Bitruncated kubische Wabe – Wikipedia
| Bitruncated kubische Wabe | |
|---|---|
 
|
|
| Art | Einheitliche Wabe |
| Schläfli-Symbol | 2t {4,3,4} t1,2{4,3,4} |
| Coxeter-Dynkin-Diagramm |    
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| Zelltyp | ((4.6.6) |
| Gesichtstypen | Quadrat {4} Sechseck {6} |
| Kantenfigur | gleichschenkliges Dreieck {3} |
| Scheitelpunktfigur |  (tetragonales Disphenoid) |
| Raumgruppe Fibrifold-Notation Coxeter-Notation |
Ich bin3m (229) 8Ö: 2 [[4,3,4]]] |
| Coxeter-Gruppe | , [4,3,4] |
| Dual | Oblate Tetrahedrille Disphenoid tetraedrische Wabe Zelle: 
|
| Eigenschaften | isogonal, isotoxal, isochor |
Das bitruncated kubische Wabe ist eine raumfüllende Tessellation (oder Wabe) im euklidischen 3-Raum, die aus abgeschnittenen Oktaedern (oder äquivalent bitrunkierten Würfeln) besteht. Es hat 4 abgeschnittene Oktaeder um jeden Scheitelpunkt. Da es vollständig aus abgeschnittenen Oktaedern besteht, ist es zelltransitiv. Es ist auch kantentransitiv, mit 2 Sechsecken und einem Quadrat an jeder Kante und vertextransitiv. Es ist eine von 28 einheitlichen Waben.
John Horton Conway nennt diese Wabe a Oktahedrille abgeschnitten in seiner architektonischen und katoptrischen Tessellationsliste mit dem Dualen an abgeflachte Tetrahedrille, auch Disphenoid-Tetraeder-Wabe genannt. Obwohl ein reguläres Tetraeder den Raum nicht alleine tessellieren kann, hat dieses Dual identische Disphenoid-Tetraederzellen mit gleichschenkligen Dreiecksflächen.
Geometrie[edit]
Es kann als Voronoi-Tessellation des körperzentrierten kubischen Gitters realisiert werden. Lord Kelvin vermutete, dass eine Variante der bitruncated kubische Wabe (mit gekrümmten Flächen und Kanten, aber gleicher kombinatorischer Struktur) ist der optimale Seifenblasenschaum. Die Weaire-Phelan-Struktur ist jedoch ein weniger symmetrischer, aber effizienterer Schaum aus Seifenblasen.
Die Wabe repräsentiert die Permutoeder-Tessellation für den 3-Raum. Die Koordinaten der Eckpunkte für ein Oktaeder repräsentieren eine Hyperebene von ganzen Zahlen im 4-Raum, insbesondere Permutationen von (1,2,3,4). Die Tessellation wird durch übersetzte Kopien innerhalb der Hyperebene gebildet.
Die Tessellation ist die höchste Tessellation von Parallelohedern im 3-Raum.
Projektionen[edit]
Das bitruncated kubische Wabe kann mit verschiedenen Symmetrieanordnungen orthogonal in die euklidische Ebene projiziert werden. Die höchste (hexagonale) Symmetrieform ragt in eine ungleichmäßige rhombitrihexagonale Kachelung hinein. Eine quadratische Symmetrieprojektion bildet zwei überlappende abgeschnittene quadratische Kacheln, die sich zu einer abgeschrägten quadratischen Kachelung verbinden.
Symmetrie[edit]
Die Scheitelpunktzahl für diese Wabe ist ein Disphenoid-Tetraeder, und es ist auch das Goursat-Tetraeder (fundamentale Domäne) für das
Coxeter-Gruppe. Diese Wabe hat vier einheitliche Konstruktionen, wobei die verkürzten oktaedrischen Zellen unterschiedliche Coxeter-Gruppen und Wythoff-Konstruktionen aufweisen. Diese einheitlichen Symmetrien können dargestellt werden, indem die Zellen in jeder Konstruktion unterschiedlich gefärbt werden.
Coxeter-Gruppe. Diese Wabe hat vier einheitliche Konstruktionen, wobei die verkürzten oktaedrischen Zellen unterschiedliche Coxeter-Gruppen und Wythoff-Konstruktionen aufweisen. Diese einheitlichen Symmetrien können dargestellt werden, indem die Zellen in jeder Konstruktion unterschiedlich gefärbt werden.
Verwandte Polyeder und Waben[edit]
Das [4,3,4], Die Coxeter-Gruppe erzeugt 15 Permutationen gleichmäßiger Tessellationen, 9 mit unterschiedlicher Geometrie, einschließlich der alternierenden kubischen Wabe. Die expandierte kubische Wabe (auch als runcinierte tesseraktische Wabe bekannt) ist geometrisch identisch mit der kubischen Wabe.
| C3 Waben | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Raum Gruppe |
Fibrifold | Verlängert Symmetrie |
Verlängert Diagramm |
Auftrag | Waben |
| Pm3m (221) |
4– –: 2 | [4,3,4] |    
|
× 1 | 1, 2, 3, 4, 5, 6
|
| Fm3m (225) |
2– –: 2 | [1+,4,3,4] ↔ [4,31,1] |
 ↔  
|
Halb | 7, 11, 12, 13
|
| ich43m (217) |
4Ö: 2 | [[(4,3,4,2+)]]] |   
|
Halb × 2 | (7),
|
| Fd3m (227) |
2+: 2 | [[1+,4,3,4,1+]]] ↔ [[3[4]]] |
 ↔  
|
Viertel × 2 | 10,
|
| Ich bin3m (229) |
8Ö: 2 | [[4,3,4]]] |  
|
× 2 |
|
Das [4,31,1], 
Die Coxeter-Gruppe erzeugt 9 Permutationen mit gleichmäßigen Tessellationen, 4 mit unterschiedlicher Geometrie, einschließlich der alternierenden kubischen Wabe.
| B3 Waben | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Raum Gruppe |
Fibrifold | Verlängert Symmetrie |
Verlängert Diagramm |
Auftrag | Waben |
| Fm3m (225) |
2– –: 2 | [4,31,1] ↔ [4,3,4,1+] |
 ↔
|
× 1 | 1, 2, 3, 4
|
| Fm3m (225) |
2– –: 2 | <[1+,4,31,1]> ↔[3[4]]> |
↔
|
× 2 | (1),  (3)
|
| Pm3m (221) |
4– –: 2 | <[4,31,1]> |
|
× 2 |
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Diese Wabe ist eine von fünf verschiedenen einheitlichen Waben[1] gebaut von der
Coxeter-Gruppe. Die Symmetrie kann mit der Symmetrie der Ringe in den Coxeter-Dynkin-Diagrammen multipliziert werden:
Alternative Form[edit]
Diese Wabe kann abgewechselt werden, wodurch pyritoedrische Ikosaeder aus den abgeschnittenen Oktaedern mit in den Lücken erzeugten disphenoiden tetraedrischen Zellen erzeugt werden. Es gibt drei Konstruktionen aus drei verwandten Coxeter-Dynkin-Diagrammen: 
, , und . Diese haben Symmetrie [4,3+,4], [4,(31,1)+] und [3[4]]]+ beziehungsweise. Die erste und letzte Symmetrie kann als verdoppelt werden [[4,3+,4]]und [[3[4]]]+.
Die doppelte Wabe besteht aus Zellen, die als Zehner-Diamanten-Dekaeder bezeichnet werden.
Diese Wabe ist in den Boratomen des α-rhombihedrischen Kristalls dargestellt. Die Zentren der Ikosaeder befinden sich an den fcc-Positionen des Gitters.[2]
Verwandte Polytope[edit]
Ungleichmäßige Varianten mit [4,3,4] Symmetrie und zwei Arten von Oktaederstümpfen können verdoppelt werden, indem die beiden Arten von Oktaederstümpfen platziert werden, um eine ungleichmäßige Wabe mit Oktaederstümpfen und hexagonalen Prismen (als ditrigonale Trapezoprismen) zu erzeugen. Seine Scheitelpunktzahl ist a C.2v-symmetrische dreieckige Bipyramide.
Diese Wabe kann dann abgewechselt werden, um eine weitere ungleichmäßige Wabe mit pyritoedrischen Ikosaedern, Oktaedern (als dreieckige Antiprismen) und Tetraedern (als Sphenoiden) herzustellen. Seine Scheitelpunktfigur hat C.2v Symmetrie und besteht aus 2 Fünfecken, 4 Rechtecken, 4 gleichschenkligen Dreiecken (unterteilt in zwei 2er-Sets) und 4 Skalenendreiecken.
Siehe auch[edit]
Verweise[edit]
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008) Die Symmetrien der Dinge, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitel 21, Benennung der archimedischen und katalanischen Polyeder und Fliesen, Architectonic and Catoptric Tessellations, S. 292-298, enthält alle nichtprismatischen Formen)
- George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuskript (2006) (Vollständige Liste von 11 konvexen gleichmäßigen Fliesen, 28 konvexen gleichmäßigen Waben und 143 konvexen gleichmäßigen Tetracoms)
- Branko Grünbaum, Einheitliche Fliesen im 3-Raum. Geombinatorics 4 (1994), 49 – 56.
- Kaleidoskope: Ausgewählte Schriften von HSM Coxeter, herausgegeben von F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asien Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Papier 22) HSM Coxeter, Regelmäßige und halbregelmäßige Polytope I., [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 Einheitliche Raumfüllungen)
- A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti korrelativ (Auf den regulären und semiregulären Netzen von Polyedern und auf den entsprechenden korrelativen Netzen), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
- Klitzing, Richard. “3D euklidische Waben o4x3x4o – Charge – O16”.
- Einheitliche Waben im 3-Raum: 05-Charge
- Williams, Robert (1979). Die geometrische Grundlage der natürlichen Struktur: Ein Quellbuch des Designs. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.
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