Kompositionsalgebra – Wikipedia

In der Mathematik a Kompositionsalgebra EIN über ein Feld K. ist eine nicht unbedingt assoziative Algebra vorbei K. zusammen mit einer nicht entarteten quadratischen Form N. das befriedigt

${ Anzeigestil N (xy) = N (x) N (y)}$

für alle x und y im EIN.

Eine Kompositionsalgebra enthält eine Involution namens a Konjugation::

${ displaystyle x mapsto x ^ {*}.}$

Die quadratische Form

${ displaystyle N (x) = xx ^ {*}}$

heißt das Norm der Algebra.

Eine Kompositionsalgebra (EIN, ∗, N.) ist entweder eine Divisionsalgebra oder eine geteilte Algebra, abhängig von der Existenz einer Nicht-Null v im EIN so dass N.((v) = 0, als Nullvektor bezeichnet.^[1] Wann x ist nicht ein Nullvektor, die multiplikative Inverse von x ist

${ displaystyle { frac {x ^ {*}} {N (x)}} .}$

Wenn es einen Nullvektor ungleich Null gibt, N. ist eine isotrope quadratische Form und “die Algebra spaltet sich”.

Struktursatz[edit]

Jede unitale Kompositionsalgebra über einem Feld K. kann durch wiederholte Anwendung der Cayley-Dickson-Konstruktion ab erhalten werden K. (wenn das Merkmal von K. unterscheidet sich von 2) oder eine zweidimensionale Kompositionssubalgebra (wenn verkohlen(K.) = 2). Die möglichen Dimensionen einer Kompositionsalgebra sind 1, 2, 4, und 8.^[2][3][4]

• Eindimensionale Kompositionsalgebren existieren nur, wenn verkohlen(K.) ≠ 2.
• Kompositionsalgebren der Dimensionen 1 und 2 sind kommutativ und assoziativ.
• Zusammensetzungsalgebren der Dimension 2 sind entweder quadratische Felderweiterungen von K. oder isomorph zu K. ⊕ K..
• Zusammensetzungsalgebren der Dimension 4 werden Quaternionsalgebren genannt. Sie sind assoziativ, aber nicht kommutativ.
• Zusammensetzungsalgebren der Dimension 8 werden Oktonionalgebren genannt. Sie sind weder assoziativ noch kommutativ.

Für eine konsistente Terminologie wurden Algebren der Dimension 1 aufgerufen Unarionund diejenigen der Dimension 2 Binarion.^[5]

Instanzen und Verwendung[edit]

Wenn das Feld K. wird als komplexe Zahl angesehen C. und die quadratische Form z², dann vier Kompositionsalgebren vorbei C. sind C. selbst, die bikomplexen Zahlen, die Biquaternionen (isomorph zu den 2×2 komplexer Matrixring M (2, C.)) und die Bioktonionen C. ⊗ Ö, die auch komplexe Oktonionen genannt werden.

Matrixring M (2, C.) ist seit langem ein interessantes Objekt, zuerst als Biquaternionen von Hamilton (1853), später in der isomorphen Matrixform und insbesondere als Pauli-Algebra.

Die Quadrierungsfunktion N.((x) = x² auf dem reellen Zahlenfeld bildet sich die ursprüngliche Kompositionsalgebra. Wenn das Feld K. wird als reelle Zahl angesehen R.Dann gibt es nur noch sechs andere echte Kompositionsalgebren.^[3]::166

In zwei, vier und acht Dimensionen gibt es sowohl eine Teilungsalgebra als auch eine “geteilte Algebra”:

Binarionen: komplexe Zahlen mit quadratischer Form x² + y² und geteilte komplexe Zahlen mit quadratischer Form x² – – y²,

Quaternionen und Split-Quaternionen,

Oktonionen und Split-Oktonionen.

Jeder Kompositionsalgebra ist eine bilineare Form B zugeordnet (x, y) konstruiert mit der Norm N und einer Polarisationsidentität:

${ Anzeigestil B (x, y) = [N(x+y)-N(x)-N(y)]/ 2.}$

^[6]

Geschichte[edit]

Die Zusammensetzung der Quadratsummen wurde von mehreren frühen Autoren notiert. Diophantus war sich der Identität bewusst, die aus der Summe zweier Quadrate besteht, die jetzt als Brahmagupta-Fibonacci-Identität bezeichnet wird und bei Multiplikation auch als Eigenschaft euklidischer Normen komplexer Zahlen artikuliert wird. Leonhard Euler diskutierte 1748 die vierquadratische Identität und veranlasste WR Hamilton, seine vierdimensionale Algebra der Quaternionen zu konstruieren.^[5]::62 1848 wurden Tessarinen beschrieben, die bikomplexen Zahlen das erste Licht gaben.

Um 1818 zeigte der dänische Gelehrte Ferdinand Degen die achtkantige Identität des Degen, die später mit Normen von Elementen der Oktonionalgebra verbunden wurde:

Historisch gesehen entstand die erste nicht-assoziative Algebra, die Cayley-Zahlen … im Zusammenhang mit dem zahlentheoretischen Problem quadratischer Formen, die Komposition zulassen … diese zahlentheoretische Frage kann in eine Frage bezüglich bestimmter algebraischer Systeme, der Kompositionsalgebren, umgewandelt werden. ..^[5]::61

1919 brachte Leonard Dickson die Untersuchung des Hurwitz-Problems mit einer Übersicht über die bisherigen Bemühungen voran und zeigte die Methode zur Verdoppelung der Quaternionen, um Cayley-Zahlen zu erhalten. Er stellte eine neue imaginäre Einheit vor eund für Quaternionen q und Q. schreibt eine Cayley-Nummer q + Q.e. Bezeichnet das Quaternionskonjugat mit q‘ist das Produkt zweier Cayley-Zahlen^[7]

${ Anzeigestil (q + Qe) (r + Re) = (qr-R’Q) + (Rq + Qr ‘) e.}$

Das Konjugat einer Cayley-Zahl ist q ‘ – – Q.eund die quadratische Form ist qq‘+ QQ‘erhalten durch Multiplizieren der Zahl mit ihrem Konjugat. Die Verdopplungsmethode wird als Cayley-Dickson-Konstruktion bezeichnet.

1923 wurde der Fall realer Algebren mit positiven bestimmten Formen durch den Hurwitzschen Satz (Kompositionsalgebren) abgegrenzt.

1931 führte Max Zorn ein Gamma (γ) in die Multiplikationsregel der Dickson-Konstruktion ein, um Split-Oktonionen zu erzeugen.^[8]Adrian Albert verwendete das Gamma auch 1942, als er zeigte, dass die Dickson-Verdopplung auf jedes Feld mit der Quadrierungsfunktion angewendet werden kann, um Binarion-, Quaternion- und Oktonion-Algebren mit ihren quadratischen Formen zu konstruieren.^[9]Nathan Jacobson beschrieb 1958 die Automorphismen von Kompositionsalgebren.^[2]

Die klassischen Kompositionsalgebren sind vorbei R. und C. sind unitale Algebren. Kompositionsalgebren ohne Eine multiplikative Identität wurde von HP Petersson (Petersson-Algebren) und Susumu Okubo (Okubo-Algebren) und anderen gefunden.^{[10]::463–81}

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Weiterführende Literatur[edit]