Kontinuumsmechanik – Wikipedia

Posted on December 18, 2020 by lordneo

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Zweig der Mechanik, der sich mit der Analyse der Kinematik und des mechanischen Verhaltens von Materialien befasst, die eher als kontinuierliche Masse als als diskrete Partikel modelliert werden

Kontinuumsmechanik ist ein Zweig der Mechanik, der sich mit dem mechanischen Verhalten von Materialien befasst, die als kontinuierliche Masse und nicht als diskrete Partikel modelliert werden. Der französische Mathematiker Augustin-Louis Cauchy war der erste, der solche Modelle im 19. Jahrhundert formulierte.

Erläuterung[edit]

Die Modellierung eines Objekts als Kontinuum setzt voraus, dass die Substanz des Objekts den Raum, den es einnimmt, vollständig ausfüllt. Das Modellieren von Objekten auf diese Weise ignoriert die Tatsache, dass Materie aus Atomen besteht und daher nicht kontinuierlich ist. Auf Längenskalen, die viel größer sind als die zwischenatomaren Abstände, sind solche Modelle jedoch sehr genau. Grundlegende physikalische Gesetze wie die Erhaltung der Masse, die Erhaltung des Impulses und die Erhaltung der Energie können auf solche Modelle angewendet werden, um Differentialgleichungen abzuleiten, die das Verhalten solcher Objekte beschreiben, und einige Informationen über das untersuchte Material werden durch konstitutive Beziehungen hinzugefügt .

Die Kontinuumsmechanik befasst sich mit physikalischen Eigenschaften von Festkörpern und Flüssigkeiten, die unabhängig von einem bestimmten Koordinatensystem sind, in dem sie beobachtet werden. Diese physikalischen Eigenschaften werden dann durch Tensoren dargestellt, bei denen es sich um mathematische Objekte handelt, die die erforderliche Eigenschaft haben, vom Koordinatensystem unabhängig zu sein. Diese Tensoren können zur Vereinfachung der Berechnung in Koordinatensystemen ausgedrückt werden.

Konzept eines Kontinuums[edit]

Materialien wie Feststoffe, Flüssigkeiten und Gase bestehen aus durch den Raum getrennten Molekülen. Im mikroskopischen Maßstab weisen Materialien Risse und Diskontinuitäten auf. Bestimmte physikalische Phänomene können jedoch unter der Annahme modelliert werden, dass die Materialien als a existieren Kontinuum, dh die Materie im Körper ist kontinuierlich verteilt und füllt den gesamten Raumbereich aus, den sie einnimmt. Ein Kontinuum ist ein Körper, der kontinuierlich in infinitesimale Elemente unterteilt werden kann, wobei die Eigenschaften die des Schüttguts sind.

Die Gültigkeit der Kontinuumsannahme kann durch eine theoretische Analyse überprüft werden, bei der entweder eine eindeutige Periodizität festgestellt wird oder statistische Homogenität und Ergodizität der Mikrostruktur vorliegt. Insbesondere hängt die Kontinuumshypothese / -annahme von den Konzepten eines repräsentativen Elementarvolumens und der Trennung von Skalen basierend auf der Hill-Mandel-Bedingung ab. Diese Bedingung stellt eine Verbindung zwischen dem Standpunkt eines Experimentators und eines Theoretikers zu konstitutiven Gleichungen (lineare und nichtlineare elastische / unelastische oder gekoppelte Felder) sowie eine Möglichkeit zur räumlichen und statistischen Mittelung der Mikrostruktur her.^{[page needed]}

Wenn die Skalentrennung nicht zutrifft oder wenn man ein Kontinuum mit einer feineren Auflösung als der Größe des repräsentativen Volumenelements (RVE) erstellen möchte, verwendet man a statistisches Volumenelement (SVE), was wiederum zu zufälligen Kontinuumsfeldern führt. Letztere bieten dann eine mikromechanische Grundlage für stochastische finite Elemente (SFE). Die Ebenen von SVE und RVE verbinden die Kontinuumsmechanik mit der statistischen Mechanik. Die RVE kann nur in begrenztem Umfang durch experimentelle Tests bewertet werden: wenn die konstitutive Reaktion räumlich homogen wird.

Speziell für Flüssigkeiten wird anhand der Knudsen-Zahl beurteilt, inwieweit die Annäherung an die Kontinuität erfolgen kann.

Autoverkehr als einleitendes Beispiel[edit]

Betrachten Sie der Einfachheit halber den Autoverkehr auf einer Autobahn mit nur einer Spur. Etwas überraschend und als Hommage an seine Wirksamkeit modelliert die Kontinuumsmechanik die Bewegung von Autos effektiv über eine partielle Differentialgleichung (PDE) für die Dichte von Autos. Die Vertrautheit mit dieser Situation ermöglicht es uns, ein wenig von der kontinuumsdiskreten Dichotomie zu verstehen, die der Kontinuumsmodellierung im Allgemeinen zugrunde liegt.

Um mit der Modellierung zu beginnen, definieren Sie Folgendes:

{ displaystyle x}

$x$ misst die Entfernung (in km) entlang der Autobahn;

{ displaystyle t}

$t$ ist Zeit (in Minuten);

{ displaystyle rho (x, t)}

$rho (x, t)$ ist die Dichte der Autos auf der Autobahn (in Autos / km auf der Fahrspur); und

{ displaystyle u (x, t)}

$u (x, t)$ ist die Strömungsgeschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit) dieser Autos an der Position

{ displaystyle x}

$x$ .

Die Erhaltung leitet eine PDE (Partial Differential Equation) ab.[edit]

Autos erscheinen und verschwinden nicht. Betrachten Sie eine beliebige Gruppe von Autos: von dem bestimmten Auto auf der Rückseite der Gruppe, die sich bei befindet

{displaystyle x=a <dl> <dd><span class=

{displaystyle {begin{aligned}{}{frac {dN}{dt}}&={frac {d}{dt}}int _{a <dl> <dd><span class=

{ displaystyle { frac { partiell rho} { partiell t}} + { frac { partiell} { partiell x}} ( rho u) = 0}

${ frac { partiell rho} { partiell t}} + { frac { partiell} { partiell x}} ( rho u) = 0$

für alle Positionen auf der Autobahn.

Diese Schutz-PDE gilt nicht nur für den Autoverkehr, sondern auch für Flüssigkeiten, Feststoffe, Menschenmengen, Tiere, Pflanzen, Buschfeuer, Finanzhändler usw.

Beobachtung schließt das Problem[edit]

Die vorherige PDE ist eine Gleichung mit zwei Unbekannten, daher wird eine andere Gleichung benötigt, um ein gut gestelltes Problem zu bilden. Eine solche zusätzliche Gleichung wird typischerweise in der Kontinuumsmechanik benötigt und stammt typischerweise aus Experimenten. Für den Autoverkehr ist bekannt, dass Autos in der Regel mit einer Geschwindigkeit fahren, die von der Dichte abhängt.

{ displaystyle u = V ( rho)}

$u = V ( rho)$ für eine experimentell bestimmte Funktion

{ displaystyle V}

$V.$ das ist eine abnehmende Funktion der Dichte. Zum Beispiel fanden Experimente im Lincoln Tunnel, dass eine gute Anpassung (außer bei geringer Dichte) durch erhalten wird

{ displaystyle u = V ( rho) = 27,5 ln (142 / rho)}

$u = V ( rho) = 27,5 ln (142 / rho)$ (km / h für die Dichte in Autos / km).^{[page needed]}

Das grundlegende Kontinuumsmodell für den Autoverkehr ist daher die PDE

{ displaystyle { frac { partiell rho} { partiell t}} + { frac { partiell} { partiell x}}[rho V(rho )]= 0}

für die Autodichte

{ displaystyle rho (x, t)}

$rho (x, t)$ auf der Autobahn.

Hauptbereiche[edit]

Kontinuumsmechanik Das Studium der Physik kontinuierlicher Materialien	Feste Mechanik Das Studium der Physik kontinuierlicher Materialien mit definierter Ruheform.	Elastizität Beschreibt Materialien, die nach dem Entfernen der angelegten Spannungen wieder in ihre Ruheform zurückkehren.
		Plastizität Beschreibt Materialien, die sich nach einer ausreichenden Belastung dauerhaft verformen.	Rheologie Die Untersuchung von Materialien mit festen und flüssigen Eigenschaften.
	Strömungsmechanik Das Studium der Physik kontinuierlicher Materialien, die sich bei Krafteinwirkung verformen.	Nicht-Newtonsche Flüssigkeiten unterliegen keinen Dehnungsraten, die proportional zur angelegten Scherspannung sind.
		Newtonsche Flüssigkeiten unterliegen Dehnungsraten, die proportional zur angelegten Scherspannung sind.

Ein weiterer Bereich der Kontinuumsmechanik sind Elastomerschäume, die eine merkwürdige hyperbolische Spannungs-Dehnungs-Beziehung aufweisen. Das Elastomer ist ein echtes Kontinuum, aber eine homogene Verteilung der Hohlräume verleiht ihm ungewöhnliche Eigenschaften.

Formulierung von Modellen[edit]

Abbildung 1. Konfiguration eines Kontinuumskörpers

Modelle der Kontinuumsmechanik beginnen damit, dem materiellen Körper eine Region im dreidimensionalen euklidischen Raum zuzuweisen

{ displaystyle { mathcal {B}}}

${ mathcal {B}}$ modelliert werden. Die Punkte in diesem Bereich werden als Partikel oder Materialpunkte bezeichnet. Anders Konfigurationen oder Zustände des Körpers entsprechen verschiedenen Regionen im euklidischen Raum. Die Region, die der Konfiguration des Körpers zum Zeitpunkt entspricht

{ displaystyle t}

$t$ ist beschriftet

{ displaystyle kappa _ {t} ({ mathcal {B}})}

$kappa _ {t} ({ mathcal {B}})$ .

Ein bestimmtes Teilchen im Körper in einer bestimmten Konfiguration ist durch einen Positionsvektor gekennzeichnet

{ displaystyle mathbf {x} = sum _ {i = 1} ^ {3} x_ {i} mathbf {e} _ {i},}

{ displaystyle mathbf {e} _ {i}}

$mathbf {e} _ {i}$ sind die Koordinatenvektoren in einem Referenzrahmen, die für das Problem ausgewählt wurden (siehe Abbildung 1). Dieser Vektor kann als Funktion der Partikelposition ausgedrückt werden

{ displaystyle mathbf {X}}

$mathbf {X}$ in einigen Referenzkonfiguration, zum Beispiel die Konfiguration zum ersten Mal, so dass

{ displaystyle mathbf {x} = kappa _ {t} ( mathbf {X}).}

Diese Funktion muss verschiedene Eigenschaften haben, damit das Modell physikalisch sinnvoll ist.

{ displaystyle kappa _ {t} ( cdot)}

$kappa _ {t} ( cdot)$ muss sein:

zeitlich kontinuierlich, so dass sich der Körper auf realistische Weise verändert,
jederzeit global invertierbar, so dass sich der Körper nicht selbst schneiden kann,
Orientierungserhaltung, da Transformationen, die Spiegelreflexionen erzeugen, in der Natur nicht möglich sind.

Für die mathematische Formulierung des Modells

{ displaystyle kappa _ {t} ( cdot)}

$kappa _ {t} ( cdot)$ wird auch als zweimal kontinuierlich differenzierbar angenommen, so dass Differentialgleichungen formuliert werden können, die die Bewegung beschreiben.

Kräfte in einem Kontinuum[edit]

Die Kontinuumsmechanik befasst sich mit verformbaren Körpern im Gegensatz zu starren Körpern. Ein Feststoff ist ein verformbarer Körper, der Scherfestigkeit besitzt. sc. Ein Festkörper kann Scherkräfte aufnehmen (Kräfte parallel zur Materialoberfläche, auf die sie wirken). Flüssigkeiten hingegen halten keine Scherkräfte aus. Für die Untersuchung des mechanischen Verhaltens von Festkörpern und Flüssigkeiten wird angenommen, dass es sich um kontinuierliche Körper handelt. Dies bedeutet, dass die Materie den gesamten Raumbereich ausfüllt, den sie einnimmt, obwohl Materie aus Atomen besteht, Hohlräume aufweist und diskret ist. Wenn sich die Kontinuumsmechanik auf einen Punkt oder ein Teilchen in einem kontinuierlichen Körper bezieht, beschreibt sie daher keinen Punkt im interatomaren Raum oder ein Atomteilchen, sondern einen idealisierten Teil des Körpers, der diesen Punkt einnimmt.

In Anlehnung an die klassische Dynamik von Newton und Euler wird die Bewegung eines materiellen Körpers durch die Einwirkung von von außen aufgebrachten Kräften erzeugt, von denen angenommen wird, dass es zwei Arten gibt: Oberflächenkräfte

{ displaystyle mathbf {F} _ {C}}

$mathbf {F} _ {C}$ und Körperkräfte

{ displaystyle mathbf {F} _ {B}}

$mathbf {F} _ {B}$ .^{[full citation needed]} Somit ist die Gesamtkraft

{ displaystyle { mathcal {F}}}

${ mathcal {F}}$ angewendet auf einen Körper oder auf einen Teil des Körpers kann ausgedrückt werden als:

{ displaystyle { mathcal {F}} = mathbf {F} _ {C} + mathbf {F} _ {B}}

Oberflächenkräfte[edit]

Oberflächenkräfte oder Kontaktkräfte, ausgedrückt als Kraft pro Flächeneinheit, kann entweder auf die Begrenzungsfläche des Körpers als Ergebnis eines mechanischen Kontakts mit anderen Körpern oder auf imaginäre innere Oberflächen wirken, die Teile des Körpers infolge der mechanischen Wechselwirkung zwischen den Körpern binden Körperteile zu beiden Seiten der Oberfläche (Euler-Cauchys Spannungsprinzip). Wenn ein Körper von externen Kontaktkräften beaufschlagt wird, werden interne Kontaktkräfte von Punkt zu Punkt innerhalb des Körpers übertragen, um ihre Wirkung gemäß Newtons drittem Bewegungsgesetz zur Erhaltung des linearen Impulses und des Drehimpulses auszugleichen (für kontinuierliche Körper diese Gesetze werden die Euler-Bewegungsgleichungen genannt). Die inneren Kontaktkräfte hängen durch konstitutive Gleichungen mit der Verformung des Körpers zusammen. Die inneren Kontaktkräfte können mathematisch beschrieben werden, indem sie sich auf die Bewegung des Körpers beziehen, unabhängig von der materiellen Zusammensetzung des Körpers.^{[full citation needed]}

Die Verteilung der inneren Kontaktkräfte über das Volumen des Körpers wird als kontinuierlich angenommen. Daher gibt es eine Kontaktkraftdichte oder Cauchy Traktionsfeld^{[full citation needed]}

{ displaystyle mathbf {T} ( mathbf {n}, mathbf {x}, t)}

$mathbf {T} ( mathbf {n}, mathbf {x}, t)$ das repräsentiert diese Verteilung in einer bestimmten Konfiguration des Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt

{ displaystyle t , !}

$t , !$ . Es ist kein Vektorfeld, da es nicht nur von der Position abhängt

{ displaystyle mathbf {x}}

$mathbf {x}$ eines bestimmten Materialpunktes, aber auch auf die lokale Ausrichtung des Oberflächenelements, wie durch seinen Normalenvektor definiert

{ displaystyle mathbf {n}}

$mathbf {n}$ .^{[page needed]}

Beliebiger Differenzbereich

{ displaystyle dS , !}

$dS , !$ mit normalem Vektor

{ displaystyle mathbf {n}}

$mathbf {n}$ einer gegebenen inneren Oberfläche

{ displaystyle S , !}

$S , !$ Wenn ein Teil des Körpers begrenzt wird, erfährt er eine Kontaktkraft

{ displaystyle d mathbf {F} _ {C} , !}

$d mathbf {F} _ {C} , !$ entsteht aus dem Kontakt zwischen beiden Körperteilen auf jeder Seite von

{ displaystyle S , !}

$S , !$ und es ist gegeben durch

{ displaystyle d mathbf {F} _ {C} = mathbf {T} ^ {( mathbf {n})} , dS}

{ displaystyle mathbf {T} ^ {( mathbf {n})}}

$mathbf {T} ^ {( mathbf {n})}$ ist der Oberflächentraktion,^{[full citation needed]} auch genannt Spannungsvektor,^{[full citation needed]}Traktion,^{[page needed]} oder Traktionsvektor.^{[full citation needed]} Der Spannungsvektor ist ein rahmenindifferenter Vektor (siehe Euler-Cauchys Spannungsprinzip).

Die gesamte Kontaktkraft auf die jeweilige Innenfläche

{ displaystyle S , !}

$S , !$ wird dann als die Summe (Oberflächenintegral) der Kontaktkräfte auf allen Differentialflächen ausgedrückt

{ displaystyle dS , !}

$dS , !$ ::

{ displaystyle mathbf {F} _ {C} = int _ {S} mathbf {T} ^ {( mathbf {n})} , dS}

In der Kontinuumsmechanik gilt ein Körper als spannungsfrei, wenn nur die interatomaren Kräfte (ionische, metallische und van der Waals-Kräfte) vorhanden sind, die erforderlich sind, um den Körper zusammenzuhalten und seine Form ohne äußere Einflüsse zu erhalten , einschließlich Anziehungskraft.^{[full citation needed]}^{[full citation needed]} Spannungen, die während der Herstellung des Körpers in einer bestimmten Konfiguration erzeugt werden, werden ebenfalls ausgeschlossen, wenn Spannungen in einem Körper berücksichtigt werden. Daher sind die in der Kontinuumsmechanik berücksichtigten Spannungen nur diejenigen, die durch Verformung des Körpers erzeugt werden. sc. Es werden nur relative Spannungsänderungen berücksichtigt, nicht die absoluten Spannungswerte.

Körperkräfte[edit]

Körperkräfte sind Kräfte, die von Quellen außerhalb des Körpers stammen^{[full citation needed]} die auf das Volumen (oder die Masse) des Körpers einwirken. Zu sagen, dass Körperkräfte auf äußere Quellen zurückzuführen sind, impliziert, dass sich die Wechselwirkung zwischen verschiedenen Körperteilen (innere Kräfte) allein durch die Kontaktkräfte manifestiert.^{[full citation needed]} Diese Kräfte entstehen durch die Anwesenheit des Körpers in Kraftfeldern, z.B Gravitationsfeld (Gravitationskräfte) oder elektromagnetisches Feld (elektromagnetische Kräfte) oder Trägheitskräfte, wenn Körper in Bewegung sind. Da angenommen wird, dass die Masse eines kontinuierlichen Körpers kontinuierlich verteilt ist, wird auch jede von der Masse ausgehende Kraft kontinuierlich verteilt. Somit werden Körperkräfte durch Vektorfelder spezifiziert, von denen angenommen wird, dass sie über das gesamte Volumen des Körpers kontinuierlich sind.^{[full citation needed]}dh auf jeden Punkt darin einwirken. Körperkräfte werden durch eine Körperkraftdichte dargestellt

{ displaystyle mathbf {b} ( mathbf {x}, t)}

$mathbf {b} ( mathbf {x}, t)$ (pro Masseneinheit), das ist ein rahmenindifferentes Vektorfeld.

Bei Gravitationskräften hängt die Intensität der Kraft von der Massendichte ab oder ist proportional dazu

{ displaystyle mathbf { rho} ( mathbf {x}, t) , !}

$mathbf { rho} ( mathbf {x}, t) , !$ des Materials, und es wird in Bezug auf die Kraft pro Masseneinheit angegeben (

{ displaystyle b_ {i} , !}

$Bi},!$ ) oder pro Volumeneinheit (

{ displaystyle p_ {i} , !}

$Pi},!$ ). Diese beiden Spezifikationen werden durch die Materialdichte durch die Gleichung in Beziehung gesetzt

{ displaystyle rho b_ {i} = p_ {i} , !}

$rho b_ {i} = p_ {i} , !$ . In ähnlicher Weise hängt die Intensität der elektromagnetischen Kräfte von der Stärke (elektrische Ladung) des elektromagnetischen Feldes ab.

Die auf einen kontinuierlichen Körper ausgeübte Gesamtkörperkraft wird ausgedrückt als

{ displaystyle mathbf {F} _ {B} = int _ {V} mathbf {b} , dm = int _ {V} rho mathbf {b} , dV}

Körperkräfte und Kontaktkräfte, die auf den Körper wirken, führen zu entsprechenden Kraftmomenten (Drehmomenten) relativ zu einem bestimmten Punkt. Somit ist das gesamte angelegte Drehmoment

{ displaystyle { mathcal {M}}}

${ mathcal {M}}$ über den Ursprung ist gegeben durch

{ displaystyle { mathcal {M}} = mathbf {M} _ {C} + mathbf {M} _ {B}}

In bestimmten Situationen, die bei der Analyse des mechanischen Verhaltens von Materialien nicht häufig berücksichtigt werden, müssen zwei andere Arten von Kräften berücksichtigt werden: Paar Stress^{[note 1]}^{[note 2]} (Oberflächenpaare,^{[full citation needed]} Kontaktdrehmomente)^{[full citation needed]} und Körpermomente. Paarspannungen sind Momente pro Flächeneinheit, die auf eine Oberfläche ausgeübt werden. Körpermomente oder Körperpaare sind Momente pro Volumeneinheit oder pro Masseneinheit, die auf das Volumen des Körpers angewendet werden. Beides ist wichtig für die Spannungsanalyse eines polarisierten dielektrischen Festkörpers unter Einwirkung eines elektrischen Feldes, Materialien, bei denen die Molekülstruktur berücksichtigt wird (z.B Knochen), Feststoffe unter Einwirkung eines externen Magnetfeldes und die Versetzungstheorie von Metallen.^{[full citation needed]}^{[page needed]}^{[full citation needed]}

Man nennt Materialien, die neben Momenten, die ausschließlich durch Kräfte erzeugt werden, Körperpaare und Paarspannungen aufweisen polare Materialien.^{[page needed]}^{[full citation needed]}Unpolare Materialien sind dann jene Materialien mit nur Momenten von Kräften. In den klassischen Zweigen der Kontinuumsmechanik basiert die Entwicklung der Spannungstheorie auf unpolaren Materialien.

Somit kann die Summe aller im Körper ausgeübten Kräfte und Drehmomente (in Bezug auf den Ursprung des Koordinatensystems) angegeben werden durch

{ displaystyle { mathcal {F}} = int _ {V} mathbf {a} , dm = int _ {S} mathbf {T} , dS + int _ {V} rho mathbf {b} , dV}

{ displaystyle { mathcal {M}} = int _ {S} mathbf {r} times mathbf {T} , dS + int _ {V} mathbf {r} times rho mathbf { b} , dV}

Kinematik: Bewegung und Verformung[edit]

Abbildung 2. Bewegung eines Kontinuumskörpers.

Eine Änderung der Konfiguration eines Kontinuumskörpers führt zu einer Verschiebung. Die Verschiebung eines Körpers besteht aus zwei Komponenten: einer Starrkörperverschiebung und einer Verformung. Eine Starrkörperverschiebung besteht aus einer gleichzeitigen Verschiebung und Drehung des Körpers, ohne seine Form oder Größe zu ändern. Deformation impliziert die Änderung der Form und / oder Größe des Körpers von einer anfänglichen oder nicht deformierten Konfiguration

{ displaystyle kappa _ {0} ({ mathcal {B}})}

$kappa _ {0} ({ mathcal {B}})$ zu einer aktuellen oder deformierten Konfiguration

{ displaystyle kappa _ {t} ({ mathcal {B}})}

$kappa _ {t} ({ mathcal {B}})$ (Figur 2).

Die Bewegung eines Kontinuumskörpers ist eine kontinuierliche zeitliche Abfolge von Verschiebungen. Somit nimmt der Materialkörper zu unterschiedlichen Zeiten unterschiedliche Konfigurationen ein, so dass ein Teilchen eine Reihe von Punkten im Raum einnimmt, die eine Pfadlinie beschreiben.

Es gibt Kontinuität während der Bewegung oder Verformung eines Kontinuumskörpers in dem Sinne, dass:

Die Materialpunkte, die zu jedem Zeitpunkt eine geschlossene Kurve bilden, bilden zu jedem späteren Zeitpunkt immer eine geschlossene Kurve.
Die Materialpunkte, die zu jedem Zeitpunkt eine geschlossene Oberfläche bilden, bilden zu jedem späteren Zeitpunkt immer eine geschlossene Oberfläche, und die Materie innerhalb der geschlossenen Oberfläche bleibt immer innerhalb.

Es ist zweckmäßig, eine Referenzkonfiguration oder einen Anfangszustand zu identifizieren, von dem aus alle nachfolgenden Konfigurationen referenziert werden. Die Referenzkonfiguration muss nicht eine sein, die der Körper jemals einnehmen wird. Oft ist die Konfiguration bei

{ displaystyle t = 0}

$t = 0$ wird als Referenzkonfiguration betrachtet,

{ displaystyle kappa _ {0} ({ mathcal {B}})}

$kappa _ {0} ({ mathcal {B}})$ . Die Komponenten

{ displaystyle X_ {i}}

$X_ {i}$ des Positionsvektors

{ displaystyle mathbf {X}}

$mathbf {X}$ eines Partikels, bezogen auf die Referenzkonfiguration, werden als Material- oder Referenzkoordinaten bezeichnet.

Bei der Analyse der Bewegung oder Verformung von Festkörpern oder des Flüssigkeitsflusses muss die zeitliche Abfolge oder Entwicklung von Konfigurationen beschrieben werden. Eine Beschreibung für die Bewegung erfolgt in Bezug auf das Material oder die Referenzkoordinaten, die als Materialbeschreibung oder Lagrange-Beschreibung bezeichnet werden.

Lagrange-Beschreibung[edit]

In der Lagrange-Beschreibung werden die Position und die physikalischen Eigenschaften der Partikel in Bezug auf das Material oder die Referenzkoordinaten und die Zeit beschrieben. In diesem Fall Die Referenzkonfiguration ist die Konfiguration unter

${ displaystyle t = 0}$

$t = 0$ . Ein Beobachter, der im Referenzrahmen steht, beobachtet die Änderungen der Position und der physikalischen Eigenschaften, wenn sich der materielle Körper im Laufe der Zeit im Raum bewegt. Die erhaltenen Ergebnisse sind unabhängig von der Wahl der Anfangszeit und der Referenzkonfiguration.

{ displaystyle kappa _ {0} ({ mathcal {B}})}

$kappa _ {0} ({ mathcal {B}})$ . Diese Beschreibung wird normalerweise in der Festkörpermechanik verwendet.

In der Lagrange-Beschreibung wird die Bewegung eines Kontinuumskörpers durch die Abbildungsfunktion ausgedrückt

{ displaystyle chi ( cdot)}

$chi ( cdot)$ (Figur 2),

{ displaystyle mathbf {x} = chi ( mathbf {X}, t)}

Dies ist eine Zuordnung der Erstkonfiguration

{ displaystyle kappa _ {0} ({ mathcal {B}})}

$kappa _ {0} ({ mathcal {B}})$ auf die aktuelle Konfiguration

{ displaystyle kappa _ {t} ({ mathcal {B}})}

$kappa _ {t} ({ mathcal {B}})$ Geben einer geometrischen Entsprechung zwischen ihnen, dh Geben des Positionsvektors

{ displaystyle mathbf {x} = x_ {i} mathbf {e} _ {i}}

$mathbf {x} = x_ {i} mathbf {e} _ {i}$ dass ein Teilchen

{ displaystyle X}

$X.$ mit einem Positionsvektor

{ displaystyle mathbf {X}}

$mathbf {X}$ in der unverformten oder Referenzkonfiguration

{ displaystyle kappa _ {0} ({ mathcal {B}})}

$kappa _ {0} ({ mathcal {B}})$ wird in der aktuellen oder deformierten Konfiguration belegt

{ displaystyle kappa _ {t} ({ mathcal {B}})}

$kappa _ {t} ({ mathcal {B}})$ zum Zeitpunkt

{ displaystyle t}

$t$ . Die Komponenten

{ displaystyle x_ {i}}

$x_ {i}$ werden die Raumkoordinaten genannt.

Physikalische und kinematische Eigenschaften

{ displaystyle P_ {ij ldots}}

$P_ {ij ldots}$ dh thermodynamische Eigenschaften und Strömungsgeschwindigkeit, die Merkmale des Materialkörpers beschreiben oder charakterisieren, werden als kontinuierliche Funktionen von Position und Zeit ausgedrückt, d.h.

{ displaystyle P_ {ij ldots} = P_ {ij ldots} ( mathbf {X}, t)}

$P_ {ij ldots} = P_ {ij ldots} ( mathbf {X}, t)$ .

Das materielle Derivat einer Eigenschaft

{ displaystyle P_ {ij ldots}}

$P_ {ij ldots}$ eines Kontinuums, das ein Skalar, ein Vektor oder ein Tensor sein kann, ist die zeitliche Änderungsrate dieser Eigenschaft für eine bestimmte Gruppe von Partikeln des sich bewegenden Kontinuumskörpers. Das Materialderivat ist auch als das bekannt wesentliche Ableitung, oder Comoving Derivat, oder konvektive Ableitung. Es kann als die Geschwindigkeit angesehen werden, mit der sich die Eigenschaft ändert, wenn sie von einem Beobachter gemessen wird, der mit dieser Gruppe von Partikeln reist.

In der Lagrange-Beschreibung ist die materielle Ableitung von

{ displaystyle P_ {ij ldots}}

$P_ {ij ldots}$ ist einfach die partielle Ableitung in Bezug auf die Zeit und den Positionsvektor

{ displaystyle mathbf {X}}

$mathbf {X}$ wird konstant gehalten, da es sich nicht mit der Zeit ändert. So haben wir

{ displaystyle { frac {d} {dt}}[P_{ijldots }(mathbf {X} ,t)]= { frac { teilweise} { teilweise t}}[P_{ijldots }(mathbf {X} ,t)]}}

Die momentane Position

{ displaystyle mathbf {x}}

$mathbf {x}$ ist eine Eigenschaft eines Teilchens, und sein Materialderivat ist das momentane Strömungsgeschwindigkeit

{ displaystyle mathbf {v}}

$mathbf {v}$ des Teilchens. Daher ist das Strömungsgeschwindigkeitsfeld des Kontinuums gegeben durch

{ displaystyle mathbf {v} = { dot { mathbf {x}}} = { frac {d mathbf {x}} {dt}} = { frac { teilweise chi ( mathbf { X}, t)} { partielle t}}}

In ähnlicher Weise ist das Beschleunigungsfeld gegeben durch

{ displaystyle mathbf {a} = { dot { mathbf {v}}} = { ddot { mathbf {x}}} = { frac {d ^ {2} mathbf {x}} { dt ^ {2}}} = { frac { teilweise ^ {2} chi ( mathbf {X}, t)} { teilweise t ^ {2}}}}

Die Kontinuität in der Lagrange-Beschreibung wird durch die räumliche und zeitliche Kontinuität der Abbildung von der Referenzkonfiguration zur aktuellen Konfiguration der Materialpunkte ausgedrückt. Alle physikalischen Größen, die das Kontinuum charakterisieren, werden auf diese Weise beschrieben. In diesem Sinne die Funktion

{ displaystyle chi ( cdot)}

$chi ( cdot)$ und

{ displaystyle P_ {ij ldots} ( cdot)}

$P_ {ij ldots} ( cdot)$ sind einwertig und stetig, mit kontinuierlichen Ableitungen in Bezug auf Raum und Zeit in jeder erforderlichen Reihenfolge, normalerweise in der zweiten oder dritten.

Eulersche Beschreibung[edit]

Kontinuität ermöglicht die Umkehrung von

{ displaystyle chi ( cdot)}

$chi ( cdot)$ rückwärts verfolgen, wo sich das Partikel gerade befindet

{ displaystyle mathbf {x}}

$mathbf {x}$ befand sich in der ursprünglichen oder referenzierten Konfiguration

{ displaystyle kappa _ {0} ({ mathcal {B}})}

$kappa _ {0} ({ mathcal {B}})$ . In diesem Fall erfolgt die Beschreibung der Bewegung anhand der Raumkoordinaten. In diesem Fall wird sie als Raumbeschreibung oder Eulersche Beschreibung bezeichnet, d. H. Die aktuelle Konfiguration wird als Referenzkonfiguration verwendet.

Die von d’Alembert eingeführte Eulersche Beschreibung konzentriert sich auf die aktuelle Konfiguration

{ displaystyle kappa _ {t} ({ mathcal {B}})}

$kappa _ {t} ({ mathcal {B}})$ Dabei wird darauf geachtet, was im Laufe der Zeit an einem festen Punkt im Raum geschieht, anstatt auf einzelne Teilchen zu achten, die sich durch Raum und Zeit bewegen. Dieser Ansatz wird zweckmäßigerweise bei der Untersuchung des Flüssigkeitsflusses angewendet, bei dem die kinematische Eigenschaft von größtem Interesse die Geschwindigkeit ist, mit der eine Änderung stattfindet, und nicht die Form des Flüssigkeitskörpers zu einem Referenzzeitpunkt.

Mathematisch wird die Bewegung eines Kontinuums unter Verwendung der Eulerschen Beschreibung durch die Abbildungsfunktion ausgedrückt

{ displaystyle mathbf {X} = chi ^ {- 1} ( mathbf {x}, t)}

Dies liefert eine Verfolgung des Partikels, das nun die Position einnimmt

{ displaystyle mathbf {x}}

$mathbf {x}$ in der aktuellen Konfiguration

{ displaystyle kappa _ {t} ({ mathcal {B}})}

$kappa _ {t} ({ mathcal {B}})$ in seine ursprüngliche Position

{ displaystyle mathbf {X}}

$mathbf {X}$ in der Erstkonfiguration

{ displaystyle kappa _ {0} ({ mathcal {B}})}

$kappa _ {0} ({ mathcal {B}})$ .

Eine notwendige und ausreichende Bedingung für die Existenz dieser Umkehrfunktion ist, dass die Determinante der Jacobi-Matrix, die oft einfach als Jacobi bezeichnet wird, von Null verschieden sein sollte. So,

{ displaystyle J = left | { frac { teilweise chi _ {i}} { partielle X_ {J}}} rechts | = links | { frac { partielle x_ {i}} { partielle X_ {J}}} rechts | neq 0}

In der Eulerschen Beschreibung die physikalischen Eigenschaften

{ displaystyle P_ {ij ldots}}

$P_ {ij ldots}$ werden ausgedrückt als

{ displaystyle P_ {ij ldots} = P_ {ij ldots} ( mathbf {X}, t) = P_ {ij ldots}[chi ^{-1}(mathbf {x} ,t),t]= p_ {ij ldots} ( mathbf {x}, t)}

wo die funktionale Form von

{ displaystyle P_ {ij ldots}}

$P_ {ij ldots}$ in der Lagrange-Beschreibung ist nicht die gleiche wie die Form von

{ displaystyle p_ {ij ldots}}

$p_ {ij ldots}$ in der Eulerschen Beschreibung.

Das materielle Derivat von

{ displaystyle p_ {ij ldots} ( mathbf {x}, t)}

$p_ {ij ldots} ( mathbf {x}, t)$ ist dann unter Verwendung der Kettenregel

{ displaystyle { frac {d} {dt}}[p_{ijldots }(mathbf {x} ,t)]= { frac { teilweise} { teilweise t}}[p_{ijldots }(mathbf {x} ,t)]+ { frac { partielle} { partielle x_ {k}}}[p_{ijldots }(mathbf {x} ,t)]{ frac {dx_ {k}} {dt}}}

Der erste Term auf der rechten Seite dieser Gleichung gibt die lokale Änderungsrate des Eigentums

{ displaystyle p_ {ij ldots} ( mathbf {x}, t)}

$p_ {ij ldots} ( mathbf {x}, t)$ an der Position auftreten

{ displaystyle mathbf {x}}

$mathbf {x}$ . Der zweite Term auf der rechten Seite ist der konvektive Änderungsrate und drückt den Beitrag der Teilchenänderungsposition im Raum (Bewegung) aus.

Die Kontinuität in der Eulerschen Beschreibung wird durch die räumliche und zeitliche Kontinuität und kontinuierliche Differenzierbarkeit des Strömungsgeschwindigkeitsfeldes ausgedrückt. Alle physikalischen Größen werden in der aktuellen Konfiguration zu jedem Zeitpunkt auf diese Weise als Funktion der Vektorposition definiert

{ displaystyle mathbf {x}}

$mathbf {x}$ .

Verschiebungsfeld[edit]

Der Vektor, der die Positionen eines Teilchens verbindet

{ displaystyle P}

$P.$ in der unverformten Konfiguration wird die verformte Konfiguration als Verschiebungsvektor bezeichnet

{ displaystyle mathbf {u} ( mathbf {X}, t) = u_ {i} mathbf {e} _ {i}}

$mathbf {u} ( mathbf {X}, t) = u_ {i} mathbf {e} _ {i}$ in der Lagrange-Beschreibung oder

{ displaystyle mathbf {U} ( mathbf {x}, t) = U_ {J} mathbf {E} _ {J}}

$mathbf {U} ( mathbf {x}, t) = U_ {J} mathbf {E} _ {J}$ in der Eulerschen Beschreibung.

EIN Verschiebungsfeld ist ein Vektorfeld aller Verschiebungsvektoren für alle Partikel im Körper, das die deformierte Konfiguration mit der nicht deformierten Konfiguration in Beziehung setzt. Es ist zweckmäßig, die Analyse der Verformung oder Bewegung eines Kontinuumskörpers in Bezug auf das Verschiebungsfeld durchzuführen. Im Allgemeinen wird das Verschiebungsfeld in Form der Materialkoordinaten ausgedrückt als

{ displaystyle mathbf {u} ( mathbf {X}, t) = mathbf {b} + mathbf {x} ( mathbf {X}, t) – mathbf {X} qquad { text {oder}} qquad u_ {i} = alpha _ {iJ} b_ {J} + x_ {i} – alpha _ {iJ} X_ {J}}

oder in Bezug auf die Raumkoordinaten als

{ displaystyle mathbf {U} ( mathbf {x}, t) = mathbf {b} + mathbf {x} – mathbf {X} ( mathbf {x}, t) qquad { text {oder}} qquad U_ {J} = b_ {J} + alpha _ {Ji} x_ {i} -X_ {J} ,}

{ displaystyle alpha _ {Ji}}

$alpha _ {Ji}$ sind die Richtungskosinusse zwischen dem Material- und dem Raumkoordinatensystem mit Einheitsvektoren

{ displaystyle mathbf {E} _ {J}}

$mathbf {E} _ {J}$ und

{ displaystyle mathbf {e} _ {i}}

$mathbf {e} _ {i}$ , beziehungsweise. So

{ displaystyle mathbf {E} _ {J} cdot mathbf {e} _ {i} = alpha _ {Ji} = alpha _ {iJ}}

und die Beziehung zwischen

{ displaystyle u_ {i}}

$u_ {i}$ und

{ displaystyle U_ {J}}

$U_ {J}$ ist dann gegeben durch

{ displaystyle u_ {i} = alpha _ {iJ} U_ {J} qquad { text {oder}} qquad U_ {J} = alpha _ {Ji} u_ {i}}

Wissend, dass

{ displaystyle mathbf {e} _ {i} = alpha _ {iJ} mathbf {E} _ {J}}

dann

{ displaystyle mathbf {u} ( mathbf {X}, t) = u_ {i} mathbf {e} _ {i} = u_ {i} ( alpha _ {iJ} mathbf {E} _ { J}) = U_ {J} mathbf {E} _ {J} = mathbf {U} ( mathbf {x}, t)}

Es ist üblich, die Koordinatensysteme für die unverformten und verformten Konfigurationen zu überlagern, was zu führt

{ displaystyle mathbf {b} = 0}

$mathbf {b} = 0$ und die Richtungskosinusse werden zu Kronecker-Deltas, dh

{ displaystyle mathbf {E} _ {J} cdot mathbf {e} _ {i} = delta _ {Ji} = delta _ {iJ}}

So haben wir

{ displaystyle mathbf {u} ( mathbf {X}, t) = mathbf {x} ( mathbf {X}, t) – mathbf {X} qquad { text {oder}} qquad u_ {i} = x_ {i} – delta _ {iJ} X_ {J}}

oder in Bezug auf die Raumkoordinaten als

{ displaystyle mathbf {U} ( mathbf {x}, t) = mathbf {x} – mathbf {X} ( mathbf {x}, t) qquad { text {oder}} qquad U_ {J} = delta _ {Ji} x_ {i} -X_ {J}}

Gleichungen regeln[edit]

Die Kontinuumsmechanik befasst sich mit dem Verhalten von Materialien, die für bestimmte Längen- und Zeitskalen als kontinuierlich angenähert werden können. Die Gleichungen, die die Mechanik solcher Materialien bestimmen, umfassen die Gleichgewichtsgesetze für Masse, Impuls und Energie. Kinematische Beziehungen und konstitutive Gleichungen werden benötigt, um das Regelungssystem zu vervollständigen. Physikalische Einschränkungen der Form der konstitutiven Beziehungen können angewendet werden, indem verlangt wird, dass der zweite Hauptsatz der Thermodynamik unter allen Bedingungen erfüllt ist. In der Kontinuumsmechanik von Festkörpern ist der zweite Hauptsatz der Thermodynamik erfüllt, wenn die Clausius-Duhem-Form der Entropieungleichung erfüllt ist.

Die Gleichgewichtsgesetze drücken die Idee aus, dass die Änderungsrate einer Größe (Masse, Impuls, Energie) in einem Volumen aus drei Gründen entstehen muss:

Die physikalische Größe selbst fließt durch die Oberfläche, die das Volumen begrenzt.
Es gibt eine Quelle der physikalischen Größe auf der Oberfläche des Volumens oder / und
Es gibt eine Quelle für die physikalische Größe innerhalb des Volumens.

Lassen

{ displaystyle Omega}

$Omega$ sei der Körper (eine offene Teilmenge des euklidischen Raumes) und lass

{ displaystyle teilweise Omega}

$partiell Omega$ sei seine Oberfläche (die Grenze von

{ displaystyle Omega}

$Omega$ ).

Lassen Sie die Bewegung von materiellen Punkten im Körper durch die Karte beschrieben werden

{ displaystyle mathbf {x} = { boldsymbol { chi}} ( mathbf {X}) = mathbf {x} ( mathbf {X})}

{ displaystyle mathbf {X}}

$mathbf {X}$ ist die Position eines Punktes in der Erstkonfiguration und

{ displaystyle mathbf {x}}

$mathbf {x}$ ist der Ort desselben Punktes in der deformierten Konfiguration.

Der Verformungsgradient ist gegeben durch

{ displaystyle { boldsymbol {F}} = { frac { partielle mathbf {x}} { partielle mathbf {X}}} = nabla { boldsymbol { mathbf {x}}} ~.}

Gleichgewichtsgesetze[edit]

Lassen

{ displaystyle f ( mathbf {x}, t)}

$f ( mathbf {x}, t)$ sei eine physikalische Größe, die durch den Körper fließt. Lassen

{ displaystyle g ( mathbf {x}, t)}

$g ( mathbf {x}, t)$ Quellen auf der Oberfläche des Körpers sein und lassen

{ displaystyle h ( mathbf {x}, t)}

$h ( mathbf {x}, t)$ Quellen im Körper sein. Lassen

{ displaystyle mathbf {n} ( mathbf {x}, t)}

$mathbf {n} ( mathbf {x}, t)$ sei die äußere Einheit senkrecht zur Oberfläche

{ displaystyle teilweise Omega}

$partiell Omega$ . Lassen

{ displaystyle mathbf {v} ( mathbf {x}, t)}

$mathbf {v} ( mathbf {x}, t)$ sei die Strömungsgeschwindigkeit der physikalischen Teilchen, die die physikalische Größe tragen, die fließt. Lassen Sie auch die Geschwindigkeit, mit der die Begrenzungsfläche

{ displaystyle teilweise Omega}

$partiell Omega$ bewegt sich sein

{ displaystyle u_ {n}}

$un}$ (in die Richtung

{ displaystyle mathbf {n}}

$mathbf {n}$ ).

Dann können Gleichgewichtsgesetze in der allgemeinen Form ausgedrückt werden

{ displaystyle { cfrac {d} {dt}} left[int _{Omega }f(mathbf {x} ,t)~{text{dV}}right]= int _ { partielle Omega} f ( mathbf {x}, t)[u_{n}(mathbf {x} ,t)-mathbf {v} (mathbf {x} ,t)cdot mathbf {n} (mathbf {x} ,t)]~ { text {dA}} + int _ { teilweise Omega} g ( mathbf {x}, t) ~ { text {dA}} + int _ { Omega} h ( mathbf {x }, t) ~ { text {dV}} ~.}

Die Funktionen

{ displaystyle f ( mathbf {x}, t)}

$f ( mathbf {x}, t)$ ,

{ displaystyle g ( mathbf {x}, t)}

$g ( mathbf {x}, t)$ , und

{ displaystyle h ( mathbf {x}, t)}

$h ( mathbf {x}, t)$ kann skalar, vektor- oder tensorwertig sein – abhängig von der physikalischen Größe, mit der sich die Bilanzgleichung befasst. Wenn es innere Grenzen im Körper gibt, müssen Sprungdiskontinuitäten auch in den Gleichgewichtsgesetzen festgelegt werden.

Wenn wir den Eulerschen Standpunkt einnehmen, kann gezeigt werden, dass die Gleichgewichtsgesetze von Masse, Impuls und Energie für einen Festkörper wie folgt geschrieben werden können (vorausgesetzt, der Quellterm ist Null für die Massen- und Drehimpulsgleichungen).

{ displaystyle { begin {align} { dot { rho}} + rho ~ { boldsymbol { nabla}} cdot mathbf {v} & = 0 && qquad { text {Balance of Mass}} \ rho ~ { dot { mathbf {v}}} – { boldsymbol { nabla}} cdot { boldsymbol { sigma}} – rho ~ mathbf {b} & = 0 && qquad { text {Gleichgewicht des linearen Impulses (Cauchys erstes Bewegungsgesetz)}} \ { boldsymbol { sigma}} & = { boldsymbol { sigma}} ^ {T} && qquad { text {Balance of Angular Impuls (Cauchys zweites Bewegungsgesetz)}} \ rho ~ { dot {e}} – { boldsymbol { sigma}}: ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {v}) + { boldsymbol { nabla}} cdot mathbf {q} – rho ~ s & = 0 && qquad { text {Energiebilanz.}} end {align}}}

In den obigen Gleichungen

{ displaystyle rho ( mathbf {x}, t)}

$rho ( mathbf {x}, t)$ ist die Massendichte (Strom),

{ displaystyle { dot { rho}}}

${ dot { rho}}$ ist die materielle Zeitableitung von

{ displaystyle rho}

$rho$ ,

{ displaystyle mathbf {v} ( mathbf {x}, t)}

$mathbf {v} ( mathbf {x}, t)$ ist die Teilchengeschwindigkeit,

{ displaystyle { dot { mathbf {v}}}}

${ dot { mathbf {v}}}$ ist die materielle Zeitableitung von

{ displaystyle mathbf {v}}

$mathbf {v}$ ,

{ displaystyle { boldsymbol { sigma}} ( mathbf {x}, t)}

${ boldsymbol { sigma}} ( mathbf {x}, t)$ ist der Cauchy-Spannungstensor,

{ displaystyle mathbf {b} ( mathbf {x}, t)}

$mathbf {b} ( mathbf {x}, t)$ ist die Körperkraftdichte,

{ displaystyle e ( mathbf {x}, t)}

$e ( mathbf {x}, t)$ ist die innere Energie pro Masseneinheit,

{ displaystyle { dot {e}}}

${ dot {e}}$ ist die materielle Zeitableitung von

{ displaystyle e}

$e$ ,

{ displaystyle mathbf {q} ( mathbf {x}, t)}

$mathbf {q} ( mathbf {x}, t)$ ist der Wärmeflussvektor und

{ displaystyle s ( mathbf {x}, t)}

$s ( mathbf {x}, t)$ ist eine Energiequelle pro Masseneinheit.

In Bezug auf die Referenzkonfiguration (der Lagrange-Standpunkt) können die Bilanzgesetze wie folgt geschrieben werden

{ displaystyle { begin {align} rho ~ det ({ boldsymbol {F}}) – rho _ {0} & = 0 && qquad { text {Balance of Mass}} \ rho _ { 0} ~ { ddot { mathbf {x}}} – { boldsymbol { nabla}} _ { circ} cdot { boldsymbol {P}} ^ {T} – rho _ {0} ~ mathbf {b} & = 0 && qquad { text {Gleichgewicht des linearen Impulses}} \ { boldsymbol {F}} cdot { boldsymbol {P}} ^ {T} & = { boldsymbol {P}} cdot { boldsymbol {F}} ^ {T} && qquad { text {Gleichgewicht des Drehimpulses}} \ rho _ {0} ~ { dot {e}} – { boldsymbol {P}} ^ {T}: { dot { boldsymbol {F}}} + { boldsymbol { nabla}} _ { circ} cdot mathbf {q} – rho _ {0} ~ s & = 0 && qquad { text {Energiebilanz.}} end {align}}}

In obigem,

{ displaystyle { boldsymbol {P}}}

${ boldsymbol {P}}$ ist der erste Piola-Kirchhoff-Spannungstensor und

{ displaystyle rho _ {0}}

$rho _ {0}$ ist die Massendichte in der Referenzkonfiguration. Der erste Piola-Kirchhoff-Spannungstensor ist mit dem Cauchy-Spannungstensor verwandt

{ displaystyle { boldsymbol {P}} = J ~ { boldsymbol { sigma}} cdot { boldsymbol {F}} ^ {- T} ~ { text {where}} ~ J = det ({ boldsymbol {F}})}

Wir können alternativ den nominalen Spannungstensor definieren

{ displaystyle { boldsymbol {N}}}

${ boldsymbol {N}}$ Das ist die Transponierte des ersten Piola-Kirchhoff-Spannungstensors, so dass

{ displaystyle { boldsymbol {N}} = { boldsymbol {P}} ^ {T} = J ~ { boldsymbol {F}} ^ {- 1} cdot { boldsymbol { sigma}} ~.}

Dann werden die Gleichgewichtsgesetze

{ displaystyle { begin {align} rho ~ det ({ boldsymbol {F}}) – rho _ {0} & = 0 && qquad { text {Balance of Mass}} \ rho _ { 0} ~ { ddot { mathbf {x}}} – { boldsymbol { nabla}} _ { circ} cdot { boldsymbol {N}} – rho _ {0} ~ mathbf {b} & = 0 && qquad { text {Gleichgewicht des linearen Impulses}} \ { boldsymbol {F}} cdot { boldsymbol {N}} & = { boldsymbol {N}} ^ {T} cdot { Boldsymbol {F}} ^ {T} && qquad { text {Gleichgewicht des Drehimpulses}} \ rho _ {0} ~ { dot {e}} – { boldsymbol {N}}: { dot { boldsymbol {F}}} + { boldsymbol { nabla}} _ { circ} cdot mathbf {q} – rho _ {0} ~ s & = 0 && qquad { text {Energiebilanz. }} end {align}}}

Die Operatoren in den obigen Gleichungen sind als solche definiert, dass

{ displaystyle { boldsymbol { nabla}} mathbf {v} = sum _ {i, j = 1} ^ {3} { frac { partielle v_ {i}} { partielle x_ {j}} } mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {e} _ {j} = v_ {i, j} mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {e} _ {j} ~; ~~ { boldsymbol { nabla}} cdot mathbf {v} = sum _ {i = 1} ^ {3} { frac { partielle v_ {i}} { partielle x_ {i}}} = v_ {i, i} ~; ~~ { boldsymbol { nabla}} cdot { boldsymbol {S}} = sum _ {i, j = 1} ^ {3} { frac { partielle S_ {ij}} { partielle x_ {j}}} ~ mathbf {e} _ {i} = sigma _ {ij, j} ~ mathbf {e} _ {i} ~.}

{ displaystyle mathbf {v}}

$mathbf {v}$ ist ein Vektorfeld,

{ displaystyle { boldsymbol {S}}}

${ boldsymbol {S}}$ ist ein Tensorfeld zweiter Ordnung und

{ displaystyle mathbf {e} _ {i}}

$mathbf {e} _ {i}$ sind die Komponenten einer orthonormalen Basis in der aktuellen Konfiguration. Ebenfalls,

{ displaystyle { boldsymbol { nabla}} _ { circ} mathbf {v} = sum _ {i, j = 1} ^ {3} { frac { teilweise v_ {i}} { teilweise X_ {j}}} mathbf {E} _ {i} otimes mathbf {E} _ {j} = v_ {i, j} mathbf {E} _ {i} otimes mathbf {E} _ {j} ~; ~~ { boldsymbol { nabla}} _ { circ} cdot mathbf {v} = sum _ {i = 1} ^ {3} { frac { partielle v_ {i} } { partielle X_ {i}}} = v_ {i, i} ~; ~~ { boldsymbol { nabla}} _ { circ} cdot { boldsymbol {S}} = sum _ {i, j = 1} ^ {3} { frac { partielle S_ {ij}} { partielle X_ {j}}} ~ mathbf {E} _ {i} = S_ {ij, j} ~ mathbf {E. } _{ich}}

{ displaystyle mathbf {v}}

$mathbf {v}$ ist ein Vektorfeld,

{ displaystyle { boldsymbol {S}}}

${ boldsymbol {S}}$ ist ein Tensorfeld zweiter Ordnung und

{ displaystyle mathbf {E} _ {i}}

$mathbf {E} _ {i}$ sind die Komponenten einer orthonormalen Basis in der Referenzkonfiguration.

Das innere Produkt ist definiert als

{ displaystyle { boldsymbol {A}}: { boldsymbol {B}} = sum _ {i, j = 1} ^ {3} A_ {ij} ~ B_ {ij} = operatorname {trace} ({ boldsymbol {A}} { boldsymbol {B}} ^ {T}) ~.}

Clausius-Duhem-Ungleichung[edit]

Die Clausius-Duhem-Ungleichung kann verwendet werden, um den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik für elastisch-plastische Materialien auszudrücken. Diese Ungleichheit ist eine Aussage über die Irreversibilität natürlicher Prozesse, insbesondere wenn es um Energiedissipation geht.

Genau wie in den Bilanzgesetzen im vorherigen Abschnitt nehmen wir an, dass es einen Fluss einer Menge, eine Quelle der Menge und eine interne Dichte der Menge pro Masseneinheit gibt. Die interessierende Menge in diesem Fall ist die Entropie. Wir nehmen also an, dass es einen Entropiefluss, eine Entropiequelle, eine interne Massendichte gibt

{ displaystyle rho}

$rho$ und eine interne spezifische Entropie (dh Entropie pro Masseneinheit)

{ displaystyle eta}

$eta$ in der Region von Interesse.

Lassen

{ displaystyle Omega}

$Omega$ sei so eine Region und lass

{ displaystyle teilweise Omega}

$partiell Omega$ sei seine Grenze. Dann besagt der zweite Hauptsatz der Thermodynamik, dass die Steigerungsrate von

{ displaystyle eta}

$eta$ in dieser Region ist größer oder gleich der Summe der gelieferten

{ displaystyle Omega}

$Omega$ (als Flussmittel oder aus internen Quellen) und die Änderung der internen Entropiedichte

{ displaystyle rho eta}

${ displaystyle rho eta}$ aufgrund von Material, das in die Region hinein und aus dieser heraus fließt.

Lassen

{ displaystyle teilweise Omega}

$partiell Omega$ bewegen Sie sich mit einer Strömungsgeschwindigkeit

{ displaystyle u_ {n}}

$un}$ und Partikel hineinlassen

{ displaystyle Omega}

$Omega$ Geschwindigkeiten haben

{ displaystyle mathbf {v}}

$mathbf {v}$ . Lassen

{ displaystyle mathbf {n}}

$mathbf {n}$ sei die Einheit nach außen senkrecht zur Oberfläche

{ displaystyle teilweise Omega}

$partiell Omega$ . Lassen

{ displaystyle rho}

$rho$ die Dichte der Materie in der Region sein,

{ displaystyle { bar {q}}}

${ bar {q}}$ sei der Entropiefluss an der Oberfläche und

{ displaystyle r}

$r$ sei die Entropiequelle pro Masseneinheit. Dann kann die Entropieungleichung wie folgt geschrieben werden

{ displaystyle { cfrac {d} {dt}} left ( int _ { Omega} rho ~ eta ~ { text {dV}} right) geq int _ { teilweise Omega} rho ~ eta ~ (u_ {n} – mathbf {v} cdot mathbf {n}) ~ { text {dA}} + int _ { teilweise Omega} { bar {q}} ~ { text {dA}} + int _ { Omega} rho ~ r ~ { text {dV}}.}

Der skalare Entropiefluss kann durch die Beziehung mit dem Vektorfluss an der Oberfläche in Beziehung gesetzt werden

{ displaystyle { bar {q}} = – { boldsymbol { psi}} ( mathbf {x}) cdot mathbf {n}}

${ bar {q}} = - { boldsymbol { psi}} ( mathbf {x}) cdot mathbf {n}$ . Unter der Annahme inkrementell isothermer Bedingungen haben wir

{ displaystyle { boldsymbol { psi}} ( mathbf {x}) = { cfrac { mathbf {q} ( mathbf {x})} {T}} ~; ~~ r = { cfrac { s} {T}}}

{ displaystyle mathbf {q}}

$mathbf {q}$ ist der Wärmeflussvektor,

{ displaystyle s}

$s$ ist eine Energiequelle pro Masseneinheit und

{ displaystyle T}

$T.$ ist die absolute Temperatur eines Materialpunktes bei

{ displaystyle mathbf {x}}

$mathbf {x}$ zum Zeitpunkt

{ displaystyle t}

$t$ .

Wir haben dann die Clausius-Duhem-Ungleichung in integraler Form:

{ displaystyle {{ cfrac {d} {dt}} left ( int _ { Omega} rho ~ eta ~ { text {dV}} right) geq int _ { partiell Omega } rho ~ eta ~ (u_ {n} – mathbf {v} cdot mathbf {n}) ~ { text {dA}} – int _ { teilweise Omega} { cfrac { mathbf {q} cdot mathbf {n}} {T}} ~ { text {dA}} + int _ { Omega} { cfrac { rho ~ s} {T}} ~ { text {dV }}.}}

Wir können zeigen, dass die Entropieungleichung in Differentialform geschrieben werden kann als

{ displaystyle { rho ~ { dot { eta}} geq – { boldsymbol { nabla}} cdot left ({ cfrac { mathbf {q}} {T}} right) + { cfrac { rho ~ s} {T}}.}}

In Bezug auf den Cauchy-Stress und die innere Energie kann die Clausius-Duhem-Ungleichung wie folgt geschrieben werden

{ displaystyle { rho ~ ({ dot {e}} – T ~ { dot { eta}}) – { boldsymbol { sigma}}: { boldsymbol { nabla}} mathbf {v} leq – { cfrac { mathbf {q} cdot { boldsymbol { nabla}} T} {T}}.}}

Anwendungen[edit]

Siehe auch[edit]

^ Maxwell wies darauf hin, dass nicht verschwindende Körpermomente in einem Magneten in einem Magnetfeld und in einem dielektrischen Material in einem elektrischen Feld mit unterschiedlichen Polarisationsebenen existieren.
^ Paarstress und Körperpaare wurden zuerst von Voigt und Cosserat untersucht und 1960 von Mindlin für seine Arbeit für Bell Labs an reinen Quarzkristallen wieder eingeführt.

Verweise[edit]

Zitierte Werke[edit]

Allgemeine Hinweise[edit]

Batra, RC (2006). Elemente der Kontinuumsmechanik. Reston, VA: AIAA.

Chen, Youping; James D. Lee; Azim Eskandarian (2009). Meshless Methoden in der Festkörpermechanik (Erste Ausgabe). Springer New York. ISBN 978-1-4419-2148-2.

Dimitrienko, Yuriy (2011). Nichtlineare Kontinuumsmechanik und große unelastische Verformungen. Deutschland: Springer. ISBN 978-94-007-0033-8.

Malvern, Lawrence E. (1969). Einführung in die Mechanik eines kontinuierlichen Mediums. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.

Wright, TW (2002). Die Physik und Mathematik adiabatischer Scherbänder. Cambridge, Großbritannien: Cambridge University Press.

Externe Links[edit]

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Kontinuumsmechanik – Wikipedia

Erläuterung[edit]

Konzept eines Kontinuums[edit]

Autoverkehr als einleitendes Beispiel[edit]

Die Erhaltung leitet eine PDE (Partial Differential Equation) ab.[edit]

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