Wahrscheinlichkeitsraum – Wikipedia

In der Wahrscheinlichkeitstheorie a Wahrscheinlichkeitsraum oder ein Wahrscheinlichkeit dreifach

${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$

ist ein mathematisches Konstrukt, das ein formales Modell eines zufälligen Prozesses oder “Experiments” liefert. Zum Beispiel kann man einen Wahrscheinlichkeitsraum definieren, der das Werfen eines Würfels modelliert.

Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus drei Elementen:^[1][2]

1. EIN Probenraum,
   ${ displaystyle Omega}$

   Dies ist die Menge aller möglichen Ergebnisse.

2. Ein VeranstaltungsflächeDies ist eine Reihe von Ereignissen
   ${ displaystyle { mathcal {F}}}$

   Ein Ereignis ist eine Reihe von Ergebnissen im Probenraum.

3. EIN Wahrscheinlichkeitsfunktion, die jedem Ereignis im Ereignisraum eine Wahrscheinlichkeit zuweist, die eine Zahl zwischen 0 und 1 ist.

Um ein vernünftiges Wahrscheinlichkeitsmodell bereitzustellen, müssen diese Elemente eine Reihe von Axiomen erfüllen, die im Artikel beschrieben werden.

Im Beispiel des Wurfs eines Standardwürfels würden wir den Probenraum annehmen

${ displaystyle {1,2,3,4,5,6 }}$

. Für den Ereignisraum könnten wir einfach die Menge aller Teilmengen des Beispielraums verwenden, die dann einfache Ereignisse wie z

${ displaystyle {5 }}$

(“der Würfel landet auf 5”) sowie komplexe Ereignisse wie

${ displaystyle {2,4,6 }}$

(“Der Würfel landet auf einer geraden Zahl”). Schließlich würden wir für die Wahrscheinlichkeitsfunktion jedes Ereignis auf die Anzahl der Ergebnisse in diesem Ereignis geteilt durch 6 abbilden – so zum Beispiel

${ displaystyle {5 }}$

würde zugeordnet werden

${ displaystyle 1/6}$

, und

${ displaystyle {2,4,6 }}$

würde zugeordnet werden

${ displaystyle 3/6 = 1/2}$

.

Wenn ein Experiment durchgeführt wird, stellen wir uns vor, dass “Natur” ein einzelnes Ergebnis “auswählt”,

${ displaystyle omega}$

aus dem Probenraum

${ displaystyle Omega}$

. Alle Ereignisse im Veranstaltungsraum

${ displaystyle { mathcal {F}}}$

die das ausgewählte Ergebnis enthalten

${ displaystyle omega}$

sollen “aufgetreten sein”. Diese “Auswahl” erfolgt so, dass bei mehrmaliger Wiederholung des Experiments die Anzahl der Vorkommen jedes Ereignisses als Bruchteil der Gesamtzahl der Experimente zu der Wahrscheinlichkeit tendiert, die diesem Ereignis durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion zugewiesen wird

${ displaystyle P}$

.

Der russische Mathematiker Andrey Kolmogorov führte in den 1930er Jahren den Begriff des Wahrscheinlichkeitsraums zusammen mit anderen Axiomen der Wahrscheinlichkeit ein. In der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es eine Reihe alternativer Ansätze zur Axiomatisierung – zum Beispiel die Algebra von Zufallsvariablen.

Einführung[edit]

Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein mathematisches Triplett

${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$

das präsentiert ein Modell für eine bestimmte Klasse von realen Situationen. Wie bei anderen Modellen definiert der Autor letztendlich, welche Elemente

${ displaystyle Omega}$

,

${ displaystyle { mathcal {F}}}$

, und

${ displaystyle P}$

wird beinhalten.

• Der Probenraum
  ${ displaystyle Omega}$

  ist die Menge aller möglichen Ergebnisse. Ein Ergebnis ist das Ergebnis einer einzelnen Ausführung des Modells. Ergebnisse können Naturzustände, Möglichkeiten, experimentelle Ergebnisse und dergleichen sein. Jede Instanz der realen Situation (oder der Ablauf des Experiments) muss genau ein Ergebnis liefern. Wenn sich die Ergebnisse verschiedener Versuchsläufe in irgendeiner wichtigen Weise unterscheiden, handelt es sich um unterschiedliche Ergebnisse. Welche Unterschiede wichtig sind, hängt von der Art der Analyse ab, die wir durchführen möchten. Dies führt zu unterschiedlichen Auswahlmöglichkeiten des Probenraums.

• Die σ-Algebra
  ${ displaystyle { mathcal {F}}}$

  ist eine Sammlung aller Ereignisse, die wir berücksichtigen möchten. Diese Sammlung kann jedes der Elementarereignisse enthalten oder nicht. Hier ist ein “Ereignis” eine Menge von null oder mehr Ergebnissen, dh eine Teilmenge des Probenraums. Es wird angenommen, dass ein Ereignis während eines Experiments “passiert” ist, wenn dessen Ergebnis ein Element des Ereignisses ist. Da dasselbe Ergebnis Mitglied vieler Ereignisse sein kann, ist es möglich, dass viele Ereignisse bei einem einzigen Ergebnis stattgefunden haben. Wenn der Versuch beispielsweise darin besteht, zwei Würfel zu werfen, kann die Menge aller Ergebnisse mit einer Summe von 7 Pips ein Ereignis darstellen, während Ergebnisse mit einer ungeraden Anzahl von Pips ein anderes Ereignis darstellen können. Wenn das Ergebnis das Element des Elementarereignisses von zwei Pips auf dem ersten Würfel und fünf auf dem zweiten Würfel ist, dann sollen beide Ereignisse, “7 Pips” und “ungerade Anzahl von Pips”, stattgefunden haben.

• Das Wahrscheinlichkeitsmaß
  ${ displaystyle P}$

  ist eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zurückgibt. Eine Wahrscheinlichkeit ist eine reelle Zahl zwischen Null (unmögliche Ereignisse haben eine Wahrscheinlichkeit von Null, obwohl Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit von Null nicht unbedingt unmöglich sind) und Eins (das Ereignis tritt fast sicher mit fast vollständiger Sicherheit ein). So

  ${ displaystyle P}$

  ist eine Funktion

  ${ displaystyle P: { mathcal {F}} rightarrow [0,1]}}$

  . Die Wahrscheinlichkeitsmaßfunktion muss zwei einfache Anforderungen erfüllen: Erstens muss die Wahrscheinlichkeit einer zählbaren Vereinigung sich gegenseitig ausschließender Ereignisse gleich der zählbaren Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes dieser Ereignisse sein. Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der sich gegenseitig ausschließenden Ereignisse

  ${ displaystyle { text {Head}}}$

  und

  ${ displaystyle { text {Tail}}}$

  im zufälligen Experiment eines Münzwurfs,

  ${ displaystyle P ({ text {Head}} cup { text {Tail}})}$

  ist die Summe der Wahrscheinlichkeit für

  ${ displaystyle { text {Head}}}$

  und die Wahrscheinlichkeit für

  ${ displaystyle { text {Tail}}}$

  ,

  ${ displaystyle P ({ text {Head}}) + P ({ text {Tail}})}$

  . Zweitens die Wahrscheinlichkeit des Probenraums

  ${ displaystyle Omega}$

  muss gleich 1 sein (was die Tatsache berücksichtigt, dass bei einer Ausführung des Modells ein gewisses Ergebnis erzielt werden muss). Im vorherigen Beispiel die Wahrscheinlichkeit der Menge der Ergebnisse

  ${ displaystyle P ( {{ text {Head}}, { text {Tail}} })}$

  muss gleich eins sein, da es völlig sicher ist, dass das Ergebnis entweder sein wird

  ${ displaystyle { text {Head}}}$

  oder

  ${ displaystyle { text {Tail}}}$

  (das Modell vernachlässigt jede andere Möglichkeit) in einem einzigen Münzwurf.

Nicht jede Teilmenge des Probenraums

${ displaystyle Omega}$

muss unbedingt als Ereignis betrachtet werden: Einige der Teilmengen sind einfach nicht von Interesse, andere können nicht “gemessen” werden. Dies ist in einem Fall wie einem Münzwurf nicht so offensichtlich. In einem anderen Beispiel könnte man Speerwurflängen betrachten, bei denen die Ereignisse typischerweise Intervalle wie “zwischen 60 und 65 Metern” und Vereinigungen solcher Intervalle sind, aber keine Sätze wie die “irrationalen Zahlen zwischen 60 und 65 Metern”.

Definition[edit]

Kurz gesagt, ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Messraum, so dass das Maß des gesamten Raums gleich eins ist.

Die erweiterte Definition lautet wie folgt: Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Tripel

${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$

bestehend aus:

• der Probenraum
  ${ displaystyle Omega}$

  – eine beliebige nicht leere Menge,

• die σ-Algebra
  ${ displaystyle { mathcal {F}} subseteq 2 ^ { Omega}}$

  (auch σ-Feld genannt) – eine Menge von Teilmengen von

  ${ displaystyle Omega}$

  , Ereignisse genannt, so dass:

  • 
    ${ displaystyle { mathcal {F}}}$

    enthält den Probenraum:

    ${ displaystyle Omega in { mathcal {F}}}$

    ,

  • 
    ${ displaystyle { mathcal {F}}}$

    wird unter Ergänzungen geschlossen: wenn

    ${ displaystyle A in { mathcal {F}}}$

    dann auch

    ${ displaystyle ( Omega setminus A) in { mathcal {F}}}$

    ,

  • 
    ${ displaystyle { mathcal {F}}}$

    ist unter zählbaren Gewerkschaften geschlossen: wenn

    ${ displaystyle A_ {i} in { mathcal {F}}}$

    zum

    ${ displaystyle i = 1,2, dots}$

    dann auch

    ${ displaystyle textstyle ( bigcup _ {i = 1} ^ { infty} A_ {i}) in { mathcal {F}}}$

    

    • Die Konsequenz aus den beiden vorhergehenden Eigenschaften und dem Gesetz von De Morgan ist die folgende
      ${ displaystyle { mathcal {F}}}$

      wird auch unter zählbaren Kreuzungen geschlossen: wenn

      ${ displaystyle A_ {i} in { mathcal {F}}}$

      zum

      ${ displaystyle i = 1,2, dots}$

      dann auch

      ${ displaystyle textstyle ( bigcap _ {i = 1} ^ { infty} A_ {i}) in { mathcal {F}}}$

      

• das Wahrscheinlichkeitsmaß
  ${ displaystyle P: { mathcal {F}} to [0,1]}}$

  – eine Funktion an

  ${ displaystyle { mathcal {F}}}$

  so dass:

  • P. ist zählbar additiv (auch σ-additiv genannt): wenn
    ${ displaystyle {A_ {i} } _ {i = 1} ^ { infty} subseteq { mathcal {F}}}$

    ist also eine zählbare Sammlung von paarweise disjunkten Mengen

    ${ displaystyle textstyle P ( bigcup _ {i = 1} ^ { infty} A_ {i}) = sum _ {i = 1} ^ { infty} P (A_ {i}),}$

    

  • Das Maß des gesamten Probenraums ist gleich eins:
    ${ displaystyle P ( Omega) = 1}$

    .

Diskreter Fall[edit]

Die diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie benötigt nur höchstens zählbare Probenräume

${ displaystyle Omega}$

. Wahrscheinlichkeiten können Punkten von zugeordnet werden

${ displaystyle Omega}$

durch die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion

${ displaystyle p: Omega to [0,1]}}$

so dass

${ displaystyle textstyle sum _ { left { omega in Omega right }} p ( omega) = 1}$

. Alle Teilmengen von

${ displaystyle Omega}$

kann als Ereignisse behandelt werden (also

${ displaystyle { mathcal {F}} = 2 ^ { Omega}}$

ist die Leistung eingestellt). Das Wahrscheinlichkeitsmaß hat die einfache Form

{ displaystyle

$2$

{ displaystyle { mathcal {F}} = 2 ^ { Omega}}

$2$

{ displaystyle { mathcal {F}} subseteq 2 ^ { Omega}}

$∪$

{ displaystyle Omega = B_ {1} cup B_ {2} cup dots}

$∈$

{ displaystyle A in { mathcal {F}}}

$∪$

{ displaystyle A = B_ {k_ {1}} cup B_ {k_ {2}} cup dots}

{ displaystyle A = B_ {k_ {1}} cup B_ {k_ {2}} cup dots}

$=$

{ displaystyle p ( omega) = 0}

$ist nach der Definition zulässig, wird aber selten verwendet, da solche$

{ displaystyle omega}

Omega[edit]

kann sicher aus dem Probenraum ausgeschlossen werden. Allgemeiner FallWenn Ω dennoch unzählig ist, kann dies passierenp(( ω) ≠ 0 für einige ω ;; eine solche

ω[edit]

werden Atome genannt. Sie sind höchstens eine zählbare (möglicherweise leere) Menge, deren Wahrscheinlichkeit die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Atome ist. Wenn diese Summe gleich 1 ist, können alle anderen Punkte sicher aus dem Probenraum ausgeschlossen werden, was uns zum diskreten Fall zurückführt. Wenn andernfalls die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Atome zwischen 0 und 1 liegt, zerfällt der Wahrscheinlichkeitsraum in einen diskreten (atomaren) Teil (möglicherweise leer) und einen nichtatomaren Teil. Nichtatomarer FallWennp(( ω) = 0 für alle

$∈Ω (in diesem Fall muss Ω unzählbar sein, da sonst P (Ω) = 1 nicht erfüllt werden könnte), dann schlägt Gleichung (∗) fehl: Die Wahrscheinlichkeit einer Menge ist nicht unbedingt die Summe über die Wahrscheinlichkeiten ihrer Elemente, als Summation wird nur für zählbare Anzahlen von Elementen definiert. Dies macht die Wahrscheinlichkeitsraumtheorie viel technischer. Eine Formulierung, die stärker als die Summation ist, ist anwendbar. Zunächst werden die Wahrscheinlichkeiten einigen „Generatorsätzen“ zugeordnet (siehe Beispiele). Dann ermöglicht eine Begrenzungsprozedur das Zuweisen von Wahrscheinlichkeiten zu Mengen, die Grenzen von Sequenzen von Generatorsätzen oder Grenzen von Grenzen usw. sind. Alle diese Mengen sind die σ-Algebra$

{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}

$. Für technische Details siehe Carathéodorys Erweiterungssatz. Sets, die zu gehören$

{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}

scriptstyle { mathcal {F}}[edit]

werden als messbar bezeichnet. Im Allgemeinen sind sie viel komplizierter als Generatorsätze, aber viel besser als nicht messbare Sätze.

$P.$

{ displaystyle ( Omega, ; { mathcal {F}}, ; P)}

$∈$

{ displaystyle B , in , { mathcal {F}}}

$=$

{ displaystyle P (B) , = ; 0}

$⊂$

{ displaystyle A ; subset ; B}

$∈$

{ displaystyle A ; in ; { mathcal {F}}}

{ displaystyle A ; in ; { mathcal {F}}}[edit]

. Oft beschränkt sich das Studium von Wahrscheinlichkeitsräumen auf vollständige Wahrscheinlichkeitsräume.[edit]

Beispiele[edit]

Diskrete Beispiele

$T.$

{ displaystyle Omega = {{ text {H}}, { text {T}} }}

$2$

{ displaystyle { mathcal {F}} = 2 ^ { Omega}}

$=$

{ displaystyle 2 ^ {2} = 4}

$H.$

{ displaystyle {{ text {H}} }}

$T.$

{ displaystyle {{ text {T}} }}

${$

{ displaystyle {}}

$T.$

{ displaystyle {{ text {H}}, { text {T}} }}

$}}$

{ displaystyle { mathcal {F}} = { {}, {{ text {H}} }, {{ text {T}} }, {{ text {H} }, { text {T}} } }}

$=$

{ displaystyle P ( {}) = 0}

$=$

{ displaystyle P ( {{ text {H}} }) = 0,5}

$=$

{ displaystyle P ( {{ text {T}} }) = 0,5}

$=$

{ displaystyle P ( {{ text {H}}, { text {T}} }) = 1}

{ displaystyle P ( {{ text {H}}, { text {T}} }) = 1}[edit]

.

$Die schöne Münze wird dreimal geworfen. Es gibt 8 mögliche Ergebnisse: Ω = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} (hier bedeutet „HTH“ zum Beispiel, dass die Münze zum ersten Mal Köpfe landete, zum zweiten Mal Schwänze und zum letzten Mal Köpfe wieder). Die vollständige Information wird durch die σ-Algebra beschrieben$

{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}} ^{scriptstyle { mathcal {F}}} = 2^Ω von 2

8_{= 256 Ereignisse, wobei jedes der Ereignisse eine Teilmenge von Ω ist.} Alice kennt nur das Ergebnis des zweiten Wurfs. Somit wird ihre unvollständige Information durch die Partition Ω = A beschrieben₁ ⊔ A. 2= {HHH, HHT, THH, THT} ⊔ {HTH, HTT, TTH, TTT}, wobei ⊔ das ist

$und die entsprechende σ-Algebra$

_{{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}} scriptstyle { mathcal {F}}_Alice= {{}, A.₁, EIN₂ , Ω}. Bryan kennt nur die Gesamtzahl der Schwänze. Seine Partition besteht aus vier Teilen: Ω = B.₀ ⊔ B.₁ ⊔ B.₂ ⊔ B.

$= {HHH} ⊔ {HHT, HTH, THH} ⊔ {TTH, THT, HTT} ⊔ {TTT}; dementsprechend seine σ-Algebra$

_{{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}} scriptstyle { mathcal {F}}^Bryan enthält 2

4

$Die beiden σ-Algebren sind unvergleichlich: keine$

_{{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}} scriptstyle { mathcal {F}}

$⊆$

_{{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}} scriptstyle { mathcal {F}}

$Noch$

_{{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}} scriptstyle { mathcal {F}}

$⊆$

_{{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}} scriptstyle { mathcal {F}}^Alice;; beide sind Sub-σ-Algebren von 2

Ω[edit]

. Beispiel 3 Wenn 100 Wähler zufällig aus allen Wählern in Kalifornien gezogen und gefragt werden sollen, wen sie für den Gouverneur stimmen sollen, wäre die Menge aller Sequenzen von 100 kalifornischen Wählern der Stichprobenraum Ω. Wir gehen davon aus, dass ersatzlose Stichproben verwendet werden: nur Sequenzen von 100

anders

$Alice weiß nur, ob Arnold Schwarzenegger mindestens 60 Stimmen erhalten hat oder nicht. Ihre unvollständigen Informationen werden durch die σ-Algebra beschrieben$

_{{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}} scriptstyle { mathcal {F}}

Alice_{das enthält: (1) die Menge aller Sequenzen in Ω, bei denen mindestens 60 Personen für Schwarzenegger stimmen; (2) die Menge aller Sequenzen, in denen weniger als 60 für Schwarzenegger stimmen; (3) der gesamte Probenraum Ω; und (4) die leere Menge ∅.} Bryan kennt die genaue Anzahl der Wähler, die für Schwarzenegger stimmen werden. Seine unvollständige Information wird durch die entsprechende Partition Ω = B beschrieben₀ ⊔ B.₁ … ⊔ B.

$und die σ-Algebra$

_{{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}} scriptstyle { mathcal {F}}^Bryan besteht aus 2

101

$In diesem Fall ist Alices σ-Algebra eine Teilmenge von Bryans:$

_{{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}} scriptstyle { mathcal {F}}

$⊂$

_{{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}} scriptstyle { mathcal {F}}^Bryan . Bryans σ-Algebra ist wiederum eine Teilmenge der viel größeren σ-Algebra 2 mit „vollständiger Information“ Ω^{bestehend aus2n((n−1) … (} n −99) Ereignisse, wo

n[edit]

ist die Anzahl aller potenziellen Wähler in Kalifornien.[edit]

Nichtatomare Beispiele [0,1]Beispiel 4

$,$

{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}} scriptstyle { mathcal {F}} ist die σ-Algebra von Borel-Mengen auf Ω, und [0,1]P.

ist die Lebesgue-Maßnahme auf.In diesem Fall die offenen Intervalle des Formulars (ein, b ), wobei 0 < ein < b<1, könnte als Generatorsatz genommen werden. Jedem solchen Satz kann die Wahrscheinlichkeit von zugeschrieben werdenP.((ein,b )) = ( b– – [0,1]ein

), die das Lebesgue-Maß am generiert[edit]

und die Borel-σ-Algebra auf Ω.^{Beispiel 5}Eine faire Münze wird endlos geworfen. Hier kann man Ω = {0,1} nehmen∞_{, die Menge aller unendlichen Folgen der Zahlen 0 und 1. Zylindersätze {(}x 1_,x 2_{, …) ∈ Ω:} x 1₌ein 1_{, …,} x n₌ein n } kann als Generatorsatz verwendet werden. Jeder dieser Sätze beschreibt ein Ereignis, bei dem der ersten_{Würfe haben zu einer festen Reihenfolge geführt (}ein 1_{, …,}ein^{n), und der Rest der Sequenz kann beliebig sein. Jedes solche Ereignis kann natürlich mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 angegeben werden}– –

n._{Diese beiden nichtatomaren Beispiele sind eng miteinander verbunden: eine Sequenz (}x1_,x² , …) ∈ {0,1}^∞führt zur Nummer 2₋₁ x¹+ 2₋₂ x [0,1]2^{+ … ∈} . Dies ist keine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen {0,1} [0,1] ∞

und[edit]

jedoch: Es ist ein Isomorphismus-Modulo-Nullpunkt, der es ermöglicht, die beiden Wahrscheinlichkeitsräume als zwei Formen desselben Wahrscheinlichkeitsraums zu behandeln. Tatsächlich sind alle nicht pathologischen nichtatomaren Wahrscheinlichkeitsräume in diesem Sinne gleich. Sie sind sogenannte Standardwahrscheinlichkeitsräume. Grundlegende Anwendungen von Wahrscheinlichkeitsräumen sind unempfindlich gegenüber Standardität. Eine nicht diskrete Konditionierung ist jedoch in Standardwahrscheinlichkeitsräumen einfach und natürlich, da sie sonst dunkel wird.[edit]

Verwandte konzepte

Wahrscheinlichkeitsverteilung[edit]

Jede Wahrscheinlichkeitsverteilung definiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Zufällige Variablen Eine Zufallsvariable X.ist eine messbare Funktion X. : Ω → S. vom Probenraum Ω zu einem anderen messbaren Raum S.nannte die

Zustandsraum . Wenn EIN⊂S. , die Notation Pr ( X.∈ EIN) ist eine häufig verwendete Abkürzung fürP. ({ ω∈ Ω:X.(( ω) ∈

EIN[edit]

}).

$Wenn Ω zählbar ist, definieren wir fast immer$

{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}

$als Leistungssatz von Ω, dh$

{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}} ^{scriptstyle { mathcal {F}}} = 2

$Das ist trivial eine σ-Algebra und die größte, die wir mit Ω erstellen können. Wir können daher weglassen$

{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}

scriptstyle { mathcal {F}}

$Auf der anderen Seite, wenn Ω unzählig ist und wir verwenden$

{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}} ^{scriptstyle { mathcal {F}}} = 2 Ω Wir haben Probleme, unser Wahrscheinlichkeitsmaß zu definieren

$weil$

{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}

$ist zu “groß”, dh es gibt oft Mengen, denen es unmöglich ist, ein eindeutiges Maß zuzuweisen. In diesem Fall müssen wir eine kleinere σ-Algebra verwenden$

{ displaystyle scriptstyle { mathcal {F}}}

scriptstyle { mathcal {F}}[edit]

Zum Beispiel die Borel-Algebra von Ω, die kleinste σ-Algebra, die alle offenen Mengen messbar macht. Bedingte Wahrscheinlichkeit Kolmogorovs Definition von Wahrscheinlichkeitsräumen führt zum natürlichen Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit. Jeder Satz EINmit einer Wahrscheinlichkeit ungleich Null (d. h.P.((

$EIN$

{ Anzeigestil P (B | A) = {P (B Kappe A) über P (A)}} P (B | A) = {P (B Kappe A) über P (A)} auf dem Raum. Dies wird normalerweise als „Wahrscheinlichkeit von B.gegeben

EIN ”. Für jede Veranstaltung B.so dassP.(( B. )> 0 die Funktion Q.definiert vonQ.(( EIN) =P.((EIN| B. ) für alle Veranstaltungen

EIN[edit]

ist selbst ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Unabhängigkeit Zwei Ereignisse, EIN und B.sollen unabhängig sein, wennP.((EIN∩B.) =P.((EIN)P.((

B. ). Zwei Zufallsvariablen, X.und Y. , gelten als unabhängig, wenn ein Ereignis im Sinne von definiert ist X.ist unabhängig von Ereignissen, die in Bezug auf definiert sind Y. . Formal erzeugen sie unabhängige σ-Algebren, wobei zwei σ-Algebren Gund H. , die Teilmengen von sind F. sollen unabhängig sein, wenn irgendein Element von Gist unabhängig von jedem Element von

H.[edit]

. Gegenseitige Ausschließlichkeit Zwei Ereignisse, EIN und B. sollen sich gegenseitig ausschließen oder

disjunkt Wenn das Auftreten des einen das Nicht-Auftreten des anderen impliziert, dh ihr Schnittpunkt ist leer. Dies ist eine stärkere Bedingung als die Wahrscheinlichkeit, dass ihr Schnittpunkt Null ist. Wenn EIN und B.sind also disjunkte EreignisseP.((EIN∪ B.) =P.(( EIN) +P.(( B. ). Dies erstreckt sich auf eine (endliche oder zählbar unendliche) Folge von Ereignissen. Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung einer unzähligen Menge von Ereignissen ist jedoch nicht die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten. Zum Beispiel wenn Z.ist also eine normalverteilte ZufallsvariableP.((Z.= x) ist 0 für jede x, aberP.((Z.∈

R. ) = 1.Das EreignisEIN ∩B. wird bezeichnet als ” EINund B.Und das EreignisEIN ∪B. wie ” EINoder

B.[edit]

”.[edit]

^[edit]

Stroock, DW (1999). Wahrscheinlichkeitstheorie: eine analytische Sicht. Cambridge University Press. LiteraturverzeichnisDie erste große Abhandlung, die Kalkül mit Wahrscheinlichkeitstheorie mischt, ursprünglich auf Französisch:

Théorie Analytique des Probabilités.Die moderne messungstheoretische Grundlage der Wahrscheinlichkeitstheorie; die deutsche Originalversion (

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung

) erschien 1933. Ein empiristischer Bayes’scher Ansatz zu den Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie.

• Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie basierend auf nicht standardmäßigen Analysen. Herunterladbar. http://www.math.princeton.edu/~nelson/books.htmlPatrick Billingsley:
• Wahrscheinlichkeit und Maß John Wiley und Söhne, New York, Toronto, London, 1979.

Henk Tijms (2004)

• Wahrscheinlichkeit verstehen Eine lebendige Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie für den Anfänger Cambridge Univ. Drücken Sie.

David Williams (1991)

Wahrscheinlichkeit mit Martingalen[edit]