Über Größen und Entfernungen (Hipparchus)

Altgriechischer Text von Hipparchus

Über Größen und Entfernungen (von Sonne und Mond) (Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων [ἡλίου καὶ σελήνης], Peri Megethon Kai Apostematon) ist ein Text des antiken griechischen Astronomen Hipparchus (c.190 – c.120 v) in denen Annäherungen für die Radien von Sonne und Mond sowie deren Abstände von der Erde vorgenommen werden. Es ist nicht erhalten, aber ein Teil seines Inhalts ist in den Werken von Ptolemaios und seinem Kommentator Pappus von Alexandria erhalten geblieben. Mehrere moderne Historiker haben versucht, die Methoden des Hipparchus anhand der verfügbaren Texte zu rekonstruieren.

Quellen[edit]

Das meiste, was über Hipparchus ‘Text bekannt ist, stammt aus zwei alten Quellen: Ptolemaios und Pappus. Die Arbeit wird auch von Theon von Smyrna und anderen erwähnt, aber ihre Berichte haben sich als weniger nützlich bei der Rekonstruktion der Verfahren von Hipparchus erwiesen.

Ptolemaios[edit]

Im Almagest V, 11, schreibt Ptolemaios:

Nun machte Hipparch eine solche Untersuchung hauptsächlich von der Sonne aus. Da aus anderen Eigenschaften von Sonne und Mond (von denen im Folgenden eine Studie durchgeführt wird) folgt, dass, wenn der Abstand einer der beiden Leuchten angegeben wird, auch der Abstand des anderen angegeben wird, er versucht, indem er den Abstand von vermutet die Sonne, um die Entfernung des Mondes zu demonstrieren. Erstens nimmt er an, dass die Sonne die am wenigsten wahrnehmbare Parallaxe zeigt, um ihre Entfernung zu finden. Danach nutzt er die von ihm angeführte Sonnenfinsternis, zunächst als ob die Sonne keine wahrnehmbare Parallaxe zeigt, und genau aus diesem Grund erschienen ihm die Verhältnisse der Mondentfernungen für jede der von ihm aufgestellten Hypothesen unterschiedlich. In Bezug auf die Sonne ist jedoch nicht nur die Höhe ihrer Parallaxe, sondern auch die Frage, ob sie überhaupt eine Parallaxe aufweist, insgesamt zweifelhaft.

Diese Passage gibt einen allgemeinen Überblick über das, was Hipparchus getan hat, enthält jedoch keine Details. Ptolemaios stimmte eindeutig nicht mit den von Hipparchus angewandten Methoden überein und ging daher nicht ins Detail.

Pappus von Alexandria[edit]

Die Werke von Hipparchus waren noch erhalten, als Pappus seinen Kommentar zum Almagest im 4. Jahrhundert. Er füllt einige Details aus, die Ptolemaios weglässt:

Nun machte Hipparch eine solche Untersuchung hauptsächlich von der Sonne aus und nicht genau. Denn da der Mond in den Syzygien und in der Nähe der größten Entfernung gleich der Sonne erscheint und die Größe der Durchmesser von Sonne und Mond angegeben ist (von denen unten eine Studie durchgeführt wird), folgt daraus, dass wenn die Entfernung eins ist Von den beiden Leuchten ist auch die Entfernung der anderen angegeben, wie in Satz 12 angegeben. Wenn die Entfernung des Mondes und die Durchmesser von Sonne und Mond angegeben sind, ist die Entfernung der Sonne angegeben. Hipparchus versucht, durch Vermutung der Parallaxe und der Entfernung der Sonne die Entfernung des Mondes zu demonstrieren, aber in Bezug auf die Sonne ist nicht nur die Höhe seiner Parallaxe, sondern auch, ob sie überhaupt eine Parallaxe zeigt, insgesamt zweifelhaft. Denn auf diese Weise zweifelte Hipparchus an der Sonne, nicht nur an der Höhe ihrer Parallaxe, sondern auch daran, ob sie überhaupt eine Parallaxe zeigt. Im ersten Buch “Über Größen und Entfernungen” wird angenommen, dass die Erde das Verhältnis von Punkt und Zentrum zur Sonne hat. Und durch die von ihm hervorgerufene Sonnenfinsternis …

Dann später,

Denn in Buch 1 von “Über Größen und Entfernungen” nimmt er folgende Beobachtung vor: eine Sonnenfinsternis, die in den Regionen um den Hellespont eine exakte Sonnenfinsternis der gesamten Sonnenscheibe war, so dass kein Teil davon sichtbar war, aber in Alexandria bei Ägypten wurden ungefähr vier Fünftel davon verdunkelt. Auf diese Weise zeigt er in Buch 1, dass in Einheiten, von denen der Radius der Erde eins ist, die geringste Entfernung des Mondes 71 und die größte 83 beträgt. Daher ist der Mittelwert 77 … Dann ist er selbst wieder in Buch 2 von “Über Größen und Entfernungen” zeigt aus vielen Überlegungen, dass in Einheiten, von denen der Radius der Erde eins ist, die geringste Entfernung des Mondes 62 und der Mittelwert 67 beträgt¹⁄₃und die Entfernung der Sonne 490. Es ist klar, dass die größte Entfernung des Mondes 72 beträgt²⁄₃.

Diese Passage enthält genügend Details, um eine Rekonstruktion zu ermöglichen. Insbesondere wird deutlich, dass es zwei getrennte Verfahren gab, und es werden jeweils die genauen Ergebnisse angegeben. Es liefert Hinweise, mit denen die Sonnenfinsternis identifiziert werden kann, und sagt, dass Hipparchus eine Formel “wie in Satz 12” verwendet hat, ein Satz von Ptolemäus, der noch vorhanden ist.

Moderne Rekonstruktionen[edit]

Mehrere Wissenschaftshistoriker haben versucht, die damit verbundenen Berechnungen zu rekonstruieren Über Größen und Entfernungen. Der erste Versuch wurde 1900 von Friedrich Hultsch unternommen, später jedoch 1969 von Noel Swerdlow abgelehnt. GJ Toomer erweiterte seine Bemühungen 1974.

Hultsch[edit]

Friedrich Hultsch stellte in einem Papier von 1900 fest, dass die Pappus-Quelle falsch kopiert worden war und dass der von Hipparchus berechnete tatsächliche Abstand zur Sonne 2490 Erdradien (nicht 490) betrug. Wie im Englischen gibt es im Griechischen nur einen einzigen Zeichenunterschied zwischen diesen beiden Ergebnissen.

Seine Analyse basierte auf einem Text von Theon von Smyrna, der besagt, dass Hipparch die Sonne 1880-mal so groß wie die Erde und die Erde 27-mal so groß wie der Mond fand. Unter der Annahme, dass sich dies auf Volumina bezieht, folgt daraus

s=18803≈12+1/.3{ displaystyle s = { sqrt[{3}]{1880}} ca. 12 + 1/3}

und

ℓ=1/.273=1/.3{ displaystyle ell = { sqrt[{3}]{1/27}} = 1/3}

Angenommen, Sonne und Mond haben am Himmel die gleiche scheinbare Größe und der Mond ist 67 Jahre alt¹⁄₃ Erdradien entfernt, daraus folgt

S.=sℓL.≈12+1/.31/.3((67+1/.3)=2491+1/.3≈2490{ displaystyle S = { frac {s} { ell}} L ca. { frac {12 + 1/3} {1/3}} (67 + 1/3) = 2491 + 1/3 ca. 2490}

Dieses Ergebnis wurde für die nächsten siebzig Jahre allgemein akzeptiert, bis Noel Swerdlow den Fall erneut untersuchte.

Buch 2 Rekonstruktion (Swerdlow)[edit]

Swerdlow stellte fest, dass Hipparchus die Entfernungen zu Sonne und Mond anhand einer in Ptolemäus gefundenen Konstruktion in Beziehung setzt. Es wäre nicht überraschend, wenn diese Berechnung ursprünglich von Hipparchus selbst entwickelt worden wäre, da er eine Hauptquelle für die Almagest war.

Mit dieser Berechnung konnte Swerdlow die beiden Ergebnisse von Hipparchus (67) in Beziehung setzen¹⁄₃ für den Mond und 490 für die Sonne). Um genau diese Beziehung zu erhalten, müssen sehr genaue Näherungswerte eingehalten werden.

Die Verwendung einfacher trigonometrischer Identitäten ergibt

ℓ=L.bräunen⁡θ≈L.Sünde⁡θ{ displaystyle ell = L tan theta ungefähr L sin theta}

und

h=bräunen⁡φbräunen⁡θℓ≈φθℓ≈φθL.Sünde⁡θ{ displaystyle h = { frac { tan varphi} { tan theta}} ell approx { frac { varphi} { theta}} ell approx { frac { varphi} { Theta}} L sin theta}

Durch parallele Linien und nehmen t = 1 bekommen wir

ℓ+x=t+((t– –h)=2t– –h⇒x≈2– –((φθ+1)L.Sünde⁡θ{ displaystyle ell + x = t + (th) = 2t-h Rightarrow x ca. 2- left ({ frac { varphi} { theta}} + 1 right) L sin theta}

Durch Ähnlichkeit von Dreiecken,

tx=S.S.– –L.⇒S.=L.1– –x{ displaystyle { frac {t} {x}} = { frac {S} {SL}} Rightarrow S = { frac {L} {1-x}}}

Die Kombination dieser Gleichungen ergibt

S.≈L.((φθ+1)L.Sünde⁡θ– –1=1/.((((φθ+1)Sünde⁡θ– –1L.){ displaystyle S approx { frac {L} { left ({ frac { varphi} { theta}} + 1 right) L sin theta -1}} = 1 left / left ( left ({ frac { varphi} { theta}} + 1 right) sin theta – { frac {1} {L}} right) right.}

Die Werte, die Hipparchus für diese Variablen angenommen hat, finden Sie in Ptolemäus Almagest IV, 9. Er sagt, Hipparchus habe herausgefunden, dass der Mond seinen eigenen Kreis fast 650-mal gemessen hat und dass der Winkeldurchmesser des Erdschattens das 2,5-fache des Mondes beträgt. Pappus sagt uns, dass Hipparchus die mittlere Entfernung zum Mond auf 67 geschätzt hat¹⁄₃. Das gibt:

Laut Swerdlow bewertete Hipparchus diesen Ausdruck nun mit den folgenden Rundungen (die Werte sind sexagesimal):

ℓ≈L.Sünde⁡θ≈0;;19,30{ displaystyle ell ca. L sin theta ca. 0; 19,30}

und

h≈φθℓ≈0;;48,45{ displaystyle h approx { frac { varphi} { theta}} ell approx 0; 48,45}

Dann weil

ℓ+h≈φθL.Sünde⁡θ+L.Sünde⁡θ=((φθ+1)L.Sünde⁡θ{ displaystyle ell + h approx { frac { varphi} { theta}} L sin theta + L sin theta = left ({ frac { varphi} { theta}} + 1 rechts) L sin theta}

es folgt dem

S.≈L./.((ℓ+h– –1)≈67;;20/.0;;8,15≈489,70≈490{ displaystyle S ca. L / ( ell + h-1) ca. 67; 20/0; 8,15 ca. 489,70 ca. 490}

Swerdlow benutzte dieses Ergebnis, um zu argumentieren, dass 490 die korrekte Lesart des Pappus-Textes war, wodurch Hultschs Interpretation ungültig wurde. Obwohl dieses Ergebnis stark von den verwendeten Näherungen und Rundungen abhängt, wurde es allgemein akzeptiert. Es bleibt jedoch die Frage offen, wo die Mondentfernung 67 liegt¹⁄₃ kam aus.

Nach Pappus und Ptolemäus schlug Swerdlow vor, dass Hipparchus 490 Erdradien als möglichst geringen Abstand zur Sonne geschätzt hatte. Dieser Abstand entspricht einer Sonnenparallaxe von 7 ‘, was das Maximum gewesen sein könnte, von dem er dachte, dass es unbemerkt geblieben wäre (die typische Auflösung des menschlichen Auges beträgt 2’). Die oben erhaltene Formel für die Entfernung zur Sonne kann umgekehrt werden, um die Entfernung zum Mond zu bestimmen:

L.≈S.((φθ+1)S.Sünde⁡θ– –1=1/.((((φθ+1)Sünde⁡θ– –1S.){ displaystyle L approx { frac {S} { left ({ frac { varphi} { theta}} + 1 right) S sin theta -1}} = 1 left / left ( left ({ frac { varphi} { theta}} + 1 right) sin theta – { frac {1} {S}} right) right.}

Unter Verwendung der gleichen Werte wie oben für jeden Winkel und unter Verwendung von 490 Erdradien als minimale Sonnenentfernung folgt die maximale mittlere Mondentfernung

L.≈1/.((((2.5+1)Sünde⁡0,277∘– –1490)≈67.203≈6713{ displaystyle L ca. 1 links / links ((2,5 + 1) sin 0,277 ^ { circ} – { frac {1} {490}} rechts) rechts. ca. 67,203 ca. 67 { tfrac {1} {3}}}

Toomer erweiterte dies, indem er beobachtete, dass sich die Formel mit zunehmender Entfernung zur Sonne ohne Grenze einer minimalen mittleren Mondentfernung nähert:

L.≈1/.((((2.5+1)Sünde⁡0,277∘)≈59.10{ displaystyle L ca. 1 links / links ((2,5 + 1) sin 0,277 ^ { circ} rechts) rechts. ca. 59,10}

Dies liegt nahe an dem Wert, den Ptolemaios später behauptete.

Buch 1 Rekonstruktion (Toomer)[edit]

Toomer erklärte nicht nur die minimale Mondentfernung, die Hipparchus erreichte, sondern auch die Methode des ersten Buches, in dem eine Sonnenfinsternis angewendet wurde. Pappus gibt an, dass diese Sonnenfinsternis in der Region des Hellespont insgesamt war, in Alexandria jedoch 4/5 der Gesamtzahl.

Wenn Hipparch angenommen hat, dass die Sonne unendlich weit entfernt ist (dh dass “die Erde das Verhältnis von Punkt und Zentrum zur Sonne hat”), muss der Unterschied in der Größe der Sonnenfinsternis vollständig auf die Parallaxe des Mondes zurückzuführen sein. Mithilfe von Beobachtungsdaten könnte er diese Parallaxe und damit die Entfernung des Mondes bestimmen.

Hipparchus hätte es gewusst

φEIN{ displaystyle varphi _ {A}}

und

φH.{ displaystyle varphi _ {H}}

die Breiten von Alexandria bzw. der Region Hellespontine. Er hätte es auch gewusst

δ{ displaystyle delta}

, die Deklination des Mondes während der Sonnenfinsternis und

μ{ displaystyle mu}

Dies hängt mit dem Unterschied in der Gesamtheit der Sonnenfinsternis zwischen den beiden Regionen zusammen.

EINH.=tCrd⁡∠EINÖH.=tCrd⁡((φH.– –φEIN){ displaystyle AH = t operatorname {Crd} angle AOH = t operatorname {Crd} ( varphi _ {H} – varphi _ {A})}

Crd bezieht sich hier auf die Akkordfunktion, die einen Winkel in Grad auf die entsprechende Länge eines Akkords eines Kreises mit Einheitsdurchmesser abbildet. Da der Mond sehr weit entfernt ist, folgt daraus

ζ‘≈ζ{ displaystyle zeta ‘ approx zeta}

. Die Verwendung dieser Näherung ergibt

ζ=φH.– –δ{ displaystyle zeta = varphi _ {H} – delta}

∠Z.H.EIN=180∘– –∠ÖH.EIN{ displaystyle angle ZHA = 180 ^ { circ} – angle OHA}

∠ÖH.EIN=180∘– –∠EINÖH.2=180∘– –((φH.– –φEIN)2{ displaystyle angle OHA = { frac {180 ^ { circ} – angle AOH} {2}} = { frac {180 ^ { circ} – ( varphi _ {H} – varphi _ { A})} {2}}}

Daher,

∠Z.H.EIN=90∘+12((φH.– –φEIN){ displaystyle angle ZHA = 90 ^ { circ} + { frac {1} {2}} ( varphi _ {H} – varphi _ {A})}

∠M.H.EIN=θ=∠Z.H.EIN– –ζ‘≈∠Z.H.EIN– –ζ=90∘– –12((φH.+φEIN)+δ{ displaystyle angle MHA = theta = angle ZHA- zeta ‘ approx angle ZHA- zeta = 90 ^ { circ} – { frac {1} {2}} ( varphi _ {H} + varphi _ {A}) + delta}

Mit

EINH.{ displaystyle AH}

und

θ{ displaystyle theta}

brauchen wir nur

μ{ displaystyle mu}

bekommen

D.‘{ displaystyle D ‘}

. Da die Sonnenfinsternis bei H total und bei A insgesamt 4/5 war, folgt daraus

μ{ displaystyle mu}

beträgt 1/5 des scheinbaren Durchmessers der Sonne. Diese Menge war Hipparchus bekannt – er nahm an, dass sie 1/650 eines vollen Kreises war. Die Entfernung vom Erdmittelpunkt zum Mond folgt dann aus

D.≈D.‘+t{ displaystyle D approx D ‘+ t}

.

Toomer bestimmte, wie Hipparchus den Akkord für kleine Winkel bestimmte (siehe Akkord (Geometrie)). Seine Werte für die Breiten des Hellespont (41 Grad) und Alexandria (31 Grad) sind aus Strabos Arbeiten zur Geographie bekannt. Um die Deklination zu bestimmen, muss man wissen, welche Sonnenfinsternis Hipparchus verwendet hat.

Da er den Wert kannte, den Hipparchus schließlich für die Entfernung zum Mond (71 Erdradien) und die raue Region der Sonnenfinsternis gab, konnte Toomer feststellen, dass Hipparchus die Sonnenfinsternis vom 14. März 190 v. Chr. Verwendete. Diese Sonnenfinsternis passt sehr gut zu allen mathematischen Parametern und ist auch aus historischer Sicht sinnvoll. Die Sonnenfinsternis war in Nicaea, Hipparchus ‘Geburtsort, total, also hat er vielleicht Geschichten darüber gehört. Es gibt auch einen Bericht darüber in Strabos Ab Urbe Condita VIII.2. Die Deklination des Mondes war zu dieser Zeit

δ=– –3∘{ displaystyle delta = -3 ^ { circ}}

. Daher ergibt sich unter Verwendung der Akkordtrigonometrie

θ=54∘+δ{ displaystyle theta = 54 ^ { circ} + delta}

EINH.=tCrd⁡10∘≈t 6003438{ displaystyle AH = t operatorname {Crd} 10 ^ { circ} ca. t { frac {600} {3438}}}

μ=360⋅605⋅650{ displaystyle mu = { frac {360 cdot 60} {5 cdot 650}}}

D.‘=Crd⁡2θ⋅EINH.Crd⁡μ⋅2R.=Crd⁡((108∘+2δ)⋅600⋅5⋅65021600⋅2⋅3438t{ displaystyle D ‘= { frac { operatorname {Crd} 2 theta cdot AH} { operatorname {Crd} mu cdot 2R}} = { frac { operatorname {Crd} (108 ^ { circ} +2 delta) cdot 600 cdot 5 cdot 650} {21600 cdot 2 cdot 3438}} t}

Jetzt mit Hipparchus ‘Akkordtabellen,

Crd⁡((108∘+2((– –3∘))=Crd⁡102∘≈2⋅3438Sünde⁡56∘≈5340{ displaystyle operatorname {Crd} (108 ^ { circ} +2 (-3 ^ { circ})) = operatorname {Crd} 102 ^ { circ} ca. 2 cdot 3438 sin 56 ^ { circ} ca. 5340}

und daher

D.‘=5340⋅600⋅5⋅65021600⋅2⋅3438t≈70.1t⇒D.≈D.‘+t≈71.1t{ displaystyle D ‘= { frac {5340 cdot 600 cdot 5 cdot 650} {21600 cdot 2 cdot 3438}} t ca. 70,1 t Rightarrow D ca. D’ + t ca. 71,1 t}

Dies stimmt gut mit dem Wert von 71 Erdradien überein, den Pappus meldet.

Diese Analyse ging davon aus, dass die Sonnenfinsternis mitten am Tag mit Sonne und Mond auf dem Meridian stattfand. Dies war jedoch nicht der Fall für die Sonnenfinsternis von 190 v. Chr., Die am frühen Morgen des 28. Februar stattfand. ^[1]

Fazit[edit]

Angenommen, diese Rekonstruktionen spiegeln genau das wider, was Hipparchus geschrieben hat Über Größen und EntfernungenDann war diese Arbeit eine bemerkenswerte Leistung. Dieser Ansatz, einer unbekannten physikalischen Größe Grenzen zu setzen, war für Hipparchus nicht neu (siehe Aristarchus von Samos. Archimedes tat dasselbe auch mit pi), aber in diesen Fällen spiegelten die Grenzen die Unfähigkeit wider, eine mathematische Konstante mit willkürlicher Genauigkeit zu bestimmen. keine Unsicherheit bei körperlichen Beobachtungen.

Hipparchus scheint schließlich den Widerspruch zwischen seinen beiden Ergebnissen gelöst zu haben. Sein Ziel bei der Berechnung der Entfernung zum Mond war es, einen genauen Wert für die Mondparallaxe zu erhalten, damit er Finsternisse genauer vorhersagen kann. Dazu musste er sich auf einen bestimmten Wert für die Entfernung / Parallaxe festlegen, nicht auf einen Wertebereich.

Es gibt Hinweise darauf, dass er dies getan hat. Die Kombination der Berechnungen von Buch 2 und der Darstellung von Theon of Smyrna ergibt eine Mondentfernung von 60,5 Erdradien. Dasselbe mit dem Bericht von Cleomedes zu tun, ergibt einen Abstand von 61 Erdradien. Diese liegen sowohl dem Wert des Ptolemäus als auch dem modernen bemerkenswert nahe.

Laut Toomer

Dieses Verfahren ist, wenn ich es richtig konstruiert habe, sehr bemerkenswert … Was erstaunlich ist, ist die Raffinesse, das Problem mit zwei ganz unterschiedlichen Methoden anzugehen, und auch die völlige Ehrlichkeit, mit der Hipparchus seine widersprüchlichen Ergebnisse offenbart … die es dennoch sind in der gleichen Größenordnung und (zum ersten Mal in der Geschichte der Astronomie) in der richtigen Region.

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

1. F Hultsch, “…”, Leipzig, Phil.-hist. Kl. 52 (1900), 169–200.
2. NM Swerdlow, “Hipparchus in der Ferne der Sonne”, Centaurus 14 (1969), 287–305.
3. GJ Toomer, “Hipparchus über die Entfernungen von Sonne und Mond”, Archiv für Geschichte der exakten Wissenschaften 14 (1974), 126–142.
4. Hon, Giora. “Gibt es ein Konzept für experimentelle Fehler in der griechischen Astronomie?” Das britische Journal für Wissenschaftsgeschichte 22.02 (1989): 129–150. (Online verfügbar unter https://www.researchgate.net/profile/Giora_Hon/publication/231844424_Is_There_a_Concept_of_Experimental_Error_in_Greek_Astronomy/links/564fa57b08ae4988a7a858bd.pdf)