことができます。よく知られている特別なケースは、4四半期のセットであり、各数値は4つの平方数の合計として記述できます。例：

フェルマッチェの多角形の文は、ピエール・デ・フェルマトにちなんで命名されています。そこから次の引用があります。

「私は、各数値が三角形数または2つまたは3つの三角形の数字のいずれかであるという非常に美しく完全に一般的な文を発見した最初の人でした。各数値は、正方形または2、3、4平方数の合計です。 5つのデッキまたは2、3、4、または5つのペントコーナー番号の合計。それがSecseck、Siebeneck、またはポリゴナルの数字の問題であるかどうかに関係なく、無限に。ここでは、数字の多くの抽象的な謎に依存する証拠を示すことはできません。だからこそ、私は本全体をこの主題に捧げ、この部分では、以前の既知の制限と比較して算術的に驚くべき進歩を遂げようとしています。」 [初め]

しかし、Fermatはそのような本を公開したことがありません。ジョセフ・ルイ・ラグランジュは、1770年に4選手のレートの特別なケースを示しました [2] 1796年のカール・フリードリッヒ・ガウス（未発表）が、彼は彼の不安と凡例の正方形と立方体の場合に証拠を与えた）とlegendre（1798）は三角形の特別なケースです。 [3] しかし、アウグスティンルイコーシーは1815年に完全な刑の証拠に成功しました。 [4] コーシーの証拠は当時の感覚であり、彼を有名にしました。 [5]

Fermatschポリゴナル数率の証拠には、三角形数と4四分の1のレートの証拠が最初に必要です。ために

n > 4 {displaystyle n> 4}

a 、 b ∈ Nu{displaystyle a、bin mathbb {n^{u}}}}

と

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b 2< 4 a {displaystyle b^{2} <4a}

と

3 a < b 2+ 2 b + 4 {displaystyle 3a

バツ 、 と 、 と 、 の {displaystyle x、y、z、u}

次のプロパティが存在します。

この文の助けを借りて、フェルマッチェの多角形数レートは、コーシーの要件が適用される条件を配置することで証明できるようになりました。 [6]

  1. ↑ レナードユージンディクソン： 数字の理論の歴史。 第2巻： ジファンティン分析。 Dover Publications、Mineola NY 2005、ISBN 0-486-44233-0、S。6。
  2. ↑ ジョセフ・ルイ・ラグランジュ： 算術定理のデモンストレーション。 （ 記念 の オリジナル 2017年11月9日から インターネットアーカイブ ）） 情報： アーカイブリンクは自動的に使用されており、まだチェックされていません。指示に従ってオリジナルとアーカイブのリンクを確認してから、このメモを削除してください。 @初め @2 テンプレート：webachiv/iabot/library.bbaw.de の： ロイヤルアカデミーオブサイエンスとベルズレトレスの新しい思い出 、1770年。ベルリン1772、S。123–133。
  3. ↑ 1796年7月10日、ガウスは日記に「eyphka num =Δ +Δ +δ」と書いた。証拠は、Hermann Maser（ed。）にあります。 Carl Friedrich Gaussの高等算術に関する研究。 ベルリン：スプリンガー、1889、S。333–334、芸術。 293。
  4. ↑ オーガスティンルイコーシー： Polygons番号に関するFermatの一般定理のデモンストレーション。 In：数学および物理科学の回想録14（1813–1815）、S。177–220。
  5. ↑ ブルーノ・ベロステ： オーガスティン・ルイス・コーシー。伝記。 ニューヨーク：スプリンガー、1991年、S。46。
  6. ↑ Melvyn B. Nathanson： Cauchyのポリゴナル番号定理の短い証拠 。の： アメリカ数学協会の議事録 。 バンド 99 、 いいえ。 初め 、1987、 S. 22–24 、doi： 10,2307/2046263 。

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