Lochargument – Wikipedia

In der allgemeinen Relativitätstheorie ist die Loch Argument ist ein offensichtliches Paradoxon, das Albert Einstein bei der Entwicklung seiner berühmten Feldgleichungen sehr beunruhigte.

Einige Philosophen der Physik nehmen das Argument, um ein Problem für zu werfen vielfältiger Substantialismus, eine Lehre, dass die Mannigfaltigkeit von Ereignissen in der Raumzeit eine “Substanz” ist, die unabhängig von dem darauf definierten metrischen Feld oder der darin enthaltenen Materie existiert. Andere Philosophen und Physiker sind mit dieser Interpretation nicht einverstanden und betrachten das Argument stattdessen als Verwirrung über die Eichinvarianz und die Eichfixierung.^{[citation needed]}

Einsteins Argument[edit]

In einer üblichen Feldgleichung bestimmt die Kenntnis der Feldquelle und der Randbedingungen das Feld überall. Wenn wir zum Beispiel die Strom- und Ladungsdichte und geeignete Randbedingungen erhalten, bestimmen die Maxwellschen Gleichungen die elektrischen und magnetischen Felder. Sie bestimmen jedoch nicht das Vektorpotential, da das Vektorpotential von einer beliebigen Wahl des Messgeräts abhängt.

Einstein bemerkte, dass, wenn die Gravitationsgleichungen im Allgemeinen kovariant sind, die Metrik nicht eindeutig durch ihre Quellen als Funktion der Koordinaten der Raumzeit bestimmt werden kann. Als Beispiel: Betrachten Sie eine Gravitationsquelle wie die Sonne. Dann gibt es ein Gravitationsfeld, das durch eine Metrik g (r) beschrieben wird. Führen Sie nun eine Koordinatentransformation r durch

${ displaystyle to}$

r ‘wobei r’ dasselbe ist wie r für Punkte, die sich innerhalb der Sonne befinden, aber r ‘sich von r außerhalb der Sonne unterscheidet. Die Koordinatenbeschreibung des Sonneninneren bleibt von der Transformation unberührt, aber die Funktionsform der Metrik g ‘für die neuen Koordinatenwerte außerhalb der Sonne wird geändert. Aufgrund der allgemeinen Kovarianz der Feldgleichungen ist diese transformierte Metrik g ‘auch eine Lösung im nicht transformierten Koordinatensystem.

Dies bedeutet, dass eine Quelle, die Sonne, die Quelle vieler scheinbar unterschiedlicher Metriken sein kann. Die Auflösung ist unmittelbar: Zwei beliebige Felder, die sich nur durch eine solche “Loch” -Transformation unterscheiden, sind physikalisch äquivalent, ebenso wie zwei verschiedene Vektorpotentiale, die sich durch eine Eichentransformation unterscheiden, physikalisch äquivalent sind. Dann sind alle diese mathematisch unterschiedlichen Lösungen physikalisch nicht unterscheidbar – sie repräsentieren ein und dieselbe physikalische Lösung der Feldgleichungen.

Es gibt viele Variationen dieses offensichtlichen Paradoxons. In einer Version betrachten Sie eine Anfangswertfläche mit einigen Daten und finden die Metrik als Funktion der Zeit. Anschließend führen Sie eine Koordinatentransformation durch, die Punkte in der Zukunft der Anfangswertfläche verschiebt, die Anfangsfläche oder Punkte im Unendlichen jedoch nicht beeinflusst. Dann können Sie schließen, dass die allgemein kovarianten Feldgleichungen die Zukunft nicht eindeutig bestimmen, da diese neue koordinatentransformierte Metrik eine ebenso gültige Lösung derselben Feldgleichungen im ursprünglichen Koordinatensystem ist. Das Anfangswertproblem hat also keine eindeutige Lösung für die allgemeine Relativitätstheorie. Dies gilt auch für die Elektrodynamik, da Sie eine Eichentransformation durchführen können, die erst morgen das Vektorpotential beeinflusst. In beiden Fällen besteht die Lösung darin, zusätzliche Bedingungen zum Fixieren eines Messgeräts zu verwenden.

Die obige Version von Einsteins Lochargument bestreiten[edit]

Einsteins Herleitung der Gravitationsfeldgleichungen verzögerte sich aufgrund des von ihm 1913 geschaffenen Locharguments.^[1] Das Problem war jedoch nicht wie im obigen Abschnitt angegeben. Bis 1912, als Einstein seinen “Kampf mit der Bedeutung der Koordinaten” begann,^[2] Er wusste bereits, nach Tensorgleichungen zu suchen, da diese von Koordinatenänderungen nicht betroffen sind. Er hatte bereits die Form des Gravitationsfeldes gefunden (nämlich als Tetraden- oder Rahmenfeld

${ displaystyle e _ { mu} ^ {I} (x)}$

oder metrisch

${ displaystyle g _ { mu nu} (x)}$

) und die Bewegungsgleichungen der Materie in einem gegebenen Gravitationsfeld (die sich aus der Maximierung der richtigen Zeit ergeben, die durch gegeben ist

${ displaystyle ds ^ {2} = g _ { mu nu} (x) dx ^ { mu} dx ^ { nu}}$

).^[3] Es ist offensichtlich, dass dies bei Koordinatentransformationen unveränderlich ist.

Was ihn störte, war eine Folge seines Prinzips der allgemeinen Kovarianz und ergibt sich aus dem Folgenden.^[4] Die allgemeine Kovarianz besagt, dass die Gesetze der Physik in allen Referenzrahmen und damit in allen Koordinatensystemen dieselbe mathematische Form annehmen sollten, und daher sollte die Differentialgleichung, die die Feldgleichungen des Gravitationsfeldes sind, in allen Koordinatensystemen dieselbe mathematische Form annehmen. Mit anderen Worten, wenn zwei Koordinatensysteme gegeben sind, sagen wir

${ displaystyle x}$

Koordinaten und

${ displaystyle y}$

Koordinaten hat man in beiden genau die gleiche Differentialgleichung zu lösen, außer in einer ist die unabhängige Variable

${ displaystyle x}$

und in der anderen ist die unabhängige Variable

${ displaystyle y}$

. Dies impliziert, dass sobald man eine metrische Funktion in der findet

${ displaystyle x}$

Koordinatensystem, das die Feldgleichungen löst, kann man einfach die gleiche Funktion aufschreiben, aber alle ersetzen

${ displaystyle x}$

ist mit

${ displaystyle y}$

‘s, die die Feldgleichungen in der

${ displaystyle y}$

Koordinatensystem. Da diese beiden Lösungen dieselbe funktionale Form haben, aber zu unterschiedlichen Koordinatensystemen gehören, legen sie unterschiedliche Raumzeitgeometrien fest. Beachten Sie, dass diese zweite Lösung nicht durch eine Koordinatentransformation mit der ersten verwandt ist, aber dennoch eine Lösung ist. Hier ist das Problem, das Einstein so sehr gestört hat: Wenn sich diese Koordinatensysteme erst danach unterscheiden

${ displaystyle t = 0}$

es gibt dann zwei Lösungen; Sie haben die gleichen Anfangsbedingungen, aber sie legen danach unterschiedliche Geometrien fest

${ displaystyle t = 0}$

. Auf der Grundlage dieser Beobachtung suchte Einstein drei Jahre lang in einem hektischen Wettlauf gegen Hilbert nach nicht allgemein kovarianten Feldgleichungen.^[5]

Um genauer zu sein, stellte sich Einstein eine Situation vor, in der die Materieverteilung überall außerhalb eines geschlossenen Bereichs der Raumzeit ohne Materie, des Lochs, bekannt ist. Dann ermöglichen die Feldgleichungen zusammen mit den Randbedingungen angeblich die Bestimmung des metrischen Feldes innerhalb des Lochs. Man nimmt die

${ displaystyle x}$

und

${ displaystyle y}$

Koordinaten, die sich innerhalb des Lochs unterscheiden, aber außerhalb des Lochs übereinstimmen. Das Argument geht dann wie im obigen Absatz vor.

Da diese beiden Lösungen dieselbe funktionale Form haben, nehmen sie dieselben Werte an. Sie nehmen sie einfach an verschiedenen Orten an. Daher wird eine Lösung von der anderen erhalten, indem die metrische Funktion aktiv über den Raumzeitverteiler in die neue Konfiguration gezogen wird. Dies ist als Diffeomorphismus bekannt, der von Physikern manchmal als aktiver Diffeomorphismus bezeichnet wird, um ihn von Koordinatentransformationen (passive Diffeomorphismen) zu unterscheiden. Einstein konnte keine nicht allgemein kovarianten Feldgleichungen finden, nur um zum Lochargument zurückzukehren und es aufzulösen. Es ging im Wesentlichen darum zu akzeptieren, dass diese beiden Lösungen physikalisch äquivalent sind, indem behauptet wird, dass die Lokalisierung der Metrik über die Raumzeit-Mannigfaltigkeit physikalisch irrelevant ist und dass einzelne Raumzeitpunkte, die als Raumzeitkoordinaten definiert sind, an und für sich keine physikalische Bedeutung haben (dies ist die Quelle) des Problems des vielfältigen Substantivismus). Um dem Ort einen Sinn zu geben, verallgemeinerte Einstein die in den obigen Absätzen angegebene Situation, indem er zwei Teilchen einführte. dann können physikalische Punkte (innerhalb des Lochs) anhand ihrer zusammenfallenden Weltlinien definiert werden. Dies funktioniert, weil Materie unter aktiven Diffeomorphismen zusammen mit der Metrik gezogen wird. Ohne die Einführung dieser Partikel wäre es nicht möglich, physikalische Raumzeitpunkte (innerhalb des Lochs) zu definieren. siehe die Zitate von Einstein unten im Abschnitt ‘Einsteins Entschließung’.

Bedeutung der Koordinateninvarianz[edit]

Für die Philosophischen gibt es noch etwas Subtilität. Wenn die metrischen Komponenten als dynamische Variablen der Allgemeinen Relativitätstheorie betrachtet werden, hat die Bedingung, dass die Gleichungen koordinateninvariant sind, keinen eigenen Inhalt. Alle physikalischen Theorien sind unter Koordinatentransformationen unveränderlich, wenn sie richtig formuliert sind. Es ist möglich, Maxwells Gleichungen in jedem Koordinatensystem aufzuschreiben und die Zukunft auf die gleiche Weise vorherzusagen.

Um jedoch Elektromagnetismus in einem beliebigen Koordinatensystem zu formulieren, muss eine Beschreibung der Raum-Zeit-Geometrie eingeführt werden, die nicht an ein spezielles Koordinatensystem gebunden ist. Diese Beschreibung ist ein metrischer Tensor an jedem Punkt oder eine Verbindung, die definiert, welche nahe gelegenen Vektoren parallel sind. Das eingeführte mathematische Objekt, die Minkowski-Metrik, ändert seine Form von einem Koordinatensystem zum anderen, aber es ist nicht Teil der Dynamik, es gehorcht keinen Bewegungsgleichungen. Egal was mit dem elektromagnetischen Feld passiert, es ist immer dasselbe. Es handelt, ohne dass darauf reagiert wird.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist jede einzelne lokale Größe, die zur Beschreibung der Geometrie verwendet wird, selbst ein lokales dynamisches Feld mit einer eigenen Bewegungsgleichung. Dies führt zu schwerwiegenden Einschränkungen, da die Bewegungsgleichung sinnvoll sein muss. Es muss die Zukunft aus den Anfangsbedingungen bestimmen, es darf keine außer Kontrolle geratenen Instabilitäten für kleine Störungen aufweisen, es muss eine positive definitive Energie für kleine Abweichungen definieren. Wenn man den Standpunkt vertritt, dass die Koordinateninvarianz trivial wahr ist, besagt das Prinzip der Koordinateninvarianz einfach, dass die Metrik selbst dynamisch ist und ihre Bewegungsgleichung keine feste Hintergrundgeometrie beinhaltet.

Einsteins Entschließung[edit]

1915 erkannte Einstein, dass das Lochargument eine Annahme über die Natur der Raumzeit macht: Es geht davon aus, dass es sinnvoll ist, über den Wert des Gravitationsfeldes (bis hin zu bloßen Koordinatentransformationen) an einem durch eine Raumzeitkoordinate definierten Raumzeitpunkt zu sprechen. Genauer gesagt wird davon ausgegangen, dass es sinnvoll ist, über physikalische Eigenschaften des Gravitationsfeldes zu sprechen, beispielsweise wenn es zu einem Raumzeitpunkt entweder flach oder gekrümmt ist (dies ist eine koordinatenunabhängige Eigenschaft des Gravitationsfeldes). Durch das Fallenlassen dieser Annahme wurde die allgemeine Kovarianz mit dem Determinismus vereinbar. Während zwei Gravitationsfelder, die sich durch einen aktiven Diffeomorphismus unterscheiden, geometrisch unterschiedlich aussehen, definieren ihre Wechselwirkungen nach der Neuberechnung der Trajektorien aller Partikel offensichtlich “physikalische” Orte, in Bezug auf die das Gravitationsfeld unter allen aktiven Diffeomorphismen den gleichen Wert annimmt.^[6] (Beachten Sie, dass, wenn die beiden Metriken durch eine bloße Koordinatentransformation miteinander in Beziehung gesetzt würden, die Weltlinien der Partikel nicht transponiert würden. Dies liegt daran, dass beide Metriken dieselbe Raumzeitgeometrie auferlegen und dass Weltlinien geometrisch als Trajektorien des Maximums definiert sind richtige Zeit – nur mit einem aktiven Diffeomorphismus wird die Geometrie und die Flugbahn verändert.) Dies war die erste klare Aussage über das Prinzip der Eichinvarianz im physikalischen Gesetz.

Einstein glaubte, dass das ganze Argument impliziert, dass die einzig sinnvolle Definition von Ort und Zeit durch Materie erfolgt. Ein Punkt in der Raumzeit ist an sich bedeutungslos, weil die Bezeichnung, die man einem solchen Punkt gibt, unbestimmt ist. Raumzeitpunkte erhalten nur dann ihre physikalische Bedeutung, wenn sich Materie durch sie bewegt. In seinen Worten:

“Alle unsere Raum-Zeit-Überprüfungen stellen ausnahmslos eine Bestimmung von Raum-Zeit-Zufällen dar. Wenn beispielsweise Ereignisse nur in der Bewegung materieller Punkte bestanden, wäre letztendlich nichts zu beobachten als das Zusammentreffen von zwei oder mehr dieser Punkte. “”^[7]

Er betrachtete dies als die tiefste Einsicht der allgemeinen Relativitätstheorie. Nach dieser Erkenntnis wird der physikalische Inhalt einer Theorie durch den Katalog der von ihr lizenzierten Raumzeitkoinzidenzen erschöpft. John Stachel nannte dieses Prinzip das Punkt-Zufall-Argument.^[1]

Im Allgemeinen sind die Übereinstimmungen zwischen dem Wert des Gravitationsfelds und dem Wert, den das Materiefeld an derselben “Stelle” hat, unter aktiven Diffeomorphismen invariant und daher unveränderlich, da das Gravitationsfeld und das Materiefeld zusammengezogen werden unter einem aktiven Diffeomorphismus. Aus diesen Zufällen kann man sich vorstellen, dass sich Materie in Bezug auf das Gravitationsfeld befindet. Wie Carlo Rovelli es ausdrückt: “Keine Felder mehr in der Raumzeit: nur Felder in Feldern.”^[4] Das ist die wahre Bedeutung^{[clarification needed]} des Sprichworts “Die Bühne verschwindet und wird einer der Schauspieler”; Raum-Zeit als ‘Container’, über dem die Physik stattfindet, hat keine objektive physikalische Bedeutung, sondern die Gravitationswechselwirkung wird als nur eines der Felder dargestellt, die die Welt bilden.

Einstein bezeichnete seine Entschließung als “jenseits meiner wildesten Erwartungen”.

Implikationen der Hintergrundunabhängigkeit für einige Theorien der Quantengravitation[edit]

Die Schleifenquantengravitation ist ein Ansatz zur Quantengravitation, der versucht, die Grundprinzipien des klassischen GR mit den minimalen wesentlichen Merkmalen der Quantenmechanik zu verbinden, ohne neue Hypothesen zu fordern. Schleifenquantengravitationsphysiker betrachten die Hintergrundunabhängigkeit als zentralen Grundsatz in ihrem Ansatz zur Quantisierung der Schwerkraft – eine klassische Symmetrie, die von der Quantentheorie beibehalten werden sollte, wenn wir die Geometrie (= Schwerkraft) wirklich quantisieren wollen. Eine unmittelbare Konsequenz ist, dass LQG UV-endlich ist, da kleine und große Abstände gleichwertig sind, da man eine metrische Funktion für eine andere, die mit der ersten zusammenhängt, durch einen aktiven Diffeomorphismus ersetzen kann. Ein genaueres Argument kann gegeben werden.^[8] Der direkte Beweis für die Endlichkeit des kanonischen LQG in Gegenwart aller Formen von Materie wurde von Thiemann erbracht.^[9] Es wurde jedoch vorgeschlagen^[who?] Diese Schleifenquantengravitation verletzt die Hintergrundunabhängigkeit, indem sie einen bevorzugten Bezugsrahmen (“Spin Foams”) einführt.^{[citation needed]}

Die störende Stringtheorie (zusätzlich zu einer Reihe nicht störender Formulierungen) ist nicht “offensichtlich” hintergrundunabhängig, da sie von den Randbedingungen im Unendlichen abhängt, ähnlich wie die störende allgemeine Relativitätstheorie nicht “offensichtlich” hintergrundabhängig ist. Einige Bereiche der Stringtheorie lassen jedoch Formulierungen zu, in denen sich die Unabhängigkeit des Hintergrunds manifestiert, insbesondere das AdS / CFT. Es wird angenommen, dass die Stringtheorie im Allgemeinen hintergrundunabhängig ist, auch wenn viele nützliche Formulierungen sie nicht manifestieren.^[10] Für eine gegenteilige Ansicht siehe Smolin.^[11]

Siehe auch[edit]

Verweise[edit]

Quellen[edit]

• Albert Einstein, HA Lorentz, H. Weyl und H. Minkowski, Das Relativitätsprinzip (1952): Einstein, Albert (1916) “Die Grundlage der Allgemeinen Relativitätstheorie”, S. 111–164.
• Carlo Rovelli, Quantengravitation, veröffentlicht von Cambridge University Press (2004) ISBN 0-521-83733-2. Eine vorläufige Version kann kostenlos unter heruntergeladen werden http://www.cpt.univ-mrs.fr/~rovelli/book.pdf.
• Norton, John, Das Lochargument, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Ausgabe Frühjahr 2004), Edward N. Zalta (Hrsg.)
• d’Inverno, Ray (1992). Einführung in Einsteins Relativitätstheorie. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-859686-3. Sehen Abschnitt 13.6.
• Physik trifft Philosophie auf der Planck-Skala (Cambridge University Press).
• Freude Christian, Warum das Quantum der Schwerkraft nachgeben muss, E-Print verfügbar als gr-qc / 9810078. Erscheint in Physik trifft Philosophie auf der Planck-Skala (Cambridge University Press).
• Carlo Rovelli und Marcus Gaul, Schleifenquantengravitation und die Bedeutung der Diffeomorphismus-Invarianz, E-Print verfügbar als gr-qc / 9910079.
• Robert Rynasiewicz: Die Lehren aus dem ganzen Argument, Brit.J.Phil.Sci. vol. 45, nein. 2 (1994), S. 407–437.
• Alan Macdonald, Einsteins Lochargument American Journal of Physics (Februar 2001), Band 69, Ausgabe 2, S. 223–225.

Externe Links[edit]