Periodenzuordnung – Wikipedia

In der Mathematik, im Bereich der algebraischen Geometrie, ist die Periodenabbildung bezieht Familien von Kähler-Mannigfaltigkeiten auf Familien von Hodge-Strukturen.

Ehresmanns Theorem[edit]

Lassen f :: X. → B. sei ein holomorpher submersiver Morphismus. Für einen Punkt b von B.bezeichnen wir die Faser von f Über b durch X._b. Fixiere einen Punkt 0 in B.. Ehresmanns Theorem garantiert, dass es eine kleine offene Nachbarschaft gibt U. um 0 in welcher f wird ein Faserbündel. Das ist, f⁻¹(U.) ist diffeomorph zu X.₀ × U.. Insbesondere die zusammengesetzte Karte

X.b↪f– –1(U.)≅X.0×U.↠X.0{ displaystyle X_ {b} hookrightarrow f ^ {- 1} (U) cong X_ {0} times U twoheadrightarrow X_ {0}}

ist ein Diffeomorphismus. Dieser Diffeomorphismus ist nicht eindeutig, da er von der Wahl der Trivialisierung abhängt. Die Trivialisierung wird aus glatten Pfaden in konstruiert U.und es kann gezeigt werden, dass die Homotopieklasse des Diffeomorphismus nur von der Wahl einer Homotopieklasse von Pfaden abhängt b bis 0. Insbesondere wenn U. ist kontrahierbar, gibt es einen genau definierten Diffeomorphismus bis zur Homotopie.

Der Diffeomorphismus von X._b zu X.₀ induziert einen Isomorphismus von Kohomologiegruppen

H.k(X.b,Z.)≅H.k(X.b×U.,Z.)≅H.k(X.0×U.,Z.)≅H.k(X.0,Z.),{ displaystyle H ^ {k} (X_ {b}, mathbf {Z}) cong H ^ {k} (X_ {b} mal U, mathbf {Z}) cong H ^ {k} ( X_ {0} mal U, mathbf {Z}) cong H ^ {k} (X_ {0}, mathbf {Z}),}

und da homotope Karten identische Karten in der Kohomologie induzieren, hängt dieser Isomorphismus nur von der Homotopieklasse des Pfades ab b bis 0.

Lokale unpolarisierte Periodenabbildungen[edit]

Annehmen, dass f ist richtig und das X.₀ ist eine Kähler-Sorte. Der Kähler-Zustand ist offen, also nach möglicherweiseem Schrumpfen U., X._b ist kompakt und Kähler für alle b im U.. Nach dem Schrumpfen U. ferner können wir davon ausgehen, dass es vertraglich ist. Dann gibt es einen genau definierten Isomorphismus zwischen den Kohomologiegruppen von X.₀ und X._b. Diese Isomorphismen von Kohomologiegruppen werden im Allgemeinen die Hodge-Strukturen von nicht bewahren X.₀ und X._b weil sie durch Diffeomorphismen induziert werden, nicht durch Biholomorphismen. Lassen F.^pH.^k(X._b, C.) bezeichnen die pth Schritt der Hodge-Filtration. Die Hodge-Nummern von X._b sind die gleichen wie die von X.₀,^[1] also die nummer b_p,k = dim F.^pH.^k(X._b, C.) ist unabhängig von b. Das Periodenkarte ist die Karte

P.::U.→F.=F.b1,k,…,bk,k(H.k(X.0,C.)),{ displaystyle { mathcal {P}}: U rightarrow F = F_ {b_ {1, k}, ldots, b_ {k, k}} (H ^ {k} (X_ {0}, mathbf { C})),}

wo F. ist die Flaggenvielfalt von Ketten von Teilräumen von Dimensionen b_p,k für alle p, das sendet

b↦(F.pH.k(X.b,C.))p.{ displaystyle b mapsto (F ^ {p} H ^ {k} (X_ {b}, mathbf {C})) _ {p}.}

weil X._b ist eine Kähler-Mannigfaltigkeit, die Hodge-Filtration erfüllt die bilinearen Hodge-Riemann-Beziehungen. Diese implizieren das

H.k(X.b,C.)=F.pH.k(X.b,C.)⊕F.k– –p+1H.k(X.b,C.)¯.{ displaystyle H ^ {k} (X_ {b}, mathbf {C}) = F ^ {p} H ^ {k} (X_ {b}, mathbf {C}) oplus { overline {F. ^ {k-p + 1} H ^ {k} (X_ {b}, mathbf {C})}}.}

Nicht alle Flags von Unterräumen erfüllen diese Bedingung. Die Teilmenge der Flaggensorte, die diese Bedingung erfüllt, wird als bezeichnet unpolarisierte lokale Periodendomäne und wird bezeichnet

D.{ displaystyle { mathcal {D}}}

.

D.{ displaystyle { mathcal {D}}}

ist eine offene Teilmenge der Flaggensorte F..

Lokale polarisierte Periodenabbildungen[edit]

Nehmen wir jetzt nicht nur das jeweils an X._b ist Kähler, aber dass es eine Kähler-Klasse gibt, die holomorph variiert b. Mit anderen Worten, es wird angenommen, dass es eine Klasse ω in gibt H.²(X., Z.) so dass für jeden bdie Einschränkung ω_b von ω bis X._b ist eine Kähler-Klasse. ω_b bestimmt eine bilineare Form Q. auf H.^k(X._b, C.) nach der Regel

Q.(ξ,η)=∫ωbn– –k∧ξ∧η.{ displaystyle Q ( xi, eta) = int omega _ {b} ^ {nk} wedge xi wedge eta.}

Diese Form variiert holomorph in bund folglich erfüllt das Bild der Periodenabbildung zusätzliche Einschränkungen, die wiederum aus den bilinearen Hodge-Riemann-Beziehungen stammen. Diese sind:

1. Orthogonalität:: F.^pH.^k(X._b, C.) ist orthogonal zu F.^{k – p + 1}H.^k(X._b, C.) in Gedenken an Q..
2. Positive Bestimmtheit: Für alle p + q = k, die Einschränkung von
   (– –1)k(k– –1)/.2ichp– –qQ.{ displaystyle textstyle (-1) ^ {k (k-1) / 2} i ^ {pq} Q}
   zu den primitiven Klassen des Typs (p, q) ist definitiv positiv.

Das polarisierte lokale Periodendomäne ist die Teilmenge der unpolarisierten lokalen Periodendomäne, deren Flags diese zusätzlichen Bedingungen erfüllen. Die erste Bedingung ist eine geschlossene Bedingung, und die zweite ist eine offene Bedingung, und folglich ist die polarisierte lokale Periodendomäne eine lokal geschlossene Teilmenge der unpolarisierten lokalen Periodendomäne und der Flaggensorte F.. Die Periodenzuordnung wird auf die gleiche Weise wie zuvor definiert.

Die polarisierte lokale Periodendomäne und die polarisierte Periodenabbildung werden weiterhin bezeichnet

D.{ displaystyle { mathcal {D}}}

und

P.{ displaystyle { mathcal {P}}}

, beziehungsweise.

Globale Periodenzuordnungen[edit]

Wenn Sie sich nur auf lokale Periodenzuordnungen konzentrieren, werden die in der Topologie des Basisraums vorhandenen Informationen ignoriert B.. Die globalen Periodenzuordnungen sind so aufgebaut, dass diese Informationen weiterhin verfügbar sind. Die Schwierigkeit bei der Erstellung globaler Periodenabbildungen ergibt sich aus der Monodromie von B.: Es gibt keine eindeutige Homotopieklasse von Diffeomorphismen mehr, die die Fasern betreffen X._b und X.₀. Stattdessen werden unterschiedliche Homotopieklassen von Pfaden in B. induzieren möglicherweise unterschiedliche Homotopieklassen von Diffeomorphismen und daher möglicherweise unterschiedliche Isomorphismen von Kohomologiegruppen. Folglich gibt es nicht mehr für jede Faser ein genau definiertes Flag. Stattdessen wird das Flag nur bis zur Aktion der Grundgruppe definiert.

Definieren Sie im unpolarisierten Fall die Monodromie-Gruppe Γ die Untergruppe von GL sein (H.^k(X.₀, Z.)) bestehend aus allen Automorphismen, die durch eine Homotopieklasse von Kurven in induziert werden B. wie oben. Die Flaggensorte ist ein Quotient einer Lie-Gruppe durch eine parabolische Untergruppe, und die Monodromie-Gruppe ist eine arithmetische Untergruppe der Lie-Gruppe. Das globale unpolarisierte Periodendomäne ist der Quotient der lokalen unpolarisierten Periodendomäne durch die Wirkung von Γ (es handelt sich also um eine Sammlung von Doppelkosetten). Im polarisierten Fall müssen die Elemente der Monodromiegruppe auch die bilineare Form erhalten Q., und die globale polarisierte Periodendomäne wird auf die gleiche Weise als Quotient durch Γ konstruiert. In beiden Fällen nimmt die Periodenzuordnung einen Punkt von ein B. zur Klasse der Hodge-Filtration auf X._b.

Eigenschaften[edit]

Griffiths hat bewiesen, dass die Periodenkarte holomorph ist. Sein Transversalitätssatz begrenzt den Bereich der Periodenkarte.

Periodenmatrizen[edit]

Die Hodge-Filtration kann unter Verwendung von Periodenmatrizen in Koordinaten ausgedrückt werden. Wähle eine Basis δ₁, …, δ_r für den torsionsfreien Teil der kth integrale Homologiegruppe H._k(X., Z.). Fix p und q mit p + q = kund wähle eine Basis ω₁, …, ω_s für die harmonischen Formen des Typs (p, q). Das Periodenmatrix von X.₀ in Bezug auf diese Basen ist die Matrix

Ω=(∫δichωj)1≤ich≤r,1≤j≤s.{ displaystyle Omega = { Big (} int _ { delta _ {i}} omega _ {j} { Big)} _ {1 leq i leq r, 1 leq j leq s }.}

Die Einträge der Periodenmatrix hängen von der Wahl der Basis und von der komplexen Struktur ab. Die δs können durch Auswahl einer Matrix Λ in variiert werden SL (r, Z.)und die ωs können durch Auswahl einer Matrix variiert werden EIN im GL (s, C.). Eine Periodenmatrix ist Äquivalent auf Ω, wenn es geschrieben werden kann als EINΩΛ für eine Auswahl von EIN und Λ.

Der Fall von elliptischen Kurven[edit]

Betrachten Sie die Familie der elliptischen Kurven

y2=x(x– –1)(x– –λ){ displaystyle y ^ {2} = x (x-1) (x- lambda)}

wobei λ eine komplexe Zahl ist, die nicht gleich Null oder Eins ist. Die Hodge-Filtration in der ersten Kohomologiegruppe einer Kurve besteht aus zwei Schritten: F.⁰ und F.¹. Jedoch, F.⁰ ist die gesamte kohomologische Gruppe, daher ist der einzig interessante Begriff der Filtration F.¹, welches ist H.^1,0, der Raum holomorpher harmonischer 1-Formen.

H.^1,0 ist eindimensional, weil die Kurve elliptisch ist und für alle λ von der Differentialform überspannt wird ω = dx/.y. Beachten Sie, dass die Kurve als Diagramm der mehrwertigen Funktion dargestellt werden kann, um explizite Vertreter der Homologiegruppe der Kurve zu finden

y=x(x– –1)(x– –λ){ displaystyle y = { sqrt {x (x-1) (x- lambda)}}}

auf der Riemannschen Sphäre. Die Verzweigungspunkte dieser Funktion liegen bei Null, Eins, λ und Unendlich. Machen Sie zwei Astschnitte, einer von Null bis einer und der andere von λ bis unendlich. Diese erschöpfen die Verzweigungspunkte der Funktion und schneiden die mehrwertige Funktion in zwei einwertige Blätter. Repariere ein kleines ε> 0. Verfolgen Sie auf einem dieser Blätter die Kurve γ (t) = 1/2 + (1/2 + ε) exp (2πes). Für ausreichend klein umgibt diese Kurve den Astschnitt [0, 1] und trifft nicht den Astschnitt [λ, ∞]. Verfolgen Sie nun eine weitere Kurve δ (t), die in einem Blatt als beginnt δ (t) = 1 + 2 (λ – 1) t zum 0 ≤ t ≤ 1/2 und fährt im anderen Blatt fort als δ (t) = λ + 2 (1 – λ) (t – 1/2) zum 1/2 ≤ t ≤ 1. Jede Hälfte dieser Kurve verbindet die Punkte 1 und λ auf den beiden Blättern der Riemannschen Oberfläche. Nach dem Satz von Seifert-van Kampen ist die Homologiegruppe der Kurve frei von Rang zwei. Weil sich die Kurven in einem einzigen Punkt treffen, 1 + εKeiner ihrer Homologieklassen ist ein richtiges Vielfaches einer anderen Homologieklasse, und daher bilden sie eine Grundlage für H.₁. Die Periodenmatrix für diese Familie ist daher

(∫γω∫δω).{ displaystyle { begin {pmatrix} int _ { gamma} omega \ int _ { delta} omega end {pmatrix}}.}

Den ersten Eintrag dieser Matrix werden wir als abkürzen EINund der zweite als B..

Die bilineare Form √−1Q. ist positiv definitiv, weil wir lokal immer ω als schreiben können f dzdaher

– –1∫X.0ω∧ω¯=– –1∫X.0|f|2dz∧dz¯>0.{ displaystyle { sqrt {-1}} int _ {X_ {0}} omega wedge { bar { omega}} = { sqrt {-1}} int _ {X_ {0}} | f | ^ {2} , dz wedge d { bar {z}}> 0.}

H.¹(X.₀, Z.). Daraus folgt, dass ω als lineare Kombination von γ geschrieben werden kann^{* *} und δ^{* *}. Die Koeffizienten werden durch Auswertung von ω in Bezug auf die dualen Basiselemente γ und δ gegeben:

ω=EINγ∗+B.δ∗.{ displaystyle omega = A gamma ^ {*} + B delta ^ {*}.}

Wenn wir die positive Bestimmtheit von umschreiben Q. in diesen Begriffen haben wir

– –1∫X.0EINB.¯γ∗∧δ¯∗+EIN¯B.γ¯∗∧δ∗=∫X.0Ich bin(2EIN¯B.γ¯∗∧δ∗)>0{ displaystyle { sqrt {-1}} int _ {X_ {0}} A { bar {B}} gamma ^ {*} wedge { bar { delta}} ^ {*} + { bar {A}} B { bar { gamma}} ^ {*} wedge delta ^ {*} = int _ {X_ {0}} operatorname {Im} , (2 { bar { A}} B { bar { gamma}} ^ {*} wedge delta ^ {*})> 0}

Ich bin2EIN¯B.{ displaystyle operatorname {Im} , 2 { bar {A}} B}

. Das Integral ist streng positiv, also auch nicht EIN Noch B. kann Null sein.

Nach der Neuskalierung von ω können wir annehmen, dass die Periodenmatrix gleich ist (1 τ) für eine komplexe Zahl τ mit streng positivem Imaginärteil. Dies beseitigt die Mehrdeutigkeit, die von der kommt GL (1, C.) Aktion. Die Aktion von SL (2, Z.) ist dann die übliche Wirkung der modularen Gruppe auf der oberen Halbebene. Folglich ist der Periodenbereich die Riemannsche Sphäre. Dies ist die übliche Parametrisierung einer elliptischen Kurve als Gitter.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

1. ^ Voisin, Satz 9.20

Berechnungen[edit]

Allgemeines[edit]

• Voisin, Hodge-Theorie und komplexe algebraische Geometrie I, II

Anwendungen[edit]

Externe Links[edit]