Satz zur Vorbereitung der Weierstraße – Wikipedia

Satz analytischer Funktionen mehrerer komplexer Variablen

In der Mathematik ist die Weierstrass-Vorbereitungssatz ist ein Werkzeug für den Umgang mit analytischen Funktionen mehrerer komplexer Variablen an einem bestimmten Punkt P.. Es besagt, dass eine solche Funktion bis zur Multiplikation mit einer Funktion ungleich Null ist P., ein Polynom in einer festen Variablen z, das monisch ist und dessen Koeffizienten von Termen niedrigeren Grades analytische Funktionen in den verbleibenden Variablen und Null bei sind P..

Es gibt auch eine Reihe von Varianten des Satzes, die die Idee der Faktorisierung in einem Ring erweitern R. wie u· ·w, wo u ist eine Einheit und w ist eine Art ausgezeichnet Weierstrass-Polynom. Carl Siegel hat die Zuschreibung des Satzes an Weierstrass bestritten und behauptet, dass er im späten neunzehnten Jahrhundert unter dem heutigen Namen vorkam Traités d’analyse ohne Begründung.

Komplexe analytische Funktionen[edit]

Für eine Variable die lokale Form einer Analysefunktion f((z) nahe 0 ist z^kh((z) wo h(0) ist nicht 0 und k ist die Reihenfolge der Null von f Dies ist das Ergebnis, das der Präparationssatz verallgemeinert. Wir wählen eine Variable aus z, was wir als erstes annehmen können, und schreiben unsere komplexen Variablen als (z, z₂, …, z_n). Ein Weierstrass-Polynom W.((z) ist

z^k + G_k−1z^k−1 + … + G₀

wo G_ich((z₂, …, z_n) ist analytisch und G_ich(0, …, 0) = 0.

Dann besagt der Satz, dass für analytische Funktionen f, wenn

f(0, …, 0) = 0,

und

f((z, z₂, …, z_n)

als Potenzreihe hat ein Begriff nur mit zkönnen wir schreiben (lokal in der Nähe von (0, …, 0))

f((z, z₂, …, z_n) = W.((z)h((z, z₂, …, z_n)

mit h analytische und h(0, …, 0) nicht 0 und W. ein Weierstrass-Polynom.

Dies hat die unmittelbare Folge, dass die Menge der Nullen von f, nahe (0, …, 0), kann durch Festlegen kleiner Werte von gefunden werden z₂, …, z_n und dann die Gleichung lösen W (z) = 0. Die entsprechenden Werte von z bilden eine Reihe von sich ständig ändernden Geäst, in Anzahl gleich dem Grad von W. im z. Speziell f kann keine isolierte Null haben.

Teilungssatz[edit]

Ein verwandtes Ergebnis ist das Satz der Weierstrass-Division, die besagt, dass wenn f und G sind analytische Funktionen und G ist ein Weierstrass-Polynom vom Grad N., dann existiert ein eindeutiges Paar h und j so dass f = gh + j, wo j ist ein Polynom mit einem Grad kleiner als N.. Tatsächlich beweisen viele Autoren die Weierstrass-Präparation als eine Folge des Divisionssatzes. Es ist auch möglich, den Teilungssatz aus dem Vorbereitungssatz zu beweisen, so dass die beiden Sätze tatsächlich äquivalent sind.^[1]

Anwendungen[edit]

Der Weierstrass-Präparationssatz kann verwendet werden, um zu zeigen, dass der Keimring analytischer Funktionen in n Variablen ist ein Noether-Ring, der auch als bezeichnet wird Rückert-Basissatz.^[2]

Reibungslose Funktionen[edit]

Aufgrund von Bernard Malgrange gibt es einen tieferen Präparationssatz für glatte Funktionen, den Malgrange-Präparationssatz. Es gibt auch einen zugehörigen Teilungssatz, der nach John Mather benannt ist.

Formale Potenzreihen in vollständigen lokalen Ringen[edit]

Es gibt ein analoges Ergebnis, das auch als Weierstrass-Präparationssatz bezeichnet wird, für den Ring formaler Potenzreihen über vollständigen lokalen Ringen EIN::^[3] für jede Potenzreihe

${ displaystyle f = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} t ^ {n} in A.[[t]]}$

so dass nicht alle

${ displaystyle a_ {n}}$

sind im maximalen Ideal

${ displaystyle { mathfrak {m}}}$

von EINgibt es eine einzigartige Einheit u im

${ displaystyle A.[[t]]}$

und ein Polynom F. der Form

${ displaystyle F = t ^ {s} + b_ {s-1} t ^ {s-1} + dots + b_ {0}}$

mit

${ displaystyle b_ {i} in { mathfrak {m}}}$

(ein sogenanntes unterschiedliches Polynom), so dass

${ displaystyle f = uF.}$

Schon seit

${ displaystyle A.[[t]]}$

ist wieder ein vollständiger lokaler Ring, das Ergebnis kann iteriert werden und liefert daher ähnliche Faktorisierungsergebnisse für formale Potenzreihen in mehreren Variablen.

Dies gilt beispielsweise für den Ganzzahlring in einem p-adischen Feld. In diesem Fall besagt der Satz, dass eine Potenzreihe f((z) kann immer eindeutig als π berücksichtigt werdenⁿ· ·u((z) ·p((z), wo u((z) ist eine Einheit im Ring der Potenzreihen, p((z) ist ein unterschiedliches Polynom (monisch, wobei die Koeffizienten der nicht führenden Terme jeweils im Maximalideal liegen), und π ist ein fester Gleichförmiger.

Eine Anwendung des Weierstrass-Präparations- und Divisionssatzes für den Ring

${ displaystyle mathbf {Z} _ {p}[[t]]}$

(auch Iwasawa-Algebra genannt) kommt in der Iwasawa-Theorie bei der Beschreibung endlich erzeugter Module über diesen Ring vor.^[4]

Tate-Algebren[edit]

Es gibt auch einen Weiertrass-Präparationssatz für Tate-Algebren

${ displaystyle T_ {n} (k) = left { sum _ { nu _ {1}, dots, nu _ {n} geq 0} a _ { nu _ {1}, dots , nu _ {n}} X_ {1} ^ { nu _ {1}} cdots X_ {n} ^ { nu _ {n}}, | a _ { nu _ {1}, dots, nu _ {n}} | bis 0 { text {for}} nu _ {1} + dots + nu _ {n} bis infty right }}$

über ein vollständiges nicht-archimedisches Feld k.^[5]

Diese Algebren sind die Grundbausteine ​​der starren Geometrie. Eine Anwendung dieser Form des Weierstrass-Präparationssatzes ist die Tatsache, dass die Ringe

${ displaystyle T_ {n} (k)}$

sind Noetherianer.

Verweise[edit]

• Lewis, Andrew, Hinweise zur globalen Analyse
• Siegel, CL (1969), “Zu den gleichen des Entscheidungsungssatzes von Weierstrass”, Zahlentheorie und -analyse (Aufsätze zu Ehren von Edmund Landau), New York: Plenum, S. 297–306, MR 0268402, nachgedruckt in Siegel, Carl Ludwig (1979), Chandrasekharan, K.; Maass., H. (Hrsg.), Gesammelte Abhandlungen. Band IV, Berlin-New York: Springer-Verlag, S. 1–8, ISBN 0-387-09374-5, HERR 0543842
• Solomentsev, ED (2001) [1994], “Satz von Weierstrass”, Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press
• Stickelberger, L. (1887), “Über einen Satz des Herrn Noether”, Mathematische Annalen, 30 (3): 401–409, doi:10.1007 / BF01443952
• Weierstrass, K. (1895), Mathematische Werke. II. Abhandlungen 2, Berlin: Mayer & Müller, S. 135–142 Nachdruck von Johnson, New York, 1967.